8.1 向量的数量积 8.1.1 向量数量积的概念 第1课时两个向量的夹角，向量数量积的定义-【创新教程】2024-2025学年高中数学必修第三册五维课堂（人教B版2019）

８．１　向量的数量积 ８．１．１　向量数量积的概念 第１课时　两个向量的夹角、向量数量积的定义 课程标准 素养解读 １．通过物理中“功”等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义． ２．体会平面向量数量积与投影向量的关系． ３．会进行平面向量数量积的运算． ４．能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 通 过 学 习 向 量 的 数 量 积,重点提升学生的数 学运算,逻辑推理,数学 抽象素养． [情境引入] 　　水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动,会让人 感觉自己在水上漂动,异常轻松刺激．要用物理原理 来分析的话,这说明飞机的拉力对人做了功．这种现 象在现实生活中还有很多,在数学中两个向量也有类 似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢? 问题　力对物体做功,由哪些量来确定? [知识梳理] [知识点一]　向量的夹角 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．已知两个非零向量a 和b,如 图,作OA→＝a,OB→＝b,则θ＝　 　　　(０°≤θ≤１８０°)称为向量 a与b的夹角． ２．当θ＝０°时．a与b 　　　;当θ＝１８０°时,a与b 　 　　;当θ＝９０°．a与b垂直,记作　　　　． ３．由于任何方向都可以作为零向量的方向,规定　　 　　可与任一向量垂直,即对于任意的向量a,都 有０⊥a． [知识点二]　两个向量数量积的定义 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 已知两个非零向量a与b,它 们 的 夹 角 为θ,我 们把数量|a||b|cosθ叫作a与b的数 量 积(或 内积),记作a􀅰b,即　　　　　　． 规定:零向量与任一向量的数量积为０,即０􀅰a＝０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．向量的线性运算的结果是一个向量,向量 的数量积运算呢? [知识点三]　向量数量积的性质 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 设a,b是非零向量,它们的夹角为θ,则 (１)|a􀅰b|≤　　　　　; (２)a􀅰a＝　　　　,即|a|＝　　　　　． 一般地,a􀅰a可以简写为a２,因此上述性质(２)也 可改写为a２＝|a|２． 为了方便起见,当a与b至少有一个零向量时,称 它们的数量积(即内积)为０,即a􀅰b＝　　　． (３)a与b垂直的充要条件是它们的数量积为０,即a ⊥b⇔　　　　　． (４)当a与b同向时,a􀅰b＝　　　　　; 当a与b反向时,a􀅰b＝　　　　　． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ２．非零向量的数量积是否可为正数,负数 和零,其数量积的符号由什么来决定? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰６５􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋３．由a􀅰b＞０是否可以得到向量a,b的夹角θ 为 锐角? [知识点五]　向量的数量积的运算律 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 １．a􀅰b＝　　　　(交换律); ２．(λa)􀅰b＝　　　　　＝　　　　(结合律); ３．(a＋b)􀅰c＝　　　　(分配律)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 ４．对于向量a,b,c,(a􀅰b)􀅰c＝a􀅰(b􀅰c) 一定成立吗? [预习自测] １．若|m|＝４,|n|＝６,m 与n 的夹角θ为４５°,则m􀅰n ＝ (　　) A．１２　　B．１２ ２　　C．－１２ ２　　D．－１２ ２．(２０２１􀅰浙江卷,３)已知非零向量a,b,c,则“a􀅰c＝ b􀅰c”是“a＝b”的 (　　) A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ３．已知a,b的夹角为θ,|a|＝２,|b|＝３． (１)若θ＝１３５°,则a􀅰b＝　　　　; (２)若a∥b,则a􀅰b＝　　　　; (３)若a⊥b,则a􀅰b＝　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 数量积的基本概念 [例１]　下列判断: ①若a２＋b２＝０,则a＝b＝０;②已知a,b,c是三个 非零向量,若a＋b＝０,则|a􀅰c|＝|b􀅰c|;③a,b 共线⇔a􀅰b＝|a||b|;④|a||b|＜a􀅰b;⑤a􀅰a􀅰a ＝|a|３;⑥a２＋b２≥２a􀅰b;⑦非零向量a􀅰b满足:a 􀅰b＞０,则a与b 的夹角为锐角;⑧若a,b的夹角 为θ,则|b|cosθ表示向量b 在向量a 方向上的射 影长．其中正确的是　　　　(填序号)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋[思路点拨]　依据数量积的概念逐一判断. 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答,关键 是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数 运算相混淆的运算律,如消去律、乘法结合律等, 当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数 量积的性质等． 􀳀[变式训练] １．绐出下列结论: ①若a≠０,a􀅰b＝０,则b＝０:②若a􀅰b＝b􀅰c,则 a＝c;③(a􀅰b)c＝a(b􀅰c);④a􀅰[b(a􀅰c)－c(a􀅰 b)]＝０．其中正确结论的序号是　　　　． 数量积运算 [例２]已知|a|＝６,|b|＝８,a 与b 的夹角为θ＝ １３５°,求: (１)a􀅰b; (２)(２a＋b)􀅰(a－b)． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　利用向量数量积的定义和运算律计 算． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求平面向量数量积的步骤是:①求a与b的夹 角θ,θ∈[０,π];②分别求|a|和|b|;③求数量积, 即a􀅰b＝|a||b|cosθ． (２)当求向量的数量积时,先利用向量数量积的运 算律展开、化简,再由向量数量积的定义计算． 􀳀[变式训练] ２．△ABC外接圆的半径为１,圆心为O,２OA → ＋AB → ＋ AC → ＝０,|OA → |＝|AB → |,则 CA → 􀅰CB → 的 值 是　　　　． 　　　向量的夹角 [例３]　(１)已知向量|a|＝１０,|b|＝１２,且a􀅰b＝ －６０,则向量a与b的夹角为 (　　) A．６０°　　　　　　B．１２０° C．１３５° D．１５０° 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰７５􀅰 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 (２)已知向量a,b满足|a|＝１,|b|＝４,且a􀅰b＝２, 则a与b的夹角θ＝ (　　) A．π６ B． π ４ C．π３ D． π ２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　求向量的夹角的关键是计算a􀅰b 及|a||b|,在此基础上结合数量积的定义或性质 计算cosθ＝ a 􀅰b |a||b| ,最后借助θ∈[０,π],求出θ 值． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 (１)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使 两个向量起点重合,作两个向量的夹角,按照“一 作二证三算”的步骤求出． (２)特别地,a与b的夹角为θ,λ１a与λ２b(λ１,λ２ 是 非零常数)的夹角为θ０,当λ１λ２＜０时,θ０＝１８０°－ θ;当λ１λ２＞０时,θ０＝θ． 