专题课1 数列的通项公式-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练3a,=4(兮【解析】设数列a}的首项为 a、公比为g,所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇， S倘.由题意，可知S奇+S=4S,即S奇=3S..·数列{a}的 项数为偶数，9多产分又a明a-64,a 64,即a=12.故所求通项公式为a=12-号)4-号 例4解：方法一：S≠2S,.q≠1， 1(1-9)=48,① 1-9 由已知，得{ m(1-9）=60,② 1-9 ②=①得1w,即4，③ ③代入①，得264,5=a12641-本63. 1-9 1-g 方法二：：{a}为等比数列，显然公比不等于1， S,S-S,S-S也成等比数列， ..(Sz-S,)2=S,(Sw-S2), S=S8卫+S=(60482+60=63. S 48 变式训练4(1)A(2)60【解析】(1)S,S-S, Ss-S0成等比数列，即1,2，a+a2+ag+a4+as成等比数 列，∴an+ae+ag+a4+as=4.故选A. (2)设等比数列{a}的公比为q, .:Ss=7S6,∴.g≠1，S12=S6+gS6=S6(1+g6)=12,.∴.S6≠0 故S6,S2-S6,S1s-S2成等比数列，且公比为g, .Sg=S6+(S12-S6)+(S1g-S12)=S6+gS6+g2S6=7S6, 整理，得S(g2+g-6)=0. S6≠0，故g2+g-6=0,解得g=2, .∵S24=S2+(S24-S2)=S12+g2S2=S2(1+gl2)=5S2=60. 数学文化 例B【解析】F=22+1(n=0,1,2,…）,.a= 1og4(F-1)=log4(22+1-1)=log422=2-1,.{a是等比数 列，首项为1、公比为2.S=1x129）-2-1.32(2-1) 1-2 =63x2-,解得n=6.故选B ●"专题课1数列的通项公式 要点精析 例1解：(1)观察数列中的数，可以看到0=1-1,3= 28 4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,.它的一个通项 公式是a=n2-1. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是 连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负， .它的一个通项公式为a,=(-1)*(2n-1)· (3).5=22+1,10=32+1,17=42+1,.数列的一个通 项公式为a,=心n n2+1 (4)原数列的各项可变为)9，号9，号×99. 号09，，易知数列9.99,99,999，…的- 个通项公式为10-1，原数列的一个通项公式为a,= g(10-0. 变式训练1D【解析】当=1时，2-1-1≠0，故A项 n 借误：当2时，2号产号，放B项结误：当0 n 1时，+2≠0，放C项结误；因数列0，子，号， n 华，，可以写成1}，23了，4子，故 其通项公式可以写成a=m-L,故D项正确.故选D. n 例22【解析】 ar++as=7,得a=2, (6a2=01+a+7, a+a=5,即g+ng5,解得g=2或g …{a}单调递增，.g=2,.a=2 变式训练2V2n+2【解析】a,=V2+aG,∴.d=2+a, .a-a=2,∴{a}是以4为首项、公差为2的等差数 列，.2=4+(n-1)x2,'.a=V2n+2」 例3解：当n=1时，a=3; 当n≥2时，a,=S-S-1=2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1. 经检验，a=3符合上式，.a=2n+1. 变式训练3解：(1)当n=1时，a=1; 当n≥2时，a=85写+号名0号 2 整理，得号-子，即品日 a是以首项为1、公比为-)的等比数列， a=3尸 (2)设b=n2a,{b小}的前n项和为Sm 当n=1时，b=5,则a=5; 当n≥2时，b=S-Sm-1=3m2+2-3(n-1)2-2-6-3, 则a-3(a≥2). 5,n=1, 应验，a不符合上式，.a=6n-3,n≥2 例4C【解析】a1-a=2n+l, 则当n≥2时，a-a-=2n-1, … a3-42=5, aa4=3, .a.-a-t…+a-2ta-a=2n-1+…+5+3, 化简，得a,-4=-l)2m-+3=2-1. 2 又a4=2,∴a=2+1. 经检验a=2也符合上式，a=n2+1(n∈N).故 选C 变式训练4解：aa=分当n2时，&-8 .aat0t 1 1 11 a01.