5.4 数列的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第五章数列。 5.4数列的应用 学习目标 1.正确理解分期付款的两种计算方式 2.能够利用等差（比）数列的知识解决 一些实际问题， 要点精析 川要点1等差、等比数列模型的应用 例1一航模小组进行飞机模型实验，飞 机模型在第一分钟的时间里上升了15m高度， (1)若通过动力控制系统，使得飞机模 型在以后的每一分钟里，上升的高度都比它 前一分钟上升的高度少2m,达到最大高度 后保持飞行，问飞机模型上升的最大高度是 多少」 (2)若通过动力控制系统，使得飞机模 型在以后的每一分钟上升的高度是它在前一 分钟里上升高度的80%，那么这个飞机模型 反思感悟 上升的最大高度能超过75m吗？请说明 解决数列应用题的思路和方法： 理由 (1)认真审题、准确理解题意，明确 分析(1)飞机模型每一分钟上升的 问题是属于等差数列问题还是属于等比数 高度都比它前一分钟上升的高度少2m, 列问题，要确定山与项数n的实际意义， 显然每分钟上升的高度成等差数列.(2)飞 同时要搞清是求an还是求Sm 机模型每一分钟上升的高度是它在前一分 (2)抓住题目中的主要数量关系，联 钟里上升高度的80%，显然每分钟上升的：： 想数学知识和方法，恰当引入参数变量， 高度成等比数列 将文字语言转化为数学语言，将数量关系 用数学式子表达出来 (3)将已知和所求联系起来，列出满 足题意的数学关系式 学 31 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 B 变式训练1 变式训练2 某公司生产一种产品，第一年投入资金 某人买了一辆价值13.5万元的新车，专 1000万元，出售产品后收入40万元，预计： 家预测这种车每年按10%的速度贬值. 以后每年的投入资金是上一年的一半，出售 (I)用一个式子表示第n(neN)年这 产品所得收入比上一年多80万元.同时，当：辆车的价值 预计投入资金低于20万元时，就按20万元 (2)如果他打算用满4年时卖掉这辆 投入，且当年出售产品的收入与上一年： 车，他大概能得到多少钱？（小数点后保留 相同. 三位有效数字) (1)设第n年的投入资金和收入金额分 别为an万元、bn万元，请求出{a},{b 的通项公式 (2)预计从第几年起该公司开始并持续 盈利？请说明理由.（盈利是指总收入大于 总投入) 32)学 第五章数列。 要点2分期还款与数列 1.等额本金还款法：即将本金平均分配 到每一期进行偿还，每期还款金额=贷款本金 还款期数 +(贷款本金-已还本金总额)x利率 2.等额本息还款法：即将本金和利息平 均分配到每一期进行偿还，每期还款金额= ,其中A。为贷教本金，？为限行 贷款利率，m为还款总期数 例2某企业进行技术改造，有两种 变式训练3 方案 甲方案：一次性贷款10万元，第一年 王某2024年12月31日向银行贷款 便可获得利润1万元，以后每年比上年增加 100000元，银行贷款年利率为5%，若此贷 30%的利润. 款分十年还清(2034年12月31日还清)， 乙方案：每年贷款1万元，第一年可获 每年年底等额还款（每次还款金额相同）， 得利润1万元，以后每年比前一年多获利 设第年末还款后此人在银行的欠款额为 5000元. 、 an元. 两种方案的期限都是10年，到期一次 (I)设每年的还款额为m元，请用m 性归还本息.若银行贷款利息均以年息10% 表示出a2 计算，试比较两个方案哪个获得纯利润更 (2)求每年的还款额.(1.0510≈1.629， 多.（计算精确到千元，参考数据：1.10≈ 精确到1元)》 2.594,1.310≈13.796) 分析由题意，可知甲方案的增长利 润率是定值，银行利息成本基数为定值.乙 方案中增长利润是定值，银行利息成本基 数每年都在变化， 学(33 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 要点3复杂的数列建模问题 变式训练4 例3已知某中学食堂每天供应3000 某企业2024年的纯利润为500万元，因 名学生用餐，为了改善学生伙食，学校每星 设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下 期一有A,B两种菜可供大家免费选择（每： 降.若不能进行技术改造，预测从今年起每 人都会选而且只能选一种菜).调查资料表：年比上一年纯利润减少20万元，今年初该 明，凡是在这星期一选A种菜的，下星期一： 企业一次性投入资金600万元进行技术改 会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下： 造，预测在未扣除技术改造资金的情况下， 星期一会有40%改选A种菜.用am,bn分别 第n年（今年为第一年）的利润为5001+2 表示在第n个星期一选A的人数和选B的 人数，如果a=2000. 万元(n为正整数)· (1）请用an,bn表示a+1与bn+: (1)设从今年起的前n年，若该企业不 (2)证明：数列{an-2000}是常数列. 进行技术改造的累计纯利润为A,万元，进 分析由题意，可知以选A种菜为例，： 行技术改造后的累计纯利润为B.万元（须 扣除技术改造资金)，求A,Bn的表达式. 