5.3.2 等比数列的前n项和-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

变式训练1D【解析】由等比数列的定义，可判断D 正确. 例2±2V2【解析】设两个数的等比中项是x,则x2= 2x4,.x=±2V2 变式训练24【解析】由题意，可知(a+2)2=2(+ a-2),.=4或=-2（舍），综上有a=4. 例3解：由宽直，有52，则之之.小 {a}是等比数列，且g=2.当n=1时，a=5×2=10. 变式训练3解：（①)设公比为，则哥9”8 as ag" =4,则g}或-，wa-5或-5 ②)由酒项公式，有a号×号”兮号广 8号.-13，即n=4 例4解：（D在等比数列a中，a nm-ana 。1 (2)化简条件，得(a6)2+2a+(a)2=49, 即(a6+ag)2=49, .a>0,∴.a6tag=7. 变式训练4(1)B(2)6【解析】(1)在等比数列 (a}中，aa+2a6+as=12,则a+2a6+a6=(a+a6)P=12, 则a+a。=±2V3.故选B. (2){a}是等比数列，∴aa,=d,as=aG,a=aG, ∴.aia3a6=(aa7）(a2as）(ag）=(a1a2a3)(a0sg)=4x9=36..an> 0,∴.a4as6=6. 例5解：(1)q>1,a>0或0<g<1,m<0 (2)q>1,a<0或0<q<1,a>0 (3)q=1 (4)9<0 变式训练5(1)AC(2)A【解析】(1)当a> 0,0<g<1时，从第2项起，数列的每一项都小于前一 项，数列(a}递减，故A正确： 当a>0,g<0时，{a}为摆动数列，故B错误； 当a<0,q>1时，数列{a}为递减数列，故C正确； a1-a,=ag(g-1)<0,当a>0时，q<1,此时a>l, 当a<0时，g>1,a<1,故D错误.故选AC. 参考答案。 (2)当公比g<0且a<0时，a2=a9>0,a=a92<0, 此时a<,a>,{a}不递增，充分性不成立. 当等比数列{a}为递增数列时，a<a2,显然必要性 成立.综上所述，“a<a2”是“{a}为递增数列”的必要 而不充分条件.故选A 数学文化 例B【解析】由题意，可知所记录的数相当于五进制 数，.该渔民捕鱼2×52+2×5+4=64（条）.故选B. 5.3.2等比数列的前n项和 要点精析 例1解：(1)由题意，可知 541-g2=2x(1,22=126. 1-9 1-2 2)设公比为q,由a=-子，a=6, 得g=4=-64..g=-4.5=21-（-4)门153 a 1-(-4) 2 变式训徐1解：①S-a.女1-分】5n 1-g 64 (2)S=1=04=1-243x3=364. 1-91-3 例2解：(1)S3=+a+a,.26=2(1+q+g2),解得q=3 或q=-4. 当q=3时，=6；当q=-4时，a=-8. (2)=a++a+a+g=a（1+9+2+g+y)=,解得 a-2,iarag= 变式训练2(1)A(2)A【解析】(1)由S= a1-(-21=44,得a=4,a=aq=-8.故选A 1-(-2) a(1-g2)=3,① 1-9 (2)S2=3,S4=15,∴q≠1，由 a(1-92=15,② 1-q 号得4又g0,9-2放法A 例360【解析】令X=1+a+…+ag=20,Y=2+4 +…+am,则Sm=X+Y. 由等比数列前n项和性质，知=2，Y=40, .S10=X+Y=60. 27 高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练3a=4(兮)【解析】设数列a)的首项为 、公比为q,所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇， S·由题意，可知S奇+S=4S州，即S海=3S%数列{a}的 项数为偶数，9=分又aa明a-64，a 64,即a=12.故所求通项公式为a=123)4(兮月 例4解：方法一：S≠2S,∴9≠1， 4(1-92=48,① 1-9 由已知，得 am(1-g0）=60,② 1-9 ②①，得1+子，即产 4,③ ③f代入①.得64,5=g)641-年63 1-9 1-g 方法二：：{a}为等比数列，显然公比不等于1， Sn,S-Sn,S-S也成等比数列， ∴.(S2-Sn)=Sn(S-Sn）, S=S.S+S=(60-482+60=63. 48 变式训练4(1)A(2)60【解析】(1)S,SoS, S1s-So成等比数列，即1,2，a4+a2+a13+a4+as成等比数 列，a1+a2+a3+a4+as=4.故选A. (2)设等比数列{a}的公比为g, S18=7S6,.q≠1，S2=S6+9S6=S6(1+9)=12,.S6≠0， 故S6,S2-S6,Sg-S2成等比数列，且公比为g, ….S18=S6+(S2-S6)+(S1g-S2)=S6+gS6+q12S6=7S6, 整理，得S6(g2+g°-6)=0. S6≠0，故q2+q-6=0,解得g-2, .S24=S12+(S24-S12)=S12+g2S12=S12(1+g2)=5S12=60. 数学文化 例B【解析】F=22"+1(n=0,1,2,…),∴a= 1og(F.