第02讲 构成空间几何体的基本元素（3个知识点+6类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（人教B版2019必修第四册）

第02讲 构成空间几何体的基本元素 课程标准 学习目标 1．借助长方体，认识空间点、直线、平面的位置关系； 2．能用符号语言和图形语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系； 3．理解直线与平面垂直的含义，了解点面距、线面距、面面距的定义. 1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系； 2．初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系； 3．理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法. 4．掌握文字、符号、图形语言之间的转化。 知识点01空间中的点、线、面 1、构成几何体的基本元素 （1）构成空间几何体的基本元素：点、线、面。 （2）从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 2、平面 （1）平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 （2）平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 （3）平面的画法： ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 （4）平面的表示方法： ①一个希腊字母：如，，等； ②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； ③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 【答案】D 【解析】对于A中，平面是无限延展的，所以一个平面图形不是一个平面，所以A不正确； 对于B中，平静的太平洋面是个有边界的图形，不是平面，所以B不正确； 对于C中，平面可以用平行四边形表示，但平面不是是平行四边形，所以C不正确； 对于D中，在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面，所以D正确. 故选：D. 知识点02 空间中点、线、面的位置关系 1、点与直线、点与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 点在直线上 点不在直线上 点在平面上 点不在平面上 2、直线与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 两直线平行 两直线异面 且不平行 两直线相交 3、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 4、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 【即学即练2】 （24-25高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（    ） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 【答案】D 【解析】若直线在平面内，应将直线画在平面内，A错误； 平面与平面相交时，两个平面相交于直线，而不是点，B错误； 直线与平面相交，看不到的部分应当画虚线，C错误； 两直线异面满足作图规范.故选：D 知识点03 直线与平面垂直 1、线面垂直定义 一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有，则称直线与平面垂直（或是平面的一条垂线，是直线的一个垂面），记作，其中为垂足。 2、点到平面的距离 给定空间一个平面及一个点，过点可以作且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，的长为点到平面的距离。 3、线面、面面之间的距离 直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； 当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离。 【即学即练3】如图，在长方体中，已知，，，则点到上底面的距离为（ ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】D 【解析】∵平面， ∴的长度为点到平面的距离， 故点到上底面的距离为3.故选：D. 题型01 空间几何体的基本元素 【典例1】（2025·高一课时练习）图中的几何体的顶点、棱和面的数目分别是（ ） A．4，5，3 B．4，5，4 C．4，6，4 D．4，6，3 【答案】C 【解析】由图可知,几何体是个三棱锥,则有4个顶点,6条棱,4个面,故选:C 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（    ） A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形（不包括内部的点） 【答案】D 【解析】空间中的几何体是由点、线、面构成的,而线有直线和曲线之分,面有平面和曲面之分, 只有多边形（不包括内部的点）不属于构成空间几何体的基本元素,故选:D 【变式2】指出构成如图所示的各几何体的基本元素. 【答案】（1）几何体有12个顶点、18条棱和8个面；（2）几何体有2条曲线、3个面（2个平面和1个曲面）. 