9.3 数学探究活动：得到不可达两点之间的距离-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

N 高中数学必修第四册人教B版 9.3 数学探究活动：得 学习目标 1.掌握测量两个不可达的点之间的距离 时，把测量不可达的两点A,B之间的距离 问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问 题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算 相关的边长 2.通过解决一个“平面内不可达的两点 之间的距离”的问题，掌握将实际问题转化 为解三角形问题的方法，进一步提高应用正 弦定理、余弦定理解斜三角形的能力，提高 运用数学知识解决实际问题的能力. 3.通过解决“平面内不可达的两点之间 的距离”问题，体会如何将具体的实际问题 转化为抽象的数学问题.培养数学应用意识 和探索问题、解决问题的能力，学习用数学 的思维方式去解决问题，认识世界」 要点精析 要点1探究活动：得到不可达两点之间· 的距离的探究步骤 (1)设计测量方案， (2)明确计算方法. (3)根据地形选取测量点，测量所需 数据， (4)计算结果。 (5)填写活动报告. 思考1如图所示，为了测量某湖泊 两侧A,B的距离，某同学首先选定了与 22)学 到不可达两点之间的距离 A,B不共线的一点C,然 后给出四种测量方案 (△ABC的角A,B,C所 对的边分别记为a,b,c): ①测量A,C,b;②测量a,b,C; ③测量A,B,a;④测量a,b,B. 则一定能确定A,B间距离的所有方案 的序号为( A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④ 例1如图，AB是底部不可到达的一个 建筑物，A为建筑物的最高点.某学习小组准 备了三种工具：测角仪（可测量仰角与俯 角)、米尺（可测量长度）、量角器（可测量 平面角度)· h3 ----B 图9-3-1 (1)请你利用准备好的工具（可不全使 用)，设计一种测量建筑物高度AB的方法， 并给出测量报告 注：测量报告中包括你使用的工具，测 量方法的文字说明与图形说明，所使用的字 母和符号均需要解释说明，并给出你最后的 计算公式 (2)该学习小组利用你的测量方案进行 了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发 现计算结果与该建筑物实际高度有误差，请 你针对误差情况进行说明， 分析：(1)AB底部不可达，因此可用 解三角形思想求解，测量出相应的线段长度 和角度，然后由三角形的知识进行计算 (2)误差产生的原因很多，如工具误 差，两次测量时位置不完全一样（每个数据 都可能出现误差)· 第九章解三角形。 B变式训练① 如图，要测量山顶上的电视塔FG的高 度，已知山的西面有一栋楼AC(该楼的高 度低于山的高度)·试设计在楼AC上测量并 计算山顶上的电视塔高度的方案。 图9-3-2 川要点2方案设计问题 (1)设计方案测量有关长度或者高度， 一般以简便为原则，构建在同一个三角形中 解决问题，对于较复杂的问题，也可以考虑 构建在几个三角形中 (2)在具体设计时，一定要先设计方案， 然后决定收集哪些信息、数据，最后进行测 量计算.在设计方案时要注意实际测量往往 受地形地貌、测量工具等条件的制约，方案 要切实可行，测量也要符合题目和实际要求， 学(23 高中数学必修第四册人教B版 思考2我们都知道，月球是距离地 球最近的星球，月球与地球近地点的距 离是363000km,与地球远地，点的距离是 406000km,地球与月球的平均距离是 384403.9km.可以肯定的是，没有一个人 测量过地月距离 问题：你能给出一个方案，测量出地 月距离吗？ 例2目前，中国已经建成全球最大的 5G网络，无论是大山深处还是广袤平原， 处处都能见到5G基站的身影.如图1，某同 学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座 5G基站AB,已知基站高AB=50m,该同学 眼高1.5m(眼睛到地面的距离)，该同学在 初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底 部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角 为45° (1)求出山高BE.(结果保留整数) (2)如图2，当该同学面向基站AB前行 时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位 置M处（眼睛所在位置）到基站AB所在直 线的距离MD=xm,且记在M处观测基站底 部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为 B.试问当x多大时，观测基站的视角∠AMB 最大.