江西省赣州市部分学校2025-2026学年高三上学期第二次教学调研考试数学试题

绝密。启用前 2026.1 2023级高三第二次教学调研考试 数学试题 考试时间：120分钟满分：150分 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效，考试 结束后，将本试卷和答题卡，并交回。 3.试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题。（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，有且只有 一项符合题目要求。) 1.复数：a青则() A.1+3i B.2-4i C.2+4i D.1-3i 2.己知集合A={-4,-3,-1,0,1,2,8},B={x∈Rx=x},则A∩B=() A.{0,1,2}B.{0,1} C.{1,2,8} D.{-1,0,1} 3.已知向量ā=(-2,1)，b=(3,0)，e是与b方向相同的单位向量，则ā在b上的投影向量为( A.-5E B.5e C.-2e D.2 4.设f(x)是奇函数，且在(0，+∞)内是减函数，又f(-3)=0,则x·f(x)<0的解集是() A.{x|-3<x<0或x>3} B.{xx<-3或0<x<3} C.{x-3<x<0或0<x<3} D.{xx<-3或x>3} 5.某单位采用新工艺将二氧化碳转化为化工产品，其月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数 关系式为y=2x2-180.x+20000.请问：当月处理量为( )吨时，可以使每吨的平均处理成本最低？ A.100吨 B.150吨 C.200吨 D.250吨 6.已知A,B,C是半径为2的球O的球面上的三个点，且∠ACB=120°，AC=BC=1,则三棱锥O-ABC 的体积为() A.3 B.② C.I D.1 4 4 4 7.已知a=0.25,b=0.62,c=1og60.2,则() A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 【数学试题第1页（共4页）】 8.小林同学喜欢吃4种坚果：核桃、腰果、杏仁、榛子，他有5种颜色的“每日坚果”袋.每个袋 子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不相同，且每一种 坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为() A.20160 B.20220 C.20280 D.20340 二、多项选择题。（本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.下列说法中正确的是() A.回归直线=bx+à恒过样本中心点（低，可，且至少过一个样本点 B.用决定系数R刻画回归效果时，R越接近1，说明模型的拟合效果越好 C.将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D.基于小概率值a的检验规则是：当x≥x时，我们就推断H,不成立，即认为X和Y不独立，该 推断犯错误的概率不超过α 10.下列说法正确的是() A.向量c=(3,0,-2)与向量a=1,-1,0),b=(2,1,-2)共面 B.若市与，b共面，则x,yeR,使得=+b C.若{a,b,c}是空间的一个基底，则{a+2b,2b+3c,3ā-9}能构成空间一个基底 D.若M亚=xMA+yMB,yeR),则P,M,A,B共面，反之不正确 1.已知双曲线℃号茶-10≥0的左、右焦点分别为，鸟，点P为双血线c右支上的动点，过点 P作两渐近线的垂线，垂足分别为A,B,若圆(x-2)+y2=1与双曲线C的渐近线相切，则下列说法 正确的是() A.双曲线的渐近线方程为y=±5x 3 B.双曲线c的离心率e=5 3 C.当点P异于双曲线C的顶点时，△PFE的内切圆的圆心总在直线x=√阝上 D.14时P5为定值 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题。（本大题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.(a-x+)的展开式中x2y的系数为36，则a的值为_ 【数学试题第2页（共4页）】 13.在棱长为3的正方体ABCD-4CD中，点E满是AE-C,点5在平面sCD内，则AF+F的 最小值为· 14.己知数列{a}满足a1=e(neN),a,+4=3x,其中x,为函数y=e-x2(x>1)的极值点，则 4+42-43= 四、解答题。（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。) 15.（本题满分13分) 已知△ABC的面积为3，且满足0≤AB.AC≤6√3，设AB和AC的夹角为6， (1)求0的取值范围； (2)求函数fo)=cos0.sm(0+爱-V5cos9+的值域。 4 16.（本题满分15分) 已知数列a满足a方a2:= (1)求证：数列}是等差数列，并求数列{a}的通项公式： a (2)求数列{a,a+}的前n项和S。· 17.