【解析】（1）为正六棱柱，有12个顶点、18条棱、8个面 . （2）为圆柱, 有2条曲线(圆), 3个面（2个平面和1个曲面）. 【变式3】（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出面角，计算顶点处的曲率，结合顶点个数可得答案. 【详解】正十二面体在每个顶点有3个面角，每个面角是， 所以正十二面体在各顶点的曲率为， 由于正十二面体有20个顶点，故其总曲率为. 故选：B 题型02 文字、图形、符号三种语言转化 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图中的长方体， （1）直线可简记为，此时，，都是上的点，且，都不是上的点，这可用符号简写为：_______________________________ （2）如果记图中顶点，确定的直线为，顶点，确定的直线为，则有与相交（即有公共点），与不相交（即没有公共点），这可分别表示为：_______________________________ （3）因为与相交于点，所以____________________，一般简写为：_________________. 【答案】     ，，，     ，     且     【解析】根据点与线，线与线位置关系，分别表示，即可直接得出结果. 【详解】（1）因为，都是上的点，且，都不是上的点，所以，，，； （2）因为直线与相交于点，与不相交，所以可分别表示为：，； （3）因为与相交于点，所以且，一般简写为：. 故答案为：，，，；，；且；. 【变式1】“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】因为点在直线上，在平面内。所以符号语言为：，故选：B 【变式2】（2023·全国·高一专题练习）若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解. 【详解】因为点Q(元素)在直线b(集合)上,所以. 又因为直线b(集合)在平面(集合)内, 所以.所以. 故选：B 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）下列关于点、线和面的关系表示错误的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【答案】A 【分析】根据点，线，面的位置关系，结合符号语言，即可判断. 【详解】根据点，线，面的位置关系的符号表示，可知A.错误，应改为点平面； BCD.正确. 故选：A 【变式4】（2025·高一课时练习）给出如下点、线、面的图示. （1）如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系？ （2）如何用数学符号语言表述上述关系？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】文字语言： （1）点在平面外，点在平面内，直线经过点，直线与平面相交. （2）平面和相交于直线， 直线经过内不在直线上的点且经过内不在直线上的点. 数学符号语言：（1），. （2），，. 题型03 异面直线的概念及辨析 【典例3】（24-25高二·上海·课堂例题）以下四个命题： ①若，，则a、b为异面直线； ②若直线a在平面α上，b不在平面α上，则a、b为异面直线； ③没有公共点的两条直线是平行直线； ④两条不平行的直线就一定相交． 其中正确答案的个数为（    ） A．0个； B．1个； C．2个； D．3个． 【答案】A 【分析】利用空间两直线的位置关系，逐一判断各个命题即可得解. 【详解】对于①，分别在两个平面内的两条直线可以相交、可以平行，也可以是异面直线，①错误； 对于②，直线，则可以相交、可以平行，也可以是异面直线，②错误； 对于③，没有公共点的两条直线可以是平行直线，也可以是异面直线，③错误； 对于④，两条不平行的直线可以是异面直线，④错误， 所以正确命题的个数为0. 故选：A 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别位于两个平面内的两条直线是异面直线； ③某一个平面内的一条直线和不在这个平面内的一条直线是异面直线； ④既不平行又不相交的两条直线是异面直线． 其中真命题的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义即可判断各命题的真假． 【详解】①没有公共点的两条直线的可能是平行直线，也可能是异面直线，①错误； ②分别位于两个平面内的两条直线可能平行，它们可以确定一个平面，不是异面直线，②错误； ③直线面，直线面，但是可能在面内，③错误； ④正确；故选B． 【变式2】（24-25高二上·上海静安·期中）两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【答案】B 【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】两条直线为异面直线，则这两条直线没有公共点， 反之，两条直线没有公共点，这两条直线是平行直线或是异面直线， 所以两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的充分不必要条件. 故选：B 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）下列命题中，真命题的个数是（　　） ① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面； ④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】解：①不正确，分别在两个平面内的两条直线可以平行，也可以相交． ②不正确，和两条异面直线都垂直的直线有无数多条． ③不正确，和两条异面直线都相交的两条直线可以是相交直线，如这2条直线的交点在2条异面直线中的某一条上时． ④不正确，若a与b是异面直线，b与c是异面直线，则a与c有可能平行，也有可能相交． 