5.2.2 等差数列的前n项和-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

5.2.2等差数 学习目标 1.熟练掌握等差数列的五个量a1,d, n,an,Sn的关系，能够由其中三个求另外 两个. 2.能用an与Sn的关系求an 3.理解好等差数列前n项和与二次函数 的关系，会求等差数列前n项和的最值 4.理解并能运用等差数列前n项和的 性质。 要点精析 川要点1等差数列前n项和的计算 用等差数列求和公式：①S.=n(a+a） 2 ②S=na+nm1)d解决相关问题. 2 例1(1)已知等差数列{a}中，a=2, 4+a5=6,求Sn (2)已知a=弓，d-分，5=-15，求m 和a2 (3)已知a=1,a=-512,Sn=-1022, 求公差d. 第五章数列。 列的前n项和 反思感悟 等差数列中计算基本量的两个技巧： (1)利用基本量求值.等差数列的通项 公式和前n项和公式中有五个量a,d,n, an和Sn,一般是利用公式列出基本量a1和 d的方程组，解出a和d,便可解决问题. 解题时注意整体代换的思想。 (2)利用等差数列的性质解题.等差数 列的常用性质：若m+n=p+q（m,n,P, 9∈N),则an+a,=0,+a,常与求和公式Sn= n(+m）结合使用， 2 B变式训练① (1)等差数列{a}的前n项和为Sn, 若44=-8，Sg=-9,则S18=() A.-162 B.-1 C.3 D.-81 (2)已知等差数列{a}满足a1=1,anm= 99,d=2,则其前m项和Sm等于 要点2等差数列的前n项和Sn与通项 am之间的关系 例2若数列a的前n项和为S=子 子，则数列al的道项a 反思感悟 知“和”求“项”方法步骤：(1)由S 构造Sn-1;（2)利用an=Sm-Sm1(n≥2)； (3)验证n=1;(4)写通项公式a 学 (13 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 P 变式训练2 (1)本例中若S=n2+2n+1,试求an (2)若将本例中的条件改为“a=-1,a= S.S”,试求an 反思感悟 (1)“和”变“项”.首先根据题目条 件，得到新式（与条件相邻），然后作差将 “和”转化为“项”之间的关系，最后求通 项公式 (2)“项”变“和”.首先将an转化为 Sn-Snl,得到Sn与Sn1的关系式，然后求Sm (14)学 要点3等差数列前n项和的最值 基本方法主要体现在以下几个方面： (1)先求出前n项和公式，再利用二次 函数求最值的方法求解。 (2)利用通项公式，根据等差数列的单 调性求解。 例3记Sn为等差数列{a}的前n项 和，已知a=-17,从以下两个条件中任选其 中一个给出解答.①S3=-45;②a2+a=-24. (1)求公差d. (2)求Sm,并求Sn的最小值， 分析(1)用基本量法.(2)利用二 次函数的最值来求数列的最值，但要注意 函数和数列的定义域不同. 反思感悟 等差数列前项和的最值有两种求解 方法：一种方法是类比二次函数求最值， 这里需要注意，数列问题是离散的，而二 次函数是连续的，所以在解题过程中要关 注其不同之处.另一种方法是利用等差数列 的通项公式，根据数列中项的符号来求等 差数列前n项和的最值.如果等差数列为增 数列，前n项和有最小值，如果等差数列 为减数列，前n项和有最大值， B变式训练③ 已知等差数列{an}中，a=9,a4+a=0. (1)求数列{a}的通项公式. (2)当n为何值时，数列{a}的前n 项和取得最大值？ 第五章数列。 B变式训练④ 记数列{an}的前n项和为Sn,对任意 n∈N,有Sm=n(a+n-1). (1)证明：{an}是等差数列 (2)若当且仅当n=7时，Sn取得最大 值，求a的取值范围. 川要点4等差数列前n项和的性质」 1.等差数列的依次每k项之和S,S% Sk,S-S,…组成公差为k2的等差数列. 2.(1)若等差数列的项数为2n(n∈ N),则S2n=n(an+at1)(an,an+1为中间两项) 且8s4=nd,-0 (2)若项数为2n-1,则S2m-1=(2n-1)am a为中间项》且S5.