专题04 分式（11重点+26题型+复习提升）（寒假复习讲义）七年级数学新教材沪教版五四制

专题05 分式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：分式的概念 ◆1、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． ◆2、分式必须满足的条件： （1）形如 的式子； （2）A，B都是整式； （3）分母B中含有字母. ◆3、分式有意义的条件：分式的分母不为0，即当B≠0时，分式有意义. ◆4、分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义． ◆5、分式的值为0的条件是：当 A = 0 且 B≠0 时，分式 的值为零. 知识点二 ：分式的基本性质 ◆1、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. ◆2、式子表示为：（其中 A，B，C 是整式.） 知识点三 ：分式的约分 ◆1、分式的约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． ◆2、约分的依据：分式的基本性质． ◆3、约分的关键：是要找出分式的分子与分母的最大公因式． ◆4、约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式；如果分子、分母中至少有一个多项式，一般先分解因式，再确定公因式并约去． ◆5、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【注意事项】 （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 知识点四 ：分式的乘除 ◆1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 ◆2、分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定即的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. ◆3、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 ◆4、分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 知识点五 ：分式的乘除混合运算 ◆1、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. ◆2、运用分式的乘除混合运算的基本步骤： （1）先确定积的符合，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. （2）把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. （3）运算结果化成最简分式或整式. 知识点六 ：分式的通分 ◆1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． ◆2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. ◆3、通分的关键是确定最简公分母． ◆4、确定几个分式的最简公分母的方法： （1）分母含多项式且能分解的先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）取积：系数与所有字母（或因式）的最高次幂的积. 知识点七 ：分式的加减法 ◆1、同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： =． ◆2、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： = =． ◆3、分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行.计算结果要化为最简分式或整式. 知识点八 ：整数指数幂 ◆1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． ◆2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． 知识点九 ：分式的方程概念 ◆1、分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． ◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． 知识点十 ：分式的方程的解法 ◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. ◆2、“去分母法”解分式方程的步骤 （1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2） 解这个整式方程； （3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； （4） 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. ◆3、检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. ◆4、分式方程的增根 增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 知识点十一 ：分式的方程的应用 ◆列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 设出未知数； 3. 找相等关系； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； 7. 作答. 【题型1 分式的概念】 高妙技法 1、判断时，注意含有 π 的式子，π 是常数； 2、 式子中含有多项时，若其中某一项或几项为分式，其他项为整式，则该式也为分式，如：1＋ . 【典例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中是分式的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级上·上海嘉定·期末）在代数式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2 分式有意义、无意义的条件】 高妙技法 1、分式有意义的条件是分母不为零. 若分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零. 2、分式无意义的条件是分母为0. 【典例1】（23-24七年级上·上海闵行·期末）分式中的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【题型3 分式的值为0】 高妙技法 分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）当 时，分式的值为0． 【变式1】若分式的值为0，则x的值是 ． 【变式2】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【题型4 分式的规律性问题】 高妙技法 对于与分式相关的规律探究题，应全面分析式子中各项的分子、分母的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 【典例1】观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【变式1】按一定规律排列的分式：，…．第n个分式 是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【题型5 由分式的值求未知数的取值范围】 高妙技法 1、分式的值为正数的条件是分子、分母同号. 2、分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【典例1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若分式的值为正，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·上海静安·期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是 ． 【题型6 分式的值为整数时字母的取值】 高妙技法 分式值为整数的关键是将原分式通过代数变形（如分离常数、多项式除法）转化为“整式 + 分子为常数的分式”的形式，然后利用分母必须是分子的约数这一整除原理求解字母的可能取值. 【典例1】若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【变式2】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 【题型7 分式的基本性质】 高妙技法 分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·上海浦东新·月考）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 【变式2】（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【题型8 最简分式的判断】 高妙技法 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数． 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级上·上海普陀·月考）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【题型9 分式的约分】 高妙技法 1、若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； 2、 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 【典例1】化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【变式1】下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海普陀·月考）小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 【题型10 分式的乘除法】 高妙技法 分式的乘除法运算关键是掌握“乘法直接算、除法变乘倒数”的原则，并优先进行约分以简化计算过程. 【典例1】化简： ． 【变式1】化简的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型11 分式的乘方】 高妙技法 （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合.