9.1.2 余弦定理-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

9.1.2 第1课时 学习目标 1.借助向量的运算，推导余弦定理。 2.掌握余弦定理及其推论，并会用余弦 定理解决简单的解三角形问题. 要点精析 要点1已知两边和一个角，利用余弦定 理求第三边，进而解三角形 a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB, c2a2+b2-2abcosC. 思考1在△ABC中，令AB=c,AC= b,BC=a,你能通过计算laP-a·a证明余弦 定理吗？ 例1在△ABC中，a=4,b=3,C=T 31 则c的值为（) A.V13 B.V11 C.3 D.V7 分析：已知两边及其夹角，可用余弦 定理求第三边 ⑧变式训练① 在△ABC中，LB=写，AB=8,AC=7, 则BC=() A.5 B.3或5 C.4 D.2或4 第九章解三角形 余弦定理 余弦定理 例2在△ABC中，∠BAC=霄，AG=2, BC=V7,求△ABC的面积. 分析：由余弦定理列式得关于AB的一 元二次方程，解得AB=3,然后代入三角形 面积公式计算 B变式训练2 在△ABC中，若A=石，AB=l,AC= V3,则BC边上的高为() A.1 B.V2 C.V3 2 D.2 要点2已知三角形三边，利用余弦定 理求角，进而解三角形 COsA =b2+e2-a2 2bc ，cosB=a2+c2-b2 2ac cosC=a2+b2-c2 2ab 思考2三角形中线长定理：如图，设 AD为△ABC的一条中线，则三边与AD的 关系是什么？ 学 9 N 高中数学必修第四册人教B版 例3在△ABC中，已知a=V13,b= 4,c=3,则c0sA=( A B.V2 2 C.V3 2 D.-V 分析：已知三边，利用余弦定理求角 变式训练3 在△ABC中，A,B,C所对的边分别是 a,b,c,如果a:b:c=2:3:4,那么cosC= 例4在△ABC中，AC=3,BC=V7, AB=2,则△ABC的面积为 分析：先根据余弦定理求出cOsA,结 合sin2A+cos2A=1求出sinM,最后利用三角 形的面积公式即可求解 反思： (1)余弦定理揭示了任意三角形边角 之间关系的客观规律，是解三角形的重要 工具. (2)余弦定理是勾股定理的推广，勾 股定理是余弦定理的特例」 (3)在余弦定理中，每一个等式均含 有四个量，利用方程的观，点，可以知三求一 (4)运用余弦定理时，因为已知三边 求角，或已知两边及夹角求另一边，由三 角形全等的判定定理知，三角形是确定的， 所以解也是唯一的. B变式训练④ 在△ABC中，a,b,c分别为∠A, 10)学 ∠B,∠C的对边，且2b=a+c,∠B=30°， △ABC的面积为号， 那么b等于() A.1+V3 B.1+V3 2 C.2+V3 D.2+V3 川要点3余弦定理变形式的应用 b2+c2-a2=2bccosA,a2+b2-c2=2abcosC, d2+c2-b2=2accosB. 思考3在锐角△ABC中，边长a=1, b=2,则边长c的取值范围是什么？ 例5在△ABC中，已知sinA+sinB- sinC=V3 sinAsinB,cos2C= cOSC☑ 分析：利用正弦定理将角化边可得+ -c2Y3b,再由余弦定理可求出cosC, cosC 进而可求sinC,从而利用二倍角公式可解. 反思：三角形中的四类基本问题 (1)已知三角形的两边和其中一边的 对角，解三角形 此种情况的基本解法是先由正弦定理 求出另一条边所对的角，用三角形的内角 和定理求出第三个角，再用正弦定理求出 第三边，注意判断解的个数 (2)已知三角形的两角和任一边，解 三角形 此种情况的基本解法是若所给边是已 知角的对边时，可由正弦定理求另一边， 再由三角形内角和定理求出第三个角，再 由正弦定理求第三边.若所给边不是已知角 的对边时，先由三角形内角和定理求第三 个角，再由正弦定理求另外两边。 (3)已知两边和它们的夹角，解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理 求第三边，再用正弦定理或余弦定理求另 一角，最后用三角形内角和定理求第三 个角 (4)已知三角形的三边，解三角形 此种情况的基本解法是先用余弦定理 求出一个角，再用正弦定理或余弦定理求 出另一个角，最后用三角形内角和定理求 出第三个角 B变式训练⑤ 在△ABC中，角A,B,C的对边分别 为a,b,c,若a+b2-c2=-ab,则C=() A.π 4 B. c D.5n 6 要点4利用余弦定理处理和三角形形 状有关的问题 b2+c2>a2→A为锐角，b2+c2=a2→A为直 角，b2+c2<a2=→A为钝角 思考4利用余弦定理判断三角形的 形状.