精品解析：山东省青岛市青岛大学附属中学2025-2026学年上学期九年级数学周测01.04

青大附中九年级数学周考卷 一、选择题（4′×10=40′） 1. 若函数是关于x的二次函数，则（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 2 2. 2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. B. C. D. 3. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 对称轴是直线 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x增大而减小 4. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，BD＝4，AD＝2，则tan∠CAD的值是( ) A. 2 B. C. D. 5. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 7. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 9. 将二次函数的图象先向上平移2个单位，再把所得图象进行x轴对称变换，所得图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 二、填空题（4′×6=24′） 11. 在中，，，则的值为_______． 12. 如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____． 14. 酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性y（单位：U）与温度x（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在________． 15. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为________． 16. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线．有下列说法： ①； ②； ③对任意实数； ④若和是抛物线上的两点，则当时，． ⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2；其中，正确的是_____（填序号）． 三、计算题（6′×2=12′）． 17. 计算： （1）； （2） 四、解答题： 18. 如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，） 19. 扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了20%． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元? （2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．工商部门规定，该水果利润率不得超过40%，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少?（利润计算时，其他费用忽略不计，并且售价为整数） 附加题 20. 户太八号葡萄果肉柔软多汁，品质优良，深受广大消费者喜爱．如图①，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图①的截面，建立如图②所示的平面直角坐标系，以喷水管底端点为坐标原点，喷头，水流落在山坡上的点和点处． （1）求山坡和轴右侧抛物线的函数表达式； （2）为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，若在坡段种植的葡萄树，则树上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 青大附中九年级数学周考卷 一、选择题（4′×10=40′） 1. 若函数是关于x的二次函数，则（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，熟知形如的函数是二次函数是解题的关键． 2. 2024年1月4日，第22届瓦萨国际滑雪节开幕式在长春净月潭国家森林公园启幕．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从点A滑行到点B．若，则这名滑雪运动员下降的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键．根据锐角的正弦可直接进行求解． 【详解】解：如图，由题意可得：， ∴， ∴． 这名滑雪运动员的高度下降了； 故选：A． 3. 下列关于二次函数的说法正确的是（ ） A. 图象是一条开口向下的抛物线 B. 对称轴是直线 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．根据解析式得出开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小，即可求解． 【详解】解：关于二次函数，，开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，y随x的增大而减小， 故选：C． 4. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，BD＝4，AD＝2，则tan∠CAD的值是( ) A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据中线的定义可得CD=BD，然后利用勾股定理求出AC的长，再根据正切等于对边：邻边列式求解即可． 【详解】解：∵AD是BC边上的中线，BD=4， ∴CD=BD=4， 在Rt△ACD中，AC= =， ∴tan∠CAD==2． 故选A． 5. 如图，在△ABC中，sinB=， tanC=2，AB=3，则AC的长为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】过A点作AH⊥BC于H点，先由sin∠B及AB=3算出AH的长，再由tan∠C算出CH的长，最后在Rt△ACH中由勾股定理即可算出AC的长． 【详解】解：过A点作AH⊥BC于H点，如下图所示： 由，且可知，， 由，且可知，， ∴在中，由勾股定理有：． 