（本题满分15分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,C上动点P到点F的最小距离为1. (1)求抛物线C的标准方程： (2)过点P的直线与抛物线c交于4，B两点，o为坐标原点，Sa号5，求A的值， BF 【数学试题第3页（共4页）】 18.(本题满分17分) 如图甲，在梯形ABCD中，AD/1BC,∠ADC=90°，BC=CD=2AD=4,E是CD的中点，将△ADE沿AE 折起，使点D到达点P的位置，如图乙，且PC=23. (1)求证：平面PAE⊥平面ABCE; (2)求点E到平面PBC的距离； (3)设AE的中点为O,在平面POC内取点Q,使得直线EQ1平面PBC,问点Q是否在△POC内？ P 、E A 甲 乙 19.（本题满分17分) 对于正整数n和正整数k∈1,2,3，m,现定义函数Q(n,)=Ck2. (1)当n=4时，分别计算Q(4,)在k=1,2,3,4处的取值： (2)为了研究函数Q,)的单调性，现定义差分比R)=m+D. O(n,k ①证明：当k>”时，R,k)<1; ②对于任意正整数n,当Q(n,k)取到最大值时，求正整数k. 【数学试题第4页（共4页）】2023级高三第二次教学调研考试 数学试题参考答案、提示及评分细则 题号 1 2 3 4 5 6 8 0 10 11 答案 B 0 O 0 A B A BD ABC AC 1.【答案】B 【解答】解：=0+0+，。 40+0=2i+40+0=2+49,:三=2-4i. 1-i00+) 2 2.【答案】D 【解答】解：集合A={-4,-3,-1,0,1,2,8},B={x∈R|x3=x}={←1,0,1}， 则4∩B={1,0,1}. 3.【答案】c 【解答】解：因为向量ā=（←2,1），b=(3,0),ē是与b方向相同的单位向量， 所以a在6上的投影向量是axa-6e-abe=-6+0g-2. 1a川b1-1be-3 4.【答案】D 【解答】解：f(x)是R上的奇函数，且在(0，+)内是减函数，在(-0,0)内f(x)是减函数， 又：f(-)=0,f(3)=0,由xfw<0可得x<0或x>0 f)>0或f<0'解得x<-3或x>3. 5.【答案】A 【解答】解：y=2-180+200,则每吨的平均处理成本号-2x+1000)-180≥2,2 10000 -180=220, 1 当且仅当x=1000,即x=100时取等号，所以当月处理量为100吨时，可以使每吨的平均处理成本最 低 6.【答案】C 解餐】解：由ACB=2,4AC=BC=1,得SP×sm120 4 且△ABC外接圆半径，=，1 2im301,因此球心o到平面ABc的距离d=V2-P=V5, 所以三棱锥o-4c的体积为rd-背V厅 34 4 7.【答案】B 【解答】解：因为y=x.6为增函数，所以0.26<0.6.6，因为y=0.6为减函数，所以0.66<0.62<1， 则0.26<0.62<1，又y=log6x为减函数，所以y=log60.2>log60.6=1, 故0.26<0.62<log60.2,即c>b>a 8.【答案】A 高三数学参考答案第1页（共7页） 【解答】解：依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H,Y,X,Z,则每个字母出现2次或4次，分类 计算分堆可能： (1)H,H;Y,Y;X,X;Z,Z, 若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的4”必须是Z,故1种可能： 若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑(YX(Z※)（※）（※)，故有CC=12种可能；小计：1+12+12=25； （2)诸如“H,H,H,H;Y,Y;X,X;Z,Z类型， 若是“10=4+3+1+1+1，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H,故0种可能； 若是“10=4+2+2+1+1” 则“1+1 ”中有一个是 H,"4+2+2"中各一个H,"2+2"中除了一个H外，另一个互异，故有C?=3种可能； 若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H,“3+3+2”中各一个H,可以考虑含※模式， (H※※)H※※)H※)（※）(H),故有CA=6种可能； 若是10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+C+CC=10种可能： YXZ H H H※ H H H※ H ※ H H H ※然 H 若是10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能： 小计：C4×(0+3+6+10+0)=76; (3)诸如“H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X;Z,Z类型， 若是12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能： 若是12=4+3+3+1+1”，则枚举3+3的情况，发现仅(YXZ)(Z)(H)((Z)(X)可能； 若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑(YZ)(H亚※)（※※）（※※）（※）或(YXZ)(Z※)（※※）（※※）（※）， 有CC=4种可能： 若是12=4+3+2+2+1”，则考虑(Z)HY※)（※※）（※※）（※）或(HXZ)(Z※)（※※）（※※）（※）， 若是12-3+3+3+2+1”，则有(YX(HYZ)(ZH)Y)或(X)(HYZ(ZY)(HY)(H)都成立，有2种可能： 若是“12=3+3+2+2+2，则枚举“3+3的情况，发现(HX)(HYZ)(Y)(H※)Y※)，有2种可能. 