11.16 祖暅原理与几何体的体积-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第十一章立体几何初步 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 第1课时与柱、锥、台相关的体积问题 分析：可将基本量法转化到棱锥的直 学习目标 角三角形中，首先在底面菱形中求出对角 1.理解棱柱、棱锥和棱台的体积公式的 线，可计算出底面面积，在等腰直角三角 推导方法，了解祖暅原理，将空间问题转化 形PAC中，求出棱锥的高PO,利用公式求 解即可 为平面问题. 2.知道柱、锥、台的体积公式，能用公 式解决简单的实际问题 要点精析 要点1柱、锥、台体的体积 如果柱体的底面积是S、高是h,柱体 体积计算公式：V柱=S;如果锥体的底面积 是S、高是五，锥体体积计算公式：V=%: 如果台体上、下底面面积分别为S,S2,而 且高为么，台体的体积计算公式为V台=}(S+ VSS +S)h. B变式训练① 思考1柱体、锥体、台体的体积公 式之间有怎样的关系？ 用一块长8m、宽4m的矩形铁皮卷成 例1如图，在四棱 D 一个圆柱形铁筒，求铁筒的体积. 锥P-ABCD中，底面是边 长为2的菱形，∠BAD= 60°，对角线AC,BD交于 图11-1-23 点O,PO⊥平面ABCD, △PAC为等腰直角三角形，求四棱锥 P-ABCD的体积. 学(59 高中数学必修第四册人教B版 例3 如图，在多面 要点2祖暅原理的应用： 等体积法求 几何体体积 体ABCDEF中，已知 D ABCD是边长为1的正方 思考2运用祖暅原理来证明两个几 形，且△ADE与△BCF全 图11-1-24 何体的体积相等，需要几个条件？分别 等，EF∥AB,EF=2,EF到平面ABCD的距 是什么？ 离为2，则该多面体的体积为 例2我国南北朝时期的数学家祖暅提 分析：由△ADE与△BCF全等可得， 出了计算几何体体积的祖暅原理：“幂势既 该多面体是左右对称的，故可以过AD, 同，则积不容异”意思是夹在两个平行平 BC作两个垂直于EF的截面，把多面体分 面间的两个几何体，被平行于这两个平面的 割成两个三棱锥和一个直三棱柱，底面为 任意平面所截，如果截得的两个截面的面积 两个截面，EF被分割后的三段分别为三个 总相等，那么这两个几何体的体积一定相 几何体的高，然后分别求体积相加即可 等.现有等高的四棱锥和圆锥满足任意相同 高度的截面面积均相等，若圆锥的侧面展开 ③变式训练③ 图是一个半径为2的半圆，则这个四棱锥的 如图，三棱台ABC-ABC1中，AB:AB= 体积为 1:2,求三棱锥A1ABC、三棱锥B-AB,C、 分析：根据祖啦原理，题目中的四棱 三棱锥C-ABC1的体积之比. 锥与圆锥体积相等，故只需求圆锥体积， 题目中侧面展开图的半径为圆锥的母线， 孤长为底面圆周长，可求出底面半径和高， 进而求出体积. 图11-1-25 B变式训练② 在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC, AB⊥BC,PA=AB=BC=2,则点A到平面PBC 的距离等于 川要点3用割补法求不规则几何体体积· 思考3用割补法与等积法如何求锥 体体积？ 60)学 第十一章立体几何初步 川要点4组合体的体积 B变式训练④ 思考4不规则几何体的体积问题的 如图所示的几何体，上面是圆柱，其底 求解策略是怎样的？ 面直径为6cm,高为3cm,下面是正六棱 例4若直角梯形的一个底角是45°， 柱，其底面边长为4cm,高为2cm,现从 下底长是上底长的2倍，这个梯形绕下底所 中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几 在直线旋转一周所成的旋转体的表面积是 何体的体积. (3+V2)π，求这个旋转体的体积， 分析：直角梯形绕下底所在直线旋转 一周后形成一个圆柱和一个圆锥的组合体， 图11-1-26 表面积为圆锥侧面、圆柱侧面和一个底面 圆面积之和，可设梯形上底长为x,并用x 表示下底和高，根据表面积求出x,再求出 圆柱、圆锥体积相加即可. 