7.4 数学建模活动：周期现象的描述-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

7.4数学建模活动 效果评价 1.单摆离开平衡位置0的位移s(单 位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式 为s-6in2m+看引，则单摆在摆动时，从最 右边到最左边的时间为() A.2s B.Is C.2s D. 2.某市某房地产中介对某楼群在今年的 房价作了统计与预测，发现每个季度的平均 单价y(每平方米的价格，单位：元)与第 x季度之间近似满足y=500sin(wx+p)+9500 (ω>0)，已知第一季度和第二季度的平均单 价如下表所示： 1 10000 9500 则此楼群在第三季度的平均单价大约是 ( A.10000元 B.9500元 C.9000元 D.8500元 3.据市场调查，某种商品一年内每 件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x) =Asin(ox+p)+bA>0,o>0,olk的模型 波动(x为月份)，已知3月达到最高价9千 元，7月价格最低为5千元，根据以上条件 可确定f代x)的解析式为() 第七章三角函数。 ,周期现象的描述 Af)-2sim平平+7(1≤≤12，xe N.) B.fx)=9sin年x年）(1≤x≤12，xe N.) C.fx)-2V2sin平x+7(1≤x≤12，x∈ N.) D.)-2sim牙+④+7(1≤x≤12，xe N+) 4.商场人流量被定义为每分钟通过入口 的人数.某节日期间某一天商场的人流量满 足函数F()-50+4sin号（≥0），则人流量增 加的时间段是() A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20] 5.有一小球从某点scmf 开始来回摆动，与平衡 位置的距离s(单位：cm) 01 11s 6 关于时间t(单位：s)的函 数解析式是s=Asin(wt+p), 第5题图 A>0,ω>0,0<p<号，函数图象如图所示， 则p=」 提升练习 6.如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转， 每转一圈需要12min,其中心0距离地面 40.5m,半径40m.如果你从最低处登上摩 练 41 N 高中数学必修第三册人教B版 天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化 而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时， 请解答下列问题： (1)求出你与地面的距离y与时间t的 函数关系式 (2)当你第四次距离地面60.5m时，用 了多长时间？ 第6题图 42)练 7.已知弹簧上挂着的小球做上下振动， 它与平衡位置（静止时的位置）的距离h (单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关 系式为A=3sin2+号 (1)求小球开始振动的位置 (2)求小球第一次上升到最高点和下降 到最低点的时间 (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？ 第七章三角函数。 8.某港口水深y(单位：m)是时间t (0≤t≤24，单位：h)的函数，记作y=ft), 下面是某日水深的数据： th 0 3 6 12 分 18 21 24 y/m10.013.09.97.010.013.09.97.010.0 经长期观察，y=f(t)的曲线可近似地看 成是函数y=A sinot+-b(A>0,w>0)的图象， (1)试根据以上数据，求出函数y=f(t) 的近似解析式 (2)一般情况下，船舶航行时，船底高 出海底的距离为5m或5m以上时认为是安 全的（船舶停靠时，船底只需不碰海底即 可)·某船吃水深度（船底与水面的距离） 为6.5m,如果该船希望在同一天内安全进 出港，那么它至多能在港内停留多长时间 (忽略进出港所需的时间)？ 练(（43N 高中数学必修第三册人教B版 数的一条对称轴，散B正确：当=晋时，2x受+ 日0.此时y2晋，2列是函数的一个对称中心， 故C错误；函数向左平移罗个单位，再向下平移2个单 位后，得y=3n2(x+晋)+爱引+2-2=3in(2x+m) -3sin2x,函数是奇函数，故D正确.故选ABD. 9.2m【解析】函数y=an宁+智)的最小正周期T 2m. 2 10.-cos)x【解析】由题知，f(x)=-cos刀x,(-x)= -cos受=-cos受fx),即f代)为偶函数.由写x=6m, x=2k,k∈Z,当=1时，f八x)=-c0sx关于直线x=2对称. 当xe[0,2]时，乏xe[0,π]，则由余弦函数的性质可 知，函数fx)=-cos刀x在[0,2]上单调递增. 1L.4【解析】函数f(x)的图象向右平移T个单位后相 对应的解析式为y=-sin(-40-写)，yfx)与=)的 图象关于x轴对称，故sin(-置-号=-如ar-号) sin(ox-)(Z).4(k+1) (k∈Z),∴.当k=0时，ω的最小值为4 12.