11.1.4 棱锥与棱台-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

高中数学必修第四册人教B版 11.1.4楼 学习目标 1.了解棱锥、棱台的定义和结构特征. 2.掌握棱锥、棱台平行于底面的截面的 性质. 3.知道棱锥、棱台的表面积计算公式， 能用公式解决简单的实际问题， 要点精析 川要点1棱锥定义及其相关概念 1.如果一个多面体有一个面是多边形， 且其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 则称这个多面体为棱锥.是多边形的那个面 称为棱锥的底面；有公共顶点的各三角形称 为棱锥的侧面；各侧面的公共顶点称为棱锥 的顶点；相邻两侧面的公共边称为棱锥的侧 棱，过棱锥的顶点作棱锥底面的垂线，所得 到的线段（或它的长度）称 为棱锥的高，棱锥所有侧面 的面积之和称为棱锥的侧面 积.棱锥可以用顶点与底面 顶点的字母表示，如图，可记为棱锥P-ABCD 或棱锥PAC. 2.棱锥的分类 (1)棱锥可以按底面的形状分类，例如 底面是三角形、四边形、五边形的棱锥，可 分别称为三棱锥、四棱锥、五棱锥， (2)如果棱锥的底面是正多边形，且棱 锥的顶点与底面中心的连线垂直于底面，则 称这个棱锥为正棱锥.可以看出，正棱锥的 52)学 锥与棱台 侧面都全等，而且都是等腰三角形，这些等 腰三角形底边上的高也都相等，称为棱锥的 斜高 思考1棱锥有哪三个特征？ 例1下列描述中，不是棱锥几何结构 特征的是（) A.三棱锥有4个面是三角形 B.棱锥的侧面都是三角形 C.棱锥都有两个互相平行的多边形面 D.棱锥的侧棱交于一点 B变式训练① 下面图形所表示的几何体中，不是棱锥 的为( 川要点2棱锥中的计算问题 思考2正棱锥中的计算方法有哪些？ 例2已知正四棱锥的高为2，侧棱长 为V6,求这个四棱锥的侧面积. 变式训练2 已知正三棱锥的底面边长为3，高与斜 高的夹角为石，求这个三棱锥的高和表面积。 川要点3棱台的定义及相关概念 1.一般地，用平行于棱锥底面的平面去 截棱锥，所得截面与底面间的多面体称为棱 台.原棱锥的截面和底面称为棱台的上底面 和下底面；其余各面称为棱台的侧面；相邻 两侧面的公共边称为棱台的侧棱；过棱台一 第十一章立体几何初步 个底面上的任意一个顶点作另一个底面的垂 线所得到的线段（或它的长度）称为棱台 的高；棱台所有侧面的面积 之和称为棱台的侧面积.棱 台可用上、下底面的顶点 表示，如图可表示为棱台 ABC-A B C1. 2.棱台的分类：(1)棱台可以按底面 的形状分类：例如底面是三角形、四边形的 棱台，可分别称为三棱台、四棱台 (2)由正棱锥截得的棱台称为正棱台， 正棱台的侧面都全等，且都是等腰梯形， 这些等腰梯形的高也都相等，称为棱台的 斜高， 思考3试比较棱柱、棱锥、棱台的 结构特征 例3下列几种说法中，正确的有() ①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截 面之间的部分是棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形： ③有两个面互相平行，其余四个面都是 等腰梯形的六面体是棱台. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 B变式训练3 (多选题)棱台具备的特点有() A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点 学(53 N 高中数学必修第四册人教B版 川要点4棱台中的计算问题 思考4正棱台中的计算方法有哪些？ 例4如图所示是一个正三棱台，下底 面边长为4，上底面边长和侧棱均为2,0， O分别为下底面与上底面的中心. (1)求棱台的斜高， (2)求棱台的高. Q1 B 00 图11-1-16 变式训练④ 正四棱台两底面边长分别为2和4. (1)若侧棱长为V3,求棱台的表面积. (2)若棱台的侧面积等于两底面面积之 和，求它的高： 图11-1-17 (54)学 数学文化 例如图1所示，胡夫金字塔是古代世 界建筑奇迹之一，是古埃及金字塔中最大的 金字塔，它的形状可视为一个正四棱锥，如 图2所示，以该四棱锥的高为边长的正方形 的面积等于它的一个侧面三角形的面积，则 该四棱锥的斜高与底面边长之比为 图1 图2 图11-1-18体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作 一截面，其截面形状为菱形，且不为正方形，故②是正确 的：如图2，过正方体一面上相对两边的中点以及正方体 的中心作一截面，得截面形状为正方形，故④是正确的； 如图3，过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的 中心作一截面，得截面形状为正六边形，故⑤是正确的：过 正方体的中心的平面截正方体得到的截面，且该截面将正 方体的体积平分，显然截面不能是三角形和五边形.