11.1.4 棱锥与棱台-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 11.1.4楼 基础练习 一、选择题 1.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则 该棱锥一定不是() A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥 2.下列几何体中，顶点个数最少的是 A.四棱锥 B.长方体 C.四棱台 D.四面体 3.如图所示，在三 棱台ABC-ABC1中，沿 平面A1CB截去三棱锥 B-ACB,则剩余的部分 是() 第3题图 A.三棱锥 B.四棱锥 C.三棱柱 D.四棱柱 4.一个正三棱锥的底面边长为3，高为 6,则它的侧棱长为() A.2 B.2V3 C.3 D.4 5.棱长为1的正四面体（各棱长都相等 的三棱锥)的高为( ) A.2V2 B.V2 3 3 c号 D.V6 3 6.(多选题)下列关于棱锥、棱台的说 38)练 凌锥与棱台 法中，正确的有（) A.棱锥的侧面只能是三角形 B.棱锥被平面截成的两部分不可能都 是棱锥 C.棱台的底面一定不是平行四边形 D.由四个平面图形围成的封闭图形只能 是三棱锥 7.如图，正三棱台ABC-ABC1的下底 面边长为12，上底面边长和侧棱长均为6， 则棱台的高为() A.2V6 3 B.3V3 C.2V6 第7题图 D.2V3 二、填空题 8.已知三棱锥的底面是边长为a的正三角 形，则过各侧棱中点的截面的面积为 9.已知三棱台ABC-ABC的上、下两 底面均为正三角形，边长分别为3和6，平行 于底面的截面将侧棱从上到下分为长度之比 为1：2的两部分，则截面的面积为 10.已知一个正四棱锥的底面边长为1， 高为2，则该正四棱锥的表面积为 11.如图，正四棱锥 D P-ABCD的侧棱长为4， 侧面的顶角均为30°，过 点A作一截面与PB,PC, PD分别相交于E,F,G, 则四边形AEFG周长的最 第11题图 小值为 三、解答题 12.一个正四棱台的两底面边长分别为 1,2,侧面积等于两个底面积之和，求这个 棱台的斜高和高 第十一章立体几何初步。 提升练习 13.设正六棱锥的底面边长为1，侧棱 长为√5，那么它的全面积为() A.3V3 2 B.2(V3+V9) C.V3 D.2 14.(多选题)正六棱台的上、下底面边 长分别是2cm和6cm,侧棱长是5cm,则 下列说法正确的是() A.该正六棱台的上底面积是6V3cm B.该正六棱台的侧面面积是15cm C.该正六棱台的表面积是(60V3+ 24V21)cm2 D.该正六棱台的高是3cm 15.下列说法错误的是 .(填 序号) ①棱锥的各侧面都是三角形； ②有一个面是多边形，其余各面都是三 角形，由这些面围成的几何体是棱锥； ③四面体的任何一个面都可以作为棱锥 的底面； ④棱锥的各侧棱长相等； ⑤有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直 棱柱； ⑥侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥； ⑦侧面都是矩形的直四棱柱是长方体； ⑧若有两个侧面垂直于底面，则该四棱 柱为直四棱柱， 练(39(即正六棱柱的高)为h,易知CF是 正六棱柱的一条最长的体对角线，即 CF=5,易知CF-2a,FF=h,∴.CF= VCF2+FF7=V4a+h=5.①：正六 棱柱的所有棱长之和为42,12a+6h= 42.②联立①②，解得2， 或 第12题答图 h=3 =2'当a=2,h=3时，正六棱柱的侧面积S=6h=36, h=4. 底面积5=6×V3d=6V3.S金=36+26V3=36+ 4 12V了.当a=号.he4时，正六棱柱的侧面积S=6ah=36: 底面积S=6xV3-27y3.5=36+2x27y3=36+ 4 8 27V3.故此正六棱柱的侧面积为36，全面积为36+ 12V3或36+27V3 4 13.解：把长方体的部分面展 开，如图所示，有三种情况：对 A 甲、乙、丙三种展开图利用勾股 定理，可得AC的长分别为V90 V74,V80,由此可见乙是最短 D 线路，甲壳虫可以先在长方形 ABBA1内由A到E,再在长方形 图1 BCC,B,内由E到C1,也可以先在 长方形AADD内由A到F,再在长方形DCCD内由F到 C,其最短路程为V74.