正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. 【典例1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【题型12 分式的乘除与乘方混合运算】 高妙技法 按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简形式. 【典例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； 【题型13 分式的通分】 高妙技法 1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. 3、通分的关键是确定最简公分母． 【典例1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）分式，的最简公分母是 ． 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）分式的最简公分母是 ． 【变式2】通分： (1)， (2)， (3)， (4)， 【题型14 分式的加减】 高妙技法 掌握同分母与异分母分式加减的基本法则，并灵活运用约分、通分、裂项相消等技巧，是高效解题的关键。 【典例1】（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：． 【题型15 分式的实际应用】 高妙技法 分式混合运算的实际应用的方法是先根据题意列出分式，然后进行分式的混合运算即可解答. 【典例1】节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【变式1】“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某 施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天 数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式2】某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【题型16 分式的混合运算】 高妙技法 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 2、计算结果要化为最简分式或整式. 【典例1】（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【变式2】（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【题型17 整数指数幂】 高妙技法 一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． (1) am · an = am+n (m、n 是整数，a≠0)； (2) (am)n = a m n (m、n 是整数，a≠0)； (3) (ab)n = an bn (n 是整数，a≠0，b≠0). 【典例1】（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： ．（结果用不含有负整数指数幂的形式表示） 【变式1】（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算：． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）（1）计算∶； （2）． 【题型18 分式的化简求值】 高妙技法 先把分式进行化简，化简后直接代入求值即可解答. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）化简代数式，若、满足，求该代数式的值． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）已知，先化简再求的值． 【题型19 分式与新定义问题】 高妙技法 掌握分式与新定义问题的关键在于：一是熟练运用分式的基本性质和运算规则；二是精准理解“新定义”的内涵并将其转化为已知知识进行推理。其中，新定义问题常以分式运算为载体，考查学生的阅读理解与迁移能力. 【典例1】（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【变式1】（24-25八年级下·四川眉山·期中）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【题型20 分式方程的定义】 高妙技法 分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【典例1】（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·上海·假期作业）在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【变式2】（24-25八年级上·上海·月考）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【题型21 解分式方程】 高妙技法 解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以要检验： 【典例1】解分式方程的过程如下： 解：方程两边都乘x（x﹣2）， 得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1① 去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1② 解这个方程，得x＝1③ 检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④ 以上解答过程中，开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【变式1】解方程： (1)． (2)． 【变式2】解方程： (1) (2) 【题型22 分式方程的增根问题】 高妙技法 利用分式方程的增根确定字母的取值，通常遵循以下步骤： ①将所给分式方程化为整式方程. ②确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）. ③将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值. 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【题型23 用分式方程的解确定字母的取值范围】 高妙技法 先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根据题中的条件得出关于这个字母的不等式，然后解不等式，从而确定字母的取值范围 ,同时要注意排除增根. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 【题型24 分式方程无解问题】 高妙技法 分式方程的无解有两种情况： 一是分式方程转化为整式方程无解； 二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0. 【典例1】（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知关于x的方程，若方程无解，求m的值． 【变式1】（24-25七年级上·上海青浦·月考）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【题型25 根据实际问题列分式方程】 高妙技法 分析实际问题中的等量关系，列出方程即可解答． 【典例1】（25-26八年级上·上海普陀·月考）甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）小明乘出租车去体育场有两条路线：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达．若设走路线一时的平均车速为千米时，则根据题意得（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 【题型26 分式方程的应用】 高妙技法 要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：路程＝ 速度×时间 ；工作量问题：工作总量＝工作效率×工作时间；商品销售问题：总价= 单价×销量． 【典例1】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·月考）某服装店购进一批甲、乙两种款型T恤衫，甲种款型共用了7000元，乙种款型共用了5000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． (1)甲、乙两种款型的T恤衫分别购进多少件？ (2)甲、乙两种款型T恤衫均按照进价提高标价出售，要使销售完后利润总和等于4800元，求的值． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 1、 选择题 1．（2024·上海奉贤·三模）下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海普陀·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，中，最简分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25八年级上·云南昆明·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 5．某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）对于正数x，规定，例如：，则的值为（　　） A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5 2、 填空题 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 9．（24-25七年级上·上海青浦·月考）计算的结果是 ． 10．（24-25七年级上·上海嘉定·月考）将化成不含负指数幂的形式 ． 11．（24-25七年级上·上海嘉定·月考）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 12．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 3、 解答题 13．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 14．