数学文化 例学生到工厂劳 动实践，利用3D打印 技术制作模型.如图， 该模型为长方体ABCD- ABCD,挖去一个四棱 图11-1-27 锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方 体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中 点，AB=BC=6cm,AA1=4cm.3D打印所用 原料密度为0.9gcm3.不考虑打印损耗，制 作该模型所需原料的质量为 g. 分析：本题为多学科融合问题，主要 考查不规则多面体体积，本题只需求出长 方体体积与四棱锥体积，并相减可得体积， 再结合物理学知识求出质量即可. 学 61 N 高中数学必修第四册人教B版 第2课时 与球相关的体积问题 学习目标 B变式训练① 半径为2的实心球O,与半径为1的实心 1.知道球的体积公式，能用公式解决简 球O2体积之差的绝对值为() 单的实际问题， 2.借助研究球的组合体，运用球的表面 A.28r 3 积和体积公式，提升空间想象能力. B.76m 要点精析 C.75m D.26m 3 要点1 球体的体积：Va=身R 川要点2多面体与球的切接问题 思考1将球的表面积公式S缘=4πR 1.若一个多面体的所有顶点都在一个球 和球的依积公式V=专R从公式结构上 面上，则这个球就是多面体的外接球，反 之，这个多面体是球的内接多面体 进行比较，你能发现S和V,的关系吗？ 例1已知A,B,C是球0上的三点， 2.若一个球与多面体的所有面都相切， AB=AC=BC=3,球心O到△ABC所在小圆面 则这个球是多面体的内切球 的距离等于球半径的一半，求球的体积 3.一个长方体的棱长为a,b,c,则其 分析：首先根据等边△ABC求出其外 外接球半径为R=V+6+e2,特别地， 接圆半径，即其所在小圆半径，再结合球 一个正方体的棱长为a,则其外接球半径为 心到面的距离与球半径的关系求出球半径， 最后利用体积公式求解. R=罗，内切球半径为宁0 4.四面体内切球半径为=，特别地， S表 正四面体棱长为a,内切球半径为=Y6 12a, 外接球半径R=V6a. 4 思考2解决球的组合体，即球的切 接问题最基本的方法是什么？ 62)学 第十一章立体几何初步 例2已知一个棱长为a的正四面体的 例3如图，已知一个 所有顶点都在一个球面上，求这个球的体积. 三棱锥PABC中，PA⊥平 分析：正四面体是一个高度对称的几 面ABC,∠ABC=90°，PA= 何体，与正方体联系非常密切.本题有两种 3,AB=4,BC=5,则该三棱 方法解决：一种是将正四面体放入正方体 锥的外接球的表面积为 图11-1-28 中，正方体外接球就是正四面体外接球， 体积为 以此求出半径、体积；另一种是根据对称 分析：如图可知，PA⊥平面ABC, 性找到球心大致位置，根据几何体中的直 ∠ABC=90°，可将△ABC补成以AB,BC 角三角形勾股定理求解.这两种方法可以推 为长和宽的矩形，将三棱锥补成以PA为高 广到很多棱锥的外接球问题中。 的长方体，再根据长方体外接球半径公式 求出半径，进而求出表面积与体积. B变式训练3 已知三棱锥PABC中，PA=PB=PC=2, 且PA,PB,PC两两垂直，点M是三棱锥 PABC外接球的球面上一点，则三棱锥 M-ABC体积的最大值为() A.3 B号 D.13 6 要点4正棱锥的外接球：正棱锥的 变式训练② 外接球球心在高所在的直线上 已知正四面体A-BCD外接球的表面积 思考4正棱锥是否既有内切球又有 为12π，则该正四面体的表面积为( 外接球？ A.4V3 B.6V3 例4已知正四棱锥S-ABCD的底面边 C.8V3 D.12V3 长为1，各侧棱长为V2,点S,A,B,C, D都在同一个球面上，则该球体积为 要点3能补成长方体的三棱锥的外 接球 分析：因为正四棱锥的高是底面中心 与顶点的连线，所在直线上任意一点到底 1.