由余弦定理，当边c为最大边时： 如果c2=a2+b2,则△ABC为 三角形； 如果c2<a+b2,则△ABC为 三角形； 如果c2>a+b2,则△ABC为 三角形， 第九章解三角形。 例6已知锐角三角形的边长分别为 1,3,a,则a的取值范围是() A.(8,10) B.(2V/2,V10) C.(2V2,10)D.(V10,8) 分析：由题设可以得到边长为3和边 长为a的边所对的角必须为锐角，从而可得 关于a的不等式组，进而求出a的取值范围. B变式训练6 (1)(多选题)在△ABC中，内角A, B,C的对边分别为a,b,c,下列说法正确 的是() A.若B>C,则b>C B.sin(A+C)=sinB C.若b2+c2>a2,则△ABC是锐角三角形 D.若b2+c2<2,则△ABC是钝角三角形 (2)在△ABC中，角B为钝角，AB=8, BC=6,则AC的取值范围是 反思： (1)判定三角形形状的途径： ①化边：通过因式分解、配方等得出 边的相应关系，从而判断三角形的形状」 ②化角：通过三角恒等变换，得出内 角的关系，从而判断三角形的形状，此时 要注意应用A+B+C=T这个结论. 化边为角，通过三角变换找出角之间 的关系；化角为边，通过代数变形找出边之 间的关系，正（余）弦定理是转化的桥梁 (2)无论使用哪种方法，都不要随意 约掉公因式，要移项提取公因式，否则会 有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条 件，重视角的范围对三角函数值的限制 学 高中数学必修第四册人教B版 例7在△ABC中，a,b,c分别是角 A,B,C所对的边，且cosA(V3sinA-cosA) (1)求角A的大小. (2)若a=2V2,SA4c=2V3,判断三 角形的形状 分析：(1)先利用二倍角公式和辅助 角公式化简已知式，得sin24-石l,再 结合三角形内角的取值范围得角A (2)先利用面积公式得到bc=8,利用 余弦定理得到b+c=4V2，再解方程得到 b=c=2V/2,即可判断结果. (12)学 P变式训练⑦ 若(a+b+c)(b+c-a)=3bc,且sinA= 2 sinBcosC,那么△ABC是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰直角三角形 数学文化 例南宋数学家秦九韶在《数书九章》中 提出“三斜求积术”，即“以小斜幂并大斜幂 减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大 斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平 方得积”，可用公式sV4公了 (其中a,b,c,S为三角形的三边和面 积)表示 在△ABC中，a,b,c分别为角A,B, C所对的边，若a=2,且bcosC-ccosB=c2, 则△ABC面积的最大值为() A.1 B.V3 C.V6 D.2V6 分析：由已知条件等式，结合余弦定 理可得b2-c2=c,进而有b=V3c,将其代 a 入公式S,应用二次函数的性质求最值 即可. 第2课时利用余弦定 学习目标 1.掌握余弦定理及其基本应用. 2.能用余弦定理解三角形，并能判断三 角形的形状 3.能利用正、余弦定理解决综合问题， 要点精析 川要点1综合利用正、余弦定理解三角形： 正、余弦定理是用代数方法解决几何问 题的重要工具，利用正、余弦定理解三角形 的基本策略是“边化角”或“角化边”，实 现边角关系的统一.在解决复杂几何问题时， 一般是由条件寻找关键的三角形，然后思考 是先利用正弦定理还是先利用余弦定理来解 决，再逐一求出所要求解的边和角， 思考1在△ABC中，sinA=cb 2-2c 判断△ABC的形状. 例1已知△ABC的内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,且a=V5c,acosC+ esinA=b,则b- 分析：先根据正弦定理以及两角和的 正弦公式求解出A的值，再根据A对应的 余弦定理以及a,c的关系求出b的值. 第九章解三角形。 理解三角形的相关问题 B变式训练① 在△ABC中，角A,B,C所对边分别 为a,b,c,若sinA=cosB-cosC,则C= sinA-sinB 反思：三角函数中，如正弦定理、余 弦定理、三角形面积公式，公式、定理较 多，解题时需根据不同的条件选取不同的 公式化简变形. 例2△ABC的内角A,B,C的对边分 别为a,b,c,已知2b+c=2 acosC且a=V5. (1)求角A的大小 (2)若△ABC的周长为V6+V5,求 △ABC的面积. (3)若b=V3,求cos(2B-A)的值. 