（24-25七年级上·上海·假期作业）计算：． 15．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，求的值． 16．（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值： ，其中 ． 17．（23-24八年级上·山东济宁·期末）解下列分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（25-26七年级上·上海·月考）已知，．若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 19．（24-25七年级上·上海青浦·月考）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 20．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 21．（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点一 ：分式的概念 ◆1、分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式． ◆2、分式必须满足的条件： （1）形如 的式子； （2）A，B都是整式； （3）分母B中含有字母. ◆3、分式有意义的条件：分式的分母不为0，即当B≠0时，分式有意义. ◆4、分式无意义的条件：分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义． ◆5、分式的值为0的条件是：当 A = 0 且 B≠0 时，分式 的值为零. 知识点二 ：分式的基本性质 ◆1、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. ◆2、式子表示为：（其中 A，B，C 是整式.） 知识点三 ：分式的约分 ◆1、分式的约分的定义：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． ◆2、约分的依据：分式的基本性质． ◆3、约分的关键：是要找出分式的分子与分母的最大公因式． ◆4、约分的方法：如果分式的分子、分母都是单项式，则直接约去分子、分母的公因式；如果分子、分母中至少有一个多项式，一般先分解因式，再确定公因式并约去． ◆5、最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【注意事项】 （1）约分前后分式的值要相等； （2）约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式； （3）约分是对分子、分母的整体进行的，也就是分子的整体和分母的整体都除以同一个因式. 知识点四 ：分式的乘除 ◆1、分式的乘法：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.　 ◆2、分式乘法运算的基本步骤： 第一步：确定即的符号，写在积中分式的前面. 第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式的要带括号. 第三步：约分，将结果化成最简分式或整式. ◆3、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.　 ◆4、分式除法运算的基本步骤： 第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分. 第二步：将除法转化为乘法. 第三步：利用分式的乘法法则计算，注意运算结果化为最简分式或整式. 知识点五 ：分式的乘除混合运算 ◆1、分式的乘除混合运算：分式的乘除混合运算可以统一为乘法运算. ◆2、运用分式的乘除混合运算的基本步骤： （1）先确定积的符合，数出整个参与运算的式子中负号的个数，如果有偶数个负号，积为正；如果有奇数个负号，积为负. （2）把除法运算转化为乘法运算，先约分，后相乘. （3）运算结果化成最简分式或整式. 知识点六 ：分式的通分 ◆1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． ◆2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. ◆3、通分的关键是确定最简公分母． ◆4、确定几个分式的最简公分母的方法： （1）分母含多项式且能分解的先因式分解； （2）系数：各分式分母系数的最小公倍数； （3）字母：各分母的所有字母的最高次幂； （4）多项式：各分母所有多项式因式的最高次幂； （5）取积：系数与所有字母（或因式）的最高次幂的积. 知识点七 ：分式的加减法 ◆1、同分母分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减． 用式子表示为： =． ◆2、异分母分式的加减法法则： 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 用式子表示为： = =． ◆3、分式的混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左往右的顺序进行.计算结果要化为最简分式或整式. 知识点八 ：整数指数幂 ◆1、负整数指数幂的意义：一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． ◆2、整数指数幂的运算性质归结为： （1）am·an=am+n (m、n是整数，a≠0)； （2）(am)n=am n (m、n是整数，a≠0)； （3）(ab)n=an bn(n是整数，a≠0，b≠0)． 知识点九 ：分式的方程概念 ◆1、分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． ◆2、分式方程的解：求出使分式方程中等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解． 【方法总结】判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数(注意：π 是常数)． 知识点十 ：分式的方程的解法 ◆1、解分式方程的基本思路：是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母. 这也是解分式方程的一般方法. ◆2、“去分母法”解分式方程的步骤 （1）在方程的两边同乘最简公分母，约去分母，化成整式方程； （2） 解这个整式方程； （3）把整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则该解须舍去； （4） 写出原方程的解. 简记为：“一化二解三检验”. ◆3、检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为 0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解就不是原分式方程的解. ◆4、分式方程的增根 增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根． 知识点十一 ：分式的方程的应用 ◆列分式方程解应用题的一般步骤： 1. 审清题意； 2. 设出未知数； 3. 找相等关系； 4. 列出方程； 5. 解这个分式方程； 6. 检验 (包括两方面：一验是否是分式方程的根，二验是否符合题意)； 7. 作答. 【题型1 分式的概念】 高妙技法 1、判断时，注意含有 π 的式子，π 是常数； 2、 式子中含有多项时，若其中某一项或几项为分式，其他项为整式，则该式也为分式，如：1＋ . 【典例1】（23-24八年级下·全国·单元测试）下列各式中是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，根据分式的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、满足分式的定义，是分式，故符合题意； B、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； C、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； D、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； 故选：A． 【变式1】（23-24七年级上·上海嘉定·期末）在代数式，，，中，分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了分式的定义，理解分式的定义是解题的关键．根据分式的定义，逐项分析即可，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母． 【详解】在代数式，，，中，分式有，，2个 ，是整式． 故选B． 【变式2】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）在下列式子：，，，，中，分式有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查分式的定义，注意π不是字母，是常数．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：，的分母中含有字母，属于分式，其它的属于整式． 故选：B． 【题型2 分式有意义、无意义的条件】 高妙技法 1、分式有意义的条件是分母不为零. 若分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零. 2、分式无意义的条件是分母为0. 【典例1】（23-24七年级上·上海闵行·期末）分式中的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式有意义的条件，分母不等于0，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故选：D． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键． 【变式1】（25-26七年级上·上海·期中）不论取何值，下列分式总有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分析各选项分母是否可能为零即可解答． 【详解】解：由分式有意义的条件是分母不为零， A、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； B、分母，始终不为零，分式总有意义，符合题意； C、分母，当时，，分式无意义，不符合题意； D、分母，当时，，分式无意义，不符合题意． 故选：B． 【变式2】对于分式下列说法不正确的是（   ） A．时，分式值为 B．