故答案为V74, 图2 第13题答图 14.C【解析】根据正四棱柱 的定义，正四棱柱有两个正方形 作为底面，侧棱和底面垂直的儿 何体，如图所示.设正方形边长 a 为a,侧棱长为b,依题意，得 第14题答图 参考答案。 亿81，两式相院，得到流号.即正-16+ 22+4ab=144. 8b2-0台(a-2b)(7a-4b)=0,当a=2b时，联立2a2+b2-81,解 得b=3,a=6;当7a=4b时，联立2d2+b'2=81,解得b=7,a= 4.于是共有两个四棱柱符合题意.故选C. 15.3【解析】如图所示，△ABC为正 三棱柱的俯视图.设P关于侧面AABB和 侧面AAC,C的对称点分别为P,B,连接 PP,PP,PP,PM,PN,则当M,N,P, P2共线时，△MWP的周长最小，由于在正 三棱柱ABC-AB,C中，点P是BC1和B,C 的交点，所以P是侧面BBCC的中心，故 第15题答图 当△MNP周长最小时，M,N分别为侧面AAB,B和侧面 AACC的中心，MN=MP=NP=1,即△MWP周长的最小值 为1+1+1=3. 11.1.4棱锥与棱台 1.D【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则 正六棱锥的侧面都是等边三角形，侧面的六个顶角都为 60°，六个顶角的和为360°，这样一来，六条侧棱在同一个 平面内，这是不可能的.故选D. 2.D【解析】四棱锥有5个顶点，长方体和四棱台有8 个顶点，四面体有4个顶点.故选D. 3.B【解析】截去三棱锥BACB,则剩余的部分B- ACC41是四棱锥. 4.C【解析】如图所示，在正三棱锥PABC中，点O为 △ABC的中心，PO为正三棱锥的高，则PO=V6,AB=3, 易知OA=V3,故在Rt△POA中，PA=VPO+OAF=V6+3 =3,故选C. 第4题答图 第5题答图 5.D【解析】作出正四面体A-BCD,设棱长为1，如图 所示，作△BCD的中心O,并连接AO和DO,即△BCD是 边长为1的等边三角形，则OD是△BCD的外接圆半径， 每0-×影分×学：由正因面作的性 质，可知AO⊥平面BCD,·.正四面体A-BCD的高为AO, 又ODC平面BCD,A0⊥OD,则A0=VADP-OD= 73 N 高中数学必修第四册人教B版 V-5.放选D 6.AD【解析】A正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只 能是三角形；B错误，四棱锥被过顶点的平面截成的两部 分都是棱锥；C错误，棱台的底面可以是平行四边形还可 以是其他多边形；D正确，两平面交线为直线，.四个 平面图形必然是三角形，只能组成三棱锥，故选AD. 7.C【解析】如图1，将正三棱台还原为正三棱锥，由 相似关系可知，三棱锥PAB,C的棱长均为6， 3 图1 图2 第7题答图 如图2，点P在底面A,BC的射影是底面三角形的中 心，高P0=V62-(2V3)2=2V6,根据三棱锥PAB,C 的棱长均为6，三棱锥PABC的棱长均为12，可知相似比为 1:2,通过相似关系，可知三棱台的高也为2V6.故选C 8.3r 16 9.4V3【解析】如图所示，延长AA1,BB1,CC,交 于点S,设截面为AB,C.由题意，知A42:AA=1:2,由棱 锥的截面性质，得S4=AB=3.1 SAAB6=2SA=2SA,.SA= AA由AA,:AA2=1:2,可得AA,=AA,SA1:SM,=3:4 3 小格异4品=号4国4载面为药边三角形 Sa6=V3(4BP=V3x4=4V3, 4 4 0 B 第9题答图 第10题答图 10.4【解析】如图，四棱锥P-ABCD为正四棱锥，高 OP=V2,底面边长AB=1,过点O作OG⊥BC于G,则G 是BC的中点，连接PG,于是斜商心-V日+2=号，正 74 四棱锥的表面积S=1×1+4x】×1×3=4.故答案为4. 2 2 11.4V3【解析】将正四棱锥侧面沿PA展开，得4 个全等的等腰三角形，如图所示，即六边形P-A BCDA',连 接AA'分别交PB,PC,PD于E,F,G,AA'的长，即是四 边形AEFG的周长最小时的值. 第11题答图 由题意，可得等腰△PAA'的顶角∠P-4×30°=120°，且 PA=4,由余弦定理，得AA'=V4+4-32cos120°=4V3,. 截面四边形AEFG周长的最小值为4V3. 12.解：如图所示，设O,0分别为棱台上、下底面中 心，M,M分别为B,C1,BC的中点，连接OM1,OM,则 MM为斜高.过M1作MH⊥OM于点H,则MH=OO,S= 4x2×(1+2)MM,S上g+SFg=5.由已知，得2x(1+2)MM= 5,MM=.在R△MHM中，MH=-OM-O,M=M,H= 00-VMMF-V名合了-号放这个楼台的斜商 为名商为号 A 0 D 0 第12题答图 13.B【解析】由底面边长为1和侧棱长为V5,可知 正六棱锥的斜高=/(V了P户-2}=Y四.又：底面积 2 S6x号×1x)5=33,:正六棱锥的全面积5=35+ 2 2 2 2 xYx1x6=3y至，3V 2 2 2 14.ACD【解析】如图，在正六棱台ABCDEF A BCDE F中，AB1=2cm,AB=6cm,AA1=5cm,.侧 面的梯形ABBA,的高即正六棱台的斜高为√S-(?2: V2I,梯形ABB,A的面积为S=号×(2+6)×V2I= 421cm2,故正六棱台的侧面积为6S=6x4V21= 24V21cm2,故B错误；由图可知该正六棱台的上底面积 为6个边长为2的等边三角形组成，.该正六棱台的上底 面积为S-6×号×2x2xin60°6V3cm,故A正确；同理 下底面积为S=6x1×6x6xsin60°=54V3cm2,.该正六棱 台的表面积是6S+S,+S2=(60V3+24V21)cm2,故C正 确；正六棱台的高为00=V5-(6-2=3cm,故D正确. 故选ACD. 0 B 第14题答图 15.②④⑥⑦⑧【解析】由棱锥的定义可知，棱锥的 各侧面都是三角形，有一个面是多边形，其余各面都是三 角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，则这个几何体 就不是棱锥，故①正确，②错误.四面体就是由四个三角 形围成的几何体，四面体即三棱锥，因此四面体的任何一 个面都可以作为棱锥的底面，故③正确.棱锥的侧棱长可 以相等，也可以不相等，但各侧棱必须有一个公共端点， 故④错误.认识棱柱一般要从侧棱与底面是否垂直和底面 多边形的形状两方面去分析，故⑤正确，⑦错误.侧面都 是等腰三角形的棱锥不一定是正棱锥，故⑥错误.平行六 面体的两个相对侧面也可能与底面垂直且互相平行，故⑧ 错误 "阶段性练习卷（五） 1.C【解析】.：平面图形的直观图是一个底角为45° 腰和上底长均为1的等腰梯形，∴.平面图形为直角梯形， 且直角腰长为2，上底边长为1，下底边长为1+V2,故 选C 2.A【解析】①不正确，：不能保证各侧棱的延长线交 于一点.②不正确，·所得几何体两底面不相似，侧棱延长后 不交于一点.③不正确，它们的侧棱延长后不一定交于 点，用一个平行于楔形底面的平面去截楔形，截得的几何体 虽有两个面平行，其余各面是梯形，但它不是棱台 参考答案。 3.C【解析】设侧面三角形底边上的高为h,底边长为 a,则宁h[VR-受，即宁h=h千，化简，得4h 2h-2-0,即4么广2x么1-0，则A=+Y5（负值合 a 4 去).故选C 4.C【解析】如图所示，作出 D 过E,F,G三点的平面截面图.由 A 图，可知截面为正六边形，边长为 Y号a,裁面面积56x× 4 B -d 第4题答图 4 5.A【解析】如图所示，连接AN,BN,MN,正四面体 ABCD的棱长为1，N是CD的中点，BN=AN=Y5.M 是AB的中点，MN1AB,MN=VBBF=V经-子 2 B 第5题答图 第6题答图 6.D【解析】如图所示，在五棱柱ABCDE-A BC DE, 中，从顶点A出发的对角线有两条AC,AD1,同理从B, C,D,E点出发的对角线均有两条，共2×5=10（条）. 7.BD【解析】.正方体容器中盛有一半容积的水，无 论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，于是过正方体 的一条棱和中心可作一截面，截面形状可以是矩形，B是 正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的 中心作一截面，得截面形状为正六边形，D是正确的；过 正方体的中心的平面截正方体得到的截面不可能是三角形 和五边形.故选BD. 8.BCD【解析】有两个面互相平行，故此多面体一定 不是棱锥，其余各面都是梯形，“也不是棱柱，棱柱的侧 面都是平行四边形，故选BCD. 9.①③【解析】由斜二测画法规则可知正三角形、等腰三 角形的直观图不一定是等腰三角形，故②④错，易知①③正确. 10.12d2【解析】原正方体的表面积为S=6a2,切割成 27个全等的小正方体后，每个小正方体的棱长为}“，表 75