包括两部分人，一类是上星期就选A的4 (2)依上述预测，从今年起该企业至少 和上星期选B的2 经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润 超过不进行技术改造的累计纯利润？ 反思感悟 求解此类问题的关键是依据题设条件， 巧借an及an-1,即抓住数列前后两项（几 项)的数量关系，建立递推关系an=Pan1十q, 在此基础上借助数列知识给予解答，常用 的方法便是待定系数法和构造等比数列法.， 34)学 第五章数列。 墙，大、小鼠第一天都进一尺，以后每天， 数学文化 大鼠加倍，小鼠减半，则几天后两鼠相遇？” 例我国古代数学典籍《九章算术》第： 这个问题体现了古代对数列问题的研究，现 七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题： 将墙的厚度改为1200尺，则需要几天时间 “今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，：才能打穿（结果取整数）() 小鼠日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问 A.12 B.11 何日相逢，各穿几何”其大意为：“有五 C.10 D.9 尺厚的墙，两只老鼠从墙的两边相对打洞穿 学35Cn+l =x4,= n+12n -2 n :91≠0。数列只是首项为1、公比为号的等 比数列 0以含”a,a是 2)由(1，得a=2是， 由①②错位相减，得 n 2ml-n-2 $1+2+2++221- 2 S=2-2 2- 数学文化 例5720-15+3】【解析】由对折两次共可以得到 24 5dm×12dm,10dm×6dm,20dmx3dm三种规格的图 形，对折三次的结果有号×12,5x6,10x3,20x弓共 四种不同规格（单位dm);故对折四次可得到×12， 多6,53,10号，20x号共五种不同现格 由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一 半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公 比为一的等比数列，首项为120dm,第n次对折后的 图形雷积为120}对于第n次对折后的图形的现 格形状种数，根据第一空的过程和结论，猜想为(+1) 种（证明从略），故得猜想S=120n+1D 2- 设S=∑S=120x2+120x3+120x4+…+120(n+1D 20 21 22 2 则号s=1292+123++l0+120%t1.两式作 21 2 差， 参考答案。 得5-240+120(}+2++-1204山 =240 601-2克)120+D 2 =360-120-120(n+1) 2-1 2" =360-120(n+3) 2 ,S=720-240(n+3）=720-15(n+3) 2" 24 "5.4数列的应用 要点精析 例1解：(1)由题意，飞机模型每分钟上升的高度构 成a=15,d=-2的等差数列，则 S.=nd+(D)d=15n+(n1)x(-2)=-w+16n. 2 2 当n=8时，(Sn)mm=Sg=64, 即飞机模型在第8分钟上升到最大高度为64m. (2)不能超过.由题意，飞机模型每分钟上升的高 度构成b1=15,9=0.8的等比数列， 则S=b2=75(1-0.8)<75,.这个飞机模型上 1-9 升的最大高度不能超过75m. 变式训练1解：(1)由题意，知a=100x分， 当100x号≥20，neN,解得1≤n≤6， 100x分户，1≤n≤6 n∈N 20,n≥7. 80n-40,1≤n≤6， b-40,n≥7 nEN (2)当1≤n≤6时， 总利润S=440+80a-401001-}门 2 200x分/+40r-200. ÷5-S=-20x分广+80a-40a≥2. 31 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 fx)=-2000(2)+80-40(e≥2)为增函数， 且f3)=-2000x3）)+240-40<0, f4)=-2000x3)+320-40>0. .当2≤n≤3时，S<S1,当4≤n≤6时，S>S 5r=200x号+40-20050. S-200x3+40x36-200-52875<0. ∴.1≤n≤6时，S<0,即前6年未盈利. 当n≥7时，S=-528.75+(440-20)(n-6), 令S>0,解得n≥8，.该公司从第8年开始盈利. 变式训练2解：(1)从第一年起，每年车的价值（万 元)依次设为a4,,a,…,a.由题意，得a=l3.5, a2=13.5×(1-10%),=13.5(1-10%)2,….由等比数列定 义，知数列{a}是等比数列，首项a=13.5,公比q=1- 10%=0.9,a=q-=13.5×(0.9),.第n年车的价值 为a=13.5×(0.9)1万元. (2)当他用满4年，车的价值为a=13.5×(0.9)5≈ 8.857..用满4年卖掉时，他大概能得到8.857万元. 例2解：根据题意，甲方案获利为1+(1+30%)+(1+ 30%)4…+1+30%9-=1.3”-1≈42.65（万元），而银行的 1.3-1 利息成本为10(1+0.1)-25.94（万元），那么甲方案的纯 利润为42.65-25.94≈16.7（万元）. 