（参考数据：sin8°≈0.14，sin37°≈0.6， sin45°≈0.7，sinl27°≈0.8) 37% B E 图1 图2 图9-3-3 (24)学 分析：(1)根据题意，建立三角形模 型，用正弦定理直接求出山高BE: (2)利用两角和差正切公式和基本不等 式求最值，可得观测站视角∠AMB的最 大值. 反思：数学建模中方案设计的一般思路： (1)分析：理解题意，分清已知与未 知，画出示意图 (2)建模：根据已知条件与求解目标， 把已知量与求解量尽量集中在有关的三角 形中，建立一个解三角形的数学模型。 (3)求解：利用正弦定理或余弦定理 有序地解出三角形，求得数学模型的解。 (4)检验：检验上述所求的解是否符 合实际意义，从而得出实际问题的解. 变式训练② 某中学校园内有一个湖泊，湖的两侧有 一个音乐教室和一个图书馆，如图，若音乐 教室设在A处，图书馆设在B处，为测量A, B两地之间的距离，某同学选定了与A,B 不共线的C处，构成△ABC,以下是几种不 同的测量方案：①测量∠A,AC,BC;②测 量∠A,∠B,BC;③测量∠C,AC,BC;④ 测量∠A,∠C,∠B.其中一定能唯一确定 A,B两地之间距离的所有方案的序号是 图9-3-4 例3如图为某公园的绿化示意图，准 备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长 为2km,OC=OD=OA=OB=1km,设∠COB=0. 0 图9-3-5 (1)为了美化公园周围的环境，现要在 四边形ABCD内种满郁金香，若∠COD= 牙，则当9为何值时，郁金香的种植面积 最大？ (2)为了方便游人散步，现要搭建一条 栈道，栈道由线段BC,CD和DA组成，若 BC=CD,则当O为何值时，栈道的总长l最 长，并求的最大值 第九章解三角形。 分析：(1)求出S四边形ABm=S△B0+S△+ SADOA, 理，可得Sam空3snl4g +V3,利用正弦函数的性质可求得最值. 4 (2)利用余弦定理求得BC=CD=2sin日 DA=2Cos0,相加可求出l,进而可求其最值. 学(25 N 高中数学必修第四册人教B版 变式训练③ 如图所示，经过村庄A有两条夹角为 60°的公路AB,AC,根据规划要在两条公路 之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路 边上建两个仓库M,N(异于村庄A),要求 PM=PN=MN=2(单位：km).记∠AMN=0. (1)将AN,AM用含0的关系式表示 出来 (2)如何设计（即AN,AM为多长时）， 使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即 工厂与村庄的距离AP最大)？ A M B 图9-3-6 (26)学 数学文化 例圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江 省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正 教教堂，距今已有116年的历史，为哈尔滨 的标志性建筑.1996年经国务院批准，被列 为第四批全国重点文物保护单位，是每一位 到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点， 其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体， 极具对称之美，可以让游客从任何角度都能 领略它的美。 小明同学为了估算圣·索菲亚教堂的高 度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建 筑物AB,高为(15V3-15)m,在它们之 间地面上的点M(B,M,D三点共线)处测 得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是15°和 60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°， 则小明估算圣·索菲亚教堂的高度为() 30° 1602 15o M 图9-3-7 A.20m B.30m C.20V3 m D.30V3 m 分析：由正弦定理求出AM,再结合正 弦定理得到CM,进而求出CD150(1+V3)×Y3=50(3+V3)=150+50V3(m).. 3 山高为(150+50V3)m. DQ45° 30℃，A 60 /30 夕 变式训练3答图 例4B【解析】在Rt△ADC中，∠DAC=30°，则AC= V3CD,在Rt△BDC中，∠DBC=45°，则BC=CD 由AC-BC=AB,得V3CD-CD=14,即CD=14= W3-1 7(V3+1)≈19.124，故岳阳楼的高度CD约为19m.故 选B. 变式训练4(1)A(2)A 例5C【解析】在△ABC中，由正弦定理，得AB sin30°= S,1c=10V2.在△MC中，n00 AC AC ,co0=sin(0490P):1Cl5”-V3-1.