11.2 平面的基本事实与推论-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.2平面的基本事实与推论 多面体中研究是一个重要手段. 学习目标 B变式训练① 1.掌握平面的画法及表示方法. 2.掌握平面的基本事实及推论 判断题（正确的画“V”,错误的画 3.能用图形、文字、符号三种语言描述： “×”). 平面的基本事实，并能解决空间线面的位置 (1)三点可以确定一个平面.() 关系问题， (2)一条直线和一个点可以确定一个 平面. 要点精析 (3)四边形是平面图形 ( (4)两条相交直线可以确定一个平面. 川要点1点、线确定平面 1.确定平面的条件：(1)不共线三点； 川要点2证明点线共面 (2)直线与直线外一点；(3)两条相交直 线；(4)两条平行直线， 思考2，证明点、线共面问题的常用 2.点、线、面位置关系判定：如果一条 方法有哪些？ 直线上的两个点在一个平面内，那么这条直 例2已知四条直线两两相交，且不共 线在这个平面内. 点，求证：这四条直线在同一平面内， 思考1空间中的三个点需具备怎样 分析：四条直线两两相交且不共点， 的条件才能确定一个平面？ 可能有两种情况：一是有三条直线共点； 例1(1)空间任意四点，没有任何三 二是任意三条直线都不共点.故要分两种情 点共线，它们最多可以确定 个平面. 况，证明之前应先将文字语言转化为符号 (2)空间五点，其中有四点共面，它们 语言」 没有任何三点共线，这五个点最多可以确定 个平面. 分析：本题主要考查平面基本事实1， 不共线三点确定一个平面，只要数清共有 几组不共线三点即可，根据已知条件， (1)中四，点可看成一个三棱锥的四个顶点， 从中数出平面个数.(2)中五个点可以看成 四棱锥的五个顶点，把立体几何问题放入 学(65 N 高中数学必修第四册人教B版 分析：根据基本事实3，两相交平面的 变式训练2 公共，点都在一条直线上，又有两点确定一 条直线与三条平行直线都相交，求 条直线，所以只需确定平面的两个公共点 证：这四条直线共面， 即可，图中已有点B为公共点，可在两平 面内各找一条直线找到交点连线即可，一 般在正方体表面找 B变式训练③ 如图，正方体ABCD-ABCD1中，E,F 分别为AB和BC的中点，试画出正方体过 点D,E,F的截面 要点3作相交平面的交线，画多面体 的截面 基本事实3如果两个不重合平面有一 个公共点，那么它们有且只有一条过该点的 公共直线. 图11-2-2 思考3怎么判断一个截面是否画完？ 例3如图，正方体 ABCD-A BC D中，E,F分 别为AA1和CC的中点， 画出平面BEDF和平面 ABCD的交线. 图11-2-1 66)学 第十一章立体几何初步 川要点4多点共线问题 变式训练4 思考4证明，点共线问题的方法有哪些？ 如图，在正方体ABCD-ABCD1中，点 例4如图，已知 M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1 △ABC在平面Q外， 上的点，若MN与EF交于点Q,求证：D, AB∩=P,AC∩=R, A,Q三点共线 BC∩a=Q.求证：P, 图11-2-3 Q,R三点共线 A E B 分析：证明三点共线的主要依据是平 D M 面基本事实3，两个平面的所有公共点都 在一条直线上.本题可找到平面Q和平面 ABC两个平面，只需证明P,Q,R三点均 图11-2-4 分别在这两个平面内，则必在交线上。 学(67 N 高中数学必修第四册人教B版 要点5多线共点问题 变式训练5 思考5证明线共点问题的方法有哪些？ 如图，已知平面a,B,且x∩B=l.在梯 例5如图，在四面体 形ABCD中，AD∥BC,且ABCa,CDCB. ABCD中，E,H分别为BC, 求证：AB,CD,1共点（相交于一点）· AB的中点，F在CD上，G 在AD上，且有DF:FC=DG: GA=1:2,求证：EF,HG, 图11-2-5 BD交于一点. 