7.2.2 单位圆与三角函数线-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册练习手册（人教B版）

N 高中数学必修第三册人教B版 7.2.2单位圆 效果评价 1.如图，在单位圆中，角α的正弦线、 正切线完全正确的是() 第1题图 A.正弦线为PM,正切线为A'T B.正弦线为MP,正切线为A'T C.正弦线为MP,正切线为AT D.正弦线为PM,正切线为AT 2.(多选题)下列四个命题中，正确的 有() A.当α一定时，单位圆中的正弦线一定 B.在单位圆中，有相同正弦线的角相等 C.α和a+T有相同的正切线 D.具有相同正切线的两个角的终边在 同一条直线上 3.有三个命题：①刀和5π的正弦线相 6 6 等；②T和4r的正切线相等；③T和5π 3 3 4 的余弦线相等.其中真命题的个数为() A.1 B.2 C.3 D.0 4.利用正弦线比较sinl,sinl.2,sinl.5 的大小关系是() A.sin1>sin1.2>sin1.5 B.sinl>sin1.5>sin1.2 (10)练 与三角函数线 C.sin1.5>sin1.2>sin1 D.sin1.2>sin1>sin1.5 5.若是三角形的内角，且sina+cosa= 子·则这个三角形是() A.等边三角形B.直角三角形 C.锐角三角形D.钝角三角形 6.点P为单位圆x2+y2=1与x轴正半轴 的交点，将点P沿圆周逆时针旋转至点P, 当转过的弧长为2π时，点P'的坐标为 () A3,B2,3 c..2 7.比较大小：tanl (填“>” 或“<”)am写 8.若角a(0<a<2m)的正弦线与余弦线 的长度相等，且符号相异，则α的值为 9.作出下列各角的正弦线、余弦线和正 切线. (1)70°： (2)-T 31 10.已知函数f(a)=Vsina+lg(2cosa-1), 求函数f(a)的定义域. 提升练习 1l.若0<a<2m,且sina<V3,cosa> 2 2,则角α的取值范围是() A-5, B.0,3 c5,2m D.0.2m 12.已知sina>sinB,那么下列命题成立 的是() A.若a,B是第一象限角，则cosa>cosB B.若，B是第二象限角，则tana>tanB C.若，B是第三象限角，则cosa>cosB D.若a,B是第四象限角，则tana>tanB 第七章三角函数 13.如图所示，在平面 ED 直角坐标系中，AB,CD, EF,GH是圆x2+y2=1上的 G 四段弧，点P在其中一段 上，角a以Ox为始边， 第13题图 OP为终边.若tana<cosa<sina,则点P所在 的圆弧是() A.AB B.CD C.EF D.GH 14.把s血5，sin沿，cos牙，m 12 12 由小到大排列为 15.点P(sin3-cos3,sin3+cos3)所在的 象限为() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 16.当a∈0，T时，求i证：sinakatano 练(11N 高中数学必修第三册人教B版 7.2.2单位圆与三角函数线 效果评价 1.C2.ACD3.B4.C5.D6.B 7.<【解析】1<牙，且都是第一象限角，由它们的正 切线知tanl<tan牙 &.3亚或7平【解析】根据角a(0<a<2m)的正弦线与 余弦线的长度相等，且符号相异可知sina=-cosa,即角x 的终边为第二、四象限的角平分线，a=3π或=7π 4 9.解：(1)如图1，设70°角的终边与单位圆的交点 为P,过点P作x轴的垂线，垂足为M;延长OP,交直线 x=1于点T,则向量MP为70°角的正弦线，向量0M为70° 角的余弦线，向量AT为70°角的正切线. 709 A 图1 图2 第9题答图 (2)如图2，设角-牙的终边与单位圆的交点为P,过 点P作x轴的垂线，垂足为M;延长OP,交直线x=l于点 T、则向量M为角-号的正弦线，向量0为角-号的余弦 线，向量A了为角-T的正切线。 10.解：依题意，有sina≥0， 2cos0E-10, o心，在平面直角坐标系中 1sina≥0， 0 即 作单位圆，如图所示，由三角函数 第10题答图 |2kT≤a≤2kT+T(k∈Z), 线可得 2km-霄<a<2km+号(keZ）, 解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为 a2km≤a<2km+号，keZ 函数fa)的定义域为|a2km≤a<2km+牙，keZ} (62 提升练习 11.D【解析】由题意，角a的 取值范围为图中阴影部分（不含边界）， 2π 即0，牙)U(,2m故选D. 12.D【解析】由图1可知cosa< cosB;由图2可知tana<tanB;由图3 可知cosa<cos3;由图4可知tana> 第11题答图 tanB.