小计C2×9=54: 诸如H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X,X,X;Z,Z类型 若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能； 若是“14=4+3+3+3+1”，则4+3+3+3”中至少有3个Z,故0种可能： 若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3至少有2个Z,考虑(HYXZ)(HYX)(Z※※)（※※）（※※），其中 Z※※有C?=3种可能，故此小类有3种可能： 若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3中至少有3个Z,故0种可能： 高三数学参考答案第2页（共7页） 小计3C4=12; (5)“H,H,H,H;Y,Y,Y,Y;X,X,X,X;Z,Z,Z,Z“ 只有16=4+3+3+3+3的搭配，有1种可能： 综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为1684=168×120=20160种， 9.【答案】BD 【解答】解：A:回归直线=x+à恒过样本点的中心(，可正确，但不一定会过样本点，故A错误： B:用相关指数R来刻画回归效果时，R越接近1，说明模型的拟合效果越好，故B正确： C:由题意可知，两组数据的波动性不变， 故方差不变，则标准差不变，故C错误； D:根据独立性检验可知D正确. 10.【答案】ABC 【解答】解：对于A:向量c=(3,0,-2)与向量a=(1,-1,0),b=(2,1,-2),由于c=a+b,故a,b,c共面，故A 正确； 对于B:由于方与a,五共线，根据共面向量基本定理，一定存在x,y使币=a+b,故B正确： 对于c:若a,b,c}是空间的一个基底，令a+26=x2b+3c)+y(2a-9),无解，则{a+2b,2b+3c,3a-9} 能构成空间一个基底，故C正确： 对于D:若MP=xMA+yMB(x,y∈R),则P,M,A,B共面，反之不成立，故D错误. 11.【答案】AC 【解答】解：对于A：双曲线的渐近线方程是bx±√3y=0, 圆x-2)+=1的圆心是20，半径是1，则20=1，b=1-1舍去)， V3+b2 由6=1，。5，可得双曲线的渐近线方程为y=士 x,故A正确； a 3 3 对于B:由c=V匠+b=2,则离心率e=C=2=25 a33,故B错误 对于C:设△PFE的内切圆与x轴，PF,PE分别相切于点M,N,Q, 由圆的切线性质知|Pr|-|PE=NR|-|OF FM-|F,M=2a, 即xw+c-(c-xw)=2a,所以xw=a,因此内心在直线x=a,即直线x=V3上，故C正确： 对于D:设Px,),则-=1，即-3=3，又渐近线方程是x士3y=0, 则P4三=5，PB-+y3L,P4到PB1-,则PAB子，故D错误. 2 4 12.【答案】经 高三数学参考答案第3页（共7页） 【解答】解：由于(a-x+)的展开式中xy的系数为36， 因为(x+)的二项展开式为T1=Cx-y,r=0l,2,,7,令r=5,可得T。=Cxy=21xy; 令r=6,可得T,=C9gy=7:可得axT。-.T,=ax2k'y-Xx7y6=(2a-刀xy', 所以21a-7=36,解得：a=43 21 13.【答案】√34. D 【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，棱长为3，A正=1C, 所以E(2,1,3),A(3,0,3),C(0,3,0),C(0,3,3),B3,3,0), 设直线AC与平面BC,D的交点为H, 由正方体性质可知，AC⊥BD,AC⊥BC,BD∩BC=B,BDc平面BCD,，BCC平面BCD, 所以AC⊥平面BCD,所以A(3,0,3)在平面BCD的投影为H,且HQ,2,1), 则A3,0,3)关于平面BCD的对称点即点43,0,3)关于H1,2,)的对称点， 设为G,则为G(1,4,-),所以AF+EF的最小值为GE,为V32+32+4=V34. 14.【答案】-ln2. 【解答】解：由题可得，y=e-2x(x>1),又x,为函数y=e1-x(x>1)的极值点， 所以e=2x,x0>1,又a1=e21,4+4=3x,可得a,+e1=3x。=x+2x=x+e1, 易知函数y=x+e1在R上单调递增，所以4=x,a4=2x,且4，=e1, 所以4=ha,-1=h-1,所以4+4，-4，=x。-1-x。,又e1=2x,则x。+1=n2x。=m2+hx。, 所以a+a-4,=h。-1-x,=-m2. 15.【解答】解：(1)由题意，可得3。