11.1.2 构成空间几何体的基本元素-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 11.1.2构成空间 学习目标 1.以长方体的构成为例，认识构成几何 体的基本元素，体会空间中的点、线、面与 几何体之间的关系 2.会用数学符号表示空间点、线、面以 及它们之间的位置关系 3.理解平面的无限延展性，学会判断平 面的方法. 要点精析 川要点1构成几何体的基本元素 1.长方体、圆柱、圆锥、球等都是几何 体，简称为“体”；包围着几何体的是“面”： 面与面相交给人“线”的形象，线与线相交 给人“点”的形象.这就是说，可以将点、 线、面看成是构成空间几何体的基本元素. 2.用运动的观点理解点、线、面位置关 系：点动成线，线动成面，面动成体 思考1空间中的，点、线、面，如何用 运动的观，点理解空间基本图形之间的关系？ 例1下列不属于构成空间几何体的基 本元素的是（) A.点 B.曲线 C.多边形（不含内部的点） D.平面 (44)学 几何体的基本元素 B变式训练① 如图所示，请画出图1、图2中线段AB 绕直线旋转一周形成的空间图形. 图1 图2 图11-1-5 |要点2空间几何体的基本元素的表示 空间中的点、线、面的概念 及符号表示 1.立体几何中，我们仍然用大写字母表 示点.此时，构成空间几何体的基本元素可 以借助点来表示 2.空间中的一条直线可看成这条直线上 所有点组成的集合，空间中的直线是无限延 伸的，可用两个大写字母或一个小写字母表 示；空间中的一个平面可以看成是这个平面 上所有点组成的集合，平面是无限延伸的， 平面可由平面内不共线的三点（或以上）或 者一个小写希腊字母表示 3.平面的画法：可 用锐角为45°，水平边 是邻边2倍的平行四 边形表示，或竖直摆 /a 放，如图1和图2所示. 图1 图2 例2如图所示的长方 体中，所有的顶点可以表示 A 为 ， 所有 的棱可以表示为 图11-1-6 ，所有的面可以表示为 这个长方体可以表示为 例3下列判断正确的是 .(填 序号)》 ①平面是无限延展的；②平面的形状是 平行四边形；③两个平面重叠在一起，比一 个平面厚；④通过改变直线的位置，可以把直 线放在某个平面内；⑤一条直线长可以为3cm B变式训练2 判断题（正确的画“V√”，错误的画 “×”) (1)几何体不仅包括它的外表面，还包 括外表面围起的内部部分 () (2)直线的移动只能形成平面.( (3)平静的太平洋就是一个平面！ 要点3判断空间中的点、线、面的位 置关系 1.如图，点、线、 D 2 面的位置关系符号表示 A m BD (1)点A在直线l上： A∈l. (2)点A1在直线1外：A11. (3)点A在平面α内：A∈x. (4)点A1在平面外：A1庄a. (5)两直线位置关系：相交、平行、异 第十一章立体几何初步。 面.例如：m∩l=A,m∥k,l与k异面 (6)直线l在平面a内：lCax. (7)直线l在平面y外：l￠y.包括： m∩ax=A,l∥y. (8)两平面的位置关系：相交、平行. 例如：a∩B=AD;∥y. 2.异面直线的定义 空间中的两条直线，既不平行，也不相 交，此时称这两条直线异面！ 思考2(1)为何点与直线、平面的 关系用“∈”或“年”表示？ (2)如何从公共，点个数的角度对空间 两条直线进行分类？ (3)如何以是否共面的角度对空间两 条直线进行分类？ 例4用符号表示下列语句，并画出 图形 (1)平面a与B相交于直线l,直线a 与a,B分别相交于A,B. (2)点A,B在平面ax内，直线a与平 面a交于点C,C不在直线AB上. 学(45 N 高中数学必修第四册人教B版 变式训练3 如图所示，用符号语言可表述为 图11-1-7 A.x∩B-m,nCx,m∩n=A B.ax∩B=m,n年a,m∩n=A C.anB=m,nCa,A Cm,A Cn D.a∩B=m,n年a,A∈m,A∈n 要点4空间中直线与平面、平面与平 面的位置关系 1.空间中直线与平面的位置关系 (1)直线1上的所有点都在平面α内， 称为直线I在平面内（或平面过直线 ),记作lC. (2)直线m与平面a有且只有一个公 共点，称为直线m与平面a相交，记作m∩ x=B. (3)直线l与平面满足1∩a=☑时， 称为直线1与平面平行，记作l∥a 2.