11.1.5 旋转体-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

11.1.5 学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义. 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构 特征 3.能够根据圆柱、圆锥、圆台、球的结 构特征识别和区分几何体 4.会作旋转体的轴截面，并利用轴截面 解决问题， 要点精析 要点1圆柱、圆锥、圆台的相关概念 与结构特征 1.如图所示，圆柱可看成以矩形的一边 所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成 的曲面所围成的几何体；圆锥可看成以直角 三角形一直角边所在直线为旋转轴，将直角 三角形旋转一周而形成的曲面所围成的几何 体；圆台可看成以直角梯形垂直于底边的腰 所在直线为旋转轴，将直角梯形旋转一周而 形成的曲面所围成的几何体.用类似上述圆 柱、圆锥、圆台的形成方式构成的几何体都 是旋转体 04 (1) (2) (3) 2.相关概念：旋转轴称为旋转体的轴； 第十一章立体几何初步。 旋转体 在轴上的边（或它的长度）称为旋转体的 高：垂直于轴的边旋转而成的圆面称为旋转 体的底面：不垂直于轴的边旋转而成的曲面 称为旋转体的侧面；无论旋转到什么位置， 不垂直于轴的边都称为母线.在旋转体中， 通过轴的平面所得到的截面通常简称为轴截 面，由圆柱、圆锥、圆台的形成方式可以看 出，三者的轴截面分别是矩形、等腰三角 形、等腰梯形.旋转体侧面的面积称为旋转 体的侧面积，侧面积与底面积之和称为旋转 体的表面积（或全面积）· 思考1判断旋转体形状的步骤. 例1已知AB是直角梯形ABCD与底 边垂直的一腰（如图）·分别以AB,BC, CD,DA为轴旋转，试说明所得几何体是由 哪些简单几何体构成的. 图11-1-19 学(55 N 高中数学必修第四册人教B版 变式训练1 下列说法正确的是() A.通过圆台侧面一点，有无数条母线 B.圆柱的截面一定是圆形 C.圆锥的轴截面是等腰三角形 D.用一个平面去截圆锥，圆锥底面和 截面之间的部分是圆台 要点2圆柱、圆锥、圆台中的计算 问题 圆柱侧面积公式：S=2πR1;圆锥侧面积 公式：S=πRl;圆台侧面积公式：S=T(R+r)U. 思考2(1)圆柱、圆锥、圆台平行 于底面的截面是什么样的图形？ (2)圆柱、圆锥、圆台过轴的截面是 什么样的图形？ (3)经过圆台的任意两条母线作截面， 截面是什么图形？ 例2如图，在直角梯形ABCD中，AB∥ CD,AB⊥BC,AB=2CD=2,AD=3,以BC 边所在的直线为轴，其余三边旋转一周所形 成的面围成一个几何体 (1)求该几何体的表面积， (2)一只蚂蚁在形成的几何体上从点A 绕着几何体的侧面爬行一周回到点A,求蚂 蚁爬行的最短距离， 图11-1-20 56)学 B变式训练② 如图所示，用一个平行于圆锥S0底面 的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的 面积之比为1：16，截去的圆锥的母线长是3. (1)求圆台O'0的母线长 (2)若圆台上底面的半径为1，求圆锥 S0的表面积. 08 图11-1-21 川要点3球的定义及相关概念 1.球面可以看成一个半圆绕着它的直 径所在的直线旋转一周所形成的曲面：球 面围成的几何体，称为球.球也是一个旋转 体.由球面的形成过程可看出，球面可以看 成空间中到一个定点的距离等于定长的点 的集合 2.相关概念：形成球面的半圆的圆心 称为球的球心；连接球面上一点和球心的 线段称为球的半径；连接球面上两点且通 过球心的线段称为球的直径.一个球可以用 表示它的球心的字母来表示，如图1可表 示为球O,OA,OB都是球O的半径，AB 是直径 10 图1 图2 3.如图2，用一个平面α去截球的截面 是一个圆面（圆及其内部），球面被经过球 心的平面截得的圆称为球的大圆，被不经过 球心的平面截得的圆称为球的小圆.设球的 半径为R,球心到截面的距离为d,则截面 圆半径为r=VR2-P. 4.球的表面积：S=4mR2 思考3球的截面问题的解题思路是 什么？ 