7.2.4 诱导公式-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第三册学习手册（人教B版）

第七章三角函数。 7.2.4诱导公式 第1课时诱导公式（一) 学习目标 ()sin-3} 1.借助单位圆的直观性探索正弦、余弦 (2)cos(-945°)； 和正切的诱导公式. (3)tan(-855°)； 2.掌握正弦、余弦和正切的诱导公式的 (4)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)： 应用 sin(-1050°)+tan945°. 3通过对公式的运用，提高三角恒等变： 形的能力和渗透化归数学思想，提高分析问 题、解决问题的能力， 要点精析 川要点1利用诱导公式求值 1.诱导公式① sin(a+k·2T)=sina;cos(ax+h·2r)=cosa; tan(a+k·2r)=tan. 2.诱导公式② sin(-a)=-sina;cos(-a)=cosa;tan(-a) =-tana. 3.诱导公式③ 反思感悟 sin m-a)=sina cos (T-a)=-cosa 运用诱导公式求任意角的三角函数值 tan(π-)=-tana. 4.诱导公式④ 时，一般步骤是：负化正→正化主→主化 锐→求值，即先把负号化去（诱导公式 sin (T+a)=-sina;cos (T+a)=-cosa ②)，再把任意正角写成2kT+a,0≤a<2π tan(π+a)=tan. 5.公式①②③④记忆方法：“函数名不 (或k360°+，0°≤<360°)的形式转化为 变，符号看象限”· 的三角函数，[0,2T)）称为主区间，再 例1求下列各三角函数值」 用T±（或180°±)化为锐角的三角函数， 最后求值 学 25 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练1 变式训练2 计算：(1)sin405°.cos(-765); 已知c0s(-75)=-了，且u为第四象 (2)V3sm-r)tan- T 限角，求sin(105+ax)的值 tan 4 川要点2条件求值 石-a=3，求 川要点3三角函数式的化简 例2已知cos 3 cosr*a-sina-石的值 例3化简V1+2sin290°cos430° sin(-70°)+cos790° 反思感悟 反思感悟 (1)解决条件求值问题，首先要仔细 (1)三角函数式的化简常用诱导公式 观察条件与所求式之间的角、函数名及有 将任意角的三角函数转化为锐角的三角 关运算之间的差异及联系」 函数 (2)可以将已知式进行变形向所求式 (2)化简时要特别注意“1”的变式 转化，或将所求式进行变形向已知式转化， 应用 26)学 第七章三角函数。 B变式训练③ 变式训练④ 化简：sin(2nT+a)·cos(-a) 8 sin(-8π-ax) 设tana+气不=a. cos(4nm-a)sin(-）(neZ)· tan(-o) 求证： sinma+3cosa-号r -a+3 sin29m-a-osa+号n 20 a+1 川要点4三角函数式的证明 例4求证： tan(2T-0)sin(-2m-0)cos(6m-0)=tan0. -cos(0-2π)sin(8m-0) 数学文化 反思感悟 例在平面直角坐标系中，以x轴的非 (1)用从等式的一边开始化为等式的 负半轴的始边的角α，B的终边分别与单 另一边的方法证明恒等式问题，实质上就 位圆交于点最言和号号引，那么 是三角函数式的化简问题， sinacosB=( (2)证明三角恒等式的一般思路是： 先分析角的特点及角之间的关系，再将角 A.-36 65 变形，然后利用诱导公式及同角三角函数 C.3 4 48 的基本关系式来完成证明」 D. 学(27 N 高中数学必修第三册人教B版 第2课时诱导公式（二) 看成锐角时，原函数值的符号 学习目标 例1求下列各三角函数值， L.掌握诱导公式，能正确运用这些公式 (1)sin(-1920°)；(2)cos(-1560°)： 求任意角的三角函数值， (3)tan 15π 4 2.能运用诱导公式进行简单的三角函数 的化简与恒等式的证明 要点精析 川要点1给角求值 1.诱导公式⑤ sin-cosa;cos=sina. 2.诱导公式⑥ sna+号 =cosa;cosa+ 2 =-sina 3.诱导公式⑦ sin =-cosa;cos 3-sinc. 4.诱导公式⑧ sin-co:cos a =-sing. 5.“奇变偶不变，符号看象限”的意义： 反思感悟 诱导公式可以归纳为k·T+a(k∈Z) 这是一个利用互余、互补关系解题的 问题，对于这类问题，关键是要能发现它 的三角函数值.当k为偶数时，得a的同名 三角函数值：当k为奇数时，得α的异名三 们的互余、互补关系：如写-a与石+、 6 角函数值.