9.1.1 正弦定理-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册学习手册（人教B版）

第九章解三角形。 第九章 解三角形 9.1 正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理 第1课时 正弦定理 思考1 如何用△ABC的外接圆证明 学习目标 正弦定理？ 1.掌握正弦定理的基本应用. 例1在△ABC中，若A=60°，B=45°， 2.会判断三角形的形状 BC=3V2,则AC= 3.会利用正弦定理的变形求解三角形 分析：已知两角和一角对边，可直接 4.借助正弦定理的推导，提升逻辑推理 利用正弦定理求解。 的素养 5.通过正弦定理变形公式的应用，培养 变式训练1 数学运算的素养」 在△ABC中，若A=牙，sinB=Y2 7 要点精析 b=2,则a=( A.V3 B.5 要点1已知两角和任一边，利用正弦 定理解三角形 C.3 D.V7 例2△ABC的内角A,B,C所对的边 当给出三角形两角和任一条边时可解三 分别是a,b,c,若A=105°，B=45°，b=2V2, 角形，具体步骤如下： 则c等于() (1)已知三角形的两个角，利用A+B+ C=π，可求出第三个角， A.1 B.V2 (2)由正弦定理0=b= C.V3 D.2 可 sina sinB=sinc, 分析：先由内角和为180°计算得C= 求出三角形的另两条边的边长. 30°，再利用正弦定理计算. N 高中数学必修第四册人教B版 分析：在△ABC中，由正弦定理求得 变式训练2 sin4=Y2,结合a<b,得到A<B(或者由 设△ABC的内角A,B,C所对的边分 2 别为a,b,c,若A:B:C=1:2:3,则a:b:c B=2π知，角A一定为锐角)，即可求解。 3 等于（) A.1:2:3 B.1:V3:2 变式训练3 C.1:V2:V3 D.1:2:V3 在△ABC中，内角A,B,C的对边分 要点2已知两边和一边的对角，利用 别为a,b,c,a=V3,b=1,A=T,则B= 3 正弦定理解三角形 已知a,b和A,可解三角形，但需注 : A.π 6 B号 意角的大小，具体步骤如下： (1)由正弦定理a =b sina sinB,求出sinB. C牙或 D.或 6 6 例4若△ABC的内角A,B,C所对的 (2)若sinB=l,则B=牙；若sinB≠L, 、 边分别为a,b,c,a=80,b=100,A=30°， 利用三角形中“大边对大角”看能否判断所 则B的解的个数是() 求角为锐角：当A为大边所对的角时，则B A.0 B.1 为锐角；当A为小边所对的角时，则B有 C.2 D.不确定 互补的锐角和钝角两个解」 分析：首先利用正弦定理得sinB= 8 (3)利用A+B+C=T,先求出C,再由正 再利用sinB的取值范围可得角B的取值范 弦定理求出c 围，即可求得结果 也可从下图判断三角形解的个数问题： 反思 应用正弦定理的解题思路： a=bsinA bsinA<a<b a≥b 一解 两解 一解 sing,bs (1)求边：利用公式a=bsin4】 思考2 “在△ABC中，A<B” 是 asinB 4，c三snC或其他相应变形公式求解 sinA “sinA<sinB”的什么条件？ (2)求角：先求出正弦值，再求角， 例3在△ABC中，角A,B,C的对边 即利用公式sinA=sinB,sinB=bsin4 分别为a,6,c,若a=2y5,=V7,B b a sinC=csin1或其他相应变形公式求解」 ,则A等于 a 2 第九章解三角形。 变式训练4 已知a,b,c分别为△ABC三个内角 A,B,C所对的边，若B=30°，b=V2,c= 2,则C=（) A.45° B.135° C.45°或135° D.120° 要点3利用正弦定理，实现边角关系 互化 在利用正弦定理进行边角关系互化时， 常常用到以下几种形式： ()A=b C a+b+c sinA sinB sinC sinA+sinB+sinC =2R(其中2R是△ABC外接圆的直径). (2)a=2RsinA,b =2RsinB,c=2RsinC (边到角的转化)· (3)indsin6=2x·inc永 (角到边的转化). (4)a:6:c=sinA sinB:sinC,sinA sinB: sinC=a:b:c(边角互化). 思考3正弦定理适用于任意三角形吗？ 