+0-0m-1=万+)2+…+2后，.a-a=1、 京，a=子士，经检验n1时符合上式 1 例5aa【解标】由题点，得会2 a.n+21 .当n≥2时，..4.….4=1×2×3y a dn ds a3×4×… x-1 'a n(n+1)' 又当l时，a分aa经检验， 1 时符合 变式训练52少【解析】a=2a,当n≥2时， =2,…,%=2,=2,%=2,%…%.9 a-1 2 a a-142 e=2-l…2.2-2-20,4-2号，a=2. a 参考答案。 例6解：a=2a+1,∴a1+1=2(a+1), .{a+1}是以2为首项、2为公比的等比数列， .a+1=2",.aw=2"-1. 变式训练6解：(1)由题意，可得a1=4aw+l,,a1+ 号=4a+号，a+号是以1为首项、4为公比的等比 数列，a+兮4，a=4号 (2)将a+=2a+3·2”两边同时除以2， 得=受+号期号号1 放数列学]是以1为首项、子为公差的等差数列， 由等差数列的适项公式，得会=1+号-1宁， ∴.数列{a}的通项公式为a=(3n-1)2. 例7解：03d女3. 一日是以3为首项、3为公差的等差数列。 1=3n,a,F3n 1 n(n1)(neN), 变式训练72【解折】由a-产 可得1-1三111 ant an n(n+1)nn+l 1-1-1-1,11_11 aa12’a42231 …, 1-1=1-1(m≥2) a dn n-1 n 累加，可得1-人=1-1(n≥2)，即a22 当n=1时，a=1也符合上式， :a,-2n-1 数学文化 例解：242=+2k+2=x+2k+2k+2=0x+4k+2, 即a42-02x=4k+2, .0x-x-2=4k-2,a-xa4=4k-6,…,4-=6, 由累加法，可得a--2+k-2-a24+…+a4-a2=4k-2+ 4k-6+…+6. 即a=0+6+10++4h-2=2+6+…+4k-2=(2+4k-2k三 2 29 高中数学选择性必修第三册人教B版 2k2 由a=22,知a2-1=-+2-2=2(k-1)2+2k-2=2k2-2k, k≥2. 将k=1代入，可得a=0,满足上式，.-=22-2k, },n-2, .‘.☑= 且k∈N 号，2冰-1. “专题课2数列求和 要点精析 例1解：(1)由a1=3,得2p+9=3,又：a4=2+4g, as=2p+5g,且a+as=2a4,得3+2p+5q=2p+8g,解得p= 1,g=1. (2)由(1)，知a=2+n, S=(2+22++2")+(1+2+…+n)=2L-2+n(n+1D 2 变式训练1解：a=2n-1+, 则5.=1+字+3+家)+5+字)++2m-1+字)=1+ 3+5+…+2-1+3+3+3交+3 2 431子 例2B【解析】·a=(-1)*(4n+1),.a+a4=(-1)(4n+ 1)+(-1)"2[4(n+1)+1]=(-1)(-4),则an+a2+…+1= (a+a2)+…+(a4g+am)+a2=-4x5+85=65.故选B. 变式训练2D【解析】由题意，得a2=2,as=1,a4=2,…, 故奇数项为1，偶数项为2，则S2=(a+a2)+(a+a)++ (a2m1+m)+a2=3×1011+1=3034.故选D. 例32025【解析】S2s=+ar+as++a晒， S2s=a2m5+…+a3+a2+a1, ∵2S2s=(a1+a2ms)+(a☑+☑224)+(a+42ms)+…+(a2s+ a1）. 又a4+as=1(k∈N,k≤2025)， .∴.a1+a2s=02+a2D4=03+a20=…=a2D5十a1=1， 2S,w2025,则Sm-2025 21 30 变式训练3B【解析】由于fx)1-)卢442+4+2 4 1,放原式六9+异)是+…+亮)》 =5.故选B. 例4C【解析】由已知，得n 1 ata+…+a.2n+1,a+ at…+a=n(2n+1)=Sn.当n≥2时，an=S-Sm1=4n-1,验证 知，当1时也成立，生n,6》 1-1-1 、1 +山r}号r令4 .1 ++0）片9放选C 变式训练4解：(1)2a=a+s=0+9,.s=9. 又d=2,.a=2n-1. 2)原式-高+女+++ 1 =什房写方+7动】 片99 例5解：(1)设等比数列(a}的公比是g,由a,= 1 a=1, g及aa=了，a=g,得 解得 1号尸ueN),当n≥2时，6，=S-S-6m,当n=l 时，b=S=6,符合上式，故bw=6n(n∈N). (2)由（①），知cb6n-3,.T=ccc+…+C.+Cx, T=6×1×346x2×3+6×3×32+…+6(n-1)·3m-2+6n·3-, 3T=6×1×3+6×2×32+6×3x33++6(n-1).3+6n-3", 错位相减，可以得到-2T=6×3+6(3+32+33+…+3-)- 6n3, -ox”-6m3]-n+2 3·[(2m-1)-3+1. 