5.1.2 数列中的递推-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

故选A. 变式训练8解：方法-：a-a=a+3)-(冬m-(n+2) (85g 当0<n<5时，am-a,>0,即a1>a; 当n=5时，a+-a,=0,即am1=an; 当n>5时，a-a<0,即am<ar 故有a<<a<aKas=a>a>ag>, .当n=5或n=6时，数列{a}有最大项，即数列 {a}第5项和第6项最大 方法二：= (n+3)8 7(n+3) 7"8(n+2) (n+2)8 令4u>l,则n+3>1,解得0<n<5； 8(n+2) 令4u=l,则m+3-L,解得=5： 8(n+2) 令a<l,则n+3<,解得心>5. 8(n+2) 又a>0,故有a<a<a<aKas=>a>ag>…, .当n=5或n=6时，数列{a}有最大项，即数列 {a}第5项和第6项最大. 方法三：假设{a有最大项，且最大项为第k项， a≥a1, 6+2冬广≥+1)g只， 则 即 a4≥a+1, +2尽广≥+3g“ 解得5≤k≤6，.{a}的最大项为第5项和第6项. 数学文化 2,n为偶数， 例a= 180【解析】观察此数列，可 2,n为奇数 n2-1 知当n为偶数时，a,=受；当n为奇数时，a=” 2 aw191=180. 2 5.1.2数列中的递推 要点精析 例1解：(1)2= 213= 4 1a4 a11 =2’a2 参考答案。 1 2, 45=161 1 a41 11111 从而a=2a-4as=4×164 (2).42-a1=3-2=1,a3-2=5-3=2,a4-=8-5=3,a5 a4=12-8=4, ·'.at广a=n,从而a=a6+6=a+5+6=12+11=23. (3)a-a1=3-2=1,a3-a=5-3=2,a4-ag=9-5=4,a5 a4=17-9=8. ·.a+1-a=2,从而a=6+2=0+24+2-17+16+32=65. 变式训练1B【解析】设数列1,3,6,10,15，…为 {a},则a2-a1=2,a3-2=3,a4-=4,45-a4=5,…,n=1 时，A、D不合题意；而C中不包含-=2，由此可得 数列{a}满足a.-am=n,n≥2，neN.故选B. 例2B【解析】由已知，得a,=-,可求a=分， an-1 a=-山，a2,数列a的周期为3，ma=分故 选B 变式训练2C【解析】根据递推关系，可得x,y,y- x,-x,-y,x-y,这6个数值依次重复出现，即可得数 列{a}的周期为6，·2ma46*=a=yx,故选C. 例3a,=2+ln【解析】方法一（观察法）：数列的前5 项分别为a2,-2+2,=(2+h2)+h子2+n3,a (2+ln3)+ln号-2+ln4,由此可猜想数列的通项公式为a= 2+Inn. 方法二（选代法）：aa+lh2,a=+n号，a=a+ In 4 ，…，a=0+ln n-1, 则a=at+ln2lh子+n号+…+h-2+lma≥2) n-1 又a=2也满足上式，.a=2+lm. 方法三（累加法）：a.-a-in1+分lhn+1)-ln, 4=2, az-a=In2, a3-az=In3-In2. a4-a=ln4-ln3,…, 23 高中数学选择性必修第三册人教B版 a-a-=Inn-In (n-1), 将以上各式等号两边分别相加，得 a=2+ln2+(ln3-ln2)+(n4-ln3)+…+[lnn-n(n-1)] (n≥2)， ∵.a=2+lnn(n≥2) .a=2也适合上式，.∴.a,=2+lnn 变式训练3石【解折1a=山，-11+日3.放日 =2+1+-3+3=6,a=6 1 例4A【解析】方法一：a2=0-a,.as=ar2-a1=-a, 即a=a6,∴.数列{a中的项具有周期性，T=6.由a1= 1,a2=2,依次对am2=a+1-a.赋值，可得a=1,4=-1, a5=-2,a6=-1.一个周期内6项的和为0，而2022÷6= 337. .∴.数列的前2022项和S22=0.故选A 方法二：通过赋值计算得a=1,a2=2,a=1,a=-1, a=-2,a6=-l,a=1,as=2,…,发现数列{a}中的项具 有周期性，其余同上 变式训练4B【解析】a=-1,a2=-3,aa2=-3,·as= 3,a4=1,a5=-1,a6=-3,=3,s=1,…,.{a}是以4 为周期的周期数列，且a+a+a+a4=0,a21=a1=-1,a22 a2=-3,a2m3=a=3,.S2=505(a+a2+a+a4)+a++0=-1. 故选B. 例5解：当n=1时，a=S=2-30=-28: 当n≥2时， a=S-S =2n2-30n-[2(n-1)2-30(n-1)] =4n-32. 经检验，n=1时，a,=-28=4×1-32也适合上式， ∴.a=4n-32. 变式训练5解：当n=1时，a=S=12-3×1+2=0; 当n≥2时，a=S。-Sw-=(n2-3n+2)-[(n-1)2-3(n-1)+ 2]=[n2-(n-1)2]-[3n-3(n-1)]+(2-2)=2n-1-3=2n-4. 0,n=1, .a=0不满足a=2n-4,.∴a= 2n-4,n≥2. 数学文化 例C【解析】1+3+3+5+5+7=24，故编号为26的佛塔 在第7行，呈宝瓶状.故选C 24 m5.2 等差数列 5.2.1等差数列 要点精析 例1解：(1)13-7=19-13=25-19=31-25=6，.