然后，在前面加上一个把α看成 牙+a与石a、牙与年a等互余， 锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不 变，符号看象限”，值得注意的是，这里的0与-0、牙+0与-0等互补，遥到此 3 奇和偶分别指的是受的奇数倍或偶数倍；符 :类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利 号看象限指的是等式右边的正负号恰为把α： 用角的变换来解决问题」 28)学 第七章三角函数。 变式训练1 B变式训练2 求下列各三角函数值： （D已知cos(T+e)=号，a为第一象 (1)sim-10m 3/； (2)cos29 限角，求cos受+a的值； (3)sin7m. 6 （2)已知cos石-，求cos: sin2红-a的值。 3 川要点2给值求值 川要点3三角函数式的化简 例2已知sin号a=分，求cos石a 例3化简： 的值. cos+受-sink-变-a sim[(k+1)m+a]cos(km+),其中k∈Z. 反思感悟 反思感悟 用诱导公式进行化简时，若遇到kT±@ 必须把已知角看成一个整体，找出所 的形式，需对k进行分类讨论，然后再运 求角与已知角之间的关系 用诱导公式进行化简」 学 (29 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练3 数学文化 化简：sin(-2m-a)cos(6m-a) 例德国著名的 sina+子)casa+n 天文学家开普勒曾经 这样说过：“几何学 里有两件宝，一个是 勾股定理，另一个是 黄金分割.如果把勾 例题图 股定理比作黄金矿的 话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄 金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分 割比的黄金三角形被认为是最美的三角形， 川要点4三角函数式的证明 它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种 例4已知sin(a+B)=l,求证：tan(2ax+ 是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角 B)+tanB=0. 星由5个黄金三角形与一个正五边形组成， 如图所示，在其中一个黄金三角形ABC中， BC=V5-1.根据这些信息，可得sin342= AC 2 A.V5-1 B.V5+1 4 4 C.-V5+1 D.-V5-1 B变式训练④ 4 4 证明： 2n0+os0-号引-l 2 1-2sin20 tan(9m+0)+1 tan0-1 30)学g 10 - 变式训练2解：(1).3sina-2cosa-0,.tana= 2 31 cosa≠0. 12 coso-sina cosotsina1-tana 1+tana_ 3 1+2 3 cosa+sina cosa-sina 1+tana :1-tana1+2 1、 3 =9 (2)sina-2sinacosa+4cosa=sin'a-2sinacosa+4cos'a sin a+cosa -ana-2iana44_9-3+4 28 tan'a+1 13 例3解：sin1cos=Y7,÷两边平方得n6cos=- 7 3 181 又0<0<m,开<0km 2 in(sing-no sine+cos0=V2 sin0=V2+4 3’ 6 解方程组 得 sing-cos0=4 , cos0=V2-4 6 .'.tan0=sine=-9-4V2 cos 7 变式训练3解：(1)：sina+cosa= 3，.∴sina+2 sinacosa+ 1 =(sina-co)=1-2singcoso= 1+8=17 99·.sina-cos=V7 3 (2).'sina+cosa=(sina+cosa)(sin2a-sinacosa+cos2a)= (sina+cosa)(1-sinacosa). 又由(1)知，sinacosa=- 号，且sina+eosa= 4 / 3 =号x1+号)月 1、13_13 9=3×927 例4证明：方法-：左边=coc产0ncod0na 1-sin'a (1-sina)(1+sina)=1+sina=右边，.原式成立. cosa(1-sina) coSQ 方法二：。 cos'a-(1+sina)(1-sina)_cos'a-(1-sin'a)=coso-cos'a= cosa(1-sina) cosa(1-sina)cosa(1-sing) 0.“18-6 变式训练4证明：右边=(ana一sina)tanasinc tan'o-sin'a tan'o-tan'acos'a (tana-sing)tanasina 参考答案。 tan'a(1-cos2a) tan'asin'o (tansin)tanosin(tanasina)tanasine tana-sina 左边，.原等式成立 例5解：不存在.设存在这样的实数m满足条件，由题设 得4=36m2-32(2m+1)≥0，① sinaco=2m,② sinacos=2m+l>0.