􀳀[变式训练] ３．已知|a|＝９,|b|＝６ ２,a􀅰b＝－５４,则a与b 的 夹角θ为 (　　) A．４５°　　B．１３５°　　C．１２０°　　D．１５０° 　　　几何图形中数量积的计算 [例４]　已知正三角形ABC的边长为１,求: (１)AB→􀅰AC→;(２)BC→􀅰AC→． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋[思路点拨]　正确区分向量的夹角与三角形内角 的异同． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a􀅰b ＝|a||b|cosθ． 运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹 角,条件是两向量的始点必须重合,否则,要通过 平移使两向量符合以上条件． 􀳀[变式训练] ４．在等腰直角三角形ABC 中,AB＝BC＝４,则AB→􀅰 BC→＝　　　　,BC→􀅰CA→＝　　　　,CA→􀅰AB→＝ 　　　　． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．若向量a与b的夹角为６０°,则向量－a与－b的夹 角是 (　　) A．６０°　　B．１２０°　　C．３０°　　　D．１５０° ２．已知|a|＝２,|b|＝２,a与b的夹角为π４ ,则a􀅰b＝ (　　) A．２ ２ B．２ C．２ D．３ ３．在△ABC中,|AB→|＝１３,|BC→|＝５,|CA→|＝１２,则 AB→􀅰BC→的值是　　　　． ４．已知|a|＝４,|b|＝５,当(１)a∥b,(２)a⊥b,(３)a与 b的夹角为３０°时,分别求a与b的数量积． 学习至此,请完成配套训练 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第２课时　向量的投影与向量数量积的几何意义 课程标准 素养解读 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 １．掌握数量的定义,理解平面向量数量积的几何意义 ２．理解投影的概念 通过学习平面向量数量积的几何意义及投影, 重点培养学生的数学抽象和数学运算素养 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 [情境引入] 　　投影是构建高维和低维空间联系的桥梁,体现数 学本质． 向量在直线l上的投影还是向量吗? 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰８５􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B ∴φ＝ π ６＋２nπ ,n∈Z,又|φ|＜ π ２ , ∴φ＝ π ６ , 故所求函数的解析式为y＝１２sin ２x＋ π ６( )－１． (２)把y＝sinx的图像向左平移π６ 个单位,得到y＝sin(x ＋π６ )的图像,然后将得到的图像上点的纵坐标保持不 变,横坐标缩短为原来的 １ ２ ,得到y＝sin(２x＋π６ )的图 像;再将得到的图像上点的横坐标保持不变,纵坐标变为 原来的１ ２ ,得到y＝１２sin (２x＋π６ )的图像,最后把函数y ＝１２sin (２x＋π６ )的图像向下平移１个单位,得到y＝１２ sin(２x＋π６ )－１的图像 变式训练 ４．A　[y＝sinωx＋ω３π－ π ６( ) 和函数y＝cosωx的图像重 合,可得ω ３π－ π ６＝ π ２＋２kπ ,k∈Z,则ω＝６k＋２,k∈Z． ∴２是ω的一个可能值．] 第八章　向量的数量积与三角恒等变换 ８．１　向量的数量积 ８．１．１　向量数量积的概念 第１课时　两个向量的夹角、向量数量积的定义 课前预习学案 情境引入 　提示　由力和位移两个向量来确定,功可以看作力F 和 位移s这两个向量的某种运算结果． 知识梳理 知识点一、１．∠AOB　２．同向　反向　a⊥b　３．零向量　 知识点二、a􀅰b＝|a||b|cosθ　 知识点三、(１)|a|􀅰|b|　(２)|a|２　 a􀅰a　０　(３)a􀅰b＝ ０　(４)|a||b|　－|a||b| 知识点五、１．b􀅰a　２．λ(a􀅰b)　a􀅰(λb)　３．a􀅰c＋b􀅰c [思考] １．提示:实数． ２．提示:由两个非零向量的夹角决定． 当０°≤θ＜９０°,非零向量的数量积为正数． 当θ＝９０°时,非零向量的数量积为零． 当９０°＜θ≤１８０°时,非零向量的数量积为负数． ３．提示:因为a􀅰b＝|a||b|cosθ,故由a􀅰b＞０可得cosθ＞ ０,又θ∈[０,π],故θ∈[０,π２ ),即θ为锐角或零度角． ４．提示:不一定成立．∵若(a􀅰b)􀅰c≠０,其方向与c相同或 相反,而a􀅰(b􀅰c)≠０时其方向与a相同或相反,而a与 c方向不一定相同,故该等式不一定成立． 预习自测 １．B　[m􀅰n＝|m||n|cosθ＝４×６× ２２＝１２ ２． ] ２．B　[若c⊥a且c⊥b,则a􀅰c＝b􀅰c＝０,但a不一定等于 b,故充分性不成立;若a＝b,则a􀅰c＝b􀅰c,必要性成立, 故为必要不充分条件．故选择:B．] ３．(１)－３ ２　(２)±６　(３)０ 课堂互动学案 [例１]　[解析]　由于a２≥０．b２≥０,所以,若a２＋b２＝０．则 a＝b＝０．故①正确;若a＋b＝０,则a＝－b,又a,b,c是三 个非零向量．所以a􀅰c＝－b􀅰c,所以|a􀅰c|＝|b􀅰c|,② 正确;a,b共线⇔a􀅰b＝±|a||b|,所以③错误; 对于④,应有|a||b|≥a􀅰b,所以④错误; 对于⑤,应该是a􀅰a􀅰a＝|a|２a,所以⑤错误; 对于⑥,a２＋b２≥２|a||b|≥２a􀅰b,故⑥正确; 对于⑦,当a与b的夹角为０°时, 也有a􀅰b＞０,因此⑦错误; 对于⑧,|b|cosθ表示向量b在向量a 方向上的投影的数 量,而非射影长,故⑧错误． 综上可知①②⑥正确． [答案]　①②⑥ 变式训练 １．解析:因为两个非零向量a、b垂直时,a􀅰b＝０,故①不 正确; 当a＝０,b⊥c时,a􀅰b＝b􀅰c＝０,但不能得出a＝c,故② 不正确; 向量(a􀅰b)c与c共线,a(b􀅰c)与a共线,故③不正确; a􀅰[b(a􀅰c)－c(a􀅰b)]＝(a􀅰b)(a􀅰c)－(a􀅰c)(a􀅰b) ＝０,故④正确． 答案:④ [例２]　[解]　(１)a􀅰b＝|a||b|cosθ ＝６×８×cos１３５°＝－２４ ２． (２)(２a＋b)􀅰(a－b)＝２a２－a􀅰b－b２ ＝２|a|２－(－２４ ２)－|b|２ ＝２×６２＋２４ ２－８２ ＝８＋２４ ２． 变式训练 ２．解析:如图,D 为BC 中点, ∵２OA→＋AB→＋AC→＝０, ∴２OA→＋２AD→＝０, ∴AD→＝－OA→,∴AD→＝AO→ ∵O 与D 重合,∴BC为圆的直径． ∵|OA→|＝|AB→|＝１,|BC→|＝２,∴|AC→|＝ ３,∴∠ACB＝π６ , ∴CA→􀅰CB→＝|CA→|􀅰|CB→|􀅰cos∠ACB＝３􀅰２􀅰 ３２＝３． 答案:３ [例３]　[解析]　(１)设a与b的夹角为θ, 则cosθ＝ a 􀅰b |a|􀅰|b|＝ －６０ １０×１２＝－ １ ２ , ∴θ＝１２０°． (２)由题意,知a􀅰b＝|a||b|cosθ＝４cosθ＝２, 即cosθ＝１２ ,又０≤θ≤π,所以θ＝π３． [答案]　(１)B　(２)C 变式训练 ３．B　[∵cosθ＝ a 􀅰b |a||b|＝ －５４ ９×６ ２ ＝－ ２２ , ∵０°≤θ≤１８０°, ∴θ＝１３５°．] [例４]　[解]　(１)∵AB→与AC→的夹角为６０°． ∴AB→􀅰AC→＝|AB→||AC→|cos６０°＝１×１×１２＝ １ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰１１１􀅰 参考答案 (２)∵BC→与AC→的夹角为６０°, ∴BC→􀅰AC→＝|BC→||AC→|cos６０°＝１×１×１２＝ １ ２． 变式训练 ４．解析:由题意,得|AB→|＝４,|BC→|＝４,|CA→|＝４ ２, 所以AB→􀅰BC→＝４×４×cos９０°＝０,BC→􀅰CA→＝４×４ ２× cos１３５°＝－１６,CA→􀅰AB→＝４ ２×４×cos１３５°＝－１６． 答案:０　－１６　－１６ 随堂步步夯实 １．