变式训练5解：(1)由题意，知a=l,2a=1+元)a (n∈N). (nN).第五章数列。 专题课1数列的通项公式 反思感悟 学习目标 观察法的解题关键是观察数列的前 1.熟练掌握等差数列、等比数列的通项 项中哪些元素是不随项数的变化而变化的， 公式 哪些元素是随项数的变化而变化的，以及 2.掌握由an与Sn的关系求am,由递推 是怎么变化的 关系求an的思想方法. 变式训练1 要点精析 数列0.昌，号 ,…的通项公式可 川要点1观察法 能是() 例1写出下列数列的一个通项公式： A.21 B.2-1 n n (1)0,3,8,15,24,… (2)1,-3,5,-7,9,… C.n+1 n D.n-1 n (3)0,222,3-34-4 5’10,17，… 川要点2公式法 (4)1,11,111,1111,… 例2设递增等比数列{a}的前n项和 为Sn,若S3=7,且a+3,32,a+4为等差数 列，则a= 反思感悟 当已知数列为等差数列或者等比数列 时，只需利用条件求得基本量（首项及 公差d或者公比q)即可写出通项公式，解 题时务必分清是等差数列还是等比数列. ⑧变式训练2 在数列{a}中，a1=2,an=V2+a (n≥2)，则a,= 学(23 高中数学选择性必修第三册人教B版 l要点3由an与Sn的关系求an 川要点4由递推关系求通项公式 例3已知数列{a}的前n项和为Sn= 由数列的递推公式求通项公式，通常需 n2+2n,求数列{a}的通项公式. 要对递推公式进行转化与化归，使之转化为 特殊的等差或等比问题再求通项公式，主要 体现在以下几个方面： (1)）形如a+1=a+f(n). (2)形如a+=af(n). (3)形如a+=pa+g(p≠0且p≠1)· (④形如ac或aa=iath (A,B,C为常数). 反思感悟 例4已知a=2,a+1-a=2n+1(n∈N), 已知Sn与an的关系时，可利用 则a=（ S1,n=1, A.n+1 B.2n+1 0m= 求解，通常是通过 S.-Sn1,n≥2 C.n2+1 D.2n2+1 an=Sn-Sn-1(n≥2)消去Sn或am两种途径 反思感悟 解决 用“累加法”求数列的通项公式： 当a,-an-1=f(n)(n≥2)满足一定条件 ⑧变式训练3 时，常用an=(a,-an-i)+(an-1-an-2)+…+(a2-1) (1)设Sn为数列{a}的前n项和，Sn= +a累加来求通项a.特别地，当f(n)=常数 }a+了，求数列a的通项公式 1 时，该数列为等差数列，因此，f(n)不为常 数时可利用累加法， (2)已知数列{a}满足a1+222+32a+… +na=3n2+2,求数列{a}的通项公式. 变式训练4 已知数列a满足a=方，a+ n, 求数列{a}的通项公式. (24)学 第五章数列。 例5已知数列a侧的首项是a=),且 反思感悟 已知形如a1=pa,+q(p≠0且p≠1)的 am=n 43, 则数列{a}的通项公式为 递推关系式求通项公式时，一般先构造公 反思感悟 比为p的等比数列{a+x},即将原递推关 用“累乘法”求数列的通项公式： 系式化为an++x=p(a+x）的形式，再求出数 列{a,+x的通项公式，最后求{a}的通项 当a=f(n)(n≥2)满足一定条件时， An-1 公式 常用a=an.a.a2.…·a累乘来求 an-1 an-2 an-3 B变式训练6 通项a.特别地，当f(n)=常数时，该数列 为等比数列，因此，f(n)不为常数时可利 (①)在数列a巾，若a=子，且点 用累乘法 P(am,a1)在直线4x-y+1=0上，求数列{a} 的通项公式。 B变式训练⑤ (2)已知数列{a}满足a+1=2an+3·2", 已知数列{a}满足a=1,amt1=2a,则 a=2,求数列{a}的通项公式。 a= 例6已知数列{a}满足a=1，,a+1= 2a+l,求数列{a}的通项公式. 学(25 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 例7在数列a中，若a=写，a 数学文化 3+,求数列a)的通项公式 例“太极生两仪，两仪生四象，四象 生八卦…”，“大衍数列”来源于《乾坤 谱》，用于解释中国传统文化中的太极衍生 原理.“大衍数列”{an}的前几项分别是 0,2,4,8,12,18,24,…,且{a}满足 a,=-t,n=26, 其中keN.求a am-+n-1,n=2h+1, (用n表示). 反思感悟 已知形如4=Aa的递推关系求通 Ba+C 项公式时，一般对递推关系式两边取倒数. 当A=C时，化为1-1=B的形式，可构 anl an A 造得等差数列 1 a；当A≠C时，化为 1+x C1+x的形式，再用构造法 Aa 求得 变式训练⑦ 已知数列{a}满足a1=l,a,-au=a n(n+1) (neN),则a= (26)学