综上，真命题的个数为0， 故选： 【变式4】若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 【答案】D 【解析】a和b是异面直线，b和c是异面直线， 根据异面直线的定义可得：可以是异面直线，如下所示： 也可以相交 也可以平行 故选：. 题型04 空间点、线、面的位置关系 【典例4】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 【答案】A 【分析】根据空间间线面位置关系可得出结论. 【详解】如果直线与平面没有公共点，则， 故选：A. 【变式1】（2024高二上·江苏·学业考试）已知直线平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 【答案】D 【分析】由直线与平面平行定义可得答案. 【详解】对于A，直线平面，则平面内的直线与直线l可能平行，或异面，故A错误； 对于B，由A分析，在与直线l异面的直线中，存在与直线l垂直，故B错误； 对于C，过l的平面可能与相交，故C错误； 对于D，由B分析，可在平面内做无数条与直线l垂直的直线，故D正确. 故选：D 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）以下四个结论： ①若，则为异面直线； ②若，则为异面直线； ③没有公共点的两条直线是平行直线； ④两条不平行的直线就一定相交． 其中正确答案的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】分别根据题设条件结合空间两直线的位置关系的判定方法，以及异面直线的定义，逐项判定，即可求解． 【详解】对于①中，若满足的直线可能是异面直线，可能是平行直线也可能是相交直线，所以①错误． 对于②中，根据直线和平面的位置关系可知，平面内的直线和平面外的直线，可能是异面直线，可能是平行直线，也可能相交直线，所以②错误． 对于③中，在空间中，没有公共点的两条直线是平行直线或者是异面直线，所以③错误． 对于④中，在空间中，两条不平行的直线可能是异面直线，所以④错误． 故选：A． 【变式3】（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】法一：根据异面直线的概念判断即可.法二：利用反证法可证明直线与直线异面. 【详解】法一：由图形可知，直线与直线不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二：（反证法）假设直线与直线不异面，则直线与直线共面， 设直线与直线确定的平面，又不共线，所以确定平面， 所以平面与平面重合，从而可得平面，与平面矛盾， 所以直线与直线异面. 故选：A. 【变式4】（2024高三·全国·专题练习）已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 【答案】D 【分析】根据空间中线面位置关系的基本事实直接判断选项即可. 【详解】依题意，直线必与平面内的某直线平行， 又，因此直线与平面的位置关系是平行或直线在平面内． 故选：D 【变式5】（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断；对于②，由线面平行的性质判断；对于③，由线面平行的判定定理判断；对于④，由线面平行的定义判断. 【详解】对于①，若直线上有无数个点不在平面内，则直线可能与平面相交，也可能与平面平行，①错误； 对于②，当直线 平面时，直线与平面内的直线平行或异面，②错误； 对于③，当直线直线，直线平面，则直线平面，或直线在平面内，③错误； 对于④，当直线平面时，则直线与平面无公共点，所以直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，④正确. 故选：B. 题型05 平面分空间区域数量 【典例4】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 部分． 【答案】15 【分析】根据平面与平面的位置关系，结合题意，从而可得到结果． 【详解】三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点时，可以把空间分成8部分， 再作一个平面，与三个平面都相交，且与这三个平面能围成一个三棱锥， 如图所示，将各平面无限延展，此时可以把空间分成15部分， 故答案为：15．    【变式1】（24-25高二·上海·课堂例题）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 【答案】3 【分析】画出把空间分成7部分时的三个平面，可知它们的交线情况，从而解决问题． 【详解】解：根据题意，三个平面把空间分成7部分， 此时三个平面两两相交， 且有三条平行的交线． 故答案为：3． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成 ．部分． 【答案】或 【分析】由题意可得，再分分别与相交时，时两种情况讨论即可. 【详解】因为平面与平面将空间分成3部分， 所以， 当分别与相交时，这三个平面可以将空间分成部分； 【变式3】（24-25高二上·上海静安·期中）两个平面最多可以将空间分成 部分. 【答案】4 【分析】对两个平面的位置关系情况进行讨论，得出其将空间分成几部分，比较所得的结果即可得到最多可分成几部分. 【详解】两个平面的位置关系是平行与相交，若两个平面平行，则可将空间分成三部分，若两个平面相交，可将空间分成四部分. 