例5在△ABC中，内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,且2 bcosA=2c-a.试求 变式训练 角B的大小 (多选题)在△ABC中，角A,B,C所 分析：利用正弦定理将2bc0sA=2c-a 对的边分别为a,b,c,以下叙述或变形中 转化为2 sinBcosA=2sinC-sinA,再利用三角 正确的有( 函数恒等变换公式化简可求出角 A.a:6:c=sinA sinB:sinC B.a=b台→sin2A=sin2B C.a b+c sinA sinB+sinC D.A>B→sinA>sinB 学 3 N 高中数学必修第四册人教B版 例6在△ABC中，已知角A,B,C所 变式训练6 对的边分别是a,b,c,且a=V5,b=3, sinA+V5sinB=2V2.试求角A的大小 记△ABC的内角A,B,C的对边分 分析：利用正弦定理进行转化，可得 别为a,b,c,且V2a=5 bsinA,则sinB= sinA的值，再根据角A的范围即可求得结果. 数学文化 例明末邓玉函以毕的斯克斯1612年 版《三角法》为底本，并采用斯蒂文著作 《数学记录》中的部分内容，编译出中国第 一部三角学著作《大测》，将欧洲当时最新、 最重要的三角学成果介绍到中国，对中国三 角学影响极大.在《大测》中提及割圆八线， 即对一个角而言的八个三角函数，因其可用 第一象限单位圆中八条线长（如图中NP, ON,OB,BR,OS,OR,NA,PQ)表示而 得名.若图中OR=V5,sin∠RA0=V5, sina 2, 则RA= 反思 (1)正弦定理的表示形式 s4hBic2R,或asin,b= a b A ksinB,c=ksinC (k>0). 图9-1-1 (2)正弦定理的应用范围 ①已知两角和任一边，求其他两边和 分析：在△RAO中，利用正弦定理可 其余一角 求得RA的值， ②已知两边和其中一边的对角，求另 一边和其余两角。 (3)利用正弦定理可以实现三角形中边 角关系的相互转化：一方面可以化边为角， 转化为三角函数问题来解决；另一方面， 也可以化角为边，转化为代数问题来解决. 第九章解三角形。 第2课时利用正弦定理解三角形的相关问题 学习目标 B.若a 则△ABC为等腰三 角形 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公 C.若tanA+tanB+tanC<0,则△ABC为钝 式，解决三角形中的问题， 角三角形 2.能利用正弦定理、三角恒等变换、三 角形面积公式解决较为复杂的三角形问题， D.若a=bsinC+ccosB,则C=T 4 3.通过正弦定理的灵活运用，提升数学 分析：利用正弦定理的边角关系，结 运算、直观想象、逻辑推理等核心素养， 合三角恒等变换及三角形内角的关系，即 要点精析 可判断△ABC的形状， 变式训练1 川要点1利用正弦定理判断三角形的形状： 在△ABC中，角A,B,C的对边分别 判断三角形的形状，就是利用正弦定理 为a,b,c,若bsinB=csin(A+B)-asinA，,则 把已知条件中边和角的混合关系化边为角， 1 △ABC为() 都转化为角的关系，或者化角为边，都转化 A.等腰三角形 B.直角三角形 为边的关系，来判断三角形是否为某些特殊 C.锐角三角形 D.钝角三角形 三角形（比如锐角、直角、钝角、等腰、等 边、等腰直角三角形等)· 要点2利用正弦定理解决与三角形面 积有关的问题 思考1在△ABC中，A+B+C=T,· ①sin(A+B)=sinC;②cos(A+B)=-cosC; S=1absinC=1acsinB-1besinA-2R'sinA. 2 2 2 ③tan(A+B)=-tanC;④sinA+B=cos 2 sinB·sinC=abc 4R ⑤c0s4生=sin号.上述语自正确的个数 2 思考2三角形内切圆半径为r,面积 有几个？ 如何用a,b,c,r来表达呢？ 例1（多选题）在△ABC中，a,b,c 例2在△ABC中，角A,B,C所对的 分别为角A,B,C的对边，下列叙述正确 边分别为a,b,c,已知b=2,c=2V2,C= 的是( 则△ABC的面积为 A.