-csin0=3,即c=6 … (1分) 2 sin 又0sAB.AC=beco6≤6V5,所以0≤6cos ≤65… ……………… (3分) sin0 期m0≥昏或0=子 因为日∈(0，)… (5分) 3 所以0e (6分) (2)f0=cos0-simg+5-V5cas0+y5-n20-5car9+5-in20-51+cos20,5 4 4 441 2 4 =4sin28-3 1 c0s20=19 (8分) 4 高三数学参考答案第4页（共7页） 因为0e后经，所以20-e0等 (10分) 故可得f0e[0, (13分) 16.【解答】解：(1)由a1= 两边取倒数得120+1=2+上，故1-上=2…(4分) 2a+1 d+a 1 因1=2，故(}是首项为2、公差为2的等差数列，得1=2+20-1)=2，即a,= …（7分) a a 2n 11 111 (2)aa:F2n20m+2）4nn+2习8nn+2 (10分) 11、 …(15分) 82n+1n+2168(+1)(n+2) 17.【解答】解：(1)易知PFx。+,因为抛物线c上动点P到点F的最小距离为1， 2 所以号=1，得到p=2 (2分) 则抛物线c的标准方程为y2=4x. (4分) (2)易知抛物线C的焦点F1,0)… (5分) 设直线1的方程为x=w+1,A(x,y),B(2,y2), 联立 中1，消去x并整理得产-4w-4=0,此时△=16+16>0…(7分) y2=4x 由韦达定理得+=4 (9分) y2=-4 比时S专0男为=号o@-169,解得矿 (11分) 2 因为9+=4+上+2=-4 (13分) yiy,yy 3 所以=-或-3 (14分) y23 则1-或3 (15分) BFI 3 18.【解答】解：(1)证明：取AE的中点o,连结OP,Oc, PA=PE,∴OP⊥AE,在Rt△APE中，AP=PE=2,OP=√2… (2分) 在△08c中，0C2=0r+C8-20z.C135=万+-2x2×2x(5-10. (3分) 在△P0C中，OP=OD=√2，OC=V10,PC=25, Op2+OC2=PC2,由勾股定理的逆定理得OP⊥OC…（4分) AE∩OC=O,AE,OCc平面ABCE,.OP⊥平面ABCE, 高三数学参考答案第5页（共7页） 又OPC平面PAE,.平面PAE⊥平面ABCE… (5分) (2)连结OB,BE,BE=VBC+CE2=V4+22=2W5, AB=VCD2+(BC-AD2=√42+4-2y=2W5,.OB⊥AE,且OB=VBE2-0B2=V20-2=32.(7分) 7 由(1)可知OP⊥平面ABCE, OA,OBC平面ABCE,.OP⊥OA,OP⊥OB,.OP,OA,OB两两垂直， 如图，以o点为原点建立空间直角坐标系，如图， 则O(0,0,0),A(N2,0,0),B(0,3V2,0),C(-2V2,V2,0),P(0,0,V2),E（√2,0,0)， CB=(2√2,2√2,0)，PB=(0,3V2,-②)，EP=(5,0,V)…(9分) B 设平面PsC的法向量为m=K,则西1=25x+25v=0,取x-1,得i-0-1-》(10分) PB.i=3√2y-√2z=0 点B到平面PC的距离为：d=硬_-12-32_222 (12分) 11 11 (3)设Q(a,b,c),由Q在平面P0c内可知O0=0C+uOP, 即(a,b,c)=2(-22,V2,0)+u(0,0,V2)→a=-222,b=2元，c=5u (13分) b=号即0a受0,0-a+v5.号c),(14分) EQL平面PBC,EO是平面PBC的一个法向量，.EO/i… (15分) 即a+5名-8解得a22.c2,022.232 (16分) 1 :C(-2W2,2,0),…0点不在△P0C内… (17分) 19.【解答】解：(1)由题意，04,1)=Cx12=4,242)=C×22=24… (2分) 2(4,3)=C×32=36,Q(4,4)=C4×42=16… (4分) n! (2)①i证明：Ru的-CC+少_k+m-大-k+) (-k)(k+1) …（5分) C.2 处m- n! k2 因为k>号所以n<2k,即2k-1小 (6分) 所以(-k)k+1)≤(2k-1-)k+1)=2-1<k2.… (7分) 所以当k>时，R,<1… (8分) ②由①可知，对于任意正整数，+D<1, e(n,k) 高三数学参考答案第6页（共7页） 即Q,)在k>”时，严格递减 (9分) 当k<2时，n>2k,n-k>k. 新以R0L1-《+Dk+D1>1,即o0u约在大<时，严格递增 (10分) k2 k2 2 故对于任意正整数n,Qm,)总在”时近取到最大值. 当n为偶数时，设n=2,mN*,此时=m… 2 (12分) 故仅比较Q02,m+1)与Qn,m的大小， 因为红m+_m+1>1,所以当k=m+1=号+1时，2取到最大值… (14分) O(n,n)m ②当为奇数时，设m=2m-1,meV,此时号m-分 1 当心2时，仅比较Q0,-1)与Q(2m的大小… (15分) 因为_O四-m2 Com-1-(m-1):>1, 当m=1时，仅有01，)=1.所以当k=m=”牛1时，Q)取到最大值 (16分) 2 +1内偶数 综上，当Qn,)取到最大值时，k= 2 (17分) 2的奇数 n+ 注：及以上各解法仅供参考，如有其它解法并且正确，清按相应步骤给分！ 高三数学参考答案第7页（共7页）