故答案为：4. 【变式4】（2024·河北石家庄·模拟预测）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）． 【答案】23 【分析】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块，把四面进行极限倾斜相交分析求解. 【详解】假想一个没有上顶的正方体，该正方体会把空间分割成块， 把四面进行极限倾斜相交，如图所示， 在倾斜的过程中，在不管底面的情况下，个侧面在顶点以下的“水平范围”内最多可以切割出个空间，与没有倾斜极限的情况一样， 多出来的空间是交叉的切割出来的空间， 在空间上是对称的，四个倾斜的侧面在空间中的延伸还是这样的倾斜侧面， 如图所示的对称的锥面同样会切割出个空间， 即顶点之上的个延伸的倾斜的面同样会切割出个空间， 但是四个空间和下面的四个倾斜的侧面切出的是同一个， 即标记“×”的位置， 所以在的基础上加减，即结果是. 故答案为：. 题型06 点、线、面的距离问题 【典例6】（24-25高一·全国·课后作业）棱长为2的正方体中，P是平面内一点，则点P到平面的距离是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】两平面平行，则一个平面内任意一点到另一个平面距离相等， 所以点P到平面的距离等于棱长2，故选：B 【变式1】（23-24高一下·全国·练习）已知正方体的棱长为1，则平面和平面的距离为 . 【答案】1 【解析】因为正方体的对面互相平行，AB均于平面和平面垂直， 故AB为平面和平面的距离，即为1 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD­A′B′C′D′. （1）该长方体的高为 cm； （2）平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为 cm； （3）点A到平面BCC′B′的距离为 cm. 【答案】 3 4 5 【解析】如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝5 cm，BC＝4 cm，CC′＝3 cm， ∴长方体的高为3 cm； 平面A′B′BA与平面CDD′C′之间的距离为4 cm； 点A到平面BCC′B′的距离为5 cm. 【变式3】（2025·全国·高一专题练习）平面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为________． 【答案】12 【解析】如图，，由题意可知，， ， 设 ，， 则 ，解得：， 平面与平面间的距离 故答案为：12 【变式4】如图，长方体的棱、的长分别为3、4、5，求下列距离： （1）点B到平面的距离； （2）直线到平面的距离． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为平面， 所以点B和平面的距离； （2）因为，平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 又平面， ∴直线到平面的距离为． 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 【答案】D 【分析】根据空间合体的基本元素判断即可 【详解】构成空间几何体的基本元素为：点、线、面. 故选：D 2．（23-24高一下·北京房山·期末）“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由点线面的位置关系及其表示即可得解. 【详解】“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为，. 故选：D. 3．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点、线、面的位置关系，及其符号表示逐一判断即可. 【详解】点和面、点和线的关系用“”或“”表示，故A错误； 线面关系用“”或“”表示，故BD错误； 根据图形有，C正确. 故选：C 4．（23-24高一下·四川德阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面，使得有且只有一个公共点 B．若直线平面，则 C．三平面最多把空间分成7部分 D．若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 【答案】D 【分析】对于A，利用基本事实3分析即得；对于B，由直线平面的情况即可排除；对于C，结合长方体的模型即可排除；对于D，对于符合条件的情况，结合模型即可分析得到. 【详解】对于A，利用基本事实3知，平面如果有一个公共点，那么它们必有一条含该公共点的直线，故A错误； 对于B，由直线平面，则或与相交，当时，则有，故B错误； 对于C，当三个平面是长方体中两两垂直的平面时，可以将空间分成8部分，故C错误； 对于D，当3个平面两两相交，且交线互不相同时，则这3个平面可看成一个三棱柱或三棱锥的三个侧面， 利用棱柱与棱锥的定义可得，3条交线互相平行或交于一点，故D正确. 故选：D. 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 【答案】B 【分析】根据异面直线的定义直接判断. 【详解】异面直线、满足，，， 则与平行或相交，与平行或相交， 但直线与，不能同时平行， 若直线与，同时平行，则与平行，与两直线异面矛盾， 所以至少与、中的一条相交， 故选：B. 6．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用直线与平面的位置关系，逐一判断各个命题即可. 