由三条棱两两垂直的三棱锥 面各顶点的距离都相等，所以外接球球心 2.对棱相等的三棱锥 一定在这条直线上，可根据各边的关系求出半 思考3满足什么条件可补成长方体？ 学 63 高中数学必修第四册人教B版 径，再求球的体积 所以可根据对称性连接OB,OC,找出截 面OBC,将三棱锥分割成两个小三棱锥， B变式训练④ 分别求体积再相加即可. 如图，圆形纸片的圆心 B变式训练⑤ 为0，半径为6，该纸片上 的正方形ABCD的中心为O 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O D E,F,G,H为圆O上的点， 的球面上，△ABC是边长为1的正三角形， G △ABE,△BCF,△CDG, 图11-1-29 SC为球O的直径，且SC=2,则此三棱锥的 △ADH分别是以AB,BC,CD,DA为底边 体积为( 的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以AB, A.V2 B.V③ BC,CD,DA为折痕折起△ABE,△BCF, 6 6 △CDG,△ADH,使得E,F,G,H重合， c.v D.V2 3 2 得到一个四棱锥.当该四棱锥的侧面积是底 面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 数学文化 ( 例我国古代数学名著《九章算术》中 A.16m B.250V3m 3 27 “开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之， 九而一，所得开立方除之，即丸径.“开立 C.64m D.500V3m 3 27 圆术”相当于给出了已知球的体积V,求直 要点5已知球半径，求球内接多面 径d的一个近似公式d=v.人们还用 体体积 过一些类似的近似公式.根据π=3.14159… 思考5已知球半径求球内接多面体 判断下列近似公式中最精确的一个是 体积，最基本的方法是什么？ ( 例5三棱锥A-BCD的外接球为球O, B.d≈V2V AD是球O的直径，且△ABC,△BCD都是 A. 边长为1的正三角形，则三棱锥A-BCD的 C.d D.d- 体积为 分析：根据球的体积公式求出直径， 分析：本题可先画出球的直观图，在 然后用选项中的常数表示出T,将四个选 球中选取适当位置画出三棱锥，因为 项逐一代入，求出最接近真实值的那一个 △ABC,△BCD都是边长为1的正三角形， 即可 64)学罗，连接，取线段AA:中 点M,连接OM,则OMLAA2, 在Rt△0OMA1中，∠A,OM=c= 图2 胥∠0AM=石，0w=20M= 例2答图 3=OD,.蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周回到点A 的最短路径即为线段AA2,A4A2=2AM=2×1V6-32=6V3. 蚂蚁爬行的最短距离为6V3. 变式训练2解：(1)设圆台的母 线长为，由截得圆台上、下底面面 积之比为1：16，可设截得圆台的 上、下底面的半径分别为T,4红.过 轴S0作截面，如图示.则△SO'A' B 0 ASOA,SA'=3 cm...S4'=O'A' SA OA 变式训练2答图 3分解得9，即圆台的时线长为9 (2)若圆台上底面的半径为1，则下底面的半径为4， 即圆锥S0的底面半径为4，圆锥S0的母线长为+3=12.. 圆锥S0的表面积为S=S底+S侧=16m+12×4π=64π 例3解：设球的半径为Rcm,两截面圆的半径分别为 rcm,T1cm(r1<r),由Tr=49T,得r1=7,由㎡2=400m, 得r=20. 