9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 9.3 数学探究活动：得 基础练习 一、选择题 1.某班同学利用课外实践课，测量A, B两地之间的距离，在C处测得A,C两地 之间的距离是4km,B,C两地之间的距离 是6km,且∠ACB=60°，则A,B两地之间 的距离是() A.2V7 km B.4V3 km C.2V19 km D.6V2 km 2.如图，在高速公路建设中，要确定隧 道AB的长度，工程人员测得隧道两端的A, B两点到C点的距离分别为AC=3km,BC= 4km,且∠ACB=60°，则隧道AB长度为 A.3 km B.4km C.V13 km D.V17 km 第2题图 第3题图 3.如图，设A,B两点在河的两岸，为 测量A,B两点间的距离，小明同学在A的 同侧选定一点C,测出A,C两点间的距离 为80m,∠ACB=行，∠BHC=写，则小明 同学计算出的A,B两点间的距离为() A.40v6 m (16)练 到不可达两点之间的距离 B.40(1+V3)m C.40V3 m D.40(V2+V6)m 4.如图，为了测量河 对岸两点C,D间的距 离，现在沿岸相距2km 的两点A,B处分别测得 ∠BAC=105°，∠BAD= 第4题图 60°，∠ABC=45°，∠ABD=60°，则C,D间 的距离为（ A.V2 km B.2 km C.4V2 km D.4km 5.小李在某大学测 D 绘专业学习，节日回家， 来到村头的一个池塘 PP (如图阴影部分)，为了 第5题图 测量该池塘两侧C,D两点间的距离，除了 观测点C,D外，他又选了两个观测点P, P2,且PP=a,已经测得两个角∠PPD=a, ∠PPD=B,由于条件不足，需要再观测新的 角，则利用已知观测数据和下面三组新观测 的角的其中一组，就可以求出C,D间距离 的是() ①∠DPC和∠DCP:②∠PPC和∠PCP: ③∠P,DC和∠DCP. A.①② B.①②③ C.①③ D.②③ 6.(多选题)在△ABC中，内角A,B, C的对边分别为a,b,c,a≠c,tanB=2V2, △ABC的面积为2V2,则b2可能取到的 la-cl 值为() A.4V3 B.2V2 C.4V2 D.2V3 7.如图所示，为了测量A,B处岛屿的 距离，小明在D处观测A,B分别在D处的 北偏西15°、北偏东45°方向，从D处再往 正东方向行驶40 n mile至C处，观测B在 C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方 向，则A,B处岛屿间的距离为( A.20v6 n mile B.40V6 n mile C.20(1+V3 n mile D D.40 n mile 第7题图 二、填空题 8.如图所示，D,C,B在地平面同一直 线上，DC=10m,从D,C两地测得A点的 仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高 AB= D30°人45 第8题图 第9题图 9.《九章算术》中记载了一个“折竹抵 地”问题，当超强台风“摩羯”登陆时再现 了这一现象（如图所示），不少大树被大风折 断.某路边一树干被台风吹断后（没有完全 断开)，树干与地面成75°角，折断部分与地 面成45°角，树干底部与树尖着地处相距 10m,则大树原来的高度是 m.(结 果保留根号)》 第九章解三角形。 10.如图所示， 有一条笔直的山路 150° BC,现在又新架设 7D 1209 了一条索道AC.小明 B 在山脚B处看索道 第10题图 AC,此时视角∠ABC=120°，从B处攀登 200m到达D处，回头看索道AC,此时视角 ∠ADC=150°，从D处再攀登300m到达C 处.则这条索道AC长为m. 11.在地面上某处，测得塔顶的仰角为 0,由此处向塔走30m,测得塔顶的仰角为 20,再向塔走10V3m,测得塔顶的仰角为 40,则角0的度数为 三、解答题 12.数学实践活动小组到附近的湿地公 园测量园内雕塑的高度.如图，用测角仪在A 处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕 塑方向前进4m至B处，测得仰角为45°.问 该雕塑有多高.（测角仪高度忽略不计，结果 不取近似值) 130 人45° B 第12题图 练 17 N 高中数学必修第四册人教B版 13.