-日 学(15 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 例4(1)在等差数列{a}中，前n 项和为S, 景-分则袋() A B.I 8 C.o D (2)已知等差数列{a},{b}的前n项 和分别为S,Tn,若对于任意的自然数n, 都有会则27 2(b3+bg）b2+b1o ( A号 B号 c居 D. 20 41 B变式训练⑤ (1)等差数列{a}的前m项和为30， 前2m项和为100，求数列{a}的前3m项 的和S3nm (2)已知等差数列{a}与{b}的前n项 和分别为1，与成，芳盘2)，求会 的值 (16)学 数学文化 例朱世杰是历史上最伟大的数学家之 一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数 五问”中有如下问题：“今有官司差夫一千 八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人， 次日转多七人，每人日支米三升”其大意 为：“官府陆续派遣1864人前往修筑堤 坝，第一天派出64人，从第二天开始每天 派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每 人每天分发大米3升.”在该问题中前7天 共分发多少升大米？() A.1170 B.1440 C.1785 D.1772解这个方程，得n=44,故-121是该等差数列的第 44项」 (3)由(1)，知a=-3n+11, 解不等式-20≤-3n+11≤0，得号≤n≤2到 3 因此，该数列位于区间[-200,0]内的项从第4项 起直至第70项，共有67项 例3(1)解：-1，a,b,c,7成等差数列，b是-1 与7的等差中项，b=-1+7-3. 2 又a是-1与3的等差中项，a=+3=1.又c是 2 3与7的等差中项，=375. .该数列为-1,1,3,5,7. （2)30【解析】a+a4=2as,,∴.+2as+a14=4as=120, ∴.as=30,.2ay-a0=(ag+a0）-a40=0s=30. 变式训练3(1)BC【解析】a,b,c成等差数列， .2b=a+c,.△=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0，.∴.二次函 数y=a2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2. (2)解：.·(a2+5+ag)-(a1+a4+)=3d,(a3+a6+s)- (a+as+as)=3d,∴.a+a4+a,a+s+as,a+a6+a成等差数 列，.a+a6+0,=2(+s+s)-(a+a4+a,)=2×33-39=27. 数学文化 例解：设10人得金按等级依次设为a4,a,a,…, a0,则a1,a,a,…,ao成等差数列， a+a2+a=4, 且《 ar+as+ag+an=3, 设等差数列a,2,a,…,an的公差为d, |3a+3d=4, 则 解得kZ 4a+30d=3. 781 ..a+as+ac-(ar+a:+a)+9d-83 Γ261 5.2.2等差数列的前n项和 要点精析 例1解：(1)设等差数列{a}的公差为d,a2=2, a+d=2, ata5=6,∴. 2a+4d=6. 解得a=d1,=a+2少止7+n 2 参考答案。 2)成m20号-15，整理，得 m2-7n-60-0,解得n=12或n=-5（舍去)， ae3+(2-1x-}-4 (3)由S=naa2=n1,512）=-1022,解得n=4. 2 2 又由a=a+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d,解得d=-171. 变式训练1(1)D(2)2500【解析】(1)设等差 a+13d=-8, 数列{a}的公差为d,a4=-8,S,=-9, 9a+36d=-9. .19 a+13d=-8, \a9' 化简，得 .S8=18a1+153d=-81 art4d=-1,d= 故选D. (2)由am=a1+(m-1)d,得99=1+(m-1)x2,解得m= 50,.S=50x1+50x49x2=250. 2 例2专-1【解折1由S=号心-了当1时， S.