若两截面位于球心的同侧，如图1，C,C1分别是两平 行截面的圆心， 在Rt△0BC,中，OC1=VR2-7=VR249(cm), 在Rt△0AC中，0C=VR'2-T=VR2-400(cm), 由题意，知0C1-0C=9cm,即VR2-49-VR2-400= 9,解得R=25 图1 图2 例3答图 若两截面位于球心两侧，如图2， 0C=VR2-49cm,0C=VR2-400cm. 由题意，知0C+0C=9cm,即VR249+VR2400=9, VR2-49=9-VR2-400, 参考答案⊙ 两边平方，得VR2-400=-15,此方程无解，说明第二 种情况不存在。 综上所述，此球的半径为25cm, 变式训练312π 例4解：(1)如图，设北纬45°纬线圈 的圆心为O1,地球球心为O,A,B两点 在北纬45°纬线圈上，∴∠0A0=45°.又 o 00,10A,0,A=Rcos45°=Y2R.又 2 例4答图 ∠A0B=60°+120°=180°，AB为小圆的直径，A,B两点 之间在纬线圈上的距离为半圆周长为Y2mR. 2 (2)A,B两点所在的经线恰好组成一个大圆，故最短 距离为这个圆的劣弧AB长，由(1)得△AOB中，∠OAB= 45°，LA0B=90°，劣弧AB长为)mR,故A,B两点在地 球表面的最短距离为)πR 变式训练4C 数学文化 例26【解析】由题意，得圆柱的侧面展开图是矩形， 一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5× 2=10(尺)，因此葛藤最短时应为展开图中的对角线，长为 V24+102=26(尺)，故葛藤最少长26尺， 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 第1课时与柱，锥、台相关的体积问题 要点精析 例1解：在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,可 知PO为该棱锥的高..四边形ABCD为菱形，∠BAD= 60°，.对角线AC=2V3,BD=2.:△PAC为等腰直角三 角形，PO⊥AC,OA=0C,PO=AC=V3,.四棱锥 P-ARCD的体积V=号P0-S3×V3×2X2V32=2 变式训练1解：①若以矩形的长为圆柱的母线1，则 l=8m,此时圆柱底面周长为4m,即圆柱底面半径为R= 名m,圆柱的体积为V=mR华会x8=是(m ②若以矩形的宽为圆柱的母线L,则l=4,此时圆柱 底面周长为8m,即圆柱底面半径为R=4m,所以圆柱的 体积为=mR7=告x4=6任(m 41 N 高中数学必修第四册人教B版 综上所述，铁筒的体积为32m或64m 例2Y了行【解析】：圆锥的侧面展开图是一个半径为 3 2的半圆，.圆锥的母线长为=2，底面圆周长为2π，.底 面圆半径为r=L,圆锥的高为h=VP-子=V3,“.圆锥的 体积为了㎡h=Y,由祖附原理可得四棱维体积与 3 圆维体积相等，六所求体积为Y 变式训练2V2 例3号【解析】如图，分别过点A,B作EF的垂线，垂 足分别为G,H,连接Dc,CH,容易求得EG=r号，则 △BHC中BC边的高为EF,到平面ABCD的距离h=2. ,Sauo=Sa=乃×2x1=l,该多面体的体积V=VzwtVmct VAGD-BHC=2VE-ADG+VACD-BHC =×x21x1-号 例3答图 变式训练3解：设棱台的高为h,S△=S,:AB:AB=l: 2,则Sae6=4S.Ve=号5ah=写5h,Vc4a6= 3 h=号M又V6=号A(6+4S+2S)=子h.W=V6-n -Veak=子Sh-当-4坐=号弘，三棱锥AABC,B 33 AB1C,CABC1的体积比为1：2：4. 例4解：如图，在直角梯形ABCD中， 2x AD∥BC,∠A=90°，梯形绕直线AD旋转一 E-- 周后形成一个圆柱和一个圆锥的组合体.过 B 点C作CE⊥AD于点E.设BC=x,则AD= 例4答图 2x,DE=AD-AE..·∠D=45°，..CE=x,CD= V2x几何体表面积S=S柱底+S柱侧+S维侧=Tx242m2+V2T2= (3+V2)mx2=(3+V2)π.