空间中平面与平面的位置关系 (1)平面与平面B有公共点，称为平 面ax与平面B相交，记作ax∩B≠☑. (2)如果α与B是空间中的两个平面， 当ax∩B=☑时，称平面a与平面B平行，记 作a∥B. (46)学 例5如图，在长方体ABCD-A'B'C'D' 中，把它的12条棱延伸为直线，6个面延展 为平面，那么在这12条直线与6个平面中： (1)与直线BC平行的平面有哪几个？ (2)与平面AA'D'D平行的平面有哪几个？ 图11-1-8 D变式训练④ 在正方体ABCD-ABCD,中，判断下列 直线、平面间的位置关系： C B D 图11-1-9 ①AB与DC ②AB与BC ③DD与平面BCCB1 ④AB,与平面BCC1 ⑤平面ABB,与平面DCC, ⑥平面ABB1与平面DDA1 要点5直线与平面垂直及空间中的 距离 1.如图，如果直线 1与平面相交于一点 A，且对平面a内任意 一条过点A的直线m,都有lLm,则称直 线1与平面垂直，也称l是平面α的一条 垂线，α是直线l的一个垂面.记作：l⊥o, 其中点A称为垂足 2.给定空间中一个平面和一点A,过 点A可以作且只可以作平面的一条垂线： 记垂足为B,则称B为A在平面α内的射影 (也称为投影)，线段AB为平面的垂线段， AB的长为点A到平面α的距离；当直线与 平面平行时，直线上的任意一点到平面的距 离称为直线到平面的距离；当平面与平面平 行时，一个平面上的任意一点到另一个平面 的距离称为两平行平面之间的距离. 思考3(1)垂直关系如何判定？ (2)求点到面的距离、线到面的距离、 面面之间的距离的方法有哪些？ 例6在棱长为4的正方体ABCD ABCD1中，直线AC1到平面ABCD的距离 为() A.2 B.2V2 C.4 D.4V2 分析：首先观察图形，可知直线AC∥ 平面ABCD,找过顶，点A1的平面ABCD的 垂线段即可. 第十一章立体几何初步 B变式训练⑤ 在长方体ABCD-ABCD1中，E,F,G, H分别为AA1,BB1,CC,DD1的中点， AA=4,则平面ABCD与平面EFGH的距离 为 。 数学文化 例中国古建筑借助榫卯结构将木构件 连接起来，是在两个构件上采用凹凸部位相 结合的一种连接方式，凸出部分叫榫（或叫 榫头)，凹进部分叫卯（或叫榫眼、榫槽）， 其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加 固物件，体现出中国古老的文化和智慧 如图所示为一个带榫头的木构件，由大 小两个长方体构成，其中大长方体ABCD- A'B'CD的高为5cm,小长方体EFGH-EFG'H' 的高为2cm,则平面A'B'CD与平面EFGH' 之间的距离为 D B' H' 图11-1-10 分析：本题考查两平行平面之间的距 离问题，题目中的高表示两平面到底面的 距离分别为5cm和2cm,两距离相减即 可得到答案」 学 47点O,连接OC,以O为原点，AB所在直线为x轴，OC所 在直线为y轴，建立平面直角坐标系xOy,经计算可得 0A=0B=1,OC=V3 ②画出相应的坐标系x'0'y',使得∠x'0'y'=45°，如 图2： ③在x'轴负半轴上取点A',正半轴上取点B',使得 O'A'=OA=1,O'B'=0B=1; ④在y轴正半轴上取点C,使得OC=)0C=Y3; ⑤连接A'C',B'C,所得△A'B'C即为所求. (2)过点C'作C'D'⊥A'B'=D',如图2所示.在 R△CW0中，CD=0C'=VY5,故所求直观图面 2 积Sac=A'BCD'=×2xY5=Y6.原图形面积 4 4 Sae=号AB.0C=7×2xV3=V3,SAsc=VF= 2S AABC 4 C A OB A 0'D'B'x 图1 图2 例4答图 变式训练4解：如图1所示，分别过点C,D作CF⊥ A'B于点F,DE⊥A'B于点E,则在Rt△A'DE中， A'D'=1,∠BA'D=45°，A'E=DE'=Y2,同理可得 2 BF=Y,放AB=AB+BF+g'F=V+1以点A为 原点、A'B为x'轴、A'D为y轴，建立坐标系，如图1所 示，再以点A为原点，画x轴、y轴，重新建立平面直角 坐标系xAy,如图2所示，在x轴上取点B,使得AB=A'B =V2+1,在y轴上取点D,使得AD=2A'D'=2,过点D作 DC∥x轴，使得DC=D'C'=l；连接CB,擦去辅助线可得直 角梯形ABCD为所求图形，此时，面积S边形=？AD: (4B+CD)=号x2(V2+1+1)=V2+2. 