若a b sinB=sind, 则△ABC为等腰三 分析：先由正弦定理求出角B的大小， 角形 再由内角和为π求出角A的大小，进而可 求出三角形的面积 N 高中数学必修第四册人教B版 反思：面对正弦定理和三角形的面积 分析：(1)根据正弦定理，结合两角 公式的应用类型题，在解有关三角形的题目 和的正弦公式、正弦型函数的性质进行求 时，要抓住题设条件，合理应用正弦定理 解即可 求解是解答的关键， (2)根据正弦定理，结合三角形面积 公式可进行求解」 B变式训练2 变式训练3 (多选题)在△ABC中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为 在△ABC中，角A,B,C的对边分别 多，且62，c=V3,则角4的大小可能是 为a,b,c,已知a=3,b=2,C=写 (1)求△ABC的面积 A.30° B.60° (2)求△ABC中C的平分线的长. C.150° D.120° 例3在△ABC中，内角A,B,C所对 的边分别为a,b,c,若分=V3sinC- cosC. (1)求角B的大小 (②)若G=石，2，上为边AC上一点， 且CF=V2BF,求△ABF的面积. 要点3正弦定理和三角恒等变换的综 合运用 在三角形中解决三角函数的取值范围或 者最值问题时，一般都是先理清三角形中基 本量之间的关系或者求出某些量，再将所要 求的最值或者取值范围的量表示成某一角的 三角函数，进而转化为三角函数的值域或者 最值问题. 6)学 第九章解三角形。 思考3在△ABC中，若sin2A=sin2B, B变式训练④ ,则=b一定成立吗？ 已知a,b,c分别为△ABC三个内角 例4在△ABC中，角A,B,C所对的 A,B,C的对边，且acosC+V3 asinC-b=O. 边分别为a,b,c,已知b=V3,acosC+ (1)求A的度数， ccosA=2 bcosB.求： (2)若a=2,cosB=V2sinA,求△ABC (1)角B的大小 的周长 (2)asinC的最大值. 分析：(1)根据acosC+ccosA=2 bcosB, 利用正弦定理转化，利用sin(A+C)=sinB代 换，求得B的值 (2)由正弦定理，可得a b sinA sinB 3=2, 因此a=2sinA,再将边转化为角 V3 2 反思： 可得asinC=-m2A-石+号0<1< 即 31 1.对正弦定理的理解 可得出asinC的范围 (1)适用范围：正弦定理对任意的三 角形都成立 (2)结构形式：分子为三角形的边长， 分母为对应边所对角的正弦的连等式」 (3)揭示规律：正弦定理指出的是三 角形中三条边与其对应角的正弦之间的一 个关系式，它描述了三角形中边与角的一 种数量关系 (4)主要功能：正弦定理的主要功能 是实现三角形中边角关系的转化 2.正弦定理的变形公式 设△ABC的外接圆 a b =2R 半径为R,如图 sinA sinB sinC sinA= a 2R a=2RsinA b b=2RsinB 0 sinB= 角化边 2R c=2 RsinC边 sinC=2R 角 N 高中数学必修第四册人教B版 例5已知函数f(x)=Asin(wx+) 变式训练⑤ 0. 的部分图象如图所示 在△ABC中，B=60°，AC=V3,则 (1)求函数f(x)的解析式. AB+2BC的最大值为 (2)在△ABC中， 角A,B,C的对边分别为 数学文化 6,,若f号2， 例被誉为“中国现代数学之父”的著 2,求△ABC周长的取值 名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法” 范围。 图9-1-2 在生产和科研实践中得到了非常广泛的应 分析：()根据题意，得=受 用，0.618就是黄金分割比t=V5-1的近似 2 进而得ω=2，再根据图象过点 值.在一个内角为36°的等腰三角形中，较短 边与较长边之比为黄金比，则sin126°=() 用待定系数法得甲石，最后根据点 A.V5-1 B.V5+1 (0,1)在函数图象上得A=2,即可得答案. 2 2 (2)结合(I)得A=写，进而根据正 C.V5-1 D.V5+1 4 4 弦定理得b=4sinB,c=4sin 2r-B 分析：根据题中条件，讨论等腰三角 V3 V3 3 形顶角为36°与底角为36°两种情况，利用 Be0,四，再结合三角恒等支换得 正弦定理，以及三角恒等变换对应的公式， 即可得出结果. △ABC的周长L=2+4sinB+石，最后求画 数值域即可得答案 (8)学N 参考答案 学习手册参考答案 第九章 m9.1正弦定理与余弦定理 9.1.1正弦定理 第1课时正弦定理 要点精析 例12V了【解折】由品=S,得4C=BG- sinA 3V2sim45°-2V3. sin60° 变式训练1D 例2D【解析】由已知，得C=180°-B-A=30°，根据正弦 定理得2V2 sin450sinS0,得c=2,故选D. c 变式训练2B 例3牙【解标】：在△ABC中，a=2Y3,b=V2,B= 3 罗，由正弦定理，可得 Sim4=s品B，sn4=ing三= V7a,M<B,4e0,),可得A=牙 变式训练3A 例4C【解析】a=80.b=100,A=30°，simA-sinB niiain0 81 B<45或135<B<150°，∴.B有两解，故选C. 