【详解】对于①，直线上有无数个点不在平面内，则或直线与平面相交，①错误； 对于②，两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条与这个平面平行或在平面内，②错误； 对于③，直线与平面平行，则与平面没有公共点，与平面内的任意一条直线都没有公共点，③正确， 所以给定命题正确的个数为1. 故选：B 7．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一进行判断即可. 【详解】若，，则或，故A错误. 若，，则或，相交，故B错误. 若，，则或或，故C错误. 若，，则，故D正确. 故选：D. 8．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，已知，，，则点到上底面的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】利用长方体的性质可得答案. 【详解】∵平面， ∴的长度为点到平面的距离，故点到上底面的距离为3. 故选：D. 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 【答案】AB 【分析】根据平面的概念进行选择. 【详解】平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，AB两种说法是正确的；CD两种说法是错误的． 故选：AB 10．（2024高一下·全国·专题练习）若点A在直线b上，直线b在平面内，则点A，直线b，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据点与直线，直线与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】A：因为点A在直线b上，所以，故A正确； B：因为直线b在平面内，所以，故B正确； C、D：由AB及点面关系的表示方式知，故C正确；D错误； 故选：ABC. 11．设为直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ACD 【解析】设为直线，，是两个不同的平面. 对于，若，，则与相交或平行，故错误； 对于，若，，则，故正确； 对于，若，，则与相交，故错误； 对于，若，，则与相交､平行或，故错误.故选：. 三、填空题 12．（23-24高二上·上海长宁·期末）“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 【答案】 【解析】由题意可知：直线在平面内，所以符号语言为：， 13．棱长为2的正方体中，P是平面内一点，则点P到平面的距离是( ) A．1    B．2    C．3    D．4 【答案】B 【详解】两平面平行，则一个平面内任意一点到另一个平面距离相等，所以点P到平面的距离等于棱长2，故选：B 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 构成空间几何体的基本元素 课程标准 学习目标 1．借助长方体，认识空间点、直线、平面的位置关系； 2．能用符号语言和图形语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系； 3．理解直线与平面垂直的含义，了解点面距、线面距、面面距的定义. 1．以长方体的构成为例，认识构成几何体的基本元素，体会空间中的点、线、面与几何体之间的关系； 2．初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系； 3．理解平面的无限延展性，学会判断平面的方法. 4．掌握文字、符号、图形语言之间的转化。 知识点01空间中的点、线、面 1、构成几何体的基本元素 （1）构成空间几何体的基本元素：点、线、面。 （2）从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体。 2、平面 （1）平面的概念：几何里所说的“平面”是从生活中的一些物体中抽象出来的，是无限延展的 （2）平面的特点：（1）平面是平的；（2）平面是没有厚度的；（3）平面是无限延展而没有边界的；（4）平面是由空间点、线组成的无限集合；（5）平面图形是空间图形的重要组成部分。 （3）平面的画法： ①当平面水平放置时，平行四边形的锐角一般画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍； ②当平面竖直放置时，平行四边形的一组对边通常画成铅垂线。 （4）平面的表示方法： ①一个希腊字母：如，，等； ②两个大写英文字母：表示平面的平行四边形的相对的两个顶点； ③四个大写英文字母：表示平面的平行四边形的四个顶点。 【即学即练1】（24-25高一下·全国·课后作业）下面说法中正确的是（    ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平静的太平洋面是平面 C．平面就是平行四边形 D．在几何体的直观图中，平面多边形和圆、椭圆都可以表示一个平面 知识点02 空间中点、线、面的位置关系 1、点与直线、点与平面的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 点在直线上 点不在直线上 点在平面上 点不在平面上 2、直线与直线的位置关系 位置关系 图形表示 符号表示 两直线平行 两直线异面 且不平行 两直线相交 3、直线与平面的位置关系 位置关系 直线a在平面α内 直线a在平面α外 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行 公共点 无数个公共点 一个公共点 没有公共点 符号表示 a⊂α a∩α＝A a∥α 图形表示 4、两个平面的位置关系 位置关系 两平面平行 两平面相交 公共点 没有公共点 有无数个公共点(在一条直线上) 符号表示 α∥β α∩β＝l 图形表示 【即学即练2】 （24-25高二上·上海浦东新·期中）下列各图符合立体几何作图规范要求的是（    ） A．