A　 [向 量 －a 与 －b 的 夹 角 和a 与b 的 夹 角 相 等, 为６０°．] ２．A　[a􀅰b＝２×２×cosπ４＝２ ２ ,故选 A．] ３．解析:易知|AB→|２＝|BC→|２＋|CA→|２, C＝９０°．cosB＝５１３ , ∴cos‹AB→,BC→›＝cos(１８０°－B) ＝－cosB＝－５１３． ∴AB→􀅰BC→＝|AB→|􀅰|BC→|cos(１８０°－B)＝１３×５× －５１３( )＝－２５． 答案:－２５ ４．解:(１)a∥b,若a与b 同向,则θ＝０°,所以a􀅰b＝|a||b| 􀅰cos０°＝４×５×１＝２０; 若a与b反向,则θ＝１８０°,所以a􀅰b＝|a|􀅰|b|cos１８０° ＝４×５×(－１)＝－２０． (２)当a⊥b时,θ＝９０°, 所以a􀅰b＝|a||b|cos９０°＝０． (３)当a与b的夹角为３０°时,a􀅰b＝|a||b|cos３０°＝４×５ × ３２＝１０ ３． 第２课时　向量的投影与向量数量积的几何意义 课前预习学案 情境引入 　提示:是向量． 知识梳理 知识点一、(１)向量A′B′→　(２)相同　|a|cos‹a,b›　０　相反 　－|a|cos‹a,b›　 知识点二、|a|cos‹a,b›　数量　非负数　负数　|a|cos‹a, b›　a在向量b上的投影的数量 [思考] 　提示:b在a 方向上的投影|b|􀅰cosθ是个实数,可以是 正值,也可以是零或负值,因为它取决于两向量夹角的 大小． 预习自测 １．B　[∵|a|cos‹a,b›＝２,|b|cos‹a,b›＝１,a􀅰b＝４＝|a|| b|cos‹a,b›, ∴|a|＝４,|b|＝２, ∴cos‹a,b›＝ a 􀅰b |a||b|＝ ４ ４×２＝ １ ２ , ∴‹a,b›＝π３ ,故选B．] ２．解析:b􀅰a＝|a|􀅰|b|􀅰cosθ＝５×６＝３０． 答案:３０ ３．解析:由投影数量的概念知: |a|􀅰cos‹a,b›＝３×cos４５°＝３ ２２ ． 答案:３ ２ ２ 课堂互动学案 [例１]　[解]　(１)a􀅰b＝|a||b|cosθ＝５×４×cos１２０°＝ －１０; (２)a在b 上的投影数量为|a|􀅰cosθ＝a 􀅰b |b|＝ －１０ ４ ＝ －５２． 变式训练 １．解析:向量a,b的夹角θ＝６０°, 故b在a 方向上的投影的数量为|b|cosθ＝２cos６０°＝２× １ ２＝１． 答案:１ [例２]　[解]　∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|, ∴１≤|a－b|≤７, 即|a－b|的取值范围是[１,７]． 变式训练 ２．A　[设a,b的夹角为θ, 因为|a􀅰b|＝４|b||cosθ|≥１０, 所以|b|≥ １０４|cosθ|≥ ５ ２ , 由向量形式的三角不等式得, |a－２b|≥||a|－２|b||＝|２|b|－４|≥ ２􀅰５２－４ ＝１． ] [例３]　[解]　如图,连接AD,因为AB ＝AC＝４,∠BAC＝９０°,所 以 ∠ABC 是等腰直角三角形．又 D 是边BC 的 中点,所以AD⊥BC,∠ABD＝４５°,所 以BD＝２ ２． 延长AB 到E,则AB→与BD→的夹角为∠DBE＝１８０°－４５° ＝１３５°． (１)AB→在BD→方向上的投影的数量为|AB→|cos１３５°＝４× － ２２ æ è ç ö ø ÷＝－２ ２． (２)BD→在AB→方向上的投影的数量为|BD→|cos１３５°＝２ ２ × － ２２ æ è ç ö ø ÷＝－２． 变式训练 ３．D　[向量b与a方向上的投影数量为|b|cosθ＝４×cos １２０°＝－２．] 随堂步步夯实 １．A　[根据投影数量的定义,设a,b的夹角为θ,可得向量 a在b 方向上的投影数量是|a|cosθ＝a 􀅰b |b|＝－４ ,故 选 A．] ２．B　[设a与b的夹角为θ, ∵|a|cosθ＝２, ∴a􀅰b＝|a||b|cosθ＝４×２＝８．] ３．解析:由投影数量的定义知 |b|􀅰cosθ＝８×cos６０°＝４． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀅰２１１􀅰 必修第三册　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　数学B