5.1.1 数列的概念-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册学习手册（人教B版）

第五章数列。 第五章数列 5.1数列基础 5.1.1数列的概念 ①数列1,3,5,7,9和数列9,7,5， 学习目标 3,1是相同的数列； 1.了解数列的定义及有关概念. ②-4，-2,0，x,4,6是一个项数为6 2.能根据数列的前几项写出数列的一个 的数列； 通项公式， ③{0,1,2,3,4,5}是有穷数列； 3.能根据数列的通项公式求解或判断项. ④所有正整数构成的数列是无穷数列； 4.能根据数列的通项公式判断数列的增 ⑤数列1,2,3,4，…，n是无穷数列 减性，并能根据增减性求参数的取值范围和 分析结合数列的定义以及有穷数列 求数列的最大项和最小项， 和无穷数列的定义即可进行判断 要点精析 ③变式训练① (多选题)下列说法正确的有() 川要点1数列的有关概念 A.数列的项必须是数 1.数列：按照一定次序排列的一列数称 B.数列的项可以相等 为数列 C.数列中的项与项的序号是相同的 2.数列的项：数列中的每一个数都称为 D.数列5,3,2,7,6,5的首项为5， 这个数列的项，第1项称为首项， 末项为5 3.数列的项数：组成数列的数的个数称 川要点2数列的通项公式 为数列的项数， 4.有穷数列与无穷数列：一般地，项数 1.数列的通项：数列的一般形式可以写 有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列：成a,a2,as,…,a,…,其中an表示数列 称为无穷数列，有穷数列的最后一项一般也： 的第n项（也称n为a,的序号，其中n为正 称为末项 整数，即n∈N),称为数列的通项.此时， 例1下列说法正确的有 一般将整个数列记为{an}· 高中数学选择性必修第三册人教B版 思考{a}与a.有什么区别？ 反思感悟 2.数列的通项公式：一般地，如果数列 寻找a.与n的关系，首先要观察每项 的第n项an与n之间的关系可以用af(n) 的特点，考虑写成结构相同的形式，再考 来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知 虑每项的构成，每一部分用表示，可以 数的表达式，则称上述关系式为这个数列的 结合常见的差为定值、比为定值，或是指 一个通项公式。 数型心，或是幂型，或是在此基础上的 思考数列一定都有通项公式吗？如 变化，复杂的还需要考虑各部分之间的关 果有，通项公式唯一吗？ 系，对于正负交错的需要考虑(-1)”或 例2写出以下各数列的一个通项： (-1)*1或(-1)，对于间隔几项才具有相 公式： 同规律的可以考虑分段的形式或是用三角 )分，3，，8，， 函数来表示」 (2)-V3,3,-3V3,9,; ⑧变式训练2 (3)-1,0,-1,0,-1,0,…; 写出数列{an}的前5项： (4)9,99,999,9999,… (1）a,=2n+3. 分析根据数列的规律得到数列的通 (2)a=3. 项公式，即可确定结论，具体可以考虑 些常见的数列，比如差值相同，比值相同， (3)a=3(2-1)· a(a为常数)，n(a为常数)，或是在这 1,n为奇数， (4)a= 些数列的基础上进行变化得到的， 2n-1,n为偶数. (2)学 第五章数列。 B变式训练③ 下图中的三角形称为谢尔宾斯基(Sier pinski)三角形.图中从左向右的四个三角形 中，着色三角形的个数依次构成一个数列的 前4项，则这个数列的一个通项公式为 3 图1 图2 图3 图4 图5-1 A.an=3-1 B.a=3” C.an=3"-2n D.a=3-+2n-3 要点3应用数列的通项公式求解项、 项数或判断项 例3 已知数列{a}的通项公式为a= 3nm-2 3n+1 (1)求这个数列的第11项. (2) 器是不是该数列中的项？为 什么？ (3)在区间号，圣 内是否有数列中 反思感悟 (1)求指定的项，可以对n进行取值， 的项？若有，求出有几项；若没有，请说明 并代入通项公式运算即可.(2)判断给定的 理由. 