图11-2-6 分析：证明三线共点的主要依据同样 是平面基本事实3，首先在两个平面内各 找到一条直线，证明这两条直线相交，则 交点必在两平面交线上，本题中可根据三角 形中位线及比例关系证明EH∥FG,同时 根据线段长度知四边形EFGH是梯形，所 以EF,HG相交，则必在平面ABD与平面 BCD的交线BD上，所以三线共点. 68)学 第十一章立体几何初步 数学文化 例随着科技的发展，交通工具越来越 先进，汽车给我们的生活带来了很大的便 利，但是随着汽车的增多，各大城市堵车现 象严重，而且环境也遭到了破坏，因此，在 城市内部交通中，我们迫切需要不耗能又能 锻炼身体的自行车作为主流的交通工具.对于 自行车的支撑脚架，一般市场上有两种，一种 是双支撑，一种是单支撑（也叫斜支撑，如 图)，很多消费者认为单支撑不够牢固，更 愿意选择双支撑的自行车，这是完全没有必 要的，因为单支撑的自行车完全能够保证自 行车的平稳，而且更加方便，请说明理由。 图11-2-7 分析：本题可利用平面的基本事实1： 不共线三点确定一个平面作为理论依据. 学(69Rt△00，B中，B0=Y3a,0B=R,00=A0,-0A=Y6a 3 3 R,由勾股定理，得R=写a户+Y5-R片，解得 R=Y5a,球的体积为V=专m=号×a 4 4 6 nd. 8 变式训练2c 例350m 5V2m【解析】如 3 图，将三棱锥放入以AB,BC,PA 为长、宽、高的长方体中，则长方 体的外接球就是所求三棱锥的外接 球，半径为R=子VAB+BC+PN= 例3答图 多V7,六该三棱能的外接球的表面积为S4R4mx (3V2'=50m,体积为V=专πR=专πx3V2) 1 V 变式训练3B 例48y6π【解析】如图，过顶点s作正四棱锥S 27 ABCD的高SO1,由正四棱锥的对称性可知，其外接球球心 0在高SO1上，设半径为R.O为底面ABCD的中心， :A0=V2AB=V2.在R△A0S中，S0=VSM-AG= Y6,在Rt△00A中，A0,=Y2,0A=R,00,=S0, 2 0S=y5R,由勾股定理，得Y7Y5-R月， 解得R=,球的体积为V号号mx广 3 8V6m. 27 例4答图 变式训练4D 例5Y2【解析】如图，AD是球0的直径， 12 ∠ABD=∠ACD=90°.AC=CD=1,∴.△ACD是等腰直角三角 参考答案⊙ 形，AD=V2,:OB=0C=V2且有AD⊥OB,AD⊥OC BC-L,∴△0BC是等腰直角三角形，面积S=},故三棱维 A-BCD的体积=r+V=写0MS+写OD-S=}AD:S= ×V2x1=V② 4 12 I D 例5答图 变式训练5A 数学文化 例D【解析】由V=号受八，解得上√V,设选 项中的常数为号，则π-6必选项A代入，得m=心 16 3.375;选项B代人，得π==3；选项C代入，得m 6x157-3.14;选项D代入，得m=611=3.142857,故D 300 21 的值最接近π的真实值 "11.2平面的基本事实与推论 要点精析 例1(1)四(2)七【解析】(1)可以想象三棱锥的 四个顶点，如图1，它们总共确定四个平面.(2)可以想象 四棱锥的五个顶点，如图2，四棱锥共五个表面，两个对 角面，所以它们一共确定七个平面. A 图1 图2 例1答图 变式训练1(1)×(2)×(3)×(4)V 例2证明：首先将题目转化为符号语言：已知：a,b,c, d四条直线两两相交，且不共点.求证：a,b,c,d四线共 43 N 高中数学必修第四册人教B版 面.(1)若a,b,c三线共点于0，如图1，.0生d,∴.经 过d与点0有且只有一个平面aA,B,C分别是d与a, b,c的交点，A,B,C三点在平面内.