直线在平面内 B．平面与平面相交 C．直线与平面相交 D．两直线异面 知识点03 直线与平面垂直 1、线面垂直定义 一般地，如果直线与平面相交于一点，且对平面内任意一条过点的直线，都有，则称直线与平面垂直（或是平面的一条垂线，是直线的一个垂面），记作，其中为垂足。 2、点到平面的距离 给定空间一个平面及一个点，过点可以作且只可以作平面的一条垂线。如果记垂足为，则称为在平面内的射影（也称为投影），线段为平面的垂线段，的长为点到平面的距离。 3、线面、面面之间的距离 直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离； 当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离。 【即学即练3】如图，在长方体中，已知，，，则点到上底面的距离为（ ） A．4 B．2 C． D．3 题型01 空间几何体的基本元素 【典例1】（2025·高一课时练习）图中的几何体的顶点、棱和面的数目分别是（ ） A．4，5，3 B．4，5，4 C．4，6，4 D．4，6，3 【变式1】（24-25高一下·全国·课后作业）下列不属于构成空间几何体的基本元素的是（    ） A．点 B．线段 C．曲面 D．多边形（不包括内部的点） 【变式2】指出构成如图所示的各几何体的基本元素. 【变式3】（24-25高二下·湖南长沙·阶段练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为（    ） A． B． C． D． 题型02 文字、图形、符号三种语言转化 【典例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图中的长方体， （1）直线可简记为，此时，，都是上的点，且，都不是上的点，这可用符号简写为：_______________________________ （2）如果记图中顶点，确定的直线为，顶点，确定的直线为，则有与相交（即有公共点），与不相交（即没有公共点），这可分别表示为：_______________________________ （3）因为与相交于点，所以____________________，一般简写为：_________________. 【变式1】“点在直线上，在平面内”可表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】（2023·全国·高一专题练习）若点在直线上，在平面内，则，，之间的关系可记作（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·上海·期中）下列关于点、线和面的关系表示错误的是（    ） A．点平面 B．直线平面 C．直线平面 D．平面平面 【变式4】（2025·高一课时练习）给出如下点、线、面的图示. （1）如何用文字语言表述以上点、线、面的位置关系？ （2）如何用数学符号语言表述上述关系？ 题型03 异面直线的概念及辨析 【典例3】（24-25高二·上海·课堂例题）以下四个命题： ①若，，则a、b为异面直线； ②若直线a在平面α上，b不在平面α上，则a、b为异面直线； ③没有公共点的两条直线是平行直线； ④两条不平行的直线就一定相交． 其中正确答案的个数为（    ） A．0个； B．1个； C．2个； D．3个． 【变式1】（24-25高一·全国·课后作业）给出下列四个命题： ①没有公共点的两条直线是异面直线； ②分别位于两个平面内的两条直线是异面直线； ③某一个平面内的一条直线和不在这个平面内的一条直线是异面直线； ④既不平行又不相交的两条直线是异面直线． 其中真命题的个数是（    ）． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（24-25高二上·上海静安·期中）两条直线为异面直线是这两条直线没有公共点的（    ）条件. A．充要 B．充分不必要 C．必要不充分 D．既不充分也不必要 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）下列命题中，真命题的个数是（　　） ① 分别在两个平面内的两条直线是异面直线； ② 和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条； ③ 和两条异面直线都相交的两条直线必定异面； ④ 与同一条直线都异面的两条直线也是异面直线． A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（    ） A．异面或平行 B．异面或相交 C．异面 D．相交、平行或异面 题型04 空间点、线、面的位置关系 【典例4】（2025高二上·黑龙江·学业考试）如果直线与平面没有公共点，那么直线与平面的位置关系是（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．直线在平面内 【变式1】（2024高二上·江苏·学业考试）已知直线平面，则（    ） A．与内所有直线都平行 B．内不存在直线与垂直 C．过的平面与必平行 D．内有无数条直线与垂直 【变式2】（24-25高一·全国·课后作业）以下四个结论： ①若，则为异面直线； ②若，则为异面直线； ③没有公共点的两条直线是平行直线； ④两条不平行的直线就一定相交． 其中正确答案的个数是（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式3】（23-24高二下·云南·期末）如图，在正方体中，直线与直线BD（   ） A．