例3在球内有相距9cm的两个平行 截面，面积分别为49mcm2,400mcm2,求 第十一章立体几何初步 此球的半径 分析：分别在两截面位于球心的同侧、 :两截面位于球心两侧两种情况下运用勾股 定理求之 B变式训练③ 平面α截球O的球面所得圆的半径为 1,球心O到平面a的距离为V2,则此球 的表面积为 川要点4球面上两点之间的最短距离： 球面上两点之间的最短距离是经过这两 点的大圆的劣弧长， 思考4实际生活中，飞机、轮船为 什么尽可能以大圆孤为航线航行？ 学(57 N 高中数学必修第四册人教B版 例4设地球半径为R,点A位于北纬 45°东经120°，点B位于北纬45°西经60°. (1)求A,B两点之间在纬线圈上的距离. (2)求A,B两点在地球表面的最短距离. 分析：本题考查球面上两点之间的距 离问题，首先确定两点在一个截面的圆周 上，再求出两点之间的劣孤长，第一问在 确定的纬线圈上求距离，只需首先求出小 圆半径，再根据圆心角求孤长，第二问需 选择两点所在的大圆，求解时应先求出A, B两点所对应的球心角∠AOB,然后利用 孤长公式计算即可. (58)学 P变式训练④ 如图，半径为4的球O 中有一内接圆柱，当圆柱的侧 -04 面积最大时，球的表面积与圆 柱的侧面积之差为() 图11-1-22 A.24m B.28m C.32π D.36π 数学文化 例我国古代数学名著《数书九章》中 有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺.葛 生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几 何.”其意思为：“圆木长2丈4尺，圆周为 5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕 圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，则葛藤 最少长 尺.”（注：1丈等于10尺）》 分析：本题考查旋转体侧面上的最短 距离问题.由题意得，圆柱的侧面展开图是 矩形，由于缠木两周，故矩形为2个侧面 展开图对接，所以一条边（即木棍的高） 长为24尺，另一条边长为5×2=10（尺）， 利用勾股定理，可得结论，N 高中数学必修第四册人教B版 条侧棱延长后不一定相交于一点，故③不正确.只有②正 确，故选B. 变式训练3ABD 例4解：(1)是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰 梯形.如图1.在梯形ACCA中，分别过A1,C,作AC的垂 线AE与C1F,则由AC=4,AA1=A1C1=CC=2,可知AE= FC=l,故棱台的斜高A,E=V3. (2)根据0，O1分别为下底面与上底面的中心，以及 上、下底面边长为2和4，可得A0=24,0=4Y3.假设正 三棱台ABC-AB,C1是由正三棱锥PABC截得的，则由已知 可得PO是棱锥PABC的高，PO1是棱锥PABC的高， OO1是所求棱台的高.因此△PAO是一个直角三角形，如图 2,A1O1是△PAO的中位线.在Rt△PAO中，PO=VPA2-AO2 =-14-4Y3=4Y6,故棱台的高00，=2Y6 3 3 3 图1 图2 例4答图 变式训练4解：(1)如图，设O1,0分别为上、下底面 的中心，分别取BC,BC的中点E,F,连接OE,EF,OF, 则EF为正四棱台的斜高，EF=VCC2-(CE-CF)2= V(V3(2-1P=V2,则棱台的表面积5=×(2+4)× V2×4+2×2+4×4=12V2+20. D 01 A D 变式训练4答图 (2)两底面面积之和为22+4=20，正四棱台的侧面积 为4x×(2+4)xEF=20,解得EF?，正四楼台的高00= VEF-(OE-0F-(2-1)- 40 数学文化 例+Y5【解析】设正四棱锥底面边长为a,高为 4 h,斜高为，则由已知得作子.在R△POE中，PE= P0+0E,即h2=h+受尺，∴有M2h'+受，解得纪 2 =1+Y5,、.该四棱锥的斜高与底面边长之比为+Y5 4 4 1.1.5旋转体 要点精析 例1解：①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图1 所示；②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部 为圆柱，上部为圆锥.