5.3.1 等比数列-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 -1,n=1, nn-1),a,=1 n(n-l),n≥2. 例3解：(1)选条件①：S=-45. 设al的公差为d,可得S=3a+32d=-45,解得 2 a+d=-15. 又由a=-17,可得d=2,故数列{a的公差d=2. 选条件②：a+a,=-24. 设{a}的公差为d,可得a+as=a+d+a+4d=-24,即 2a+5d=-24, 又由a=-17,可得d=2,故数列{a}的公差d=2. (2)方法一：由(1)，知首项a=-17,且公差d=2, 可得S=a+nld=m2-18m=(n-9)2-81, 2 ∴.当n=9时，S取得最小值，最小值为-81. 方法二：a=-17+2(n-1)=2n-19, 解不等式组a.≤0，即 2n-19≤0， a1>0, 2n-17>0, 解得n≤只， 2” .当n≤9时，a<0; 当n>9时，a>0, .当n=9时，S.取得最小值，最小值为-81. 变式训练3解：(1)由a=9,a4+a,=0,得a1+3d+a+ 6d-0,解得d=-2,∴.a,=0+(n-1)d=11-2m. (2)方法一：a=9,d-2,S,-9n+nn1.(-2)=-n2+ 10n=-(n-5)2+25,·.当n=5时，Sn取得最大值 方法二：由(1)，知a=9,d=-2<0,.{a}是递减 数列.令a≥0，则11-2n≥0，解得n≤号.n∈N, 2 ∴.n≤5时，a>0,n≥6时，a<0,∴.当n=5时，Sn取得最 大值， 变式训练4(1)证明：S=an+n(n-1),①则S-1= (n-1)a+(n-1)(n-2),② ①-②，可得a=na.-(n-1)an+2n-2台(1-n)a=-(n- 1)ar1+2(n-1)台a.-a=-2,故{a}为等差数列. (2)解：若当且仅当n=7时，S.取得最大值 Si>S6: 则有 a0,则 a-12>0, ”得 12<a<14,故a Si>Ss,as<0,ar-14<0, 26 的取值范围为(12,14). 例4（①A(2)A【解桥】（）受=号，放S S2=2S2. S2,S4-S,S6-S4,S-S为等差数列，故四项可分 别写成，2,35,45，故s=10s,S=38.故受 是放选A (2)·等差数列中，若m+n=p+9,则a+a,=0+0, 又等差数列的前n项和为S=n(a+a) 2 4+a5 2 2b)2(b)bstbo 小2b+h。6。+b。6动.+b =+=a+L=1=2x11-3-9.故选A b+b1:b1+bmTm-4x11-3-41 变式训练5解：(1)在等差数列中，S,S-Sm, Sn-Sm成等差数列，.30,70，Sm-100成等差数列， .2x70=30+(Sm-100),.Sm=210. 9(a+a】 2会00赏号 =Ag=9+33 2 数学文化 例C【解析】由题意，每天分发的大米升数构成等差 数列{a},设公差为d,则d=7x3=21,记第一天共分发 大米为a=64x3=192(升)，则前7天共分发大米7a,+ 7x(7-)xd=7a+21d=7×192+21×21-1785(升).故 2 选C 5.3等比数列 5.3.1等比数列 要点精析 例1CD【解析】当乘以的常数为0时，所得到的数列 不是等比数列，故A错误；b-O时不是等比数列，故B 错误；由等比数列的定义，若q=1,则u=l,即a1= L a,故C正确；由等比数列的定义可得各项与公比均不 能为0，若有一项为0，则比值没有意义，故D正确.故 选CD, 变式训练1D【解析】由等比数列的定义，可判断D 正确。 例2±2V2【解析】设两个数的等比中项是x,则x2= 2×4,x=±2V2. 变式训练24【解析】由题意，可知(a+2)2=2(d+ a-2),.a=4或a=-2（舍)，综上有a=4. 例3解：由题意，有a-5x2,则1-52-2， a.5x2 {a}是等比数列，且q=2.当n=1时，a=5x2=10. 变式训练3解：（山)设公比为，则公哥”号 as ag =,则g产号或之，005或-5 (②由通项公式，有a号×号兮，号” 多号，n-153,4 例4解：()在等比数列a中，au d=aaaa=子，ada=子 (2)化简条件，得(a6)2+2as+()2=49, 即(a6+a)2=49, a>0,∴a6+ag=7. 变式训练4(1)B(2)6【解析】(1)在等比数列 {a}中，a4a+2a6+as=12,则ai+2a6+a6=(2+a6)P=12, 则a+a6±2V3.故选B. (2){a}是等比数列，∴.aa=ai,aas=a，asw=a, .∴.aa;a6=(a1a7)(a28)(as)=(aa）(aas)=4x9=36.∴.a> 0,.∴.a4as6=6. 例5解：(1)g>1,a>0或0<g<1,a<0 (2)9>1,a<0或0<q<1,a>0 (3)9=1 (4)9<0 变式训练5(1)AC(2)A【解析】(1)当a> 0,0<g<1时，从第2项起，数列的每一项都小于前一 项，.数列{a}递减，故A正确； 当a>0,q<0时，{a}为摆动数列，故B错误； 当a<0,q>1时，数列{a}为递减数列，故C正确； a1-a,=ag(g-1)<0,当a>0时，q<1,此时a>1, Anl 当a<0时，9>L,a<L,故D错误.