5.2.1 等差数列-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第三册人教B版 5.2等差数列 5.2.1 等差数列 反思感悟 学习目标 判断一组数列是不是等差数列的方法 1.理解等差数列的概念，并能利用等差 是看它的后一项减前一项是不是同一个常数. 数列的定义判断或证明一个数列是否为等差 数列. B变式训练① 2.掌握等差数列的通项公式和等差中项 判断下列数列是否为等差数列. 的概念 (1)1,1,1,1,1. 3.掌握等差数列的性质，并能在具体问： (2)4,7,10,13,16. 题中正确应用. (3)-3,-2,-1,1,2,3. 4.了解等差数列与一次函数的关系， 要点精析 川要点1等差数列的概念相关问题 等差数列的定义：一般地，如果数列 {a}从第2项起，每一项与它的前一项之差 都等于同一个常数d,即a+-an=d恒成立， 则称{a}为等差数列，其中d称为等差数 列的公差： 川要点2等差数列的通项公式 例1判断以下数列是不是等差数列.如 果是，指出公差；如果不是，请说明理由 1.等差数列的通项公式有两个基本量： (1)7,13,19,25,31. 首项和公差d,故求通项公式主要是利用 (2)2,4,7,11. 方程思想解a,d. (3)-1,-3,-5,-7. 2.等差数列通项公式的两种形式： (1)an=a+(n-1)d. (2)an=am+(n-m)d. 3.等差数列通项公式的函数形式：a,= kn+b(k,b为常数)· 10)学 第五章数列。 例2(1)已知数列{a}为等差数列， B变式训练 子，=子，求as的值 已知等差数列8,5,2，… (2)已知数列{an}的通项公式为an=三 (1)求该数列的第20项！ 3n-5,判断这个数列是不是等差数列.如果 (2)试问-121是不是该等差数列的项？ 是，求出公差；如果不是，请说明理由 如果是，指明是第几项；如果不是，试说明 分析思路一：通过通项公式an=a+!: 理由. (n-l)d建立关于a,d的方程，求出4，d (3)该数列共有多少项位于区间[-200， 后，再求出a5；思路二：通过通项公式a=! 0]内？ am+(n-m)d求出d,然后再求出as 反思感悟 (1)应用等差数列的通项公式求a1和 d,运用了方程的思想.一般地，可由an=, 川要点3等差数列的性质 a,=b,求出a和d,从而确定通项公式.若 已知等差数列中的任意两项am,an,求通项 1.等差中项：如果x,A,y是等差数 公式或其他项时，则运用an=a,+(m-n)d较：： 列，那么称A为x与y的等差中项. 为简捷， 2.在等差数列{a}中，若m+n=p+g (2)数列{a是等差数列的充要条件：(m,,p,q∈N),则a+a=a,+a特别地， 是a=kn+b,其中k,b是常数. 若m+n=2p,则an+a,=2ar 学 11 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 例3 (1)在-1与7之间顺次插入三 数学文化 个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求 此数列. 例古代中国数学辉煌灿烂，在《张丘 (2)在等差数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 中，已知 $$a _ { 2 } + 2 a _ { 8 } +$$ 建算经》中记载：“今有十等人，大官甲等 $$a _ { 1 4 } = 1 2 0 ，$$ ，则 $$2 a _ { 9 } - a _ { 1 0 }$$ 的值为. 十人，官赐金，依等次差降之.上三人先入， 得金四斤，持出；下四人后入，得金三斤， 持出；中央三人未到者，亦依等次更给.问 各得金几何及未到三人复应得金几何.”这 段话的大致意思是：“一共有10个人，按 顺序得到的赏金成等差数列，前3个人得到 的赏金总质量为4斤，最后4个人得到的赏 金总质量为3斤，问每个人得到多少赏金， 未到的三个人得到多少赏金.”