③ 8 又：sina+cos2a=l,∴.(sina+cosa)2-2 sinocoso=l.④ 把②3代入④得子m-2x2m11, 8 即0m2-8m-20-0.解得m=2,m=9m=2不满足条 件①，m=-0不满足条件③，故这样的实数m不存在。 变式训练5解：.∵sin,cosa为方程4x24mx+2m-1=0的两 个实根，m2-2m+1≥0且sina+cosa=m,sinacosc=2m-l 4 代入(sina+coa)P=1+2 sinccosx,得m=l±V3 又ae(←7,0，'sinacosa=-2m<0,即mc2 4 nao0awl上y5，ngy,6om- 1 2 又we(受，0，a=-罗 数学文化 例D【解析】由三角函数定义可得小正方形的边长为 cos0-sin6,又小正方形的面积是名cos0-sin=了，再由 sin94c0s9=l,得到ca0=号，sn0=号，代人算式得到 sn的-cos9的值等于-石故选D. 7.2.4诱导公式 第1课时诱导公式（一） 要点精析 例1解：（④）sm-）=-sm(3=-sin4a+7g)= -sin7匹=sing=) 6 6-2 (2)c0s(-945°)=c0s945°=c0s(2×360°+225°)=c0s225°= cos(180°+45°)=-cos45°=-V2」 2 (3)tan(-855o)=-tan855°=-tan(2×360°+135o)= -tan(180°-45o)=-tan45°=1. (4)sin(-1200°)·cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°) +tan945°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360° +300°)·sin(2x360°+330°)+tan(2x360°+225°)=-sin(180°-60°)· cos(180°+30°)-cos(360°-60°）·sin(360°-30°)+tan(180°+ 45°)=sin60°.cos30°+cos60°.sin30°+tan45°=Y3×3+ 2. 2 x+12 35 N 高中数学必修第三册人教B版 变式训练1解：(1)原式=sin(360°+45)cos765°=sin45. cos2x86045"）in450cow45e-VY7xV7=号 (②)原式-V了-sn2m小am2m+gos2+号} tan(-5x2m-年)=-V3sin(3×2m+石）tang-cos牙· am牙-v3x}x3-号x-0 例2解：cos名+a=cosm-(石-a=-cos石- sina君）sinf-(君-aj小1-cos吾j-3}月 子 名a-sna-晋}-5-号-2y5 3 变式训练2解：c0s(a-75)=-了<0，且a为第四象 限角，.a-75°是第三象限角.·.sin(a-75)=-V1-c0s2(a-75) =-V1-3-2Y2.5n(105a=sn180r4a-75P1 =-sin(a-75°)=2V 3 例3解：原式=Y1+2sin(360°-70°)cos(360°+70°) -sin70°+c0s(720°+70°) =V1-2sin70cos70°=lcos70°-sin701=sin70°-cos70° -sin70°+cos70° c0s70°-sin70° cos70°-sin70° =-1. 变式训练3解：原式=sinecosa+cos(-)sina=sinccosa+ sin(-a) -tana -sina cosasina=-cosa+cosasina=cosa-cosa. -tana sina coSo 例4证明：左边=tan(-6)sin(-0)cos(-0)=tansincos8 -cos0sin(-0) sinecose tan0=右边..原等式成立. 变式训练4证明：左边= snm+a+87)]+3cos[la+89-3m]】 sin-)-cos()] -sin()-3cos)tan()+3 +3=右边. -sna+8-cosa+8ama+g+1al 等式成立. 数学文化 例B【解标】由三角西数的定义sma名co3-一号， n-×-号片-言故选B. 36 第2课时诱导公式（二） 要点精析 例1解：(1)原式=-sinl920°=-sin(360°×5+120°)= -sin(90+30°)=-c0s30°=-V3 2 (2)原式=c0s1560°=c0s(360°×4+120°)=c0s120°= cos(90+30y-sm80r-7 (3)原式ian-15r+4m=tanT=1. 4 4 变式训练1解：(1)sn-19）sinl9=sm2m+号 =-n4-sinm+号）sin受=Yy3 2 (2)cos 0c0 =-V3 2 (3)sin17asn2m+insin受+号cos号 6 例2解：sim号a=7,且（写-a+石+a=受。 