故选B. D 1 图2 D 图3 例6答图 变式训练6C 数学文化 例26V2-1【解析】半正多面体面数从上至下依 次为1,8,8,8,1，故共有1+8+8+8+1=26（个）面.正 方体被半正多面体顶点A,B,C所在平面截得的图形如图 2,八边形ABCDEFGH为正八边形 设AB=0,则1=2xV2a+a,解得=V2-1,即该半 2 正多面体的棱长为V2-1. 图1 图2 例题答图 参考答案⊙ 11.1.4棱锥与棱台 要点精析 例1C【解析】根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个 面是三角形，故A正确；根据棱锥的定义，可得棱锥的侧 面都是三角形，故B正确；根据棱锥的定义，可得棱锥都 没有两个互相平行的多边形面，故C错误；根据棱锥的定 义，可得棱锥的侧棱交于一点，故D正确.故选C. 变式训练1A 例2解：如图，在正四棱锥P-ABCD中，高PO=2,侧棱 PB=V6,在Rt△POB中，OB=VPB-PO=V2,在 Rt△B0E中，OE=Y2OB=l,正方形边长BC=2.在 2 Rt△POE中，PE=VOE2+PO=V5,.四棱锥侧面积S=4× 2BP=4V5. 例2答图 变式训练2解：如图所示，在正三棱锥PABC中， △ABC为正三角形，0为△ABC中心，AB=3,OA= V3,OD=Y3.在R△POD中，：∠0PD=:,高PO= 2 6 0D子、斜商m:0P=V了，三按锥侧面积S=3X tan n6 号RCxPD--9Y.:底面积S号BCsin晋=9Y5,三 2 4 棱锥的表面积S=S+S,=27V3 变式训练2答图 例3B【解析】必须用一个平行于底面的平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；棱台 的侧面一定是梯形，故②正确；③不一定是棱台，因为各 39 N 高中数学必修第四册人教B版 条侧棱延长后不一定相交于一点，故③不正确.只有②正 确，故选B. 变式训练3ABD 例4解：(1)是正三棱台，所以侧面都是全等的等腰 梯形.如图1.在梯形ACCA中，分别过A1,C,作AC的垂 线AE与C1F,则由AC=4,AA1=A1C1=CC=2,可知AE= FC=l,故棱台的斜高A,E=V3. (2)根据0，O1分别为下底面与上底面的中心，以及 上、下底面边长为2和4，可得A0=24,0=4Y3.假设正 三棱台ABC-AB,C1是由正三棱锥PABC截得的，则由已知 可得PO是棱锥PABC的高，PO1是棱锥PABC的高， OO1是所求棱台的高.因此△PAO是一个直角三角形，如图 2,A1O1是△PAO的中位线.在Rt△PAO中，PO=VPA2-AO2 =-14-4Y3=4Y6,故棱台的高00，=2Y6 3 3 3 图1 图2 例4答图 变式训练4解：(1)如图，设O1,0分别为上、下底面 的中心，分别取BC,BC的中点E,F,连接OE,EF,OF, 则EF为正四棱台的斜高，EF=VCC2-(CE-CF)2= V(V3(2-1P=V2,则棱台的表面积5=×(2+4)× V2×4+2×2+4×4=12V2+20. D 01 A D 变式训练4答图 (2)两底面面积之和为22+4=20，正四棱台的侧面积 为4x×(2+4)xEF=20,解得EF?，正四楼台的高00= VEF-(OE-0F-(2-1)- 40 数学文化 例+Y5【解析】设正四棱锥底面边长为a,高为 4 h,斜高为，则由已知得作子.在R△POE中，PE= P0+0E,即h2=h+受尺，∴有M2h'+受，解得纪 2 =1+Y5,、.该四棱锥的斜高与底面边长之比为+Y5 4 4 1.1.5旋转体 要点精析 例1解：①以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台，如图1 所示；②以BC边为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部 为圆柱，上部为圆锥.如图2所示；③以CD边为轴旋转所 得旋转体为一组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去 一个小圆锥，如图3所示；④以AD边为轴旋转得到一个 组合体，它是一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图4所示 图1 图2 图3 图4 例1答图 变式训练1C 例2解：(1)如图1所示，满足 (> 题意的直角梯形ABCD,以BC边所 D 在的直线为轴，其余三边旋转一周， 形成一个上底面半径为r=CD=1,下 底面半径为T2=AB=2,母线长为l=3 的圆台，其表面积为S=T(r+r+rl+ 图1 r2l)=T(12+2241×3+2×3)=14π. (2)将圆台的侧面沿母线AD展开，得到如图2所示 的一个扇环，：圆台上、下底面半径的关系为2=21， AA2=2DD2,.0A1=20D.又AD=3,.0A1=6,0D=3. 设∠A10A2=,则AA2的弧长l=-0A1=6a=2m72=4T,.a=