时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的值为、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为时无意义．根据分式的性质，分别代入的值计算分式的值或判断分式是否有意义即可． 【详解】解：∵ 当 时，，∴ A正确，故不符合题意； ∵ 当 时，分母 ，分式无意义，∴ B正确，故不符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ C不正确，故符合题意； ∵ 当 时，，值为正数，∴ D正确，故不符合题意． 故选：C． 【题型3 分式的值为0】 高妙技法 分式的值等于零，应满足分子等于零，同时分母不为零. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）当 时，分式的值为0． 【答案】8 【分析】本题主要考查了分式的值为0的条件，熟练掌握分式的值为0，则分子为0且分母不为0，是解题的关键．根据分式的值为0的条件，进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， 解得：且， 故答案为：8． 【变式1】若分式的值为0，则x的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式的值为零的条件：分式的分母不为零，分子为零．根据分式的值为零的条件得：且，即可求解． 【详解】解：根据分式的值为零的条件得：且， 解得：． 故答案为：2． 【变式2】已知当时，分式无意义；当时，此分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】根据当时，分式无意义，得；当时，此分式的值为0，得到，代入解答即可． 【详解】解：根据当时，分式无意义，得，解得； 当时，此分式的值为0，得到，解得， 故． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的值为零，分式无意义的条件，求代数式的值，有理数的乘方，熟练掌握条件是解题的关键． 【题型4 分式的规律性问题】 高妙技法 对于与分式相关的规律探究题，应全面分析式子中各项的分子、分母的次数、各项中字母的指数的变化规律，利用找到的规律解决此类问题. 【典例1】观察下列分式：，，，，，…，按此规律第10个式子是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式中的规律探究，观察可知，奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为，进行求解即可． 【详解】解：∵，，，，，… ∴奇数位的符号为正，偶数位的符号为负，第个式子的分母为，分子为， ∴第10个式子是； 故选：D． 【变式1】按一定规律排列的分式：，…．第n个分式 是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的变化规律，分别根据分子，分母所给单项式的特点，探索出单项式的一般规律是解题的关键．通过观察可得规律：第n个分式的分子是，第n个分式的分母是，即可得到第n个分式． 【详解】解：第1个分式的分子是， 第2个分式的分子是， 第3个分式的分子是， ； 第n个分式的分子是； 第1个分式的分母是， 第2个分式的分母是， 第3个分式的分母是， ； 第n个分式的分母是， 第n个分式是， 故选：B． 【变式2】已知为实数，规定运算，，，，…，按上述方法计算：当时，的值等于（   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字规律的探索，分别求前几个数，得到以三个数为一组，不断循环，然后运用规律求解即可，通过计算找到规律是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ，， 发现规律：以三个数为一组，不断循环， ， ． 故选：D． 【题型5 由分式的值求未知数的取值范围】 高妙技法 1、分式的值为正数的条件是分子、分母同号. 2、分式的值为负数的条件是分子、分母异号． 【典例1】若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 【变式1】若分式的值为正，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得即可使分式的值为正． 【详解】解：∵， ∴时，分式的值为正， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值，当分子分母同为正或同为负时，分式的值为正． 【变式2】（23-24七年级上·上海静安·期末）若分式的值大于零，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】由已知可得分子x+2＞0，再由分式的分母不等于零，得到x﹣1≠0，进而求出x的取值． 【详解】解：∵分式的值大于零， ∴x+2＞0， ∴x＞﹣2， ∵x﹣1≠0， ∴x≠1， 故答案为x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查分式的值；熟练掌握分式求值的特点，特别注意分式的分母不等于零这个隐含条件是解题的关键． 【题型6 分式的值为整数时字母的取值】 高妙技法 分式值为整数的关键是将原分式通过代数变形（如分离常数、多项式除法）转化为“整式 + 分子为常数的分式”的形式，然后利用分母必须是分子的约数这一整除原理求解字母的可能取值. 【典例1】若x取整数，则使分式的值为整数的x的值有 个． 【答案】4 【分析】本题考查的知识点是分式的值是整数的条件，分离假分式是解此题的关键，通过分变形得到，从而使问题简单．先将假分式变形得，根据题意只需是6的整数约数即可． 【详解】解： 由题意可知，是6的整数约数， ∴，2，3，6，，，，， 解得：，，1，，，，，， 其中x的值为整数有：，1，，共4个． 故答案为：4． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）已知x为整数，且分式的值为整数，则x可取的值是 ． 【答案】1或3或5 【分析】本题考查了分式的值，先化简得到原式，再根据为整数，从而得到x的值． 【详解】解：∵， ∴为，时，的值为整数， ∴解得或3或5或， ∵， ∴，， ∴x可取的值是1，3，5． 故答案为：1或3或5． 【变式2】（23-24七年级上·上海浦东新·期末）如果分式的值为正整数，则所有满足的整数x的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值，分式的值为正整数，则或或或，据此求出满足题意的整数x的值，再求和即可． 【详解】解：∵分式的值为正整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴所有满足的整数x的值的和为， 故答案为：． 【题型7 分式的基本性质】 高妙技法 分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变. 【典例1】（25-26七年级上·上海·月考）下列等式中，成立的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质以及分式的加减法，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键． 根据分式的基本性质以及分式的加法运算法则进行判断即可． 【详解】解：A．，故此选项错误，不符合题意； B．，故此选项正确，符合题意； C．，故此选项错误，不符合题意； D．，故此选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式1】（24-25七年级上·上海浦东新·月考）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了分式的性质，掌握分式的性质是关键． 根据题意，扩大后的分式为，由此即可求解． 【详解】解：分式，当、都扩大到原来的倍， ∴扩大后的分式为， ∴扩大到原来的3倍， 故选：B ． 【变式2】（24-25七年级上·上海·期末）在括号里填上使等式成立的式子：，括号内的式子为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质，对分式的分子和分母同时乘以6，即可得出结论． 【详解】解：． 故答案为：． 【题型8 最简分式的判断】 高妙技法 一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式．和分数不能化简一样，叫最简分数． 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）下列代数式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式的定义，解题的关键在于对每一个选项的分子分母进行因式分解，看是否存在公因式，若不存在，则为最简分式． 通过检查各选项分子与分母是否有公因式，判断是否可约分，从而确定最简分式． 【详解】解：、因为分子分母有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分母，与分子有公因式，所以，可约分，不是最简分式； 、因为分子与分母无公因式，所以不可约分，是最简分式； 故选：． 【变式1】（24-25七年级上·上海普陀·月考）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简分式的定义，分子和分母不能约分的分式叫做最简分式，据此求解即可． 【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意； B、，原分式不是最简分式，不符合题意； C、，原分式不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意； 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查因式分解及最简分式的判断，掌握因式分解的方法以及最简分式的判断依据是解题的关键，把每个分式分子分母分解因式，再根据最简分式的定义“分子分母中不含有公因式，不能再约分”，进行判断即可． 【详解】解：A. ，能约分，不是最简分式； B. ，能约分，不是最简分式； C. ，能约分，不是最简分式； D. ，不能约分，是最简分式； 故选：D． 【题型9 分式的约分】 高妙技法 1、若分子、分母都是单项式，则约去系数的最大公约数，并约去公共字母的最低次幂； 2、 若分子、分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子、分母所有的公因式． 【典例1】化简的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，解题关键是掌握分式的约分． 直接根据分式的约分法则进行约分． 