cos石+a=cos[号-（号-a=sin写-=2 变式训练2解：)os(mta)=-oau-7coa分 又a为第一象限角，则cos罗+a=-sinx=-V1-cosa= -- (2)cosg+a小sn(5-a）=cosm-(g-a: sin[π-（号+a]=-cos石-asin号+a=-号in (ga=gco石a=g 例3解：当k为偶数时，设k=2m(m∈Z),则原式= cs2m+号-sml2m-号-0.cos号asm号 sin[(2m+1)n+a]cos(2mm+a) sin(T+a)cosa --sinccos=l.当k为奇数时，设k=2m+1(meZ).同理， -sinacosa 原式=1.故原式=1. 变式训练3解：原式= sin(-a)cos(-a) siml2m-罗-a]小cos2m-(罗a月 (-sina)cosa -sinacosa sim-(7-a)川cos-(7-a)月-sin7-)eos(-a） -sinccos=1. -cosasina 例4证明：sin(a+B)=l,a+B=2kπ+7，keZ,a= 2kw+?B.keZ. ..tan(2o+B)+tanB-tan2/2km+-B)+B+tanB-tan(4kw+ T-2B+B)+tanB=tan(m-B)+tanB=-tanB+tanB=0.∴.等式成立. 变式训练4 证明：左边=-2cos6sin0-1。 -(sin0+cos0)2 cos0-sin (cos0-sin)(cos0+sin0) sine-cos0 tan0-，右边=tan+1 sin+cos0_tan0+1 tan6-1，等式成立. 数学文化 例D【解析】(1)由题意可知∠ACB=72°，在△ABC 中，可0cs72.号60 C V?⊥，则sn342sin72+270) 4 =-c0s720=-Y5-L.故选D. 4 >"7.3三角函数的性质与图象 7.31正弦函数的性质与图象 第1课时正弦函数的性质 要点精析 例1(1)奇函数【解析】f代x)=sinx+xsinx,x∈R,f-x) =sin(-x)+(-x)Psin(-x)=-sinx-sinxa=-fx),f(x)是奇函数。 (2)解：sin号+受--sin+号)=sin牙， 而sin号)=-in写，所以上述等式成立， 但不能说明5π是函数y=simx的周期， 3 理由：若买是函数y=six的周期，则对任意的实数 x,都有sin+罗)=sin, 但当=0时，sm+号)sinm,÷否不是函数sim 的周期 变式训练1(1)T(2)B【解析】(1)设f(x)=lsinxl, f(x+π)=lsin(x+T)=lsinxl==f(x),∴y=lsinxl的最小正周期为 T. (2)易知函数f(x)的定义域R,关于原点对称， .f(x)=xsin (+x)=-xsinx,f(x)=(x)sin (x)=-xsinx=f(x) ≠-fx),fx)是偶函数，不是奇函数.故选B. 例2(1)B【解析】xe受π小，.in:e[-l,, .f(x)=-2sinx+1e[-1,3].故选B. (2):f (x)=sin (+x)-cosx=-sinx-1+sin2x=sin s1.令1-m,则y4-1-t2} 1e-1,11≤≤1，子≤y≤1，l,此时 sin=-1,kZ; =子，此时nr=分=君+2m,keZ或=+ 6 参考答案。 2kt,keZ. sinr+2,-l≤sinx≤1， (3)解：原式可化为y=1-.2。 号22.限1≤y≤ :函数)部2的值城为1，号打 变式训练2(1)AC【解析】f(x)=2 asinx+-a+b的定义域 是0，罗引，0≤sim≤1. 当时，由短意.解得当o0叶， lb=1: 由医鱼51.等得故选C {b=-7. (2):f(x)=-2(1-sinx)+2sinx+3=2sinx+2sinx+1= 2sn+号xe[若，g1,小号≤s≤ 当sinx=1时，y取得最大值y=5；当sim=时，y取 得最小值=号 例31)[-7+2km,+2kπ]keZ)[0,]【解 析】当-受+2km≤x≤受+2km,keZ时，y=-3sin+1单调 递减，=-3sinx1的单调递减区间为[-7+2km,受+2kπ] (k∈Z). [+2k+2k (kZ[0, =[0,1, .当x∈[0，π]时，y=-3sinx+1的单调递减区间为 0,引 (2)解：sin196°=sin(180°+16°)=-sin16°，cos156°= c0s(180°-24°)=-cos24°=-sin66°. 当0°≤x≤90°时，y=six单调递增，∴.sinl6°<sin66°， 故sin196>c0s156°. 变式训练3（山)解：sin-3n-6m石sn石引， sin4g7=sin16m+号)=sin号 ym在[受，号]上单潤递增，且-受<石<号< 男，an个-看sin号，即sm-3ksn4g. 3 (2)[受+2km,+2km](kez)【解析】在 Asinx中(A>0),单调区间与A无关，仍为sinx的单调区 间，故)=产sn+1的单调递减区间为[受+2k,变+2km] (keZ)· 第2课时正弦函数的图象 例1解：取值，列表如下： 37