分析：(1)利用正弦定理结合两角和 的正弦公式求出C0sA的值，结合角A的取 值范围可求得角A的值 (2)利用余弦定理求出bC,再利用三 角形的面积公式可求得结果。 (3)计算出cos2B,sin2B的值，利用 两角差的余弦公式可求得c0s(2B-A)的值. 学(13 N 高中数学必修第四册人教B版 B变式训练② 在△ABC中，a,b,c分别为内角A, B,C所对的边，已知acosC+V3 asinC-b- c=0. (1)求A的度数. (2)若b+c=11,△ABC的面积为6V3, 求a的值. 反思：正弦定理、余弦定理和三角形 的面积公式，以及三角恒等变换的应用， 其中在解有关三角形的题目时，要抓住题 设条件和利用某个定理的信息，合理应用 正弦定理和余弦定理求解是解答的关键. (14)学 例3已知锐角△ABC的三个角A, B,C所对的边为a,b,c,在①bcosC+ V3 bsinC =a +c,2 2bsinA =V3 a, ③sinA(c-a)=(c-b)(sinC+sinB)三个条件中 任选一个完成下列问题.（如果使用多个条 件按第一个解法计分) (1)求B的大小. (2)b=2,△ABC的面积为V3,求 a,c的值 分析： (1)选①，由正弦定理化边为角，利 用诱导公式化sinA=sin(B+C)后可求得B; 选②，由正弦定理直接求得B; 选③，由正弦定理化角为边，然后由 余弦定理求得角B. (2)由三角形面积得aC,再结合余弦 定理可解得a,c. B变式训练3 从①a=V7,②b=2,③cosB=13这三 14 个条件中任选两个，分别补充在下面问题的 横线上，回答有关问题.设△ABC的内角A, B,C所对的边分别是a,b,c,若 且满足(2b-c)cosA=acosC,求 △ABC其余各边的长度和△ABC的面积， 要点2利用正、余弦定理求取值范围 (或最值) 利用正、余弦定理求取值范围（或最 值)的主要方法： (1)找到边之间的关系，利用均值不等 式求最值 (2)转化为某个角的函数，利用函数性 质求最值 思考2在△ABC中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且C=写求 sinA sinB的最大值， 例4在△ABC中，角A,B,C所对的 边分别为a,b,c,ccosA=(V2b-a)cosC. (I)若A=西，点D在边AB上，AD BC=1,求△BCD的外接圆的面积， (2)若c=2,求△ABC面积的最大值 第九章解三角形。 分析：(1)由已知得V2 bcosC= ccosA+acosC,再利用正弦定理求得cosC, 可得C=T,在△MBC中由正弦定理得AB, 再由，点D在AB边上且AD=1可得BD,在 △BCD中由余弦定理得CD2.设△BCD外接 圆的半径为R,可得△BCD外接圆的面积 S=TR2-T·CD2 4sin2B （2)由（1)和余弦定理可得2+b2 V2ab=4,利用基本不等式可得答案. B变式训练④ 在△ABC中，角A,B,C所对的边分 别为a,b,C,且∠B=牙，b=2,则△ABC 的面积的最大值为 例5在△ABC中，内角A,B,C的对 边分别为a,b,c,且(2b+V3c)cosA+ V3 acosC=0. (1)求A的大小 (2)若a=2,求b+V3c的取值范围. 学(15 N 高中数学必修第四册人教B版 分析：(1)利用正弦定理边化角即可 得解 (2)利用正弦定理边化角，再求余弦 函数在指定区间内的值域即可得解 反思：正弦定理、余弦定理、辅助角 公式的巧妙结合运用是解决这类问题的常 用方法 变式训练 在锐角△ABC中，角A,B,C的对边 分别为a,b,c,且bcos1+-e (1)求B的大小 (2)若b=V3,求△ABC周长的取值 范围 (16)学 数学文化 例如图1圭表是我国古代一种通过测 量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它 包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把 呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长 尺（称为“圭”）·当正午太阳照射在表上 时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长 度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的 那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地 理位置设计的圭表的示意图.已知北京冬至 正午太阳高度角（即∠ABC)为29.5°，夏至 正午太阳高度角（即∠ADC)为76.5°，圭 面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的 长)为a,则表高（即AC的长）为() 夏至正午阳光 冬至正午阳光 夏至。 冬至 A 表 表 圭面 日影 南 圭 北 夏至线 冬至线 图1 图2 图9-1-3 A器2别 B.ac0s29.5cos76.5° c0s47° C.atan29.5tan76.5 tan47° D.asin29.5°sin76.5° sin470V手m手m等，Ba, △ABC的周长L=a+b+c -2+43sn+43n(-B V3 3 24simB cos+sinB) V3 V32 =2+2V3 sinB+2cosB=2+4sin(B+T) 6 Be0,2牙），B+ge(石，酒，sinB+g）e (3,小，e(4,61 变式训练52V7 数学文化 例D【解析】若该等腰三角形的顶角为36°，则底 角为180，-36°=72，因此，由正弦定理可得较短边与较长 、边之比为sin36°=Y5-1，即2sim369cos360=-/ sin72 2 2 cos36°=V5+1,因此sin1260=cos36°=V5+1； 4 4 若该等腰三角形的底角为36°，则顶角为180°-2×36°= 108°，因此，由正弦定理可得较短边与较长边之比为 sin36°=V5-1,即sin36°=V5-1， sinl08° 2 cos18° 2 则2sin18cos18°=V√5-1，sin18o=V5-1因此 cos18 4 sinl26°=cos36°-l-2sin18=V5+1.综上，sin126= 4 V5+1.故选D. 4 9.1.2余弦定理 第1课时余弦定理 要点精析 例1A【解析】由余弦定理，可得c2=a+b2-2 abcosC=16+ 9-2x4x3x=13,c=VTB.故选A 变式训练1B 例2解：在△ABC中，∠BAC=T,AC=2,BC=V7, 由余弦定理，得AB+ACP-2AB·AC·cOs∠BAC= .AB2-2AB-3=0,即(AB-3)(AB+1)=0. 参考答案。 又MB>0,AB=3,∴△ABC的面积S=号ABAC sin /B4C-3xx33 2 变式训练2C 例3A【解析】在△ABC中，已知a=V13,b=4,c=3, 由余弦定理，得c04=-.16》3=号，放选A 2x4x3 24 变式训练3一 例43Y3【解析】由余弦定理，得cosA=AB44C-BC 2 2ABAC 23(Vsind=VI-cos4 3 .A4BC 2×2x3 的面积为分4B:AC-n4=号×2x3xV=3 2 21 变式训练4B 例5V3-1【解析】sinA+sinm'B-sin2C=V3sin4sinB cosC 由正弦定理，得+b2-2V3b CosC 即+b2-c2.V3 2ab 2cosC' 由余弦定理，得cosC=V3 2cosC, .cos'C=V3 2，c0s2C=2c0s2C-1=V3-1. 变式训练5C 例6B【解析】由题意，知边长为1的边所对的角不是最 大角，则边长为3或a的边所对的角为最大角，只需这两个 角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，由此得到 2+12>32, 由于>0，解得2V2<a<V10,故选B. 12+32. 变式训练6(1)ABD(2)(10,14) 例7解：()）cos1(V3sinM-cos1)-7,V3 sinco4- co4-V3 sin24-(1tcox24)-V3 sin24-2 cos24- 2 号分，即如2M-石1.又M为三角形的内角，则4e 0,m.24-君石5.21君=号，解得A 牙 (2)Sw-2V3,sind-eind 27 N 高中数学必修第四册人教B版 =2V3,即bc=8①，由余弦定理，得a2-b2+c2-2 becos/4= (b+c)2-3bc,即8=(b+c)2-24,解得b+c=4V2②，联立① ②，解得b=c=2V2,.三角形是等边三角形. 变式训练7B 数学文化 例B【解析】由题设，结合余弦定理知6，+2-c2 2ab c.tc2b-c2,即b2-c2-c,而a=2,h=V3c,S= 2ac a V4-g万=V4卫，当e2时， Sm=V3 第2课时利用余弦定理解三角形的相关问题 要点精析 例12V2【解析】.'acosC+csinA=b,由正弦定理，得 sinA cosC+sinCsinA =sinB. .sinB =sin (A +C)=sinA cosC+cosA sinC..'.sinCsinA cosA sinC. 又sinC≠0，即sin4=cos4,A=牙.由余弦定理，得 a2-b2+c2-2 bccosA和a=V5c,得b2-V2bc-4c2-0, 即(b+V2c)(b-2V/2c)=0, 解得b=2V2或-V2(舍).故答案为2V2. 变式训练1习 例2解：(1).2b+c=2 acosC,则2 sinA cosC=2sinB+sinC= 2sin(A+C)+sinC=2sinA cosC+2cosA sinC+sinC,..sinC(2cosA+ 1)=0.0<C<π，则sinC>0,可得cos4=- 2,又0<A<m, 故A=2 (2).a=V5,△ABC的周长为a+b+c=V6+V5, 故b+c=V6,由余弦定理，可得5=d=b2+c2-2 becosA=b2+ c2+bc=(b+c)2-be=6-bc,.bc=1,因此，△ABC的面积为 ubesin 4, (3)由正弦定理，可得b。 5品、则nB=n4 a V3xV 2=3V5.ba,则B为锐角，故cosB= 5 10 (28 VI-sin1-35V5 sin2B-2cosBsinl-2x 10 10 V55y3V53V11 10 10 cos2B-sim(B-4) -co2/cos4sin2BsinA 10 2 20 变式训练2解：(1)acosC+V3 asinC-b-c=0, 由正弦定理，可得sinA cosC+V3 sinAsinC-sinB=sinC. .B=T-(A+C),.'.sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosA sinC, .'.V3 sinA sinC-cosA sinC=sinC. 又sinC≠0，V3sinM-coc4=l,即2snA-石）l Ae0,m.4-ge石，g,A-君看 即A=牙 (2)由(1)及余弦定理，可得2=b2+c2-2 becos4=b2+ o2-bc=(b+cP-3bc.由△ABC的面积S=ein=6V3,得 Y3bc=6V3,bc=24.又b+c=1l,2=I-3x24=49. 4 故a=7. 例3解：(1)选①，由正弦定理，得 sinBcosC+V3 sinBsinC=sinA+sinC =sin(B+C)+sinC=sinBcosC+cosBsinC+sinC, .C为三角形内角，sinC≠0， .V3inB-cosB=1,sin( -石<B-8<号.B-石石即B=号 选②，由正弦定理，得sinB=bsiA=V3 a 2 B是锐角，B=写 选③，由正弦定理，得a(c-a)=(c-b)(c+b)=c2-b2,即 a+e2-b2-ac, a}又8为镜角，及号 (2)由已知s子csn8=Y年ar=V3,4, 又.a2+c2-b2-2acc0sB,即a2+c2-4=ac,解得a=c=2. 变式训练3解：(2b-c)cosA=acosC,.2 sinBcosA- sinCcosA =sinA cosC,2sinBcosA =sin(A+C)=sinB,BE (0,m,dnB0,c4=7,4=号若选条件①2. 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcc0sA,得c2-2c+4=7,解得c=3 或c=-l(舍去).sa=号6csiM=32x3xY 2 3Y5.若选条件①③.由coB=格，Be(0,m),得 2 nB=V1cosB=3Y,由正孩定理，得品解 得b=3y7.又sinC=sin(A+B)=Y3x13+x3V3= 7 21421 14 4y3.ing V7xdy3 7 sinA V3 2 ×V7x3y7x4-69.若选条件②8，由 7 cosB=程Be0,),得smB=V1osB=3Y4,由正 到了路 弦定理，得 2 14 又mc=n(4+)=V×是+7x38-4y 3 2 14 7 14×4V3 .'.c=asinC=3 7 SinA 3 2 4V3=8V3 7 3 例4解：(1)由ccosA=(V2b-a)cosC,得V2 bcosC= ccosA+acosC,由正弦定理，得V2 sinBcosC=sinCcosA+ sinA cosC=sin(A+C)=sinB. sinB≠0，cosC=Vy2.0<C<m,C=年 2 又1=5B= 3 sin4=sin7=sin(号-4】 =in号cocos号sn-Y6Y2 4 4 在△ABC中，由正弦定理，得AB=BC sinc-sin,AB= si BCsinc sinA “4=V3+1. s血5 .AD=1,.BD=V3, 在△BCD中，B=,由余弦定理，得CD产=BC+BD 参考答案⊙ 2BC·BDcosB=4+V3. 设△BCD外接圆的半径为R,由CD=2R,可得R= sinB 2inb,△BCD外接圆的面积S=mR-TCD-(4+V3)m CD 4sin2B 4sin2 =4+y3m. 3 (2)由)可知C=牙，又=2，由余弦定理，可得 c2=a2+b2-2abcosC,a2+b2-V2 ab=4. d2+b2≥2ab,∴.d2+b2-V2ab=4≥2ab-V2ab=(2- V2)ab,从而ab≤4 =4+2V2(当且仅当a=b 2-V2 时取等号)，△ABC的面积S=)absinc≤)×(4+ 2V2)sin牙=V2+1,从而△ABC面积S的最大值为 V2+1. 变式训练4V3 例5解：(1)：(2b+V3c)cosA+V/3 acosC=-0,在△ABC 中，由正弦定理品品6C·得(2 sinB+V3nC0cos+ C V3 sinAcosC=0,化简为2 sinBcosA+V3sin(C+A)=0,即 2sinBcosA+V3 sinB=0. :0<B<m,有sinB≠0，则cos4=-Y)3,又0<A<m, 2 A=5T 6 (2)由（知A=g,则B+C=石，令C=石-B 6 6 0<B石， 由正弦定理，a=b si4 sinB=sinc,得 2 b c sim元sin sin(石-B ,..6=4sinB, 6 e=4sin(B)=2cosB-2V3 sinB. =4sinB+V3 (2cosB-2V3 sinB)=2V3 cosB-2sinB V3cos-sinB)-4cos() :0<B<石，则}<os石+B<Y)5 2 2<4cos石+B2V3, 29 N 高中数学必修第四册人教B版 .b+V3c的取值范围为(2,2V3). 变式训练5解：(1)bc0s1+=c,由正弦定理，可得 sin/co4+号sin4=sinC sinC=sin(A+B)=sinA cosB+cosA sinB. incosin (sin0..o Be(0,m,B=写 (2)设△ABC的外接圆半径为R, b=V3,2R=6-2. b+e-2sinA+2sinG+V3-2sinA+2sinA)+V3 -3sin+V3 cos4+V3=2V3 sin(+)+V3, 0A<T 2,0A< 2 .△ABC为锐角三角形，. 0<C<T 0<2π-A<T 3 →石<A<5 v3<sin (A+)1 3+V3 2V3 sin (A+)+ 2 V3≤3V3, .△ABC的周长a+b+e∈(3+V3,3V3]. 数学文化 例D【解析】由题可知∠BAD=47°，在△BAD中， 由正弦定理，得，BD sin∠BAD sinZABD,即s47s AD AD sin47°-sin29.50 又在△ACD中， 4C=sin∠ADC,AC=sin295cin76s° AD sin47° 故选D. ●"9.2正弦定理与余弦定理的应用 要点精析 例1解：(1)由题意，得∠BPC=B-y=60°-45°=15°， ∠PCB=y=45°，在△PCB中，由正弦定理，得，PB sin∠PCB n2Bpc,sinl5°=sin(45°-30°)=V6V2,即PB= BC 4 (30 85xV2 2 ≈232(m). V6-V2 4 (2)在△PAB中，∠PAB=Q=30°，∠ABP=B=60°，. ∠APB=90°，∴AB=2PB≈464(m),.DE=AB-AD-BE=464- 100-34≈330(m). 变式训练15V√6 例2解：(1)如图，设A为炮台顶部，B为炮台底部， 则AB=30. 例2题答图 设A处观察小船C的俯角为45°，即∠ACB=45°，A处 观察小船D的俯角为60°，即∠ADB=60°， 则在等腰Rt△ABC中，BC=AB=30, 在Rt△ABD中，tan60=AB,则BD=10V3, BD' :.两艘船与炮台底部的距离分别为30m和10V3m. (2)由题可得∠CBD=30°， 则在△BCD中，由余弦定理，可得CD2=30+(10V3)2 2x30x10V3×V3=300,:CD=10V3,故两艘船的距离 2 为10V3m. 变式训练2C 例3A【解析】由题可知∠CAD=15°，∠CBD=30°，则 ∠ACB=15°，∴BC=AB=66.设坡角为0，由题可得tan0= Y7,则可求得co0=,在△BCD中，∠BDC=+受， 3 2 由正弦定理，可得CD。=BC_,即CD=66=66 sin30 sin() 1 cos0 3 2 4 解得CD=44.故宝塔CD的高为44m.故选A. 变式训练3解：如图所示，山高为CD,AB=300m.由题 意，知∠ADB=45°，∠DAC=30°，∠DAB=60°，.∠ABD= 180°-(45°+60°)=75°.在△ABD中，由正弦定理，得 sin 4ABD sin1DB·即、10=30 AD AB sin75sin45D300.sin75 sin45 =150(1+V3)(m).在Rt△ADC中，CD=AD.tan30°=