解得x=1,旋转体体积V=V+ 变式训练4解：V大=Y至x4x6x2=48V3(cm). 4 V网柱=T×32x3=27m(cm3),V挖去网柱=T×1x(3+2)=5T(cm), 42 ∴.此几何体的体积为V=V大做柱+V网柱-V挖网柱=(48V3+22T) (cm3). 数学文化 例118.8【解析】由题意，得四边形EGH的面积为 S=S边形ec4Sr=4x6-4x号2x3=12(cm).:0为长方 体的中心，四棱锥0-EFCH的高h=AB=3(cm),模 型体积V=V长方体-V=6x6x4-号×3x×12=132(cm),故制作 3 该模型所需原料的质量为0.9×132=118.8(g). 第2课时与球相关的体积问题 要点精析 例1解：设球半径为R,则球心O到△ABC所在小圆面 的距离d=尽.AB=AC=BC=3,.△ABC是等边三角形，其 外接圆半径为=3AB=V3,由=R?-,可得R2= 3 R3.解得R2,球的体积为=专R= Γ3 变式训练1A 例2解：方法一：如图1，以四面体ABCD的对棱作为正 方体面相对对角线的形式将正四面体放入一个正方体中， 显然这个正方体的外接球就是正四面体ABCD的外接球. 正四面体的棱为正方体面对角线AB=a,·.正方体棱长为 2a,“其外接球半径为R=3.Y2a=Y6a, 2 2 2 4 球的体积为号号xYF D B晚三 D 图1 图2 例2答图 方法二：如图2，过顶点A作正四面体的高AO,由 正四面体的对称性，可知其外接球球心O在高AO,上，设 半径为R.O,为底面△BCD的中心，BO,=Y3BC= 3 写a在R△A0B中，A0,=VaB-B0=5a,在 Rt△00，B中，B0=Y3a,0B=R,00=A0,-0A=Y6a 3 3 R,由勾股定理，得R=写a户+Y5-R片，解得 R=Y5a,球的体积为V=专m=号×a 4 4 6 nd. 8 变式训练2c 例350m 5V2m【解析】如 3 图，将三棱锥放入以AB,BC,PA 为长、宽、高的长方体中，则长方 体的外接球就是所求三棱锥的外接 球，半径为R=子VAB+BC+PN= 例3答图 多V7,六该三棱能的外接球的表面积为S4R4mx (3V2'=50m,体积为V=专πR=专πx3V2) 1 V 变式训练3B 例48y6π【解析】如图，过顶点s作正四棱锥S 27 ABCD的高SO1,由正四棱锥的对称性可知，其外接球球心 0在高SO1上，设半径为R.O为底面ABCD的中心， :A0=V2AB=V2.在R△A0S中，S0=VSM-AG= Y6,在Rt△00A中，A0,=Y2,0A=R,00,=S0, 2 0S=y5R,由勾股定理，得Y7Y5-R月， 解得R=,球的体积为V号号mx广 3 8V6m. 27 例4答图 变式训练4D 例5Y2【解析】如图，AD是球0的直径， 12 ∠ABD=∠ACD=90°.AC=CD=1,∴.△ACD是等腰直角三角 参考答案⊙ 形，AD=V2,:OB=0C=V2且有AD⊥OB,AD⊥OC BC-L,∴△0BC是等腰直角三角形，面积S=},故三棱维 A-BCD的体积=r+V=写0MS+写OD-S=}AD:S= ×V2x1=V② 4 12 I D 例5答图 变式训练5A 数学文化 例D【解析】由V=号受八，解得上√V,设选 项中的常数为号，则π-6必选项A代入，得m=心 16 3.375;选项B代人，得π==3；选项C代入，得m 6x157-3.14;选项D代入，得m=611=3.142857,故D 300 21 的值最接近π的真实值 "11.2平面的基本事实与推论 要点精析 例1(1)四(2)七【解析】(1)可以想象三棱锥的 四个顶点，如图1，它们总共确定四个平面.(2)可以想象 四棱锥的五个顶点，如图2，四棱锥共五个表面，两个对 角面，所以它们一共确定七个平面. A 图1 图2 例1答图 变式训练1(1)×(2)×(3)×(4)V 例2证明：首先将题目转化为符号语言：已知：a,b,c, d四条直线两两相交，且不共点.求证：a,b,c,d四线共 43