该数 列是等差数列，且公差为6 (2).4-2=2,7-4=3,4-2≠7-4，.该数列不是等 差数列： (3)-3-(-1)=-5-(-3)=-7-(-5)=-2,.该数列是 等差数列，且公差为-2. 变式训练1解：(1)根据等差数列的定义，可知所给 数列是首项为1、公差为0的等差数列. (2)根据等差数列的定义，可知所给数列是首项为 4、公差为3的等差数列 (3)(-1)-(-2)≠1-(-1)，这个数列不是等差 数列 5 a4, 例2解：(1)方法一：由 7 a-4 /a+2k (11 4 aF4’ 得 解得 7 a+6d= 3 Γ4 d-4' aat(15-1t4+14x-子）-头 方法二：由=4+(7-3d,即-子=子+4u.解得 a+15-3t1xX-- (2)a1-a=3(n+1)-5-(3n-5)=3,.数列{a}是 等差数列，且公差为3. 变式训练2解：(1)记该等差数列为{a},公差为d, 由a=8,d=5-8=-3,得数列的通项公式是 a.=8-3(n-1)=-3n+11. 该数列的第20项2=-3×20+11=-49. (2)由(1)，知aw=-3n+11, 如果-121是这个数列的项，则方程-3n+11=-121有 正整数解.5.1.2数 学习目标 1.能根据数列中的部分项发现并写出数 列的递推关系式。 2.会根据数列的递推关系求数列中的项. 3.会根据数列的递推关系用迭代法、累 加法、累乘法求数列的通项公式 4.会用前n项和Sn与通项an的关系求 数列的通项公式. 要点精析 川要点1数列的递推关系 如果已知数列的首项（或前几项），且 数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用 一个公式来表示，则称这个公式为数列的递 推关系（也称为递推公式或递归公式） 思考递推公式与通项公式有什么联 系和区别？ 例1写出下列数列的一个递推关系 式，并求出各个数列的第7项， 1,方4g6 … (2)2,3,5,8,12,… (3)2,3,5,9,17,… 分析考虑相邻两项的差或比的关系 即可得到. 第五章数列。 列中的递推 B变式训练① 数列1,3,6,10,15，…的递推公式 可以是() A.a+i=an+n,n∈N B.an=anr1+n,n≥2，neN C.a+1=an+(n+l),n≥2，n∈N D.a,=am-+(n-l),n∈N,n≥2 川要点2根据数列的递推关系求数列的项！ 例2设数列{a}中，a=2,a,+1=l (n≥2且n∈N),则a22=（） A.-1 B C.2 D.3 分析根据数列递推关系式求解数列 的周期，再利用数列的周期性求解数列的项. B变式训练② 已知数列{a}满足a1=x,a2=y,且an1= a-an1(n≥2)，则a2om=（) A.x B.y C.y-x D.-x 川要点3由递推公式求通项公式 由递推公式求通项公式常用的方法： (1)归纳法：从特例入手，归纳、猜想 数列的通项公式，一般是依次写出前几项， 观察项与项的序号的关系，从中寻找规律写 出通项公式.(2)从一般入手，根据递推公 高中数学选择性必修第三册人教B版 式，充分运用迭代、累加、累乘、化归等常 用方法推导出通项公式. 例3已知a4=2,a1=a,+ln1+1 (n∈ n N),则数列{a}的通项公式为 分析利用an1与a,之差等于f(n)= n1+日而o)可以进行案项求和，具体 根据递推关系式写出(n-1)个等式，再把 这些等式两边分别相加，即可得到n≥2时 的am,但要注意验证n=1时是否满足通项 公式的情况. 反思感悟 形如an+-a,f(n)的递推关系，可以考 虑用迭代法或累加法求通项公式。 B变式训练③ 已知数列a,}中，a=l,1-1=n+l, an+l an 则其第3项为 川要点4数列的前n项和 一般地，给定数列{an},称Sn=a+2+ a+…+a,为数列{an}的前n项和. 例4已知数列{an}满足：对任意的 n∈N均有an+2=a+1-an成立，且a=1,a2=2, 则该数列的前2022项和S2=（) A.0 B.1C.3 D.4 分析根据an2=a+1-an可知，数列{an 具有周期性，即可解出， B变式训练④ 在数列{a}中，a=-1,a2=-3,a,n2=-3, 记数列{a}的前n项和为S,则S2=() 8 学 A.-3 B.-1 C.0 D.3 l要点5已知Sa,求an 例5已知数列{a}的前n项和为Sn, 且n=2n2-30n,求数列{a}的通项公式， S1,n=1, 分析利用an= 即可 lSn-Sn-1,n≥2， 求解」 反思感悟 (S,n=1, 已知Sm=f(n),利用a= Sn-Snl,n≥2 求a,时，特别要注意分n=1和n≥2两种情 况进行讨论，还要判断两种情况结果能 否合并 变式训练5 已知在数列{a}中， 2,求an. 第五章数列。 数学文化 前n项和S=n2-3n+ 例一百零八塔是中国现存的大型古塔 群之一，位于银川市南60公里的青铜峡水 库西岸崖壁下，佛塔依山势自上而下，按 1,3,3,5,5,7,9,11,13,15,17,19 的奇数排列成十二行，塔体分为4种类型： 第1层塔身覆钵式，2~4层为八角鼓腹锥顶 状，5~6层呈葫芦状，7~12层呈宝瓶状.现 将一百零八塔按从上到下、从左到右的顺序 依次编号1,2,3,4，…，108.则编号为 26的佛塔所在层数和塔体形状分别为() A.第5行，呈葫芦状 B.第6行，呈葫芦状 C.第7行，呈宝瓶状 D.第8行，呈宝瓶状 学 9