数是否为数列的项，可以借助an和给定的 分析 (1)在通项公式中，令n=11, 数，建立关于n的方程，看方程是否有正 计算即得解.(2)令3n-2=98 3n+l10,结合n∈ 整数解来判断.(3)判断给定范围内是否有 N即得解.(3)令}<3n-2<3,结合n∈ 数列中的项，可以借助an和给定的范围， 33n+14 建立关于n的不等式，根据整数解的情况 N*即得解 即可判定」 学 高中数学选择性必修第三册人教B版 例4已知数列{a}的通项公式a,= 变式训练4 kn 2n+3 (k∈R). 已知数列a=n2-n-12. (1)当k=1时，判断数列{a}的单调性. (1)求该数列的第6项. (2)判断30是否为这个数列的项，并 (2)若数列{an}是递减数列，求实数k 的取值范围. 说明理由。 分析数列的单调性问题可以由作差 (3)在(0,30)内，是否存在该数列 法求得」 的项？若存在，求出有几项；若不存在，请 说明理由. 要点4数列的增减性的判定及根据增 减性求参数范围 变式训练5 1.数列与函数的关系：数列{an}可以 看成定义域为正整数集的子集的函数，数 在数列a中，a=(+D9”(ne 列中的数就是自变量从小到大依次取正整数 N),试判断数列{a}的增减性 值时对应的函数值，而数列的通项公式也 就是相应函数的解析式，因此数列在平面 直角坐标系中表示一群孤立的点。 2.数列的增减性：从第2项起，每一 项都大于它的前一项的数列称为递增数列： 从第2项起，每一项都小于它的前一项的 数列称为递减数列；各项都相等的数列称 为常数数列（简称为常数列）· 思考数列的增减性与函数的增减性 之间有什么关系？ 4 第五章数列。 变式训练⑥ (1)已知数列{a}是递增数列，且其 通项公式为a=n+入n,则实数入的取值范 围是() A子+ B.[0,+∞) C.[-2,+∞)》 D.(-3,+0) (2)已知数列{a}满足 d7,n≤8， (n∈N),若对 任意neN, 都有an>al, 则实数a的取值 范围是( Ao,号 B0,3 c3, D32 反思感悟 对于数列中最大或最小项问题，主要 川要点5求数列的最大项与最小项 有三种思考方法：一是利用数列对应的函 数的增减性，二是利用数列的增减性的定 例5已知数列{an}的通项公式为am= 义， 三是利用相邻三项比较列不等式组， -2n2+15n-15,求数列{a}的最大项. 分析对于本题求最大项问题：一是 变式训练⑦ 利用作差比较al与an的大小或是利用二 次函数的性质确定数列增减性，即可确定 已知数列{a,)的通项公式为a,=2-15, 数列的最大项；二是比较相邻三项，列不 其最大项和最小项的值分别为() an≥a+l, 等式组 解出n,即可确定最大项. A1,月 B0,7 an≥a-l, D1, 学 5 N 高中数学选择性必修第三册人教B版 变式训练8 数学文化 已知数列{a}的通项公式为a=(n+2)· 例大衍数列来源于《乾坤谱》中对易 (ne). 传“大衍之数五十”的推论，主要用于解 数列{a}有没有最大项？ 释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中 若有，求出最大项的项数；若没有，请说明 的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经 理由. 历过的两仪数量总和，是中华传统文化中 隐藏的世界数学史上第一道数列题.其前10 项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40， 50,则此数列的通项公式为 此数列的第19项为 (6)学N参考答案 学习手册参考答案 第五章 >m5.1数列基础 51.1数列的概念 要点精析 例1④【解析】①数列是按照一定次序排列的一列数， 因此次序改变时，数列就改变了，故①中两个数列不是 相同的数列，故①错误； ②当x代表数时是项数为6的数列，当x不代表 数时便不是数列，如x表示式子b2-3=b,故②错误； ③0,1,2,3,4,5}是集合，不是数列，故③ 错误； ④正整数有无限个，故所有正整数构成的数列是 无穷数列，故④正确； ⑤数列1,2,3,4，…，n共有n项，是有穷数 列，故⑤错误， 变式训练1ABD【解析】根据数列的定义，数列是按 照一定次序排列的一列数，故A正确；同一个数在一个 数列中可以重复出现，即数列的项可以相等，故B正 确；数列中的项与项的序号是不同的，数列中的项是数 列中某一确定的数，而项的序号是指这个数在数列中的 具体位置，故C错误；数列5,3,2,7,6,5的第一 项为首项，最后一项为末项，都是5，故D正确.