乙方案：逐年获利成等差数列，前10年共获利 1+(1+0.5)+(1+2x0.5)++(1+9x0.5)=10x(2+45)-32.50 (万元)，贷款的本利和为1.1×[1+(1+10%)++(1+10%)] =17.534(万元)， .乙方案扣除本利后的净获利为32.50-17.534≈ 15.0(万元). .甲方案获利较多. 变式训练3解：(1)a2=100000×(1+5%)2-m(1+5%)- m=110250-2.05m. (2)o=100000x(1.05)0-m×(1.05)9-m×(1.05)8-…- m=0,100000x1.050m1-1052=-0, 1-1.05 解得m=100000x1:051x0.05≈12949（元）. 1.050-1 32 例3()解：由题意，知a号a+号6.b=写a+ 1 be 2）证明：a=号a+号6.且a,th,=300, 4 a号a+号300-. 4 =5d+1 200, ar-200=号a-20). 又.a-2000=0, .数列{a.-2000)是常数列. 变式训练4解：(1)依题意，知A.=(500-20)+(500- 40)+.+(500-20n)=490n-10m2: B-50[1+2)+1+2++1+2]-600-50n- 500-100 (2)B-4,=500n-500-100-(490n-10r) =10r410n-30-10=10lma+10-0-10] 2 :函数y=x(+1)-0-10在(0，+0)上单调递增， 2 当1≤n≤3时，n(n+1)-50-10≤12-50-10<0： 2 8 当n≥4时，n(n+1)-50-10≥20-50-100. 2 16 .当n≥4时，Bw>An 故至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯 利润超过不进行技术改造的累计纯利润. 数学文化 例B【解析】大鼠和小鼠每天穿墙尺寸分别构成数列 {a},{bd,它们都是等比数列，a=b=l,数列{a}的 公比为92，数列6！的公比为9=7，设需要n天能 打穿墙，则 1} +.+0)+(b+b++b)=1-2”+2 1人2+ 1-1 1 2 当n=10时，241-2=1025-≈1025<1200， 当n=1时，2412-2049-克=20491200， 因此需要11天才能打穿. 故选B. >m5.5数学归纳法 要点精析 例1证明：①当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立 ②假设当n=k(k≥1)时，等式成立，即1+3+…+ (2k-1)=k2. 那么，当n=k+1时，1+3+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]= k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2 这就是说，当n=k+1时等式成立. 根据①和②，可知等式对任意正整数n都成立. 变式训练1C【解析】当n=h时，左边共有2k+1个连 续自然数相加，即1+2+3+…+(2k+1),.当n=k+1时， 左边共有2k+3个连续自然数相加，即1+2+3+…+(2+ 1)+(2k+2)+(2k+3),·.左边需增添的代数式是(2h+2)+ (2k+3).故选C. 例2证明：①当n2时，1+分<2分是，不等式 成立 ②假设n=k(k≥2，k∈N)时不等式成立， 即1++字+…+2 则当n=k+1时， 4() 1 <21+1 -k+(k+1)P <2-g++ 1 2g+g妇 =2中，不等式成立 由①②知原不等式在n∈N,n≥2时均成立. 变式训练2C【解析】当n=k时，不等式左边为 +1+ 参考答案。 2++京：当+1时，不等式左边为23 1 *六222做选C 例3解：当n=2时， S2=+22+1,即3+a=8,解得a=5; 当n=3时，S=+3241,即3+5+a=15,解得a=7; 当n=4时，S4=0s+441,即3+5+7+4=24，解得a=9. 猜想a,=2n+1,下面用数学归纳法证明： 当n=1时，a=2×1+1=3,猜想成立； 假设当=k(k∈N)时，猜想成立， 即a=2h+1,则S=k2+2h 当n=k+1时，S1=4+(k+1)2+1, ∵S+a4=u4+(k+1)2+1,∴.a4=a4+(k+1)41-S, a41=2k+1+(k+1)2+1-(k2+2k)=2(k+1)+1, .猜想成立 综上所述，对于任意neN,a=2n+1均成立。 变式训练3D【解析】a=1,4号， Sl+2+a=6-,as=子 7 同理，可得a空观黎1，子，子，号 81 骑想a=或a2言做选D 例4解：当n=2时，f2)=1;当n=3时，f3)=3; 当n=4时，f(4)=6. 因此猜想fn)=n,(n≥2，neN). 2 下面利用数学归纳法证明： ①当n=2时，两条相交直线有一个交点， 又f2)=32x2-10=l. .n=2时，命题成立. ②假设当n=k(k≥2且k∈N)时命题成立，就是 该平面内满足题设的任何k条直线的交点个数为(k)= -10 当n=h+1时，其中一条直线记为l,剩下的k条直 线记为l1,12,…,l 由归纳假设，知剩下的飞条直线之间的交点个数为 33