11.1.3 多面体与棱柱-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 11.1.3 多 学习目标 1.了解多面体的定义及其分类， 2.理解棱柱的定义和结构特征， 3.了解多面体表面积的概念，知道棱柱 表面积的计算公式，能用公式解决简单的实 际问题 要点精析 要点1多面体定义及其相关概念、正 多面体 1.由若干个平面多边形所围成的几何体 称为多面体.围成多面体的各个多边形称为 多面体的面；相邻两个面的公共边称为多面 体的棱；棱与棱的公共点称为多面体的顶 点；连接同一面上两个顶点的线段，如果不 是多面体的棱，就称其为多面体的面对角 线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为 多面体的体对角线；一个几何体和一个平面 相交所得到的平面图形（包含它的内部）， 称为这个几何体的一个截面；多面体所有面 的面积之和称为多面体的表面积（或全面 积)·把多面体的任意一个面延展为平面， 如果其余各面都在这个平面的同一侧，那么 称这样的多面体为凸多面体， 2.各个面都是全等的正多边形且过各顶 点的棱数都相等的多面体一般称为正多面体， 拓展：已知正多面体顶点数V、面数 F、棱数E之间满足关系： V+F-E=2. 48)学 面体与棱柱 思考1(1)长方体、正方体是多面 体吗？ (2)最简单的多面体由几个面围成？ 例1如图所示的多面 体，其各面都是边长为2的 等边三角形，四边形ABCD 是正方形 (1)这个多面体有多少个 图11-1-11 顶点？多少个面？多少条棱？ (2)求这个多面体的表面积. (3)求截面AECF的面积. 分析：多面体顶点个数V、面数F、校 数E满足关系式：V+F-E=2,这个关系式 称为欧拉公式.各个面都是全等的正多边形 且过各顶点的棱都相等的多面体称为正多 面体，共有5种正多面体：正四面体、正 六面体、正八面体、正十二面体、正二十 面体，最早是由古希腊哲学家柏拉图发现的. 变式训练① (1)如图，多面体的顶 点数是 棱数是 面数是 (2)一个多面体的面至 少为() 图11-1-12 A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 川要点2棱柱定义及其相关概念 1.有两个面互相平行，且该多面体的顶 点都在这两个面上，其余各面都是平行四边 形，这样的多面体称为棱柱.棱柱可用顶点 或体对角线表示，如图1所示可表示为棱柱 ABC-ABC1,如图2所示可表示为棱柱AD1. 图1 图2 2.棱柱的两个互相平行的面称为棱柱的 底面（底面水平放置时，分别称为上底面、下 底面)，其他各面称为棱柱的侧面；两个侧 面的公共边称为棱柱的侧棱：过棱柱一个底 面上的任意一个顶点，作另一个底面的垂线 所得到的线段（或它的长度）称为棱柱的高； 棱柱所有侧面的面积之和称为棱柱的侧面积. 3.棱柱的分类 (1)棱柱可以按底面的形状分类，例如 底面是三角形、四边形、五边形的棱柱，可 分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱， 第十一章立体几何初步。 (2)如果棱柱的侧棱垂直于底面，则 可知棱柱有的侧面都是长方形，这样的 棱柱称为直棱柱，不是直棱柱的棱柱称为 斜棱柱，底面是正多边形的直棱柱称为正 棱柱 思考2怎样判断一个几何体是不是 棱柱？ 例2下列关于棱柱的说法中，正确的 是() A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.棱柱的侧棱总与底面垂直 分析：注意棱柱定义的三个“要点”： 两面平行，顶点在两面上，侧棱平行 B变式训练2 下列说法正确的是() A.侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱 B.棱柱中两个互相平行的平面一定是 棱柱的底面 C.底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱 D.棱柱的侧面是平行四边形，但它的 底面一定不是平行四边形 川要点3几种常见四棱柱的关系 底面是平行四边形的棱柱也称为平行六 面体，侧棱与底面垂直的平行六面体称为直 平行六面体，底面是矩形的直平行六面体就 是以前我们学过的长方体，而棱长都相等的 长方体就是正方体 思考3直四棱柱、正四棱柱、直平 行六面体、长方体、正方体的关系. 学 49 N 高中数学必修第四册人教B版 例3与四棱柱有关的下列说法中，正 确的是( A.直四棱柱是直平行六面体 B.直平行六面体是长方体 C.六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D.