故选c CD CD 变式训练5解：在△ABC中，AB=40 n mile,.AC=20 n mile, ∠BAC=120°，由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB·AC· cos120°=2800，解得BC=20V7 n mile.由正弦定理，得 sin ZACB=sin2BMc,即sin∠ACB=sin∠BC= AB BC BC V2L.由∠BAC=120°，知LACB为锐角，则cos LACB=- 7 2Y7.由0=∠ACB+30°，得cos0=c0s(∠ACB+30)= 7 cos∠ACBcos3.0°--sinACBsin30°=V2I 14 数学文化 例D【解析】设AC=xm,由2BC=3AC,得BC= 2t, :LCEB=45,BE=BC=号m在R△ABD中，an30r 及2孕，解得2184B 15-3V3 45(m).故选D. 参考答案 93数学探究活动：得到不可达 两点之间的距离 要点精析 例1解：(1)选用测角仪和米尺，如图所示 H B 例1答图 ①选择一条水平基线HG(如图)，使H,G,B三点共线： ②在H,G两点用测角仪测得A的仰角分别为a,B, 用米尺测得CD=a,量得测角仪的高为h: ③经计算建筑物AB=asinasin哭+h(或者写成atanotanB sin(a-B) tana-tanB +h) (2)①测量工具问题： ②两次测量时位置的间距差； ③用身高代替测角仪的高度. 变式训练1解：设在楼顶C看塔顶、塔底的仰角分别是 &,B,从楼顶下的B点看塔底的仰角为y,测出BC=h.如 图，在△BCF中，BC=h,∠CBF=牙Y,∠BCF=受B, ∠BFC=yB.由正弦定理，得.BF BC sin∠BCF-sin∠BFc,即 BF SinT+sim(YB)、Br-sin(yB):在Rt△BEF中， h 有BE=BFeosy-hcosBcosy.在Rt△CCM中，CM=BE,∠GCM= sin(y-B) &,则MG=CMtanc=hcosBecosytana.在Rt△CFM中，CM= sin(y-B) BE.FCM-B,MF=CMtanB=hcosBcosytanB_hcosysinB sin(y-B) sin(y-B) 则电视塔的高度FG=MG-MF-hcosy(cos3tana-sin3) sin(y-B) B-5 E D 变式训练1答图 31 N 高中数学必修第四册人教B版 例2解：(1)由题知∠ACB=8°，∠BAC=45°，在△ABC sin LACB"sin2BMc,即、50 中，由正弦定理，得，AB BC 3SBC5007-250m）. BC 0.14 在Rt△BDC中，sinL BCD=BD BC =250,BD≈250x0.6=150(m), 即sin37°=BD. .山高BE=BD+DE=150+1.5=151.5≈152(m). (2)由题知∠AMD=B,∠BMD=a,则在Rt△BMD中， tana=BD=150 MD x 在Rt△AMD中，an吸=品t，由题知∠AMB=B-a, MD 则tan∠AMB=tan(B-a)=tang-tana 1+tanatanB 200150 50x 50 1+200.150+30000x+30000 50 50=V3 21y4.3000 200V312 当且仅当=30000，即x=100V3m时，tan∠AMB 取得最大值，即视角最大 变式训练2②③ 例3解：(1)由图可得S边形=S△m+S△am+S△， =2如9+号si血写+分sn(m-0牙】 -v3 sin()3. 2 41 0C号m,则君4石<名. sin(+石)≤1，则当=牙，即6+石=7，s血+石） =1时，郁金香的种植面积最大，最大值为子V3。 (2)由余孩定理，得BC=0D=V11-2o0-2in号， (32 N DA=V1+1+2c0s29=2cos0, =4sin号+2cos007. 令m号，期0<V竖， 14sin9+21-2sim9)=4+21-2r） =-4-3）)+3. =,即写时，1的最大值为3 变式训练3解：(1)∠AMW=0,在△AMN中，由正弦定 理，得MN=AN-AM sin60°sin0sinl20°-01 .AN=4V3sino,AM=4V3sin(1200). 3 3 (2)在△APM中，由余弦定理，得 AP=AMP+PMP-2AM·PM·cos∠AMP =15sin(0460)+4-16y3sin(0460°)cos(0+60°) 3 -91-cos(2-120)1-8Y5sn(20r1209)4 3 =g[V5sin(2a4120)4c(2+120)j+9 3 =20_16sin(20+150）,0°<0k120°. Γ33 当且仅当20+150°=270°，即0=60时，工厂产生的噪声 对居民的影响最小，此时AN=AM=2km. 数学文化 例D【解析】由题意，知∠CAM=45°，∠AMC=105°， ∠ACM=30°.在Rt△ABM中，AM=.AB AB sin∠AMBs对n15·在 △4CW中，由正弦泄理，科C sin30° -在R△DCn中，cH6T-Ae sin15sin30 5v3-15x2x9 V6Vix号 2=30V3.故选D. 4