异面 B．平行 C．相交且垂直 D．相交但不垂直 【变式4】（2024高三·全国·专题练习）已知直线与直线平行，直线与平面平行，则直线b与平面的关系为（   ） A．平行 B．相交 C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内 【变式5】（2024高三·全国·专题练习）下列命题中正确的个数是(    ) ①若直线上有无数个点不在平面内，则；②若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都平行；③若直线直线，直线平面，则直线平面； ④若直线平面，则直线与平面内的任意一条直线都没有公共点. A．0 B．1 C．2 D．3 题型05 平面分空间区域数量 【典例4】（24-25高二上·上海黄浦·开学考试）空间四个平面最多能把空间分成 部分． 【变式1】（24-25高二·上海·课堂例题）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有 条． 【变式2】（23-24高一下·上海·期末）已知平面与平面将空间分成3部分，若空间中还有一个平面，那么这三个平面可以将空间分成 ．部分． 【变式3】（24-25高二上·上海静安·期中）两个平面最多可以将空间分成 部分. 【变式4】（2024·河北石家庄·模拟预测）金字塔在埃及和美洲等地均有分布，现在的尼罗河下游，散布着约80座金字塔遗迹，大小不一，其中最高大的是胡夫金字塔，如图，胡夫金字塔可以近似看做一个正四棱锥，则该正四棱锥的5个面所在的平面将空间分成 部分（用数字作答）． 题型06 点、线、面的距离问题 【典例6】（24-25高一·全国·课后作业）棱长为2的正方体中，P是平面内一点，则点P到平面的距离是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1】（23-24高一下·全国·练习）已知正方体的棱长为1，则平面和平面的距离为 . 【变式2】（24-25高一下·全国·课后作业）线段AB长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD­A′B′C′D′. （1）该长方体的高为 cm； （2）平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为 cm； （3）点A到平面BCC′B′的距离为 cm. 【变式3】（2025·全国·高一专题练习）平面，点，点，如果，且，在内射影长分别为5和9，则平面与间的距离为________． 【变式4】如图，长方体的棱、的长分别为3、4、5，求下列距离： （1）点B到平面的距离； （2）直线到平面的距离． 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）构成空间几何体的基本元素为（    ） A．点 B．线 C．面 D．点、线、面 2．（23-24高一下·北京房山·期末）“点A在直线l上，l在平面内”用数学符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（23-24高一下·广东广州·期中）如图所示的点，线，面的位置关系，用符号语言表示正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川德阳·期末）下列说法正确的是（    ） A．平面，使得有且只有一个公共点 B．若直线平面，则 C．三平面最多把空间分成7部分 D．若3个平面两两相交，且交线互不相同，则3条交线互相平行或交于一点 5．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知平面、满足，若异面直线、满足，，则与、的位置关系是（    ） A．至多与、中的一条相交 B．至少与、中的一条相交 C．至少与、中的一条异面 D．至少与、中的一条平行 6．（24-25高一下·全国·随堂练习）下列命题正确的个数为（    ） ①若直线上有无数个点不在平面内，则； ②如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； ③若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点． A．0 B．1 C．2 D．3 7．（23-24高一下·广西钦州·期末）已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论一定正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（24-25高一·全国·课后作业）如图，在长方体中，已知，，，则点到上底面的距离为（    ） A．4 B．2 C． D．3 二、多选题 9．（24-25高一下·全国·课堂例题）（多选）下列说法正确的是（    ） A．平面是处处平的面 B．平面是无限延展的 C．平面的形状是平行四边形 D．一个平面的厚度可以是0.001cm 10．（2024高一下·全国·专题练习）若点A在直线b上，直线b在平面内，则点A，直线b，平面之间的关系可以记作（    ） A． B． C． D． 11．设为直线，，是两个不同的平面，下列命题中错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 三、填空题 12．（23-24高二上·上海长宁·期末）“平面经过直线”用集合符号语言可表示为 ． 13．棱长为2的正方体中，P是平面内一点，则点P到平面的距离是( ) A．1    B．2    C．3    D．4 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$