-1)=log4(2+1-1)=log22=2m-1,.(a}是等比数 列，首项为1、公比为2，S=1x12）=2-1.32(2-1) 1-2 =63x2-1,解得n=6.故选B. "专题课1数列的通项公式 要点精析 例1解：(1)观察数列中的数，可以看到0=1-1,3= 28 4-1,8=9-1,15=16-1,24=25-1,…,,∴.它的一个通项 公式是aw=n2-1. (2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是 连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负， .它的一个通项公式为a,=(-1)m(2n-1). (3)5=22+1,10=32+1,17=42+1,.数列的一个通 项公式为a,=. n2+1 (4)原数列的各项可变为)9，g×99,)×99。 号99.，易知数列9.99,99,999，…的 个通项公式为10-1，.原数列的一个通项公式为a= g0-1) 变式训练1D【解析】当=I时，21=1≠0，故A项 n 错误：当2时，2以-分≠及，放B项错误：当 1时，+-2≠0，放C项错误：因数列0，子，弩， 草，可以写成1片2分3令4牙…，故 其通项公式可以写成a,=n-1,故D项正确.故选D. n a1+a2+as=7, 例22【解析】由 得a=2, 6a2=01+a3+7, a+a-5,即g+ay=5,解得g=2或g= a}单调递增，q=2,.a=2m. 变式训练2V2n+2【解析】a,=V2+a-,∴.G=2+d1, .a-a=2,.{a}是以4为首项、公差为2的等差数 列，∴d=4+(n-1)×2,.a=V2n+2. 例3解：当n=1时，a=3; 当n≥2时，a,=S.-Sn-=n2+2n-(n-1)2-2(n-1)=2n+1. 经检验，a=3符合上式，∴.a=2n+1. 变式训练3解：(1)当n=1时，a=1; 当n≥2时.a-8-8写a+号号4r号 m+21m2 整现，得子a=4即么-分 1 a是以首项为1、公比为-2的等比数列，高中数学选择性必修第三册人教B版 5.3.2等比数列的前n项和 学习目标 变式训练1 1.探究解题方法，能够正确推导出等比 0)已知a=4,9=号，求8 数列的前n项和公式 (2)已知a=1,a=243,q=3,求Sk. 2.能够依据等比数列的前n项和公式， 求解一些简单的等比数列的前项和. 3.能够通过等比数列的前n项和公式， 逆向求解出等比数列的基本量， 要点精析 要点1求解一些简单的等比数列的前n· 项和 若等比数列{a)的首项为a,公比为 q,则等比数列{a}的前n项和公式为 na1,q=1, S=a(1-g）=a-a9,q≠1. I川要点2逆向求解出等比数列的基本量？ 1-q1-9 例1依据下列各题中的条件，求相应 例2在等比数列中： 的前n项和. (1)已知a=2,S3=26,求g和a2. (1)a=2,q=2,求S6 (2)已知a=-号，=6，求前4项 (2)已知q=7,$,求a和as 和S4. (20)学 第五章数列。 为0，则Sk,S4-S,S4-S成等比数列，且 变式训练② 公比为q (1)等比数列{a}中，公比g=-2,S= 例4在等比数列{a中，已知Sn=48, 44,则a2=（) S2=60,求Sn A.-8 B.-4 C.2 D.-2 (2)设正项等比数列{a}的前n项和 为Sm,若S2=3,S4=15,则公比g=（) A.2 B.3 C.4 D.5 川要点3等比数列奇偶和的性质及应用· 1.若都a}共有2nne项，则 2.若{a共有(2n+1)(n∈N)项，则 S-41=4: 5偶 例3若等比数列{a}的公比为2，且 a1+a+…+a9=20,则{a,}的前100项和为 分析 本题考查等比数列任意两项的 关系 B变式训练③ 一个项数为偶数的等比数列{a},全部 各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积 为64，则数列的通项公式为 B变式训练④ 川要点4等比数列前n项和的性质 (1)已知等比数列{a}的前n项和为Sn, S,=1,S1o=3,则a41+a2+a3+a4+a5等于（) 已知等比数列{a}的公比为g,前n项 A.4 B.6 和为Sn,则： C.8 D.2 (1)）Sm*=S+q"S (2)记Sn为等比数列{a}的前n项和， (2)若Sk,S-Sk,S-Sx(k∈N)均不 S12=12,S18=7S6,求S24的值为 学(21 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 若32S,=63a,则n=（) 数学文化 A.5 B.6 例数学家也有许多美丽的错误，如法 C.7 D.8 国数学家费马于1640年提出了F,=22+1(n 分析以数学文化为背景的等比数列 0,1,2,…)是质数的猜想，直到1732年 模型题的求解关键：一是会脱去数学文化 才被善于计算的大数学家欧拉算出F=641× 的背景，读懂题意；二是构建模型，即由 6700417不是质数.现设a=log4(F。-1)(n= 题意构建等比数列的模型；三是解模，即 1,2,…),Sn表示数列{a}的前n项和. 把文字语言转化为求等比数列的相关问题. (22)学