底面是正方形的四棱柱是直四棱柱 分析：注意各类四棱柱的特征，以及 各个集合的包含关系，如图所示 底面变为 侧棱与 底面为 平行四边 底面垂直 矩形 四棱柱 平行六面体 直平行六面体 侧棱长与 底面为 底面边长相等 正方形 正方体 正四棱柱 长方体 B变式训练3 已知p:“M是长方体”，g:“M是直 平行六面体”，则p是g的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 川要点4棱柱中的计算问题 思考4斜三棱柱的侧面积有哪两种 求法？ 例4若长方体共顶点的三个面的面积 分别是2cm,3cm?,6cm2,求这个长方体 体对角线的长度 分析：根据各面面 积求出长方体的长、 D 宽、高，如图所示，再 利用垂直关系得到公 50)学 式：体对角线长l=Va+b2+c2 P变式训练④ 已知正四棱柱的侧棱长为5cm,它的 体对角线长为V43cm,则这个正四棱柱的 侧面积为( A.15V2 cm2 B.60 cm2 C.78 cm2 D.60V2 cm2 川要点5棱柱表面上的最短路径问题： 思考5求简单几何体表面上两点间 最短距离的步骤」 例5如图所示的长方体ABCD-AB,CD 中，AB=5,BC=4,AA=3,求沿着长方体表 面从A到C,的最短路线的长。 图11-1-13 分析：求几何合体表面的最短距离，先 将几何体展开成平面图形，达到“化曲为直” 的目的，再求最短距离，本题有三种路径选 择，需要分别讨论，最后比较出最短路径. B变式训练⑤ 如图，在长方体ABCD D ABCD1中，AB=AD=1, B AA=2V2,点E为AB上 D 的动点，则DE+CE的最 E B 小值为（ 图11-1-14 A.5 B.V15 C.2+2V2 D.V17 川要点6截面问题 思考6用一个平面截正方体，截面 图形可以为几边形？ 例6一个透明密闭的正方体容器中恰 好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个 正方体容器，则水面在容器中形成的所有可 能的形状是() ①三角形；②非正方形的菱形；③五边 形：④正方形：⑤正六边形. 第十一章立体几何初步 A.②④ B.②④⑤ C.③④⑤ D.①②③④⑤ 分析：正方体容器中盛有一半容积的 水，无论怎样转动，其水面总是过正方体 的中心，从而将问题转化为过正方体中心 作正方体的截面问题」 B变式训练6 用一个平面截正方体，截面图形可能是 A.钝角三角形 B.直角梯形 C.有两个内角相等的五边形 D.正七边形 数学文化 例中国有悠久的金石文化，印信是金 石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、 正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤 信的印信形状是“半正多面体”，如图1.半 正多面体是由两种或两种以上的正多边形围 成的多面体.半正多面体体现了数学的对称 美.图2是一个棱数为48的半正多面体，它 的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且 此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面，其棱长为 图1 图2 图11-1-15 分析：可将图2补成长方体，再找到 适当的截面，从中找到各个量的关系 学 51N 高中数学必修第四册人教B版 示为ABCD-ABCD 例3①④【解析】①正确，平面是无限延展的；②不正 确，平面没有形状：③不正确，平面没有厚薄；④正确， 平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变 其位置，可以放在某个平面内：⑤不正确，直线是无限延 伸的，没有长度.故答案是①④. 变式训练2(1)V(2)×(3)× 例4解：(1)用符号表示：a∩B=l,a∩a=A,a∩B=B, 如图1所示. (2)用符号表示：A∈a,B∈a,a∩a=C,CAB,如 图2所示. 图1 图2 例4答图 变式训练3A 例5解：(1)在长方体ABCD-A'B'CD'中，与直线BC 平行的平面有平面A'BC'D'及平面ADDA'. (2)与平面AA'D'D平行的平面为平面BB'C'C. 变式训练4①平行②异面③平行④相交⑤平行 ⑥垂直 例6C【解析】如图，直线AC,∥平面ABCD,AA1⊥平 面ABCD,故直线AC1到平面ABCD的距离为AA1的长度 4,故选C. D 例6答图 变式训练52 数学文化 例3cm【解析】由已知得平面A'B'CD与平面 ABCD的距离为5cm,平面E'FGH'与平面ABCD的距离 为2cm,因为平面A'B'CD'∥平面ABCD∥平面E'F'GH', 所以平面A'B'C'D'与平面E'FG'H'之间的距离为5-2= 3(cm)· 38 11.1.3多面体与棱柱 要点精析 例1解：(1)观察图形可得这个多面体有6个顶点、8 个面、12条棱.