某市一湿地公园建设项目中，拟在 如图所示一片水域打造一个浅水滩，并在 A,B,C,D四个位置建四座观景台，在凸 四边形ABCD中，AB=V3km,AD=BC= CD=1 km. (1)用cosA表示cosC. (2)现要在A,C两处连接一根水下直 管道，已知cos4=V3,问最少应准备多少 6 千米管道.（结果可用根式表示） 第13题图 (18)练 提升练习 14.如图，为了测量某湿地A,B两点 间的距离，某观察者找到在同一直线上的三 点C,D,E.从D点测得∠ADC=67.5°，从 C点测得∠ACD=45°，∠BCE=75°，从E点 测得∠BEC=60°.若测得DC=2V3,CE= V2,则A,B两点间的距离为() 第14题图 A.V6 B.2V2 C.3 D.2V3 15.在一次抗洪抢险中，某救生艇的发 动机突然发生故障停止转动，失去动力的救 生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°， 风速是20km/h;水的流向是正东，流速是 20kmh,若不考虑其他因素，则救生艇在 洪水中漂行的速度的方向为北偏东 大小为 km/h.N 高中数学必修第四册人教B版 15km才能到达A城. 12.10Y2【解析】b2-d+c2-2 accosB=-(ate2-2ac-(1+ 27 c0sB,又62.ac6,cos号，则ac9,解得a3,c3.在 △ABC中sinB=V-cosB=4Y2,由正弦定理，得sin4= 9 _27.ac,A为能角.cos4-=Vm=号， b 3 故sin(4-B)=sin4·cosB-cosA.sinB=-10Y2 27 13.(1)证明：由正弦定理，得sinB.cosA-sinA·cosB= 2sinC=2sin(A+B)=2sinA·cosB+2cosA·sinB,展开并整理， 得sinB.cosA=-3sinA·cosB,∴.tanB=-3tanA (2)解：b2+e2-+V3bc,则cos4=2e2-d=V3bc 2bc 2bc =,由0<1<，得4=g,m1=写，a8= 2 3 -V3.又0<B<,得B=2,C=石，a,由Sm 之mn-分x3V3,解得a2 2 4解：①设BC=:(m,由条件，可知AC=+合× 340=x+40(m)·在△ABC中，由余弦定理，可得BC2= AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC,即x2=1002+(x+40)2-2×100× (x+40) 7,解得x=380;4C=380+40=420(m),故A, C两地的距离为420m. (2)在△ACH中，AC-420(m),∠HAC=30°，∠AHC= 90°-30°=60°，由正弦定理，可得，AC HC sin LAHC=sin∠HAC' 即420 HC 420x1 sin60°sin30，HC =140V了(m),故这种 2 仪器的垂直弹射高度为140V√3m. >n9.3 数学探究活动：得到不可达 两点之间的距离 1.A【解析】由余弦定理，可得AB=AC2+BC2-2AC· BCc0 SLACB=-4+6-2x4x6×2=28,则AB=2V7.故选A 2.C【解析】由余弦定理，可得 AB=VAC2+BC2-2AC.BC.CosC =1/9+16-2x3x4x-1 V3(km).故选C. 62 3.B【解析】sm贺=sin(牙+石)=sin牙cos石+ os胃n君=YxV罗+x分=V6y2,由正 2 2 4 弦定理，可知m折Dn2cAB=AC2C AC sin∠ABC 80xV6+V2 4 -=40(1+V3)(m). 2 2 BC AB 4.B【解析】在△ABC中，sm2 BAC"sin乙ACB即 sin1050sin(180-105°-45，BC=4sin105°=4sin75°.在 BC △ABD中，∠DAB=∠DBA=6O°，△ABD是等边三角形， BD=AB=2.在△BCD中，∠DBC=15°，∴.CD2=BC2+BD2-2BC· BDcos∠BDC=16sin275°+4-2x4sin75×4xcos15°=16sin275°+4- 2×4sin75×2xsin75°=4，CD=2km. 5.B【解析】根据题意，△PPD的三个角和三个边， 由正弦定理均可以求出，①中，sin∠DPC-sinZDCP' CD DP 故CD=DPsin∠DBC,故①可以求出CD;③与①条件等 sin∠DCP =PC 价.