故选 ABD. 例2解：(1)把其中的整数改写为分母为2的分数形 式，则发现分母为2，分子每一项减去前一项之差为5， ·.可以写出该数列的一个通项公式为a=5n4 2 (2)先把根号外的正数移到根号里，再把每项看成 两部分的乘积，可以得到a=(-1)V3. (3)方法一：若按奇偶项来考虑，可以写成分段的 参考答案。 数列 形式，a= -1,n为奇数 0,n为偶数. 方法二：对于这种奇数项为-1、偶数项为0的数 列，也可以考虑利用数列)”1来表示，写成a= 2 -1+(-1) 2 方法三：若考虑项数每差2，项相同，考虑借助三 角函数来表示，可以写成a=一m受 (4)各项加1后变为10,100,1000,10000，…， 此数列的通项公式为10，可得原数列的通项公式为a,= 10-1. 变式训练2解：(1)由a=2n+3,可得a=5,=7, a=9,a4=11,a=13. (2)由a,=3,可得a=3,a2=3,=3,a4=3,a=3. (3)由a=号2-)，可得4=行，a=1,a=号，&= 1,n为奇数， (4)由a.=2-1,n为偶数， 可得a=1,a2=3,a= 1,a4=7,45=1. 变式训练3A【解析】每一次变化，灰色的三角形个数 都变为原来的3倍，考虑a=1,∴aw=3.也可以考虑列 出前4项：1,3,9,27，再结合规律得到a,=3.故选A 例3解：)对于a额子，令a山，得第1项 31 a34 2)令子器，得四eN “器不是该数列中的项 21 高中数学选择性必修第三册人教B版 ，则 (3)令}<加-2< 3n+1<9n-6. 33n+1 12n-8<9n+3, 解得名<号 ,11 又：n∈N,∴n=2或n=3 “区间兮，子)内有数列中的项，且有两项。 变式训练4解：(1)令n=6,得a6=62-6-12=18,.该 数列的第6项为18. (2)令2-n-12=30,即n2-n-42=-0,解得n=7或 n=-6..n∈N,n=7,.30是该数列的第7项. n2-n-12>0, (3)令0<m2-n-12<30,即 n2-n-42<0, 解得-6<n<-3或4<n<7. n∈N,n=5,6,.在(3,30)内存在数列的第 5项和第6项. 例4解：（当1时，a23a州a a的237nt2t0,故数列a是递指 3 数列. (2)若数列{a}是递减数列，则a1-a.<0恒成立， 即a1-a,=ntk-hm 2n+52n+3(2+5(2n+3)<0恒成立.： 3k (2n+5)(2n+3)>0,.必有3k<0,故k<0. 变式训练5解：令a>1(n≥2)，即 On-1 1 整理得+1，解得<I0 n10 令>1，即 ( (+l n+2)10>,整理，得t号>0 n+2111 解得n>9. .数列{a}从第1项到第9项递增，从第10项起 递减 变式训练6(1)D(2)C【解析】(1)方法一： 由{a是递增数列且a=n2+n,得a-a=(n+1)P+入(n+1) -(n2+n)=2n+1+A>0对neN恒成立，A>[-(2n+1)]m, 即λ>-3. 方法二：数列{a}对应的函数为f(x)=x2+x,其图 22 象如图所示，由{a}是递增 数列，得-合<合解得 λ>-3. 故选D 4 (2)由题意，可知数列 {a}为递减数列， =-2 变式训练6答图 0ka<1, 1 /3<0, 解得}a<l.放选C 心3-a9+2, 例5解：方法一：a-2n-1g5.:neN当 n=4时，an取得最大值 又a4=-2×42+15x4-15=13, .数列{a}的最大项为13. 或考虑函数x)=-2+15-15-2x-+15。 81 ✉)在1，上单湖递增，在早.