则该问题中 反思感悟 未到三人共得多少赏金? 数a，b，c成等差数列的充要条件是 分析根据题意，由条件可得10人得 $$b = \frac { a + c } { 2 }$$ (或 {2b=a+c})， ，可用来解决等差数列 金可构成等差数列，代入计算，即可得到 公差d，从而得到结果. 的判定或有关等差中项的计算问题. 变式训练3 (1)(多选题)若a，b，c成等差数列， 则二次函数 $$y = a x ^ { 2 } - 2 b x + c$$ 的图象与x轴的交 点的个数可能为() A.0 B.1 C.2 D.3 (2)在等差数列 $$\left\{ a _ { n } \right\}$$ 中，已知 $$a _ { 1 } + a _ { 4 } +$$ $$a _ { 7 } = 3 9 ， a _ { 2 } + a _ { 5 } + a _ { 8 } = 3 3 ，$$ ，求 $$a _ { 3 } + a _ { 6 } + a _ { 9 }$$ 的值. 12)学高中数学选择性必修第三册人教B版 a-a-=Inn-In (n-1), 将以上各式等号两边分别相加，得 a=2+ln2+(ln3-ln2)+(n4-ln3)+…+[lnn-n(n-1)] (n≥2)， ∵.a=2+lnn(n≥2) .a=2也适合上式，.∴.a,=2+lnn 变式训练3石【解折1a=山，-11+日3.放日 =2+1+-3+3=6,a=6 1 例4A【解析】方法一：a2=0-a,.as=ar2-a1=-a, 即a=a6,∴.数列{a中的项具有周期性，T=6.由a1= 1,a2=2,依次对am2=a+1-a.赋值，可得a=1,4=-1, a5=-2,a6=-1.一个周期内6项的和为0，而2022÷6= 337. .∴.数列的前2022项和S22=0.故选A 方法二：通过赋值计算得a=1,a2=2,a=1,a=-1, a=-2,a6=-l,a=1,as=2,…,发现数列{a}中的项具 有周期性，其余同上 变式训练4B【解析】a=-1,a2=-3,aa2=-3,·as= 3,a4=1,a5=-1,a6=-3,=3,s=1,…,.{a}是以4 为周期的周期数列，且a+a+a+a4=0,a21=a1=-1,a22 a2=-3,a2m3=a=3,.S2=505(a+a2+a+a4)+a++0=-1. 故选B. 例5解：当n=1时，a=S=2-30=-28: 当n≥2时， a=S-S =2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)] =4n-32. 经检验，n=1时，a,=-28=4×1-32也适合上式， ∴.a=4n-32. 变式训练5解：当n=1时，a=S=12-3×1+2=0; 当n≥2时，a=S。-Sw-=(n2-3n+2)-[(n-1)2-3(n-1)+ 2]=[n2-(n-1)2]-[3n-3(n-1)]+(2-2)=2n-1-3=2n-4. 0,n=1, .a=0不满足a=2n-4,.∴a= 2n-4,n≥2. 数学文化 例C【解析】1+3+3+5+5+7=24，故编号为26的佛塔 在第7行，呈宝瓶状.故选C 24 m5.2 等差数列 5.2.1等差数列 要点精析 例1解：(1)13-7=19-13=25-19=31-25=6，.该数 列是等差数列，且公差为6 (2).4-2=2,7-4=3,4-2≠7-4，.该数列不是等 差数列： (3)-3-(-1)=-5-(-3)=-7-(-5)=-2,.该数列是 等差数列，且公差为-2. 变式训练1解：(1)根据等差数列的定义，可知所给 数列是首项为1、公差为0的等差数列. (2)根据等差数列的定义，可知所给数列是首项为 4、公差为3的等差数列 (3)(-1)-(-2)≠1-(-1)，这个数列不是等差 数列 5 a4, 例2解：(1)方法一：由 7 a-4 /a+2k (11 4 aF4’ 得 解得 7 a+6d= 3 Γ4 d-4' aat(15-1t4+14x-子）-头 方法二：由=4+(7-3d,即-子=子+4u.