【详解】解：， 故选：A． 【变式1】下列分式的约分，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了约分，根据分式约分的法则逐项分析即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算正确，符合题意； B、不能约分，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·上海普陀·月考）小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了约分．观察各分式，找出分子分母含有公因式的即可． 【详解】解：，，都是最简分式，不符合题意； ， 故选：D． 【题型10 分式的乘除法】 高妙技法 分式的乘除法运算关键是掌握“乘法直接算、除法变乘倒数”的原则，并优先进行约分以简化计算过程. 【典例1】化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的乘除法，解题的关键是掌握分式乘除运算顺序和运算法则．先将分子、分母因式分解，再约分即可得． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】化简的结果是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的除法计算，把除法变成乘法后进行约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分式的乘除运算． （1）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解； （2）分式除以分式，把除式方分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解； （3）分式乘以分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，据此即可求解； （4）分式除以分式，把除式方分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，据此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：（可看成．） ； （3）解： ； （4）解：． 【题型11 分式的乘方】 高妙技法 （1）分式乘方时，先确定乘方结果的符合.正数的任何次幂都是正数；负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数. （2）把分式中的分子和分母分别乘方，系数不要漏乘方. 【典例1】计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的乘方运算．熟练掌握分式的乘方运算法则是解题的关键． 根据分式的乘方运算法则，进行计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【变式1】下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把四个选项分别先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，再利用幂与积的乘方法则分别进行运算即可． 【详解】解：A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项正确，符合题意； D、，本选项错误，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的乘方法则、积的乘方法则、幂的乘方法则、完全平方公式等知识，掌握这些法则以及乘法公式是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式的乘法、分式的乘方，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （2）根据分式的乘方的运算法则进行计算即可； （3）根据分式的乘方以及分式的乘法的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 【题型12 分式的乘除与乘方混合运算】 高妙技法 按照法则进行分式乘除运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简形式. 【典例1】计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式乘除运算法则对原式变形后，约分即可得到结果． 【详解】解： = =. 故选：B. 【点睛】本题考查分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式1】下列计算不正确的题是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的乘除混合运算法则以及分式的乘方逐一化简，即可判断答案． 【详解】解：A、，原计算正确，本选项不符合题意； B、，原计算正确，本选项不符合题意； C、，原计算错误，本选项符合题意； D、，原计算正确，本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了含乘方的分式的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查含乘方的分式的乘除混合运算，因式分解，掌握相关知识点是解题的关键． （1）将除法转化为乘法，再约分化简即可； （2）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可； （3）将各分式的分子，分母因式分解，将除法转化为乘法，再约分化简即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． （3） ． 【题型13 分式的通分】 高妙技法 1、分式的通分定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分． 2、最简公分母：各分母的所有因式的最高次幂的积. 3、通分的关键是确定最简公分母． 【典例1】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）分式，的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题考查确定最简公分母；确定最简公分母，需取各分母系数的最小公倍数和所有字母因式的最高次幂的积. 【详解】解：∵分式的分母为，分式的分母为，系数的最小公倍数为2，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，字母的最高次幂为， ∴最简公分母为. 故答案为：. 【变式1】（25-26八年级上·山东淄博·月考）分式的最简公分母是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求几个分式的最简公分母，解题的关键是掌握最简公分母的定义． 先对分母进行因式分解，再利用最简公分母的公式进行求解即可． 【详解】解： ∴最简公分母为， 故答案为：． 【变式2】通分： (1)， (2)， (3)， (4)， 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】根据分式的基本性质，把几个异分母分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．根据分式的通分的概念逐个化简即可． 【详解】（1）最简公分母：， ， ； （2）最简公分母：， ， ； （3）最简公分母：， ， ； （4）最简公分母：， ， ． 【点睛】本题考查了分式通分的概念，理解分式通分的概念，会正确求出几个分式的最简公分母是解题的关键． 【题型14 分式的加减】 高妙技法 掌握同分母与异分母分式加减的基本法则，并灵活运用约分、通分、裂项相消等技巧，是高效解题的关键。 【典例1】（24-25七年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键；通过观察分母 和互为相反数的关系，将第二个分式变形，然后合并分式，再因式分解分母并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 【答案】0 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的加法运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海浦东新·月考）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算，分式的加减运算先看是同分母加减还是异分母加减，异分母加减关键是通分，通分的关键是找最简公分母． 先将原式通分后化成同分母的分式再进行加减运算，最后约分化简成最简分式． 【详解】解： ． 【题型15 分式的实际应用】 高妙技法 分式混合运算的实际应用的方法是先根据题意列出分式，然后进行分式的混合运算即可解答. 【典例1】节约用水人人有责，某绿化养护公司原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m吨，现在改用喷灌方式，可使这些水多用4天，现在比原来每天少用水（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】C 【分析】本题考查分式减法的应用，根据题意列出喷灌方式每天用水量，用漫灌方式每天用水量减去喷灌方式每天用水量，根据分式的加减法计算可得． 【详解】解：漫灌方式每天用水量：吨， 喷灌方式每天用水量：吨， 现在比原来每天少用水： 吨， 故选C． 【变式1】“郑在加速，出行无忧”郑州地铁8号线有望今年底试运营，某 施工队每天挖掘隧道a米，改进施工技术后每天能多挖掘，那么同样挖掘b米隧道，比原来少用的天 数可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的运算，根据题意，得到改进技术后，每天可以挖掘米，利用原来需要的天数减去现在需要的天数，进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：； 故选A． 【变式2】某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型．即在图1中边长为米的正方形主房进行改造． 户型一是在主房两侧均加长米．阴影部分作为入户花园，如图所示． 户型二是在主房一边减少米后，另一边再增加米，阴影部分作为入户花园，如图所示． 