+上单调递减， 且f4)f3),∴.{a}的第4项最大. a4=-2×4415×4-15=13,∴.数列{a}的最大项为13. 方法二：au+1-a=[-2(n+1)2+15(n+1)-15]-(-2n2+ 15n-15)=13-4n, .当1≤n≤3时，a>aw;当n≥4时，a1<an.又 a<a4,.{a}的第4项最大. a4=-2×42+15×4-15=13,.数列{a}的最大项为13. 方法三：设数列{a}的第n项最大， a,≥aa,即 -2n2+15m-15≥-2(n+1)415(n+1)-15, a≥a, -2n2+15m-15≥-2(n-1)2415(n-1)-15, 解得孕≤n≤子 4 neN,∴n=4,.{a}的第4项最大.a4=-2×42+ 15×4-15=13,∴.数列{a}的最大项为13. 变式训练7A【解析】n∈N,∴.当1≤n≤3时，a= 2-15<0,且单凋递减； 1 当n≥4时，a250,且单调递减，且a25 1 一方最小项为a357,最大项为a5l 故选A. 变式训练8解：方法-：a-a=a+3)-(冬m-(n+2) (85g 当0<n<5时，am-a,>0,即a1>a; 当n=5时，a+-a,=0,即am1=an; 当n>5时，a-a<0,即am<ar 故有a<<a<aKas=a>a>ag>, .当n=5或n=6时，数列{a}有最大项，即数列 {a}第5项和第6项最大 方法二：= (n+3)8 7(n+3) 7"8(n+2) (n+2)8 令4u>l,则n+3>1,解得0<n<5； 8(n+2) 令4u=l,则m+3-L,解得=5： 8(n+2) 令a<l,则n+3<,解得心>5. 8(n+2) 又a>0,故有a<a<a<aKas=>a>ag>…, .当n=5或n=6时，数列{a}有最大项，即数列 {a}第5项和第6项最大. 方法三：假设{a有最大项，且最大项为第k项， a≥a1, 6+2冬广≥+1)g只， 则 即 a4≥a+1, +2尽广≥+3g“ 解得5≤k≤6，.{a}的最大项为第5项和第6项. 数学文化 2,n为偶数， 例a= 180【解析】观察此数列，可 2,n为奇数 n2-1 知当n为偶数时，a,=受；当n为奇数时，a=” 2 aw191=180. 2 5.1.2数列中的递推 要点精析 例1解：(1)2= 213= 4 1a4 a11 =2’a2 参考答案。 1 2, 45=161 1 a41 11111 从而a=2a-4as=4×164 (2).42-a1=3-2=1,a3-2=5-3=2,a4-=8-5=3,a5 a4=12-8=4, ·'.at广a=n,从而a=a6+6=a+5+6=12+11=23. (3)a-a1=3-2=1,a3-a=5-3=2,a4-ag=9-5=4,a5 a4=17-9=8. ·.a+1-a=2,从而a=6+2=0+24+2-17+16+32=65. 变式训练1B【解析】设数列1,3,6,10,15，…为 {a},则a2-a1=2,a3-2=3,a4-=4,45-a4=5,…,n=1 时，A、D不合题意；而C中不包含-=2，由此可得 数列{a}满足a.-am=n,n≥2，neN.故选B. 例2B【解析】由已知，得a,=-,可求a=分， an-1 a=-山，a2,数列a的周期为3，ma=分故 选B 变式训练2C【解析】根据递推关系，可得x,y,y- x,-x,-y,x-y,这6个数值依次重复出现，即可得数 列{a}的周期为6，·2ma46*=a=yx,故选C. 例3a,=2+ln【解析】方法一（观察法）：数列的前5 项分别为a2,-2+2,=(2+h2)+h子2+n3,a (2+ln3)+ln号-2+ln4,由此可猜想数列的通项公式为a= 2+Inn. 方法二（选代法）：aa+lh2,a=+n号，a=a+ In 4 ，…，a=0+ln n-1, 则a=at+ln2lh子+n号+…+h-2+lma≥2) n-1 又a=2也满足上式，.a=2+lm. 方法三（累加法）：a.-a-in1+分lhn+1)-ln, 4=2, az-a=In2, a3-az=In3-In2. a4-a=ln4-ln3,…, 23