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】由可知，OP与x轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x，OB=2x，用勾股定理求其他线段进而求解． 【详解】∵P点坐标为（1，1）， 则OP与x轴正方向的夹角为45°， 又∵， 则∠BAO=45°，为等腰直角形， ∴OA=OB， 设OC=x，则OB=3OC=3x， 则OB=OA=3x， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P点坐标推出特殊角是解题的关键． 7. 一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是确定抛物线的解析式，已知抛物线的形状和开口方向由二次项系数决定，顶点坐标确定顶点式；原抛物线的二次项系数为，故新抛物线的二次项系数也为；顶点为，代入顶点式即可求解. 【详解】解：原抛物线的二次项系数为，因此新抛物线的解析式可设为顶点式： 其中顶点为，代入得： ； 故选C 8. 向空中发射一枚炮弹，经秒后的高度为米，且时间与高度的关系为．若此炮弹在第7秒与第14秒的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A. 第8秒 B. 第10秒 C. 第12秒 D. 第15秒 【答案】B 【解析】 【分析】由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x＝7和x＝14代入求得a和b的关系，再求得即可求得结果； 【详解】解：由炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，将x＝7和x＝14代入求得a和b的关系： 49a＋7b＝196a＋14b， 即b＋21a＝0 又时，炮弹所在高度最高， 将b＋21a＝0代入即可得： x＝10.5． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数与实际的结合，运用二次函数的性质解决最值问题是解题关键． 9. 将二次函数的图象先向上平移2个单位，再把所得图象进行x轴对称变换，所得图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，轴对称的性质．根据二次函数平移的规律，得到平移后的解析式，然后根据二次函数图象关于x轴对称变换的规律，即可求解． 【详解】解：把二次函数图象先向上平移2个单位 所以，得到的函数的解析式为：． 再把所得图象进行x轴对称变换后的解析式为：， 所以，所得图象的函数解析式为． 故选：C． 10. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查二次函数与反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知二次函数各系数与图像的关系． 由二次函数图象特征，得、、，判定反比例函数在二、四象限，一次函数过一、三、四象限，利用对称轴得，结合轴交点，代入解析式得，联立一次函数与反比例函数方程，代入、的表达式，通过判别式，确定两函数有两个交点，结合函数象限分布与交点个数，匹配出正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的左侧，函数图象交于轴的负半轴， ∴ ，，， ∴ 反比例函数的图象必在第二、四象限； 一次函数一定经过第一、三、四象限． ∵ 对称轴为直线，且与轴的交点为， ∴ 由对称性可知，另一个交点为． 由对称轴公式， ∴ ． 把代入，得： ， ∴ ． 联立方程， 整理得：． 将，代入，得： ， 即 ． ∵ ，两边同时除以，得： ． 判别式， ∴ 一次函数（）与反比例函数（）的图象有两个交点． 综上，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限，且两函数图象有两个交点， 故选：D． 二、填空题（4′×6=24′） 11. 在中，，，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，利用勾股定理求斜边，再根据余弦定义求解． 【详解】解：∵， ∴设，则． 在中，， ∴． 故答案为：． 12. 如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1：,则斜坡AB的长是__________米． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可． 【详解】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F， ∵斜面坡度为1：， ∴tan∠ABF=， ∴∠ABF=30°， ∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°， ∴∠HPB=30°，∠APB=45°， ∴∠HBP=60°， ∴∠PBA=90°，∠BAP=45°， ∴PB=AB， ∵PH=30m，sin60°=， 解得：PB=， 故AB=m， 故答案为：. 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出PB=AB是解题关键． 13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC=6，sinA=，则DE=_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵在Rt△ABC中，BC=6，sinA= ∴AB=10 ∴． ∵D是AB的中点，∴AD=AB=5． ∵∠C=∠EDA=90°,∠A=∠A ∴△ADE∽△ACB， ∴ 即 解得：DE=． 14. 酶是一种生物催化剂，其催化能力称为活性，活性越高，催化反应越快，研究发现酶的活性与温度有密切关系．已知某种酶在一定温度范围内，其活性y（单位：U）与温度x（单位：）的关系可以近似用函数表示，要使其催化反应最快，则温度应保持在________． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出二次函数的对称轴即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，值最大，即当温度保持在时，酶的活性最高，催化反应最快； 故答案为：30． 15. 将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到的抛物线的表达式写成的形式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，涉及二次函数的一般式化为顶点式，二次函数的平移，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．