①②④【解析】由题可得，2π=2，f(x)的最小 T 正周期为2，故①正确：名=4sin(石-石0，∴x)的 图象关于点（名，0对称，故②正确：离y轴最近的对称轴 为=-号若a-)a+,则h的最小值为号，放③ 错误；在y轴右侧离)轴最近的对称纳为=子，升号)4， 面号号<4，在0，+)上是该函数，因此九)的 3 图象在第一象限每个周期内与y=】的图象都有两个交点， 在区同(6，号上有两个交点，在区间传名上有两 个交点，从而在0，名)上有4个交点，故④正确。 1解：（0)由题意知}78-沿B号，故w2 (78 N 又B=sin石o=-l,“石+9=-受+2km,keZ, 即p=-2π+2km,keZ 3 p<m,e-号，六e)-n2x-号m (2)当xe[石，m时，2x-子me-号，号小y sin在号，Σ]上单调递增，在[受，专]上单调递减， dm2x-号me,小函数的值城为空.小 14.解：(1)由fx)的最小正周期为π，知2π=π，即 w=2. 又f(x)图象的一条对称 /x)归2sin2x+石 轴为直线x=石，2×石0= 6 km+牙，keZ.又0<0<7， =石“fx)的图象过点(0. 1),即1=Asin石，得A=2, 0 122 fx)=2sn(2x+石），故f2牙 第14题答图 =2sin7+石）=2sin牙-V2. 2)当xe0,号引时，2x+若eg,7石1 sn2+君)e分小，e1e0,21,作两数e 2sin2x+石在0，号]上的图象，如图所示，数形结合 可知，若方程f(x)-m=0有两个不同的实数根，则me (0,1)U(1,2),即实数m的取值范围为(0,1)U (1,2). 一"7.4数学建模活动：周期现象的描述 效果评价 1.C【解析】由题意，知周期T=2π=1s,从最右边到 2T 最左边的时同是半个周期，为}s故选C 2.C【解析】y=500sin(wx+p)+9500(w>0),.当x= 1时，500sin(w+p)+9500=10000:当x=2时，500sin(2w+ p)*9500=9500.即/sin(2ae)-0,.2aty=mm,meZ, lsin(ot)=l,“otg=受+2m,neZ 易得30+g=-7+2km,keZ.又：当x=3时，y=500sin(3+ 参考答案。 p)+9500,.∴y=9000.故选C. 故第四次距离地面60.5m时，用时为12+8=20(min). 3.A【解析】方法一：由已知条件，用排除可知.令x= 7.解：(1)令1=0，得h=3sin红=3Y2,开始振 3可排除D,令x=7可排除B,由A=95=2可排除C.故 4 2 选A. 动的位置为平衡位置上方距离平衡位置3Y2cm处， 2 方法二：由题意，可得A=95=2,b=7.周期T=2π= 2 (2)由题意知，当h=3时，1的最小值为g,即小球 2x(7-3)=8,则w=牙，fx)=2sin年+p+7.当x=3时， 第一次上升到最高点的时间为智、 y=9.2sin亚+p)+7-9.即sm(+p=l.olk号 当=-3时，1的最小值为区，即小球第一次下降到 p=-开，x)-2n(牙4)+7(1≤x≤2，eN.) 最低点的时间为5πs. 8 故选A. (3)T=2T=π，即经过约πs小球往返振动一次. 2 4.C【解析】由2km-牙≤行≤2km+牙，ke乙，知函 (4斥7石即每秒内小球往返浆动号次 数F(t)的单调递增区间为[4T-T,4kT+π]，k∈Z.当k= 8.解：(1)由已知数据， ty/m 1时，t∈[3m,5m].[10,15]C[3m,5π]，故选C 13 描出曲线如图 5石【解析】根据因象，知行0)，(0两点的 易知函数y=f(t)的周期T= 距离刚好是子个码别，小子7吕石号1，则。= 12,振幅A=3,b=10, 15/ 2牙-2m:当1仁石时，函数取得最大值，2m× 6 石p=受+ 10(0≤t≤24). 第8题答图 2冰m,keZ,又0w<79=石 (2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5+6.5= 11.5(m). 提升练习 6.解：(1)由已知可设y=40.5-40 cosot(w>0,t≥ 由y≥15，得3ing4+10≥15，即sn君≥子① 0,由已知周期为12mim,可知a符，即u=君，y 0≤1≤24,0≤石1≤4m.② 40.5-40 cos Tt(t≥0) 6 ①2，得g≤君1≤或1≤君≤1四化简得 61 6 6 1≤1≤5或13≤≤17. (2)令405-40c0石=60.5，得cos石=-7，∴石 6 6 该船最早能在凌晨1时进港5时出港，或在13时进 号r或君=号，解得14或8 港17时出港，故在港内最多可停留4h. 第八章向量的数量积与三角恒等变换 >m8.1向量的数量积 AD且BC=AD,∴.四边形ABCD为平行四边形.又AB. BC=O,.AB⊥BC,.四边形ABCD为矩形.故选C. 8.1.1向量数量积的概念 7.4【解析】ab=16,lalb1cos(a,b)=l6.又a在b 效果评价 上的投影的数量为4，lalcos(a,b)=4,b1=4. 1.C 2.B 3.D 4.ACD 83-子【解析】C-2D成， 5.A【解析】.la=2,bl=V3,a·b=3,.ab=lallb 点D为BC上靠近点B的三等分点， cos(a,b)=2xV3 xcos(a,B)=3,..cos(a,b)=V3.. 2 如图所示，C=号C=2,D ≤(a,b)≤180°，.(a,b)=30°.故选A. }BCi=1.又：AB,CD)=AB,CB) 第8题答图 6.C【解析】在四边形ABCD中，BC=AD,.BC∥ 79