由基本事实2， 可知a,b,c都在平面a内，故a,b,c,d共面.(2)若 a,b,c无三线共点，如图2，a∩b=A,.经过a,b有且 仅有一个平面a,∴.B,C∈x.由基本事实2，可知cC.同 理，dC,从而a,b,c,d共面.综上所述，四条直线两 两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内. B D B Q 图1 图2 例2答图 变式训l练2解：已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,l∩c=C 求证：直线a,b,c,1共面. 证明：方法一：a∥b,∴.a,b确定一个平面a:ln a=A,l∩b=B,A∈a,B∈a,故lCa.又.a∥c,∴.a,c 确定一个平面B.同理可证lCB,.a∩B=-a且a∩B.:过 两条相交直线a,l有且只有一个平面，故α与B重合，即 直线a,b,c,l共面. 方法二：由方法一，得a,b,l共面a,也就是说b在 a,l确定的平面a内.同理可证c在a,l确定的平面B内 过a和l只能确定一个平面，.a,b,c,l共面. 例3解：如图，在平面AADD 内，延长DE,DA,DE与 DA不平行且共面，DE与DA D 必交于一点.设交点为P,则P∈ DE,P∈DA.又DEC平面 BEDF,DAC平面ABCD,.P∈ 平面BEDF,且P∈平面ABCD. 例3答图 又B为平面ABCD与平面BEDF的公共点，.连接PB, 则PB为平面BED,F和平面ABCD的交线！ 变式训练3解：如图，连 接EF并向两个方向延长， 分别交DA,DC的延长线于 点P,Q,连接DP,DQ 使得DP∩AA1=M,DQ∩ CC=N,连接EM,FW,则 五边形EMD NF即为所求截 变式训练3答图 面 44 例4证明：AB∩a=P,.P∈AB,P∈平面a.又.ABC 平面ABC,.P∈平面ABC..由基本事实3，可知点P在 平面ABC与平面a的交线上，同理可证Q,R也在平面 ABC与平面a的交线上.P,Q,R三点共线. 变式训练4证明：：MN OEF=Q,.Qe直线MN,Qe直 线EF又.M∈直线CD,N∈直线AB,CDC平面ABCD, ABC平面ABCD..M,N∈平面ABCD,MNC平面 ABCD..Q∈平面ABCD.同理，可得EFC平面ADDA: ∴.Q∈平面ADDA1.又.·平面ABCD∩平面ADDA1=AD, ∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线。 例5证明：如图，平面ABDn平面BCD=BD.DF:FC= DG:GA=1:2,E,H分别为BC,AB的中点，FG∥AC且 FG=AC,EH∥AC且EH=号AC,:EH∥FG,且四边形 EFGH是梯形，.GH,EF相交，设交点为O.HGC平面 ABD,O∈HG,.O∈平面ABD.EFC平面BCE,O∈EF, .O∈平面BCD.又.平面ABD∩平面BCD=BD,.O∈BD EF,GH,BD交于一点. 例5答图 变式训练5证明：.在梯形ABCD中，AD∥BC,AB, CD是梯形ABCD的两腰..AB,CD必定相交于一点.设 AB∩CD=M..ABCa,CDCB,M∈a,M∈B..∴M∈a∩B. 又.a∩B=L,MeL即AB,CD,I共点（相交于一点）. 数学文化 例解：自行车两个轮胎与地面接触点设为A,B,单 支撑点设为C,显然A,B,C三点不共线，根据平面基本 事实1，可知三点必平稳接触地面，而且操作更加简单. >"11.3空间中的平行关系 11.3.1平行直线与异面直线 要点精析 例1(I)解：连接AC.M,N分别是CD和AD的中点， :MNL)ACABCD-A'BCD为长方体，四边形ACCA 2 为矩形.4CLAC,MN业号AC,因边形M4'C