故选D. 0 MM x T T 图1 图2 M.Mo M MA 图3 图4 第12题答图 13.C【解析】分别在几段圆弧上画出其三角函数线 (图略)，可知C正确 14cos7<n5sin语<am7【解折】由图可知。 7 12 12 5的正弦线为M, 沿的正弦线为W矿。 积的余弦线为0。 召的正切线为 cos牙c0ksn号sn语dta T 第14题答图 121 cos牙<in5<in晋<an 12 15D【解折】3平<<3m,作出单位圆如图所示 3弧度的正弦线、余弦线分别为MP,O,sin3>0,cos3< 0...sin3-cos3>0. lMp<1o,.sin3+cos3=Mp-O1<0.故点P(sin3- cos3,sin3+cos3)在第四象限.故选D. 3的终边 P 0 第15题答图 第16题答图 16.证明：如图所示，在直角坐标系中作出单位圆，α 的终边与单位圆交于点P,α的正弦线、正切线为有向线段 Mf,A7,则Wfi=sina,T=ana.Saam=2O1·MP 3na,5sra0i=2a,5ar号oia=7ma. .1 1 又Sau<S月形a<S△am,“2sina<2a<2tana,即sina< a<tano 7.2.3同角三角函数的基本关系式 效果评价 1.B2.D3.C4.D 5.B【解析】.a是第三象限角，sina<0,cosa<0,.∴ 原式=cosa+2sina=-3. -cosa-sina 6.AC【解析】sina,cosa是关于x的方程x2+mx+n=0 的两个实数根，.sina+cos=-m,sinacosa=n..:角a是锐 角，∴.m<0,n>0,则mn<0,故B错误； (sina+cosa)2=1+2sinacosa=m2>1,1+2n=m2,m<-1, .m2-2n-1-0,故A正确； 而m++1=m+m1+1=m+10,故C正确； 2 2 方程有两个实数根，∴m24n≥0，故D错误.故选 AC. 7.Y22【解析】由anA=Y2>0且角A是△ABC的 11 3 sin2A+cos2A=1, 内角.可得0k1长受，又血4V2.解得sn4=Y图 11 cosA 3 8.sina【解析】原式=、L+cog(1-cosa) sina sina =1+cosa (1-cosa) sina 1-cos'a=sin'a=sina. sino sina 9.解：.sina+3cos=0,∴.sina=-3c0sa.又.*sin2a+cos2a= 1,.(-3cosa)+cos=1,10cosa=1,..cosa=10 10 由sina=-3cosa,可知sina与cosx异号，∴.角a的终边在第 二或第四象限 当角a的终边在第二象限时，coar-Y沿，inr3Y治D 10 参考答案。 当角a的终边在第四象限时，coca=0,sina=3V0 10 10.(1)解：原式= c0s36°-Vsin236o Vsin36+cos36-2sin36cos36 c0s36°-sin36° c0s36°-sin36° V(cos36°-sin367lcos36°-sin361 -cos36-sin36-1. cos36°-sin36 cosa.sina (2)证明： sina.cosa.tana sina 1-cosa 1+cosa 1-cosa 1+cosa sina. sina sin'a=sin'a=1. 1-cosa 1+cosa 1-cos'a sin'a 提升练习 I1.ABD【解折】sin+cos0=行，① (sin+eos60P=(写）.尺即sin0+2 2inco91eosa= 25 ..2sindcos0=-24 25 0e0,m,∴sin60,cos0,0e受，T,(sin6- cos0)=1-2sincos0=49 .sin0-os子或-}（舍去）.2 5 5 4 5，c0s0-3 联立①②解得sin6-=4, ，tan0-sine- =号放连ABD, 12.BC【解析】由sin0+cos0=a,a∈(0,1)两边平方得 sinecos0-1<0,故-牙<k0且lcos>sinM,借助三角函数 线可得-T<0<0,-l<tan6<0.故选BC. 13.C【解析】由题意知cosA>0,即A为锐角.将 V2sinA=V3cosA两边平方，得2sinA=3cosA..2cos2A+ 3c0s1-2-0,解得c04=号或c04=-2(舍去)，4=号故 选C. 14A【解折】inalcoo-I,ao2a)snt cw=10+0+0≥10-2V/2·器=16，ae cos'a sin'a 0.子引，当且仅当密-器，即na=分ea 学时，等号酸立，a品的品小值是16故速A 2 15.号7【解标】tana+-3,∴sig+cog3, cosa sina 即nmaeo-3,dnacoweg,tania 1，=tanc+tanc 112 tan'o 63