变式训练4C 例5解：由2 bcosA=2c-a及正弦定理，得2 sinBcosA= 2sinC-sinA ,.C=-(A+B),..2sinBcosA =2sin (A+B)- sinA,整理得2 sinBcosA=2 sinBcosA+2 cosBsinA-sinA,即 (2cs1)sin0in Be(0,m,B=号 变式训练5ACD 参考答案⊙ 解三角形 例6解：a=V5,sinA+V5sinB=2V2,sinA+ asinB=2V2.又：asinB=bsinA,.'sinA+3sinA=2V2,解得 n4=Y2,在△ABC中，a<b,A为锐角，A=牙 变式训练6 5 数学文化 例2【解析】在△R40中，由正弦定理及sin∠R40 sino =V5,得R=5 2 RA2RA=2. 第2课时利用正弦定理解三角形的相关问题 要点精析 例1ACD【解析】：由正弦定理得品对·而6 sinB= inA,sin1=sinB.A+B+C=m,只能A=B,即△ABC为 b 等腰三角形，故A正确：：由正孩定理得品品·“ b 若a =b,可化为sin4cosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B, osBcosA 2A=2B或2A+2B=T,∴△ABC为等腰三角形或直角三角 形，故B错误；.tanA+tanB+tanC=tan(A+B)·(1-tanA.tanB) +tanC=tanA.tanB.tanC,∴.△ABC为钝角三角形，故C正 确；：a=bsinC+ccosB,.由正弦定理得sinA=sinBsinC+ sinCcosB,sinBcosC+sinCcosB=sinBsinC+sinCcosB,.'.cosC =sinC.Ce(0,T),.C=T.故D正确.故选ACD. 4 变式训练1B 例2V3+1【解析】由正弦定理 sinBsinc,得sinB= nC=},又cb,Be(0,m),B=石，A=m-B-C= c 7π 12 ,△ABc的面积S=方besin4=3×2×2V2× V6+V2=V3+1. 4 25 N 高中数学必修第四册人教B版 变式训练2BD 例3解：(1)由正弦定理，可得sinC-si1=V3sinC- sinB cosC,可化为sinC-sinA=V/3 sinBsinC-sinBcosC, sinC-sin(B+C)=V 3 sinBsinC-sinBcosC, .'.sinC-sinBcosC-sinCcosB=V3 sinBsinC-sinBcosC. sinG0,1-osB=V3snB,psnB+若}=号 B为三角形的内角晋<8+后<石，+君积 66 ..B=2m Γ3 2)=否，c=石4=mB-G= 6，AB=BC=2. 在△BCF中，由正弦定理，得，CF BF sin Z CBF=sin BCF' sin L CBF=CFsin BCF BF C=V2BE,∠BCF-g,sn∠CBF=Y ∠CBF=年，LABF=∠AB=,AB=AF=2,S 3x20sm8=l. 6 变式训练3解：()a=3,b=2,C=号，△ABC的面 积为5auc=7snC=宁x3x2n号=3y5 2 (2)设角平分线为CD,Saa=SASc,则2bsin写 =7 dCDsin+号CDkin,即x32xY=3x3cDx +号x20Dx},解得cD=6Y5,C的角平分线的长 5 为6V3 5 例4解：(1).acosC+ccosA=2 bcosB,由正弦定理，得 sinA cosC+cosA sinC=2sinBcosB,.'.sin(A+C)=2sinBcosB, 1 sinB=2 sinBcosB.0<B<m,sinB≠0，因此cosB=2,得 多 (2)由正弦定理，可得a b=V3=2, 9 ind"snc"sin置 2 因此a=2sinA, asinC=2sind sinC=2sind sin) 26 =2sn4V号co4+号sin45V3sn4cos4+in4 -y月m2+1-g24-Ysim21-3co24+分 2 2 Γ2 =m24-君+分， 04,624-6<g 66 m24-君)+3≤多 因此，nC的最大值为多，当且仅当24-石=受，即 A=胥时取等号。 