②中，在△PBC中，sinZRCR SimZARG,故PC PP2 器，在△PCD中，利用余孩定理求解D即可 6.AC【解析】anB=2V2,cosB=号，sinB= 27.又S=号csn6=2V2,a=6由余孩定理，可 3 得6-2aca8=4e4(a-c)48,-a28- a-e48≥4V7,当且仅当如8时等号成立，故 品的最小值为4V7,可能取到的位为A,C选项 7.A【解析】连接AB,由题意，可知CD=40 n mile, LADC=105°，∠BDC=45°，∠BCD=90°，∠ACD=30°， ∠CAD=45°，∠ADB=60°.在△ACD中，由正弦定理，得 sin30sin45,4D=20V2nmic.在R△BCD中，易 AD 40 知BD=V2CD=40V2 n mile.在△ABD中，由余弦定 理，得AB=V800+3200-2×20V2×40V2×cos60° =20V6 (n mile). 8.5(V3+1)m【解析】依题意，可知AB=BC,在 R△M0中，m=合品品D号=品0解得 AB=5(V3+1)m.故答案为5(V3+1)m. 9.5V2+5V6【解析】如图所 示，设树干底部为0，树尖着地处 为B,折断点为A,则∠AOB=75°， ∠AB0=45°，..∠0AB=60°.由正弦定 750 450 0 B 理，知识00A= 10 第9题答图 10y6(m,AB=15V25V6(m).:0A+4B=(5V2+ 3 3 5V6)m. 10.100V39【解析】在△ABD中，BD=200m, ∠ABD=120°. :∠ADB=30°，∠DAB=30°. 由正弦定理，得，BD AD sin Z DA Bsin ZA BD' .200= AD sin30°sin120°·4D=200xsin120°=200√3(m) sin30° 在△ADC中，DC=300m,∠ADC=150°， .由余弦定理，得AC2=AD+DC2-2AD·DC·cos∠ADC= (200V3)2+3002-2×200V/3×300×c0s150°=390000，.∴.AC= 100V39(m). 11.15°【解析】方法一：如图1，.∠PAB=0,∠PBC= 20,∴.∠BPA=0,.BP=AB=30.又.∠PBC=20,∠PCD=40, ..∠BPC=20,.CP-BC=10V3.在△BPC中，根据正弦定理 n20sn(r-49,即103.30 得P PB sin20s2sin20cos20 sin20 30 .sin20≠0，c0s20=Y3.0°20<90,28= 10V3 2 30°，∴.0=15°. 人29A0 30 B10V3 C D 图1 方法二：在△BPC中，根据余弦定理，得PC=PB+ BC-2 PB.BC.cos20,把PC=BC=10V3,PB=30代入上式， 得300=302+(10V3)2-2x30x10V3cos20,化简，得cos20= 1V3.0°<20c90°，20=30°，0=15. 2 方法三：如图2，过顶点C作CE⊥PB,交PB于点E, △BPC为等腰三角形，PE=BE=15.在Rt△BEC中， c0s20=5=,15=VY3.0r<2909,20=30,15. BC 10V3 2 参考答案。 E 10 B 图2 第11题答图 12.解：如图，过点C作CD⊥AB,交AB的延长线 于点D,在△ABC中，sin∠ACB=sin(45°-30°)=sin45°· c0s30°-cos45°sin30°=V6-V2，∠ABC=180°-450= 4 135,由正孩定建部·得AC=4: sin15 4x V2 -=4(V3+1).在Rt△ACD中，∠A=30°， V6-V2 4 ∠ADC=90°，因此，CD=1AC=2(V3+1)m.答：该雕塑的 2 高度为2(V3+1)m. C 30°人45° A B D 第12题答图 13.解：(1)如图，连接BD. 在△ABD中，BD=AB2+AD2-2AB: AD·cosA=4-2V3cosA.在△BCD 中，BD2=BC2+CD2-2BC·CD· 第13题答图 cosC=2-2cosC,故有4- 2V3cos4=2-2cosC,从而cosC=V3cosA-1. (2)c4=Y爱，由()可得cosG=分.Ce 6 (0,m),C=牙，而CD=CB,故∠CDB=石.此时BD= 6 AB+AD-2ABAD.cosA=(V3)+1-2xV3xIxV3-3. 6 从而AB=BD,∴.