(2)一个边长为2的等边三角形，其高为 √3，面积为V3.又因为给定多面体是个八面体，因此 其表面积为8V3.(3)因为四边形ABCD是正方形，所 以截面四边形AECF也是正方形，其面积为4. 变式训练1(1)7127(2)B 例2C【解析】A错误，棱柱的底面不一定是平行四边 形，如三棱柱、五棱柱等；B错误，棱柱的底面可以是三 角形；C正确，由棱柱的特征性质易知；D错误，棱柱的 侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直.故选C. 变式训练2A 例3C【解析】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故 A错误：直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错误；底 面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错误.故选C. 变式训练3A 例4解：设长方体的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm. ab=2,a=1, 由已知，得 ac=3,解得b=2,.该长方体体对角线的长度 bc=6, c=3, 为V+b+e2=V1+4+9=V14(cm). 变式训练4B 例5解：将长方体相邻两个面展开，有3种可能，如图1、 图2、图3所示. 图1 图2 图3 例5答图 图1中沿AB,展开得AC=V5+(3+4)P=V74. 图2中沿BB1展开得AC=V32+(5+4)2=3V10 图3中沿AD1展开得AC=V4+(5+3)尸=4V5. 综上所述，最短路径为74. 变式训练5D 例6B【解析】如图1，正方体容器中盛有一半容积的 水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，过正方 体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作 一截面，其截面形状为菱形，且不为正方形，故②是正确 的：如图2，过正方体一面上相对两边的中点以及正方体 的中心作一截面，得截面形状为正方形，故④是正确的； 如图3，过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的 中心作一截面，得截面形状为正六边形，故⑤是正确的：过 正方体的中心的平面截正方体得到的截面，且该截面将正 方体的体积平分，显然截面不能是三角形和五边形.故选B. D 1 图2 D 图3 例6答图 变式训练6C 数学文化 例26V2-1【解析】半正多面体面数从上至下依 次为1,8,8,8,1，故共有1+8+8+8+1=26（个）面.正 方体被半正多面体顶点A,B,C所在平面截得的图形如图 2,八边形ABCDEFGH为正八边形 设AB=0,则1=2xV2a+a,解得=V2-1,即该半 2 正多面体的棱长为V2-1. 图1 图2 例题答图 参考答案⊙ 11.1.4棱锥与棱台 要点精析 例1C【解析】根据棱锥的几何结构，可得三棱锥有4个 面是三角形，故A正确；根据棱锥的定义，可得棱锥的侧 面都是三角形，故B正确；根据棱锥的定义，可得棱锥都 没有两个互相平行的多边形面，故C错误；根据棱锥的定 义，可得棱锥的侧棱交于一点，故D正确.故选C. 变式训练1A 例2解：如图，在正四棱锥P-ABCD中，高PO=2,侧棱 PB=V6,在Rt△POB中，OB=VPB-PO=V2,在 Rt△B0E中，OE=Y2OB=l,正方形边长BC=2.在 2 Rt△POE中，PE=VOE2+PO=V5,.四棱锥侧面积S=4× 2BP=4V5. 例2答图 变式训练2解：如图所示，在正三棱锥PABC中， △ABC为正三角形，0为△ABC中心，AB=3,OA= V3,OD=Y3.在R△POD中，：∠0PD=:,高PO= 2 6 0D子、斜商m:0P=V了，三按锥侧面积S=3X tan n6 号RCxPD--9Y.:底面积S号BCsin晋=9Y5,三 2 4 棱锥的表面积S=S+S,=27V3 变式训练2答图 例3B【解析】必须用一个平行于底面的平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分才是棱台，故①不正确；棱台 的侧面一定是梯形，故②正确；③不一定是棱台，因为各 39