解答下列问题： (1)设户型一与户型二的主房面积差为，入户花园的面积差为，试比较和的大小，并说明理由； (2)若户型一的总价为万元，户型二的总价为万元，试判断哪种户型（包括入户花园）的单价较低，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)户型二的单价较低，理由见解析 【分析】（）根据图形分别表示出户型一的主房面积和户型二的主房面积，进而求出，再分别求出户型一的入户花园的面积和户型二的入户花园的面积，求出，最后利用作差法比较即可； （）分别求出户型一和户型二的单价，再利用作差法比较即可； 本题考查了列代数式，整式的加减和分式加减的应用，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 由题意得，户型一的主房面积为平方米，户型二的主房面积为平方米， ∴平方米， 户型一的入户花园的面积为平方米， 户型二的入户花园的面积为平方米， ∴平方米， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：户型二的单价较低，理由如下： 户型一的单价为：万元平方米， 户型二的单价为：万元平方米， ∵ ， ∵， ∴，，， ∴， 即， ∴户型二的单价较低． 【题型16 分式的混合运算】 高妙技法 1、先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的. 2、计算结果要化为最简分式或整式. 【典例1】（25-26七年级上·上海普陀·月考）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；因此此题可根据分式的混合运算进行求解即可． 【详解】解：原式 ． 【变式1】（24-25七年级上·上海·期中）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握分式的除法运算法则．先将分式的分子和分母分别因式分解，再根据分式的除法运算法则计算即可． 【详解】解： 【变式2】（22-23七年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据分式的乘除混合计算法则求解即可； （2）先计算分式的乘方，再根据分式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了分式的乘除混合计算，分式的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【题型17 整数指数幂】 高妙技法 一般地，我们规定：当n是正整数时，(a≠0)，这就是说，a-n (a≠0)是an的倒数． (1) am · an = am+n (m、n 是整数，a≠0)； (2) (am)n = a m n (m、n 是整数，a≠0)； (3) (ab)n = an bn (n 是整数，a≠0，b≠0). 【典例1】（24-25七年级上·上海青浦·期末）计算： ．（结果用不含有负整数指数幂的形式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，先根据乘法的分配律计算，然后根据负整数指数幂的意义化简即可． 【详解】解∶原式 ， 故答案为∶ ． 【变式1】（23-24七年级上·上海青浦·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查积的乘方的逆用、单项式除以单项式及分式的运算，熟练掌握各个运算是解题的关键；因此此题可根据单项式除以单项式及分式的运算可进行求解． 【详解】解：原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）（1）计算∶； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的混合运算，负整数指数幂； （1）先根据负整数幂和零指数幂化简各个数字，再计算即可； （2）先算负整数指数幂和幂的乘方，再算分数的乘除，最后约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【题型18 分式的化简求值】 高妙技法 先把分式进行化简，化简后直接代入求值即可解答. 【典例1】（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，关键是在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．首先把分式的分子分母分解因式，再计算括号里面的乘法，然后再变除法为乘法，再约分后相乘即可． 【详解】解：原式， ， 当时， 原式． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）化简代数式，若、满足，求该代数式的值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，负指数幂的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由非负性求出与的值，优先化简负指数幂，再利用运算法则化简代数式后代入与的值即可求解． 【详解】解：∵且，， ∴，， 解得：，， ， ∵，，， ∴原式 ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）已知，先化简再求的值． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解的应用，分式的化简求值． 先根据得到，求出，，再计算原分式，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：， 整理得 ， ∵ ，， ∴ ，， ∴ ，， ， 当，时，原式． 【题型19 分式与新定义问题】 高妙技法 掌握分式与新定义问题的关键在于：一是熟练运用分式的基本性质和运算规则；二是精准理解“新定义”的内涵并将其转化为已知知识进行推理。其中，新定义问题常以分式运算为载体，考查学生的阅读理解与迁移能力. 【典例1】（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·四川眉山·期中）定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 【题型20 分式方程的定义】 高妙技法 分式方程的定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程． 判断一个方程是否为分式方程主要是看这个方程的分母中是否含有未知数． 【典例1】（24-25八年级下·上海崇明·期中）在下列方程中，分式方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、它不是分式方程； B、它不是分式方程； C、它是分式方程； D、它不是分式方程． 故选：C 【变式1】（24-25八年级下·上海·假期作业）在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的定义，分母中含有未知数的方程即为分式方程．逐一分析各方程分母是否含未知数即可判断． 【详解】解：方程①：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 方程②：，无分母，为整式二次方程，不是分式方程． 方程③：，分母为常数3和2，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程． 方程④：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 综上，分式方程为①和④， 故选：D． 【变式2】（24-25八年级上·上海·月考）下列关于x的方程中：①；②；③；④，分式方程有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程．熟练掌握分式方程的定义是解题的关键．分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程． 根据分式方程的定义逐一分析各方程是否符合条件． 【详解】方程①：，分母为a，但未知数是x，分母不含未知数，故不是分式方程． 方程②：，分母为和x，均含未知数x，是分式方程． 方程③：，分母为，是无理方程，不是分式方程． 方程④：，化简为，但原式分母为x，含未知数x，故属于分式方程． 综上，分式方程有②、④，共2个． 应选项B． 【题型21 解分式方程】 高妙技法 解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以要检验： 【典例1】解分式方程的过程如下： 解：方程两边都乘x（x﹣2）， 得x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣1① 去括号，得x2﹣x＝x2﹣2x﹣1② 解这个方程，得x＝1③ 检验：将x＝1代入x（x﹣2），x（x﹣2）≠0，所以x＝1是原方程的根．④ 以上解答过程中，开始出错的一步是（　　） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答． 【详解】解：， 方程两边都乘x（x﹣2）， 得：x（x﹣1）＝x（x﹣2）﹣（x﹣2）①， 以上解答过程中，开始出错的一步是：①， 故选：A． 【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【变式1】解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是关键，最后的检验是易错点． （1）先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先变形方程，然后通过去分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验：将代入中可得， 所以是原方程的解． （2）解：， ， ， ， ， 检验，当时，， 是原方程的增根，舍去； 原方程无解． 【变式2】解方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程． （1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可； （2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出结果检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘，得 解得 检验：将代入得 是原方程的增根， 原方程无解； （2）解：方程两边同时乘，得 解得 检验：将代入得 所以，是原方程的根． 【题型22 分式方程的增根问题】 高妙技法 利用分式方程的增根确定字母的取值，通常遵循以下步骤： ①将所给分式方程化为整式方程. ②确定增根（使分母为零的未知数的值或题目给出）. ③将增根代入变形后的整式方程，求出字母系数的值. 【典例1】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 【变式1】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）若关于的方程有增根，则的值为 ． 