△ABD为等腰三角形.cos∠ADB=CosA= V3,sin LADB=V33,eos ZADC=cos (LADB+ 6 6 ∠BDc)=c0s(上ADB+g)=YgxY-Y×= 6 3-V33,AC2=AD+CD2-2AD·CD.cos∠ADC=1+12-2×1× 12 63 N 高中数学必修第四册人教B版 1x3Y-94g3.从而4C=V9+YBkm 12 6 6 14.C【解析】在△ADC中，∠ACD=45°，∠ADC 67.5°，DC=2V3,.∠DAC=180°-45°-67.5°=67.5°，AC= DC=2V3.在△BCE中，∠BCE=75°，∠BEC=60°，CE= V2,÷∠EBC=-180°-75°-60°=45°，·sm2EBC= EC sin ZBECBC=EC-sinL BEC V2xV3 BC 2 =V3.在 sin∠EBC 2 △ABC中，AC=2V3,∠ACB=180°-∠ACD-∠BCE=60°， 第十章 >"10.1复数及其几何意义 10.1.1复数的概念 1.D【解析】.z=-1-3i,z的虚部为-3.故选D. 2.B【解析】复数z=d2-a-2+i为纯虚数，等价于d2-a 2=0,即a=-1或a=2,由选项知，只有a=-1是复数z为纯 虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合.故选B. m2-2m=0, 3.B【解析】.复数(m2-2m)mi是纯虚数，.∴. m≠0， 解得m=2.故选B 4.D【解析】对于复数a+bi(a,b∈R),当a=0且b≠ 0时为纯虚数. 在①中，若a=-1,则(a+1)i不是纯虚数，①错误； 在②中，两个虚数不能比较大小，②错误； 在③中，只有当a,beR时，复数a+bi的实部才为a, 虚部为b,③错误； 在④中，i的平方等于-1，④正确.故选D. 5.D【解析】z=6i+2i=-2+6i,则z的虚部为6，故选D. 6.B【解析】由题意，知n+(m+2i)n+2+2i=0,即n2+ n2+mn+2=0, mn+2+(2n+2)i-0,. 解得3， .z=3-i. 2n+2=0, ln=-1, 2ad2+3a=0, 7.0)【解析】z>z2,d2+a=0,.a=0,所求a的 -4a+1>2a, 取值集合为{O. 8.1【解析】由(x+y-3)+(x-2)i=0, 得/+-3=0， 解得2， 故答案为1. x-2=0, y=1. 64 则AB2=ACP+BC2-2AC·BCcos∠ACB=9,则AB=3.故选C. 15.60°20V3【解析】如 北 图，OB表示风的矢量速度，O心 表示救生艇的矢量速度，O表示 水的矢量速度，易知∠AOB=60°， 则∠OBC=120°.由余弦定理，知 第15题答图 0C=20+202-800cos120°=1200，故0C=20V3km,即救 生艇在洪水中漂行的速度的大小为20V/3k/h,方向为北 偏东60°. 复 数 9.m=2m=0【解析】复数z=m+(m-2)i,.当m-2-0, 即m=2时，复数为实数；当m-2≠0，且m=0时，即m=0 时，复数为纯虚数。 10.3-3i【解析】3i-V2的虚部为3,3i+V2i=-3+ V2i的实部为-3，.所求的复数是3-3i. 11.解：设x=a为方程的一个实数根，则有2+(1-2i)a+ (3m-i)-0,即(a2+a+3m)-(2a+1)i=0..a,m∈R,由复数相 1 1a+a+3m=0, m212' 等的充要条件，得 解得{ 故实数m的 2a+1=0, 1 =-2 值为分 -1=0, 12.解：(1)z1,z2∈R, 解得t=±1， 2cos0+1=0, cos0--2=sin0-Vi-cos0-V3 , 当=-1时，z<z2,不符合条件； 当=1时，满足z>2.综上所述，t=1. (2)若z,则sin0, lt2-1=2cos0+1, .'.sin20-1=2cos0+1,-cos20=2cos0+1, .cos20+2cos0+1=0,即(cos0+1)2-0, 解得cos0=-1.又6∈[0，π]，.8=π. 13.解：由于z<2,m∈R,.z1∈R且z2eR,当z1eR 时，m2+m-2=0,m=1或m=-2.当z2∈R时，m2-5m+4=0, m=1或m=4,.当m=1时，z1=2,z2=6,满足z1<红2.∴z1<32 时，实数m的取值为m=1. 14.解：由题意，知+3m-(2x+1b0,故2+1D, x2+x+3m>0,