-3(-lY-3(a-D), as-s子g号-l号-小专l 当1时，4号-了分，适合a号1， a=专a-l 变式训练2解：(1)由S=n2+2n+1=(n+1)尸，当n>1 时，S=n2,∴.a,=S-Sn=(n+1)2-2=2n+1.当n=l时，a= 4,n=1, 1+2+1=4,不适合a,=2n+1,故a= 2n+1,n≥2. (2）a+1=SS+1,且an+1=Sn+1-Sn,.Sn41-S=SS1, 之1即动寸1又号女1，侵是 SS 首项为小、公老为-1的等差数列，寸-1+-1(-) -,S。=-1 n 当n1时，&=a=88一+占 25 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 -1,n=1, nn-1),a,=1 n(n-l),n≥2. 例3解：(1)选条件①：S=-45. 设al的公差为d,可得S=3a+32d=-45,解得 2 a+d=-15. 又由a=-17,可得d=2,故数列{a的公差d=2. 选条件②：a+a,=-24. 设{a}的公差为d,可得a+as=a+d+a+4d=-24,即 2a+5d=-24, 又由a=-17,可得d=2,故数列{a}的公差d=2. (2)方法一：由(1)，知首项a=-17,且公差d=2, 可得S=a+nld=m2-18m=(n-9)2-81, 2 ∴.当n=9时，S取得最小值，最小值为-81. 方法二：a=-17+2(n-1)=2n-19, 解不等式组a.≤0，即 2n-19≤0， a1>0, 2n-17>0, 解得n≤只， 2” .当n≤9时，a<0; 当n>9时，a>0, .当n=9时，S.取得最小值，最小值为-81. 变式训练3解：(1)由a=9,a4+a,=0,得a1+3d+a+ 6d-0,解得d=-2,∴.a,=0+(n-1)d=11-2m. (2)方法一：a=9,d-2,S,-9n+nn1.(-2)=-n2+ 10n=-(n-5)2+25,·.当n=5时，Sn取得最大值 方法二：由(1)，知a=9,d=-2<0,.{a}是递减 数列.令a≥0，则11-2n≥0，解得n≤号.n∈N, 2 ∴.n≤5时，a>0,n≥6时，a<0,∴.当n=5时，Sn取得最 大值， 变式训练4(1)证明：S=an+n(n-1),①则S-1= (n-1)a+(n-1)(n-2),② ①-②，可得a=na.-(n-1)an+2n-2台(1-n)a=-(n- 1)ar1+2(n-1)台a.-a=-2,故{a}为等差数列. (2)解：若当且仅当n=7时，S.取得最大值 Si>S6: 则有 a0,则 a-12>0, ”得 12<a<14,故a Si>Ss,as<0,ar-14<0, 26 的取值范围为(12,14). 例4（①A(2)A【解桥】（）受=号，放S S2=2S2. S2,S4-S,S6-S4,S-S为等差数列，故四项可分 别写成，2,35,45，故s=10s,S=38.故受 是放选A (2)·等差数列中，若m+n=p+9,则a+a,=0+0, 又等差数列的前n项和为S=n(a+a) 2 4+a5 2 2b)2(b)bstbo 小2b+h。6。+b。6动.+b =+=a+L=1=2x11-3-9.故选A b+b1:b1+bmTm-4x11-3-41 变式训练5解：(1)在等差数列中，S,S-Sm, Sn-Sm成等差数列，.30,70，Sm-100成等差数列， .2x70=30+(Sm-100),.Sm=210. 9(a+a】 2会00赏号 =Ag=9+33 2 数学文化 例C【解析】由题意，每天分发的大米升数构成等差 数列{a},设公差为d,则d=7x3=21,记第一天共分发 大米为a=64x3=192(升)，则前7天共分发大米7a,+ 7x(7-)xd=7a+21d=7×192+21×21-1785(升).故 2 选C 5.3等比数列 5.3.1等比数列 要点精析 例1CD【解析】当乘以的常数为0时，所得到的数列 不是等比数列，故A错误；b-O时不是等比数列，故B 错误；由等比数列的定义，若q=1,则u=l,即a1= L a,故C正确；由等比数列的定义可得各项与公比均不 能为0，若有一项为0，则比值没有意义，故D正确.故 选CD,