先将化为顶点式，再利用左加右减，上加下减即可得出平移后的表达式． 【详解】解：， ∵先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴平移后的抛物线的表达式为， 故答案为：． 16. 如图，二次函数的图象与轴的正半轴交于点A，对称轴为直线．有下列说法： ①； ②； ③对任意实数； ④若和是抛物线上的两点，则当时，． ⑤方程有两个不相等的实数根，且两根的和为2；其中，正确的是_____（填序号）． 【答案】①④⑤ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象和系数之间的关系，二次函数与一元二次方程，对称轴判断①，对称轴结合特殊点判断②，最值判断③，增减性判断④，根与系数的关系判断⑤． 【详解】解：∵对称轴为直线． ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵对称轴为直线， ∴和的函数值相同， 由图象可知：当时，， ∴当时，， ∵， ∴， 即，故②错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值为， ∴对任意实数，即；故③错误； ∵抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵和是抛物线上的两点， ∴当，．故④正确； ∵， ∴， ∵当时，有最大值为， ∴直线，在直线的下方， ∴抛物线与直线有两个交点，且两个交点关于对称轴对称， 即：方程有两个不相等的实数根，且两根的和为；故⑤正确； 故答案为：①④⑤． 三、计算题（6′×2=12′）． 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 四、解答题： 18. 如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅礴气势．图②是它的简化示意图，点O是摩天轮的圆心，小红在E处测得摩天轮顶端A的仰角为，她沿水平方向向左行走122m到达点D，再沿着坡度的斜坡走了20米到达点C，然后再沿水平方向向左行走40m到达摩天轮最低点B处（A，B，C，D，E均在同一平面内），求摩天轮的高度．（结果保留整数）（参考数据：，，） 【答案】68m 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，通过作辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 延长交的延长线于M，于N，先在中，解直角三角形求出，，再根据锐角三角函数构建方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点M，于N， 由题意得：， 则，， 在中，， ∴设，， ∴， 解得, ∴，， ∴，, 在中，, ∴, ∴ ∴摩天轮的高度约为68m． 19. 扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了，批发销售总额比去年增加了20%． （1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元? （2）今年某水果店从果农处直接批发，专营这种水果，调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．工商部门规定，该水果利润率不得超过40%，设水果店一天的利润为元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少?（利润计算时，其他费用忽略不计，并且售价为整数） 【答案】（1）24元；（2）每千克平均售价为33元，最大利润为7020元． 【解析】 【分析】（1）由去年这种水果批发销售总额为10万元，可得今年的批发销售总额为10（1+20%）=12万元，设这种水果去年每千克的平均批发价是x元，则今年的批发价为元，可列出方程： ，求得x即可 （2）根据总利润=（售价-成本）×数量列出方程，先求解自变量的取值范围，再根据二次函数的性质可得答案. 【详解】解： （1）由题意，设这种水果去年每千克的平均批发价是x元，则今年的批发价为元 ，今年的批发销售总额为10（1+20%）=12万元 ∴ 解得x=25 经检验x=25是分式方程的解． 故这种水果今年每千克的平均批发价是元． （2）设每千克的平均售价为m元，依题意 由（1）知平均批发价为24元， 则有 ∵a=-60＜0 ，对称轴为： ∴抛物线开口向下 ， 当元时，随的增大而增大， 且取整数， ∴当m=33元时，w取最大值 即每千克的平均销售价为33元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是7020元 【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，根据每天的利润=一件的利润×销售件数，建立函数关系式，此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 附加题 20. 户太八号葡萄果肉柔软多汁，品质优良，深受广大消费者喜爱．如图①，在山坡上安装一个竖直喷水管向两侧喷水，浇灌葡萄园，喷出的水流呈抛物线状，且两侧水流关于喷水管所在的直线成轴对称，取图①的截面，建立如图②所示的平面直角坐标系，以喷水管底端点为坐标原点，喷头，水流落在山坡上的点和点处． （1）求山坡和轴右侧抛物线的函数表达式； （2）为了防治虫害，在葡萄树上露出地表的位置粘贴防虫胶带，若在坡段种植的葡萄树，则树上粘贴的胶带是否有被水流喷到的风险？请说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 理由如下： 设水流所在的抛物线到山坡的竖直距离为， 粘贴的胶带没有被水流喷到的风险． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，求一次函数解析式，二次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）用待定系数法求出直线和轴右侧抛物线的表达式即可； （2）设水流所在的抛物线到山坡的竖直距离为，得出，求出，从而得出答案即可． 【小问1详解】 解：设山坡的函数表达式为． 过点， ，解得． 山坡的函数表达式为． 点． 右侧拋物线上点的对称点为． 设轴右侧抛物线的函数表达式为． 解得 轴右侧抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $