11.1.3 多面体与棱柱-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 11.1.3 多 基础练习 一、选择题 1.下列几何体中，是棱柱的有（ 第1题图 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.正方体被平面所截得的图形不可能是 ( A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形 3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水， 则盛水部分的几何体是() 第3题图 A.四棱台 B.四棱锥 C.四棱柱 D.三棱柱 4.一个棱柱是正四棱柱的条件是() A.底面是正方形，有两个面是矩形的 四棱柱 B.底面是正方形，两个侧面垂直于底 面的四棱柱 C.底面是菱形，且有一个顶点处的两 条棱互相垂直的四棱柱 D.底面是正方形，每个侧面都是全等 (36)练 面体与棱柱 的矩形的四棱柱 5.过正三棱柱底面一边的截面是() A.三角形 B.梯形 C.不是梯形的四边形 D.三角形或梯形 6.(多选题)两个完全相同的长方体的 长、宽、高分别是5,4,3，把它们重叠在 一起组成一个新的长方体，这个长方体的体 对角线的长可能是( A.V77 B.7V2 C.5V5 D.10V2 7.如图所示，在正三棱柱 ABC-AB,C1中，AB=2,AA1= 2V3,D,F分别是棱AB,AA 的中点，E为棱AC上的动点， 则△DEF的周长的最小值为 第7题图 ( A.2V2+2 B.2V3+2 C.V6+2 D.V7+2 二、填空题 8.一个简单多面体的顶点数为20，面 数为12，则这个多面体的棱数是 9.一个直平行六面体的侧棱长是6，底 面相邻的两边的长都是4，夹角是60°，则 此直平行六面体的体对角 D 线长是 10.如图，底面为菱 形的直棱柱ABCD-ABC,D 的两个对角面ACCA1和 第10题图 BDDB1的面积分别为6和8，则棱柱的侧面 积为 11.一个底面是菱形的直四棱柱，它的 侧棱长为5cm,体对角线长分别是9cm和 15cm,则该直四棱柱的侧面积为 表面积为 三、解答题 12.已知正六棱柱的一条最长的体对角 线长是5，所有棱长之和为42，求此正六棱 柱的侧面积和全面积. 第十一章立体几何初步。 13.如图，在长方体ABCD-ABCD1中， AB=3,BC=4,AA=5,现有一甲壳虫从A 出发沿长方体表面爬行到C,来获取食物， 试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最 小值. 0 第13题图 提升练习 14.正四棱柱的体对角线长是9cm,全 面积是144cm2,则满足这些条件的正四棱 柱有() A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个 15.已知正三棱柱ABC-AB,C,的所有棱 长均为2，点M,N分别在侧面ABBA1和 ACCA1内，BC1与BC交于点P,则△MNP 周长的最小值为 练 37N 高中数学必修第四册人教B版 14.C【解析】如图所示，在长 方体中没有与体对角线平行的棱，要 B 求与长方体的体对角线AC1异面的 棱，只要去掉与AC,相交的6条棱即 B 可，.与AC异面的棱有BB,AD, 第14题答图 AB,BC,CD,DD,长方体的一条体对角线与长方体的 棱所组成的异面直线有6对.故选C 15.①②【解析】平面APC即为平面ACCA1,很容易看 出MW与平面ACCA,无公共点，即MN∥平面ACCA1;同理 B1Q与平面ADD41也没有公共点，故BQ∥平面ADDA1: A,P,M三点不共线；平面MNQ与平面ABCD是相交的. 11.1.3多面体与棱柱 1.B【解析】根据棱柱定义，可知第一个是三棱柱 第三个是平行六面体，第二个是圆柱，第四个没有两个 面互相平行，是多面体，不是棱柱，有2个棱柱，故 选B. 2.C【解析】如图所示，平面与正方体相交于不同的 位置，可以出现正三角形、正方形、正六边形，不可能出 现正五边形，故选C 图1 图2 图3 第2题答图 3.C【解析】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为D, E,D1,E,如图所示，由三棱锥性质，可知ABED和 ABED1是全等的梯形，又平面ABBA1∥平面DEED1,平 面ACCA,分别与平面ABBA1和DEED1相交于AA1,DD, .AA1∥DD1,同理BB1∥EE.又AA1∥BB,.AA1,BB1, DD,EE互相平行，∴.盛水部分的几何体是四棱柱.故 选C. D 第3题答图 4.D【解析】选项A,B中，两个面为相对侧面时，四 棱柱不一定是直四棱柱，C中底面不是正方形，故排除选 项A,B,C,故选D 5.D【解析】当截面上部不过上底面的顶点时，所得 截面为梯形，如图1. 72 图1 图2 第5题答图 当截面上部过底面的顶点及顶点以下时，所得截面为 三角形，如图2. 6.ABC【解析】两个长方体重叠在一起共有3种情 况，若长方体的高变成原来的2倍，则体对角线长为= V52+4+6=V77:若长方体的宽变成原来的2倍，则体 对角线长为=V5+8+32=7V2;若长方体的长变成原来 的2倍，则体对角线长为l=V10+42+32=5V5,故选 ABC. 7.D【解析】三棱柱A BC-A B,C为A 正三棱柱，.△ABC为等边三角形且AA⊥ 平面ABC.ADC平面ABC,AA1⊥AD, DF=V1+3=2.把底面ABC与侧面ACCA1 在同一平面上展开，如图所示，当D,E,F 三点共线时，DE+EF取得最小值.又，∠FAD= B 150°，AF=V3,AD=1,.(DE+EF)m=第7题答图 VAPSADP-LAF-ADCOZEAD-V4-2V3x 7,.△DEF周长的最小值为V7+2. 8.30【解析】由欧拉公式，可得F+V=E+2,其中F为 多面体的面数，V为多面体的顶点数，E为多面体的棱数， .12+20=E+2,解得E=30. 9.2VI3或2V2I【解析】直平行六面体的体对角线 有4条，共2对，分别相等，底面菱形的对角线长分别是 4和4V3,由勾股定理，可得此直平行六面体的体对角 线长是V6+4=2V13或V6+(4V√3)2=2V21. 10.20【解析】设底面边长为x,高为h,则有AC= 。,BD=冬，：底面ABCD为菱形，AC与BD互相垂直 平分，六些户（婴总，=烟面积为4h归 4×5=20.故答案为20. 11.160cm2(160+40V7)cm 12.解：如图，设正六棱柱的底面边长为a,侧棱长 (即正六棱柱的高)为h,易知CF是 正六棱柱的一条最长的体对角线，即 CF=5,易知CF-2a,FF=h,∴.CF= VCF2+FF7=V4a+h=5.①：正六 棱柱的所有棱长之和为42,12a+6h= 42.②联立①②，解得2， 或 第12题答图 h=3 =2'当a=2,h=3时，正六棱柱的侧面积S=6h=36, h=4. 底面积5=6×V3d=6V3.S金=36+26V3=36+ 4 12V了.当a=号.he4时，正六棱柱的侧面积S=6ah=36: 底面积S=6xV3-27y3.5=36+2x27y3=36+ 4 8 27V3.故此正六棱柱的侧面积为36，全面积为36+ 12V3或36+27V3 4 13.解：把长方体的部分面展 开，如图所示，有三种情况：对 A 甲、乙、丙三种展开图利用勾股 定理，可得AC的长分别为V90 V74,V80,由此可见乙是最短 D 线路，甲壳虫可以先在长方形 ABBA1内由A到E,再在长方形 图1 BCC,B,内由E到C1,也可以先在 长方形AADD内由A到F,再在长方形DCCD内由F到 C,其最短路程为V74.故答案为V74, 图2 第13题答图 14.C【解析】根据正四棱柱 的定义，正四棱柱有两个正方形 作为底面，侧棱和底面垂直的儿 何体，如图所示.设正方形边长 a 为a,侧棱长为b,依题意，得 第14题答图 参考答案。 亿81，两式相院，得到流号.即正-16+ 22+4ab=144. 8b2-0台(a-2b)(7a-4b)=0,当a=2b时，联立2a2+b2-81,解 得b=3,a=6;当7a=4b时，联立2d2+b'2=81,解得b=7,a= 4.于是共有两个四棱柱符合题意.故选C. 15.3【解析】如图所示，△ABC为正 三棱柱的俯视图.设P关于侧面AABB和 侧面AAC,C的对称点分别为P,B,连接 PP,PP,PP,PM,PN,则当M,N,P, P2共线时，△MWP的周长最小，由于在正 三棱柱ABC-AB,C中，点P是BC1和B,C 的交点，所以P是侧面BBCC的中心，故 第15题答图 当△MNP周长最小时，M,N分别为侧面AAB,B和侧面 AACC的中心，MN=MP=NP=1,即△MWP周长的最小值 为1+1+1=3. 11.1.4棱锥与棱台 1.D【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则 正六棱锥的侧面都是等边三角形，侧面的六个顶角都为 60°，六个顶角的和为360°，这样一来，六条侧棱在同一个 平面内，这是不可能的.故选D. 2.D【解析】四棱锥有5个顶点，长方体和四棱台有8 个顶点，四面体有4个顶点.故选D. 3.B【解析】截去三棱锥BACB,则剩余的部分B- ACC41是四棱锥. 4.C【解析】如图所示，在正三棱锥PABC中，点O为 △ABC的中心，PO为正三棱锥的高，则PO=V6,AB=3, 易知OA=V3,故在Rt△POA中，PA=VPO+OAF=V6+3 =3,故选C. 第4题答图 第5题答图 5.D【解析】作出正四面体A-BCD,设棱长为1，如图 所示，作△BCD的中心O,并连接AO和DO,即△BCD是 边长为1的等边三角形，则OD是△BCD的外接圆半径， 每0-×影分×学：由正因面作的性 质，可知AO⊥平面BCD,·.正四面体A-BCD的高为AO, 又ODC平面BCD,A0⊥OD,则A0=VADP-OD= 73