【答案】4或8 【分析】本题考查解分式方程，理解分式方程的增根意义是解答的关键． 先确定分式方程的增根为使分母为零的x值，即或；然后去分母得到整式方程，代入增根求解k的值 【详解】解：去分母，两边同乘，得， 化简得，即， ∵方程的分母为，，，其中， 故分母为零时，或，即为可能增根， 若增根为，则，解得； 若增根为，则，解得， 故k的值为4或8， 故答案为：4或8． 【变式2】（24-25七年级上·上海闵行·月考）已知关于的方程：，若方程有增根，求的值． 【答案】或6 【分析】本题考查分式方程有增根问题，将分式方程转化为整式方程，求出使最简公分母为0的未知数的值，代入整式方程中，进行求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：； ∵方程有增根， ∴或， ∴或； 当时，，解得：； 当时，，解得：； 综上：或6． 【题型23 用分式方程的解确定字母的取值范围】 高妙技法 先解分式方程，方程的解用含字母的式子表示，然后根据题中的条件得出关于这个字母的不等式，然后解不等式，从而确定字母的取值范围 ,同时要注意排除增根. 【典例1】（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程的根是负数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程的解情况求参数，将原方程去分母并解得的值，然后根据题意得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】解：原方程去分母并整理得：， 解得： 原方程的根是负数， 且， 解得：且， 故答案为：且． 【变式1】（24-25七年级上·上海·月考）已知关于x的方程：的解是正数，求m的取值范围． 【答案】且 【分析】本题主要考查了分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，求出x的值，然后根据分式方程的解为正数，分式方程的分母，列出关于m的不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘得： ， ， ， ， ∵此方程的解为正数， ∴， 解得， ∵分式方程有解， ∴， ∴，， ∴，， ∴m的取值范围为：且． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）如果关于x的方程 的解为非负数，求k的取值范围 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解以及解分式方程，掌握分式方程的解法是正确解答的前提．将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，使整式方程的解是非负数，结合分式方程有意义进行求解即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ， 解得， 由于分式方程的解为非负数，即， 所以， 而是分式方程的增根，当时，， 因此k的取值范围为且． 【题型24 分式方程无解问题】 高妙技法 分式方程的无解有两种情况： 一是分式方程转化为整式方程无解； 二是分式方程转化为整式方程有解，但这个分式方程的最简公分母为0. 【典例1】（25-26七年级上·上海宝山·期中）已知关于x的方程，若方程无解，求m的值． 【答案】 m的值为或2或 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． 分式方程无解有两种情况：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是原方程的增根（使分母为零），首先将原方程化为整式方程，再讨论这些情况． 【详解】解：， 整理得，， 方程两边同时乘以去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 分式方程无解时： ∵当整式方程无解，即且， 解得； ∵当整式方程有解但解为增根，即解使分母为零， ∴当，代入整式方程得，即， 解得； 当，代入整式方程得，即， 解得； ∴综上，当或或时，分式方程无解． 【变式1】（24-25七年级上·上海青浦·月考）若关于x的分式方程无解，求参数a的值． 【答案】a的值为 【分析】本题考查了解分式方程；先按照解分式方程的过程求出x，再根据方程无解的情况即可求得a的值． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理得：， 当时，方程无解，从而分式方程无解， 解得：； 当时，方程解为， 分式方程的增根为或， 当时，解得； 当时，解得； 综上，分式方程无解时，a的值为． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）关于x的分式方程． (1)当时，解该分式方程． (2)如果分式方程无解，求n的值． 【答案】(1)分式方程的解为 (2)n的值为或或 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，分式方程的解，熟练掌握解分式方程的方法，分式方程的增根是解题的关键． （1）把代入分式方程，得，根据解分式方程的方法，先变形为整式方程，然后解整式方程求出x的值，最后检验即可； （2）先根据解分式方程的方法，求出再根据分式方程无解，得出或，，进而求出答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程为：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， 解得：， 检验：把代入， ∴分式方程的解为； （2）， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 整理，得， ∵分式方程无解， ∴或，或， 当时，， 当时， ∵， ∴， ∵或， ∴或， ， 解得：，， ∴如果分式方程无解，n的值为或或． 【题型25 根据实际问题列分式方程】 高妙技法 分析实际问题中的等量关系，列出方程即可解答． 【典例1】（25-26八年级上·上海普陀·月考）甲、乙两队学生绿化校园，两队合作6天可以完成，若单独工作，甲队比乙队少用5天，两队单独工作，各需多少天？如果设甲队单独工作需要天，那么根据题意列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意是解决本题的关键． 由题意得乙队需天，根据工作总量为1，甲效率为，乙效率为，则合作效率之和为，合作6天完成，列方程即可． 【详解】解：由题意得，甲效率为， ∵甲比乙少用5天， ∴乙队单独工作需天， ∴乙效率为， ∴两队合作效率为， 由题意可得，． 故选：C． 【变式1】（25-26七年级上·上海·月考）小明乘出租车去体育场有两条路线：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达．若设走路线一时的平均车速为千米时，则根据题意得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握“路程、速度、时间的关系（时间路程速度）”并统一单位是解题的关键．先表示出路线一、路线二的行驶时间，再根据“路线一用时路线二用时分钟（换算为小时）”列方程． 【详解】解：由题意可得， 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·上海·月考）浦模东校七年级全体师生共340人进行社会考察活动．如果租用中客车若干辆，则还有20位学生没有座位坐；如果租用大客车，那么同样多的车辆，就会有60个座位没人坐．已知每辆大客车载客人数比中客车的载客人数多10人，设每辆中客车的载客人数为x人，列出方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设中客车的载客x人，则大客车的载客人，根据等量关系：大客车的数量中客车的数量，列出方程即可． 【详解】解：设中客车的载客x人，则大客车的载客人， 由题意得：， 整理得， 故答案为：． 【题型26 分式方程的应用】 高妙技法 要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：路程＝ 速度×时间 ；工作量问题：工作总量＝工作效率×工作时间；商品销售问题：总价= 单价×销量． 【典例1】（24-25七年级上·上海嘉定·期末）某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120 米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【答案】原计划每天铺设管道9米． 【分析】本题考查了分式方程的应用，此题涉及的公式：工作时间=工作量工作效率，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列方程求解．设原计划每天铺设管道的长度为，则增加后每天的工作效率为，找出等量关系：铺设的时间+铺设的时间天，列方程求解即可． 【详解】解：原计划每天铺设管道x米； 列方程：， 解得， 经检验 是原方程的解且符合题意； 答：原计划每天铺设管道9 米． 【变式1】（25-26七年级上·上海普陀·月考）某服装店购进一批甲、乙两种款型T恤衫，甲种款型共用了7000元，乙种款型共用了5000元，甲种款型的件数是乙种款型件数的2倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． (1)甲、乙两种款型的T恤衫分别购进多少件？ (2)甲、乙两种款型T恤衫均按照进价提高标价出售，要使销售完后利润总和等于4800元，求的值． 【答案】(1) 甲种款型的T恤衫购进100件，乙种款型的T恤衫购进50件 (2) 40 【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程求解． （1）设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种购进件，根据甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元，列出方程即可求解； （2）先计算出甲乙两种款型的进价，根据利润公式列出方程即可求解． 【详解】（1）解：设乙种款型的T恤衫购进x件，则甲种购进件， 根据题意，得， 解得， 经检验：是原分式方程的解， （件）， 答：甲种款型的T恤衫购进100件，乙种款型的T恤衫购进50件； （2）解：甲种款型的进价为元，乙种款型的进价为元， 根据题意，得， 解得， 答：要使销售完后利润总和等于4800元，m的值为40． 