故选AC. 参考答案。 (2)当公比g<0且a<0时，a=a9>0,as=a92<0, 此时a<a2,a>a,{a}不递增，充分性不成立. 当等比数列{a}为递增数列时，a<2,显然必要性 成立.综上所述，“a<”是“(a}为递增数列”的必要 而不充分条件.故选A. 数学文化 例B【解析】由题意，可知所记录的数相当于五进制 数，.该渔民捕鱼2x5+2×5+4=64(条).故选B. 5.3.2等比数列的前n项和 要点精析 例1解：(1)由题意，可知 S=41-g2=2x(1-2)=126. 1-9 1-2 2)设公比为g,由a=子4=6， 得02=4=-64，.g=-4,。-)[1-（-4)'」15 1-(-4) 2 变式训陈1解：山522.号》】5山 1-q 64 2)8号-10-64 例2解：(1)S=+2+a,26=2(1+q+g2),解得q=3 或q=-4. 当q=3时，a=6；当q=-4时，a=-8. （2)公a+ataa-a(1+g产++g)=,解得 a=2,a=09产2 变式训练2(1)A(2)A【解析】(1)由S= a1-(-2)】=44,得a=4,a=a,q=-8.故选A 1-(-2) a(1-92)=3,① 1-9 (2)S2=3,S4=15,.9≠1，由 a(1-92-15,② 1-9 器得4义90,92放选六 例360【解析】令X=a+a+…+ag=20,Y=a+a4 +…+a4m,则So=X+Y. 由等比数列前n项和性质，知士92，Y=40, ∴.S10w=X+Y=60. 27第五章数列。 5.3 等比数列 5.3.1等比数列 学习目标 D变式训练① 1.能叙述等比数列和等比中项的定义， 下列各组数能构成等比数列的是() 能应用定义判断一个数列是否为等比数列. A方，石8 2.探索并记忆等比数列的通项公式，能 应用它解决等比数列的问题， B.1g3,1g6,lg27 3.能在具体问题情境中发现等比数列的 C.2,0,0 关系，并能用有关知识解决相应的问题 D.3,-3V3,9 要点精析 川要点2等比中项的定义 1.等比中项的定义：如果x,G,y是等 要点1应用定义判断一个数列是否为等 比数列 比数列，那么称G为x与y的等比中项 2.两个正数（或两个负数）的等比中项 主要体现在以下几个方面： 有两个，它们互为相反数.一个正数和一个 (1)在等比数列中，从第二项起后一项 负数没有等比中项. 与前一项的比值为定值， 例2两个数2,4的等比中项是 (2)等比数列的项不为零， 例1下面四个选项中，正确的有 变式训练2 A.由第1项起乘相同常数得后一项， 若2，a+2,+a-2成等比数列，则a= 这样所得到的数列一定为等比数列 B.常数列b,b,…,b一定为等比数列 要点3 能够应用等比数列通项公式解决， C.等比数列{a}中，若公比q=1,则 相关的问题 此数列各项相等 D.等比数列中，各项与公比都不能为零 主要体现在以下几个方面： 分析利用等比数列的定义 (1)给出通项公式会判断该数列为等比 数列 (2)能根据等比数列通项公式an=aug-1 17 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 求出首项和公比， 例3若数列{a}的通项公式为am=5× 川要点4等比数列的性质 2,这个数列是等比数列吗？如果是，求出 设数列{a}为等比数列，则： 首项a和公比q (1)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则 aia=amar (2)若m,p,n成等差数列，则am, ap,an成等比数列. 例4已知{an}为等比数列. ）若a子，求auia (2）若a>0,a,a+2a+a61=49,求a6+ag 变式训练3 (1)已知等比数列{a}中，a5=40,as= 10,求20. (2)若等比数列的首项为8，末项为 },公比为子，求这个数列的项数。 (18)学 第五章数列。 变式训练 B变式训练④ (1)(多选题)关于递减等比数列{a}, (1)在等比数列{a中，a1a+2a26+as= 下列说法正确的有() 12,则a2+a6=() A.当a>0时，0<g<1 A.2V3 B.±2V3 B.当a>0时，q<0 C.-2V3 D.-12 C.当a<0时，q>1 (2)已知在各项均为正数的等比数列{a D.dn<1 中，a1a3=4,aas-9,则a4sa6= antl (2)已知{a}(n∈N)为等比数列，则 川要点5等比数列的单调性 “a<a”是“{a}为递增数列”的() 例5等比数列{a}的首项为a,公比 A.必要而不充分条件 为q B.充分而不必要条件 (1)当 时， C.既不充分也不必要条件 数列为递增数列. D.充要条件 (2)当 时， 数学文化 数列为递减数列， (3)当 时， 例我国古代《周髀 11111111111111 数列为常数列. 算经》中记载，古人通过 (4)当 时， 在绳子上打结来记录数量， 数列为摆动数列. 即“结绳计数”.如图， 一位渔民在从右到左依次 图5-3 排列的绳子上打结，满五进一来记录捕鱼的 条数.由图可知，这位渔民共捕鱼() A.39条 B.64条 C.11条 D.224条 学 (19