参考答案⊙ D B' B 图1 图2 变式训练4答图 例5解：①画出直角坐标系xOy,在 x轴的正方向上取OA=OA',即CA=CA': ②过B'作BD'∥y'轴，交x'轴于 点D',在OA上取OD=O'D',过D作 DB∥y轴，且使DB=2D'B'; O(C)D A ③连接AB,BC,得△ABC,则 △ABC即为△A'B'C'对应的平面图形， 例5答图 如图所示. 变式训练5菱形 数学文化 例AB【解析】A,B选项中均有四 个直角三角形，可围成“鳖燸”，如图所 5 示；C选项只有三个直角三角形，不符合 、 题意；D选项由于对应边长不等，不能围 73 成几何体，不符合题意，故选AB 例题答图 11.1.2构成空间几何体的基本元素 要点精析 例1C【解析】由于多边形中包括顶点和线段，所以不属 于基本元素，故选C 变式训练1解：画出相应的图形如图所示.分别可形成圆 柱的侧面和圆锥的侧面. 图1 图2 变式训练1图 例2【解析】图中长方体8个顶点：A,B,C,D,A1, B1,C1,D1.12条棱：AB,BC,CD,DA,AB1,BC1, CD1,DA1,AA1,BB1,CC1,DD.6个面：ABCD, ABBA1,BCCB1,AB,CD,DCCD1,ADDA·长方体可表 37 N 高中数学必修第四册人教B版 示为ABCD-ABCD 例3①④【解析】①正确，平面是无限延展的；②不正 确，平面没有形状：③不正确，平面没有厚薄；④正确， 平面可以看成是直线平行移动形成的，所以直线通过改变 其位置，可以放在某个平面内：⑤不正确，直线是无限延 伸的，没有长度.故答案是①④. 变式训练2(1)V(2)×(3)× 例4解：(1)用符号表示：a∩B=l,a∩a=A,a∩B=B, 如图1所示. (2)用符号表示：A∈a,B∈a,a∩a=C,CAB,如 图2所示. 图1 图2 例4答图 变式训练3A 例5解：(1)在长方体ABCD-A'B'CD'中，与直线BC 平行的平面有平面A'BC'D'及平面ADDA'. (2)与平面AA'D'D平行的平面为平面BB'C'C. 变式训练4①平行②异面③平行④相交⑤平行 ⑥垂直 例6C【解析】如图，直线AC,∥平面ABCD,AA1⊥平 面ABCD,故直线AC1到平面ABCD的距离为AA1的长度 4,故选C. D 例6答图 变式训练52 数学文化 例3cm【解析】由已知得平面A'B'CD与平面 ABCD的距离为5cm,平面E'FGH'与平面ABCD的距离 为2cm,因为平面A'B'CD'∥平面ABCD∥平面E'F'GH', 所以平面A'B'C'D'与平面E'FG'H'之间的距离为5-2= 3(cm)· 38 11.1.3多面体与棱柱 要点精析 例1解：(1)观察图形可得这个多面体有6个顶点、8 个面、12条棱.(2)一个边长为2的等边三角形，其高为 √3，面积为V3.又因为给定多面体是个八面体，因此 其表面积为8V3.(3)因为四边形ABCD是正方形，所 以截面四边形AECF也是正方形，其面积为4. 变式训练1(1)7127(2)B 例2C【解析】A错误，棱柱的底面不一定是平行四边 形，如三棱柱、五棱柱等；B错误，棱柱的底面可以是三 角形；C正确，由棱柱的特征性质易知；D错误，棱柱的 侧棱可能与底面垂直，也可能不与底面垂直.故选C. 变式训练2A 例3C【解析】直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故 A错误：直平行六面体的底面不一定是矩形，故B错误；底 面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱，故D错误.故选C. 变式训练3A 例4解：设长方体的长、宽、高分别为acm,bcm,ccm. ab=2,a=1, 由已知，得 ac=3,解得b=2,.该长方体体对角线的长度 bc=6, c=3, 为V+b+e2=V1+4+9=V14(cm). 变式训练4B 例5解：将长方体相邻两个面展开，有3种可能，如图1、 图2、图3所示. 图1 图2 图3 例5答图 图1中沿AB,展开得AC=V5+(3+4)P=V74. 图2中沿BB1展开得AC=V32+(5+4)2=3V10 图3中沿AD1展开得AC=V4+(5+3)尸=4V5. 综上所述，最短路径为74. 变式训练5D 例6B【解析】如图1，正方体容器中盛有一半容积的 水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，过正方