变式训练4解：(1)在△ABC中，acosC+V3 asinC-b= 0,由正弦定理得sinAcosC+V3 sinA sinC-sinB=0, .'sinB=sin(A+C)=sinA cosC+cosA sinC, ..V3 sinA sinC-cosA sinC=0, 且sinC≠0，∴.V3sinA-cosA-0, 即aA=.0<1<m,A=君 3 (2)coB=V2n4=YZ且0<m,B=牙， 2 sinC-sin(A+B)=sinA cosB+cosAsinB=V6+V2 由正弦定理，得b=asinB-2V2,c=asinC=V6+V2, sinA sinA △ABC的周长为a+b+c=2+V6+3V2. 例5解：()由图象，可知周期1-25语)=， -2票-2 :点晋0在函数图象上， 4sm2x语p-0,即sn否pD. 又0x号gg弩 从面石+p=m,即9=石 6 又点(0,1)在函数图象上，Asin=1,A=2. 6 故函数fx)的解析式为f代x)-2sin2x+石 (2)由f号)-2sim4+石=2，Ae(0,m),A=牙.由 4 正弦定理bB=mMV/3,6=3sinB.同理c= V3 mV如5，Bao,) △ABC的周长L=a+b+ -2+4mB+、4n-8 V3 3 =2+4 sinB+4xV3cosB+1 sinB) V3 V32 =2+2V3 sinB+2cosB=2+4sin(B+) 6 Be0.号.B+君e后，，sm+君)e (3,,e4,6. 变式训练52V7 数学文化 例D【解析】若该等腰三角形的顶角为36°，则底 角为180,36=72，因此，由正弦定理可得较短边与较长 2 边之比为in36=V5-1,即 sin720 2 n6c036-VY-1, sin36° 2 :c0s36=V5+1,因此sin126=c0s36=V5+1, 4 4 若该等腰三角形的底角为36°，则顶角为180°-2×36°= 108°，因此，由正弦定理可得较短边与较长边之比为 V,即e-1， sin1080 2 则2sin18cos18°=V5-1,sin18=V5-1因此 cos180 4 sin126°cos36°=1-2sin18°=V5+1.综上，sin126°= 4 V5+上.故选D. 4 9.1.2余弦定理 第1课时余弦定理 要点精析 例1A【解析】由余弦定理，可得c2-+b2-2 abcosC=16+ 9-2x43x分=13，c=V下.故选A 变式训练1B 例2解：在△ABC中，∠BAC=牙，AC=2,BC=V7, 由余弦定理，得AB+AC-2AB·AC·cOS∠BAC= BC2, .AB2-2AB-3=0,即(AB-3)(AB+1)=0. 参考答案⊙ 又AB>0,AB=3,六△ABC的面积S=)ABAC sinL BAC=1x3x2x V3=3V3 2 2 2 变式训练2C 例3A【解析】在△ABC中，已知a=V13,b=4,c=3 由余孩定理，得c04416213=7,故选A 2x4x3 24 变式训练3 例43Y3【解析】由余弦定理，得c0sA=AB41C-BC 2 2AB·AC 243-(V7=7,sm4=V1-cosM=3,4AB0 2×2×3 的面积为4B:ACsin4=号×23xY=35 2 2 变式训练4B 例5V3-l【解析】sinA+sin2B-sin2C=V3sin4sinB cosC 由正弦定理，得a+b2-c2V3ab cosC 即a2+62-c2 V3 2ab 2cosC, 由余弦定理，得cosG=V了 2cosC .'.cos'C=V3 2 ,'∴.cos2C=2cos2℃-1=V3-1. 变式训练5C 例6B【解析】由题意，知边长为1的边所对的角不是最 大角，则边长为3或α的边所对的角为最大角，只需这两个 角为锐角即可，则这两个角的余弦值为正数，由此得到 a2+1232, 由于心0，解得2/2<a<V10,故选B. 12+32a2. 变式训练6(1)ABD(2)(10,14) 例7解：（）①cos4(V3sn4-cos4)=,V3 sincos4- cos1=Ysm21-71+ecs24)=Y3sin24-7c024- 2 号分，即m(24-石1.又H为三角形的内角，则Ae 0,),24-君e石，16).21-君=受，解得A (2)S2V3,indesin 27