8.1.2 向量数量积的运算律-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第八章向量的数量积与三角恒等变换 8.1.2向量数量积的运算律 学习目标 要点2用数量积求长度 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用 例2已知lal=b=5,向量a与b的夹角 的公式 g=胥，求labl,a-,3abl 2.会利用向量数量积的有关运算律进行 计算或证明 要点精析 l要点1向量数量积的运算律 例1给出下列结论： ①若a≠0，ab=0,则b=0;②若ab= bc,则a=c;③(ab)c=a(bc);④a·[b(a: 反思感悟 c)-c(a·b)]=0,其中正确结论的序号是 此类求解模问题一般转化为求模的平方， 与向量数量积联系，要灵活应用a=laP,勿 反思感悟 忘记开方. 向量的数量积ab与实数a,b的乘积 αb有联系，同时有许多不同之处.例如， 变式训练2 由ab=0不能得出a=0或b=0.特别是向量 已知向量a与b的夹角为120°，且lal= 的数量积不满足结合律，即一般情况下 4,b=2,求： (ab)c≠a(b·c). (1)1a+b1;(2)13a-4bl;(3)1(a+b): B变式训练① (a-2b)1. 设，b,c是任意的非零向量，且它们 相互不共线，给出下列结论： ①ac-bc=(a-b)c;②(bc)a-(ca)b 不与c垂直；③lal-lb1<a-bl;④(3a+2b)· (3a-2b)=91a2-41b12.其中正确的序号是 学(63 N 高中数学必修第三册人教B版 川要点3利用数量积解决垂直问题 川要点4用向量解决平面几何问题 例3已知lal=3,bl=2,a与b的夹角 例4如图，在正三角形ABC中，D, 为60°，c=3a+5b,d=ma-3h.当m为何值时，： E分别是AB,BC上的一个三等分点，且 c与d垂直？ AE,CD交于点P,连接BP.求证：BP⊥CD. 分析可利用c⊥d曰cd=0构造方程 求m. 图8-1-1 反思感悟 向量的垂直问题主要借助于结论a⊥b 台>a·b=0,把几何问题转化为代数问题」 变式训练④ B变式训练③ 在四边形ABCD中，AB=a,BC=b,CD c. DA=d,且ab=bc=cd=da,试回答四 已知平行四边形ABCD中，AB=M,BC= 边形ABCD是什么图形，并说明理由， b,且la=lb1,试用a,b表示BD,AC并计算 BD·AC,判断BD与AC的位置关系 64)学 第八章向量的数量积与三角恒等变换。 例5设平面内两非零向量a与b互相 数学文化 垂直，且la=2,b1=1,k和t是两个不同时 为零的实数， 例（多选题）八卦是中国古老文化的 (1)若x=a+(t-3)b与y=-ka+b垂直，： 深奥概念.图1是八卦模型图，将其简化为 求k关于t的函数关系式k=f(t); 图2中的正八边形ABCDEFGH,其中OA= (2)求函数k=f(t)的最小值. 1,给出下列结论： ①D·BF=0:②01.0D=-Y2: ③OB+OI=-V2OE；④连接FH,则AΠ F71=V2-V2 其中正确结论为（) A.① B.② C.③ D.④ 出 图1 图2 变式训练⑤ 图8-1-2 设“与b是两个互相垂直的单位向量， 当k为整数时，向量m=ka+b与向量n=a+kb 的夹角能否等于60°？证明你的结论 学(65N,由于第一次到达平衡位置的时间为0.5s,因此由M点 第一次到达N点的时间为1s,由N处摆动到平衡位置是 第二次到达平衡位置，用时0.5s,到达M点用时0.5s,从 点M再次达到平衡位置点O,即第三次到达平衡位置又用 时0.5s.故第三次经过平衡位置的时间为1+0.5+0.5+0.5= 2.5(s). 变式训练3解：由题知，该摆球摆动一个来回需用时32s, .1min=60s=(18×3.2+2.4)s, 第八章向量的数量 >m8.1向量的数量积 8.1.1向量数量积的概念 要点精析 例1(1)D(2)90°150°【解析】(1)：向量1al=2, heV3,且ab-3.osa,=设论=VY 2 又(a,b)e[0,T],(a,b)=5π.故选D. 6 (2)在△ABC中，AB=4,BC=2,AB·BC=-4,.ABi. IBC lcos(AB,BC)=-4,4x2cos(T- B)=4,cocB号，得B=60. 如图，延长BC到D,使CD=BC 则△ABD为等边三角形，.∴AC⊥BC ∠BAC=30°，.向量BC与C的夹角 为90°，AB与CA的夹角为150°. 例1答图 变式训练1(1)D(2)2Y2【解析】(1)设两个 3 单位向量分别为e1,e2,则e1·e2=cos(e1,e2)=-l,由于 《e1,》e[0,π]，.(e1,e2)=T.故选D.(2)a是单位 向量，且3a·b=b1,则3 lallblcos(a,b)=lb1,得cos(a,b) =号又sina,b)+co(a,b)=l,得sin2a,b}=8 :0≤(a,b)≤m,sin(a,b)=2Y2 3 例2(1)③④(2)8【解析】(1)由数量积的定义知 a·b=lallbl-cos0(0为向量a,b的夹角). ①若a·b=0,则0=90°或a=0或b=0,故①错误； ②若ab<0,则0为钝角或0=180°，故②错误； ③由AB.BC=0知B=90°，故△ABC为直角三角形，故 ③正确： ④a2=la=1,b2=lbP=1,故④正确 (2)如图，过点A作AD⊥BC 垂足为D.AB=AC,BD=BC=2, 2 于是1 cosLABC=IBD上子BC= 例2答图 2×4-2,B·BC=CosLABC- 参考答案。 而2.4-1.6=0.8s,∴.经过1min后摆球在点0处， 数学文化 例50【解析】据F=5V2sin(100mt-牙）知w= 100mad5,该通信信号的周期为1=2红=2m=0.02s,则 0100m 这种通信信号在05s内往复传输的次数为2·号2x品 50(次). 量积与三角恒等变换 4×2=8. 变式训练2①②⑥⑧【解析】由于a≥0，b2≥0，.若 a2+b2=0,则a=b=0,.①正确： 若a+b=0,则a=-b,又a,b,c是三个非零向量， ac=bc,lac=bcl,∴②正确； a,b共线台a·b=±lallbl,.③不正确： 对于④，应有lab1≥ab,.④不正确： 对于⑤，应该是a·a·a=laPa,⑤不正确； a2+b2≥2 lallb1≥2a·b,⑥正确： 当a与b的夹角为0°时，也有ab>0,⑦不正确： Iblcos0表示向量b在向量a上的投影的数量，.⑧正 确.综上可知①②⑥⑧正确. 例3A2)号 -2【解析】(1)：向量b的模 为1，且b在a上的投影的数量为至，则beos(a.b) 2 Y5,得cosa,b)=Y3.a,b)e[0,π]，a,b) 2 2 =石=30.故选A (2).…平面向量a=2,b1=6且a·b=-4,.allblcos(a, b)=4,得csa,b)=了a在b上投影的数量为a cosa,b-号，b在a上投影的数量为wieos(a,.b-2 变式训练3(1)D(2)6【解析】(1)如图，取AB 的中点H,连接CH,则向量AC在AB 上的投影的数量为AH=AClcos.∠CAB, .ABAC=IA BI.IAClcos CAB=IABI. A=2.故选D. H (2).向量a在向量b上的投影的 数量是2，lb1=3,则ab=lallblcos(a,b) 变式训练3答图 =(lalcos(a,b〉)lb=2×3=6. 8.1.2向量数量积的运算律 要点精析 例1④【解析】两个非零向量a,b垂直时，ab=0,故 ①不正确： 当a=0,b⊥c时，ab=bc=0,但不能得出a=c,故② 不正确： 向量(ab)c与c共线，a(bc)与a共线，故③不正 47 N 高中数学必修第三册人教B版 确； a·[b(ac)-c(ab)]=(ab)(ac)-(ac)(ab)=0,故④ 正确」 变式训练1①③④【解析】根据向量数量积的分配律知① 正确； .[(bc)a-(c·a)b]c=(b·c)(ac)-(ca)·(bc)=0, ∴.(b·c)a-(c·a)b与c垂直，②错误； .a,b不共线，.al,bl,la-b1组成三角形三边，.la- Ibl<la-b1成立，③正确： ④正确.故正确命题的序号是①③④ 例2解：ab=-ilbicos02,a+bl-V(a+bY=:Viar+2a-b+b =5V3,la-bl=V(a-b)2=VlaP-2a.b+lbP=5,13a+bl= V(3a+b)=V9laP+6ab+lbP=5V13. 变式训练2解：已知a·b=lallblcost0=4×2xcos120°=-4，a2= 1a2=16,b2-=b12=4. (1).la+b1P=(a+b)2=2+2ab+b2=16+2×(-4)+4=12,.a+ bl=2V3. (2).3a-4b12=(3a-4b)2-9a2-24a·b+16b2-9×16-24×(-4) +16×4=16×19,.13a-4bl=4V19. (3)(a+b)·(a-2b)=a2-2ab+ab-2b2=16-(-4)-2x4= 12,.l(a+b)·(a-2b)=12. 例3解：若c⊥d,则cd=0,即(3a+5b)·(ma-3b)=0, 3ma2-9ab+5ma.b-15b2=0.a'=lal2=9,b2=1bP=4,a.b= ab-cow0=3,得27m-27+15m60-0.解得m=器 变式训练3解：：四边形ABCD为平行四边形，AD= BC=b,BD=AD-AB=ba,而AC=a+b,.BD·AC=(b a)(b+a)-b2-a2=bP-a.又lal=lbl,BD·AC=-0,即BD⊥ AC. 例4证明：设PD=ACD,并设正三角形ABC的边长为a, 则有P=P而+D=AC而+3B-A子BA-BC+?Bm =号(2A+1)B-ABC 又E-B}8C,/E,设=kE,号(2A+ 1)B-ABC-=kB-子BC. 号2+1)达 于是有 解得A= A=号 成-励，办9励.又C⑦=子-武， BC+CBC+9C市=B+9(子-BC)=号BC+号B 郦.C市(BC+m·(号-BC)=子C·Bm 号C4景厨号C-异o60-7r+景-号 21 a2cos60°=0，Bp⊥CD,BP⊥CD. 变式训练4解：四边形ABCD是矩形.理由： 48 .a+b+c+d=0,.a+b=-(c+d),.(a+b)2=(c+d)2,即lalP+ 2a·b+lbP=cP+2c·d+ld. 由于ab=c·d,.a+lb2=lc+df,① 同理有laP+ld=lcP+Ib12.② 由①②可得lal=lcl,且bI=ld,即四边形ABCD两组对 边分别相等..四边形ABCD是平行四边形 由ab=b·c,有b·(a-c)=0,而由平行四边形ABCD可 得a=-c,代入上式得b·(2a)=0,即a·b=0,.a⊥b,即 AB⊥BC.综上所述，四边形ABCD是矩形. 例5解：(1)a上b,ab=0.又x⊥y,xy=0,即 [a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0, 整理得-ka2-k(t-3)ab+tab+t(t-3)b2-0..a=2,bl=1, 4k+-3=0,即k=4-3), 2)由)知，子c3)号r2名即西数 4 的最小值为-名 变式训练5解：不能.证明： 向量a与b是两个互相垂直的单位向量， .'.lal=Ibl=1,a.b=0. 又lm2=(ka+b)2=k2+1,n2=(a+kb)2=k2+1, =(ka+b)·(a+kb)=2k, .2k=Vk2+1·Vk2+1·cos60°，即4k=k2+1,解得k=2± V3,这与k为整数矛盾，∴m与n的夹角不能等于60 数学文化 例ABC【解析】在正八边形ABCDEFGH中，HD⊥ B,则孤卧0，①正确：0所0丽x1c0s平-Y号 2 ②正确；0B+0i=V20A=-V20E,③正确；连接AF, -fm=0r-01.则-1+1-2x1x1xeos3平-2+ V2,由此得AH-F71=A下=V2+V2,④错误.故选 ABC. 8.1.3向量数量积的坐标运算 要点精析 例1解：(1)ab=(1,3)(2,5)=1×2+3x5=17. (2).a+b=(1,3)+(2,5)=(3,8),2a-b=2×(1,3)- (2,5)=(2,6)-(2,5)=(0,1),.(a+b)(2a-b)=(3,8)· (0,1)=3×0+8×1=8. (3)(ab)c=17c=17×(2,1)=(34,17),a·(b·c)=a [(2,5)(2,1)]=a(2x2+5×1)=9a=(9,27). 变式训练1解：方法一：a=(-3,-2),b=(4,k),.5a- b=(-11.-10-k),b-3a=(5,k+6). .∴.(5a-b)·(b-3a)=(-11,-10-k)·(5,k+6)=-55-(k+ 10)(k+6)=-55, ·.(k+10)(k+6)=0,.k=-10或k=-6,.b=(-4,-10) 或b=(-4,-6). 方法二：(5a-b)(b-3a)=5ab-15a2-b2+3ab=-15a2+ 8ab-b2=-15×(9+4)+8[(-3)×(-4)-2k]-(16+k2)=-55.整理 得k2+16k+60=0,解得k=-10或k=-6,.b=(-4,-10)或