解得 a+15-3t1xX-- (2)a1-a=3(n+1)-5-(3n-5)=3,.数列{a}是 等差数列，且公差为3. 变式训练2解：(1)记该等差数列为{a},公差为d, 由a=8,d=5-8=-3,得数列的通项公式是 a.=8-3(n-1)=-3n+11. 该数列的第20项2=-3×20+11=-49. (2)由(1)，知aw=-3n+11, 如果-121是这个数列的项，则方程-3n+11=-121有 正整数解. 解这个方程，得n=44,故-121是该等差数列的第 44项」 (3)由(1)，知a=-3n+11, 解不等式-20≤-3n+11≤0，得号≤n≤2到 3 因此，该数列位于区间[-200,0]内的项从第4项 起直至第70项，共有67项 例3(1)解：-1，a,b,c,7成等差数列，b是-1 与7的等差中项，b=-1+7-3. 2 又a是-1与3的等差中项，a=+3=1.又c是 2 3与7的等差中项，=375. .该数列为-1,1,3,5,7. （2)30【解析】a+a4=2as,,∴.+2as+a14=4as=120, ∴.as=30,.2ay-a0=(ag+a0）-a40=0s=30. 变式训练3(1)BC【解析】a,b,c成等差数列， .2b=a+c,.△=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0，.∴.二次函 数y=a2-2bx+c的图象与x轴的交点个数为1或2. (2)解：.·(a2+5+ag)-(a1+a4+)=3d,(a3+a6+s)- (a+as+as)=3d,∴.a+a4+a,a+s+as,a+a6+a成等差数 列，.a+a6+0,=2(+s+s)-(a+a4+a,)=2×33-39=27. 数学文化 例解：设10人得金按等级依次设为a4,a,a,…, a0,则a1,a,a,…,ao成等差数列， a+a2+a=4, 且《 ar+as+ag+an=3, 设等差数列a,2,a,…,an的公差为d, |3a+3d=4, 则 解得kZ 4a+30d=3. 781 ..a+as+ac-(ar+a:+a)+9d-83 Γ261 5.2.2等差数列的前n项和 要点精析 例1解：(1)设等差数列{a}的公差为d,a2=2, a+d=2, ata5=6,∴. 2a+4d=6. 解得a=d1,=a+2少止7+n 2 参考答案。 2)成m20号-15，整理，得 m2-7n-60-0,解得n=12或n=-5（舍去)， ae3+(2-1x-}-4 (3)由S=naa2=n1,512）=-1022,解得n=4. 2 2 又由a=a+(n-1)d, 即-512=1+(4-1)d,解得d=-171. 变式训练1(1)D(2)2500【解析】(1)设等差 a+13d=-8, 数列{a}的公差为d,a4=-8,S,=-9, 9a+36d=-9. .19 a+13d=-8, \a9' 化简，得 .S8=18a1+153d=-81 art4d=-1,d= 故选D. (2)由am=a1+(m-1)d,得99=1+(m-1)x2,解得m= 50,.S=50x1+50x49x2=250. 2 例2专-1【解折1由S=号心-了当1时， S.-3(-lY-3(a-D), as-s子g号-l号-小专l 当1时，4号-了分，适合a号1， a=专a-l 变式训练2解：(1)由S=n2+2n+1=(n+1)尸，当n>1 时，S=n2,∴.a,=S-Sn=(n+1)2-2=2n+1.当n=l时，a= 4,n=1, 1+2+1=4,不适合a,=2n+1,故a= 2n+1,n≥2. (2）a+1=SS+1,且an+1=Sn+1-Sn,.Sn41-S=SS1, 之1即动寸1又号女1，侵是 SS 首项为小、公老为-1的等差数列，寸-1+-1(-) -,S。=-1 n 当n1时，&=a=88一+占 25