如图2所示；③以CD边为轴旋转所 得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去 一个小圆锥，如图3所示；④以AD边为轴旋转得到一个 组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图4所示 图1 图2 图3 图4 例1答图 变式训练1C 例2解：(1)如图1所示，满足 (> 题意的直角梯形ABCD,以BC边所 D 在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为r=CD=1,下 底面半径为T2=AB=2,母线长为l=3 的圆台，其表面积为S=T(r+r+rl+ 图1 r2l)=T(12+2241×3+2×3)=14π. (2)将圆台的侧面沿母线AD展开，得到如图2所示 的一个扇环，：圆台上、下底面半径的关系为2=21， AA2=2DD2,.0A1=20D.又AD=3,.0A1=6,0D=3. 设∠A10A2=,则AA2的弧长l=-0A1=6a=2m72=4T,.a= 罗，连接，取线段AA:中 点M,连接OM,则OMLAA2, 在Rt△0OMA1中，∠A,OM=c= 图2 胥∠0AM=石，0w=20M= 例2答图 3=OD,.蚂蚁从点A绕着圆台的侧面爬行一周回到点A 的最短路径即为线段AA2,A4A2=2AM=2×1V6-32=6V3. 蚂蚁爬行的最短距离为6V3. 变式训练2解：(1)设圆台的母 线长为，由截得圆台上、下底面面 积之比为1：16，可设截得圆台的 上、下底面的半径分别为T,4红.过 轴S0作截面，如图示.则△SO'A' B 0 ASOA,SA'=3 cm...S4'=O'A' SA OA 变式训练2答图 3分解得9，即圆台的时线长为9 (2)若圆台上底面的半径为1，则下底面的半径为4， 即圆锥S0的底面半径为4，圆锥S0的母线长为+3=12.. 圆锥S0的表面积为S=S底+S侧=16m+12×4π=64π 例3解：设球的半径为Rcm,两截面圆的半径分别为 rcm,T1cm(r1<r),由Tr=49T,得r1=7,由㎡2=400m, 得r=20. 若两截面位于球心的同侧，如图1，C,C1分别是两平 行截面的圆心， 在Rt△0BC,中，OC1=VR2-7=VR249(cm), 在Rt△0AC中，0C=VR'2-T=VR2-400(cm), 由题意，知0C1-0C=9cm,即VR2-49-VR2-400= 9,解得R=25 图1 图2 例3答图 若两截面位于球心两侧，如图2， 0C=VR2-49cm,0C=VR2-400cm. 由题意，知0C+0C=9cm,即VR249+VR2400=9, VR2-49=9-VR2-400, 参考答案⊙ 两边平方，得VR2-400=-15,此方程无解，说明第二 种情况不存在。 综上所述，此球的半径为25cm, 变式训练312π 例4解：(1)如图，设北纬45°纬线圈 的圆心为O1,地球球心为O,A,B两点 在北纬45°纬线圈上，∴∠0A0=45°.又 o 00,10A,0,A=Rcos45°=Y2R.又 2 例4答图 ∠A0B=60°+120°=180°，AB为小圆的直径，A,B两点 之间在纬线圈上的距离为半圆周长为Y2mR. 2 (2)A,B两点所在的经线恰好组成一个大圆，故最短 距离为这个圆的劣弧AB长，由(1)得△AOB中，∠OAB= 45°，LA0B=90°，劣弧AB长为)mR,故A,B两点在地 球表面的最短距离为)πR 变式训练4C 数学文化 例26【解析】由题意，得圆柱的侧面展开图是矩形， 一条直角边（即木棍的高）长24尺，另一条直角边长5× 2=10(尺)，因此葛藤最短时应为展开图中的对角线，长为 V24+102=26(尺)，故葛藤最少长26尺， 11.1.6祖暅原理与几何体的体积 第1课时与柱，锥、台相关的体积问题 要点精析 例1解：在四棱锥P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,可 知PO为该棱锥的高..四边形ABCD为菱形，∠BAD= 60°，.对角线AC=2V3,BD=2.:△PAC为等腰直角三 角形，PO⊥AC,OA=0C,PO=AC=V3,.四棱锥 P-ARCD的体积V=号P0-S3×V3×2X2V32=2 变式训练1解：①若以矩形的长为圆柱的母线1，则 l=8m,此时圆柱底面周长为4m,即圆柱底面半径为R= 名m,圆柱的体积为V=mR华会x8=是(m ②若以矩形的宽为圆柱的母线L,则l=4,此时圆柱 底面周长为8m,即圆柱底面半径为R=4m,所以圆柱的 体积为=mR7=告x4=6任(m 41