【变式2】（25-26七年级上·上海·月考）甲、乙两同学的家与学校的距离为3000米，甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车上学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的一半，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲乙两人同时从家出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟． (1)求乙骑自行车的速度； (2)出发几分钟后，两人与学校的距离相等？ 【答案】(1)乙骑自行车的速度为300米/分钟 (2)出发6分钟后，两人与学校的距离相等 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，找到等量关系． （1）设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟），根据题意列方程即可得到结论； （2）乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟，甲步行600米所需时间（分钟）设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米，然后分类讨论列方程求解即可． 【详解】（1）解：设乙骑自行车的速度为x（米/分钟），则甲步行速度是（米/分钟），公交车的速度是2x（米/分钟）， 根据题意得 解得：， 经检验是方程的根，且符合题意 答：乙骑自行车的速度为300米/分钟； （2）解：由（1）可得，乙骑自行车的速度300米/分钟，甲步行速度150米/分钟，公交车速度600米/分钟 甲步行600米所需时间（分钟） 设出发t分钟后，两人与学校的距离相等，乙与学校的距离为米， 当时，甲与学校的距离为米， 设 解得（不合题意，舍去） 当时，甲与学校的距离为（米） 设 解得 ∴出发6分钟后，两人与学校的距离相等． 1、 选择题 1．（2024·上海奉贤·三模）下列各式中，当m＜2时一定有意义的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于0判断即可． 【详解】解：A．当m＜2时，m﹣3＜﹣1，故分式一定有意义，故本选项符合题意； B．m＜2，当m＝1时，分式没有意义，故本选项不符合题意； C．m＜2，当m＝﹣1时，分式没有意义，故本选项不符合题意； D．m＜2，当m＝﹣3时，分式没有意义，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是分式有意义的条件，即分母不等于0． 2．（24-25七年级上·上海普陀·月考）下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质举例判断即可． 【详解】解：A、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； B、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； C、分式的分子、分母同时除以，分式的值不变，故此选项符合题意； D、不一定成立，如当时，左边，右边，等式不成立，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，中，最简分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题解题关键是理解最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式．把题干中的分式的分子分母通过因式分解的方法找到公因式，然后进行约分．若分子分母没有公因式则为最简分式． 【详解】解：， ， ， 和，都不能化简，所以是最简分式，共2个． 故选：B． 4．（24-25八年级上·云南昆明·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的乘方及分式的乘法，先算乘方，再算乘法即可． 【详解】解：． 故选C． 5．某校组织八年级108名学生去综合实践基地参加“两天一晚”的社会实践活动．工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍．设原计划每间宿舍住名学生，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，根据“工作人员在安排宿舍时每间比原计划多住1名学生，结果比原计划少用了9间宿舍”列方程即可． 【详解】解：由原计划每间宿舍住名学生，原来所用房间数为，实际所用房间数为． ∴所列方程为． 故选：C． 6．（22-23八年级上·全国·单元测试）对于正数x，规定，例如：，则的值为（　　） A．2021 B．2020 C．2019.5 D．2020.5 【答案】C 【分析】根据已知规定，可得；进而可以解决问题． 【详解】∵，， ∴； ∵，， ∴； ， ∴； 则 ． 故选：C． 【点睛】本题考查了规律型—数字类规律与探究，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 2、 填空题 7．（24-25八年级下·贵州毕节·期末）已知分式，当x的值为 时，分式没有意义． 【答案】3 【分析】本题考查了分式无意义的条件，熟练掌握分式无意义的条件是分母为零是解题的关键．根据分式无意义的条件即可求解． 【详解】解：∵分式没有意义， ∴， 解得：． 故答案为：3． 8．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）请写出一个满足条件的m值，使得分式的值为整数： ． 【答案】1（不唯一） 【分析】本题主要考查了求分式的值， 将的值代入分式，求出结果为整数即可． 【详解】解：当时，，其值为整数， 所以． 故答案为：1（答案不唯一）． 9．（24-25七年级上·上海青浦·月考）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式除法计算，先分解因式，再把除法转化为乘法，最后约分即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海嘉定·月考）将化成不含负指数幂的形式 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的乘除，负整数指数幂，先根据负整数指数幂的运算法则化为正整数指数幂，再根据分式的乘除运算法则进行化简即可．解题的关键是掌握负整数指数幂的运算法则：一个数（零除外）的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数． 【详解】解： 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海嘉定·月考）已知分式乘一个分式后结果为，那么这个分式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查分式乘除，解题的关键是熟知分式的乘除运算法则． 【详解】解：依题意这个分式为： ， 故答案为：． 12．（25-26七年级上·上海·月考）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，以及平方差公式的运算，解决本题的关键是对括号内的式子进行通分计算． 将除法运算转化为乘法运算，并利用分式的性质进行简化，最后通过约分得到结果． 【详解】解： = ． 故答案为： ． 3、 解答题 13．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的乘方，负整数指数幂，先根据负整数指数幂，分式的乘方法则进行运算，然后由分式的乘除法即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 14．（24-25七年级上·上海·假期作业）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减法，根据分式的加减法则直接求解即可，熟练掌握运算法则是关键． 【详解】解： ． 15．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）已知：，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查分式的加减，先将右边通分后相加，化成与坐标相同的形式，再根据对应系数和常数项相等得到一个关于m、n的二元一次方程组，从而求出m、n的值，继而得解．掌握分式的加减法则和二元一次方程组的解法是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 解得：， ∴． 16．（25-26七年级上·上海·期末）先化简，再求值： ，其中 ． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则是解题关键．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17．（23-24八年级上·山东济宁·期末）解下列分式方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)无解 (3) (4)无解 【分析】本题主要考查解分式方程； （1）两边同乘以，去括号，移项及合并同类项，再检验即可； （2）先去分母，再去括号，移项及合并同类项，再检验即可； （3）先去分母，再移项及合并同类项，再检验即可； （4）先去分母，再移项及合并同类项，再检验即可． 【详解】（1）解： 两边同乘以，得 去括号，得 移项及合并同类项，得， 检验：当时，， 故原分式方程的解是． （2）解： 去分母得：， 去括号，得， 移项及合并同类项，得， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解． （3）解： 去分母得， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是原方程的根； （4）解：， ∴， 去分母得：， 移项，， 整理得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴是方程的增根，原方程无解． 18．（25-26七年级上·上海·月考）已知，．若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】且， 【分析】本题考查了分式方程的特殊解，完全平方公式，平方差公式，熟练利用因式分解是解题的关键． 由，得到，利用因式分解进行化简得到，再根据的取值范围求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵解是非负数， ∴， 解得：； 又∵，， ∴，， 解得：，，； 综上的取值范围为：且，． 19．（24-25七年级上·上海青浦·月考）阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 20．（23-24七年级上·上海青浦·期末）某数学小组在一次活动中写出了一组有趣的算式： ①；②；③；④；…… 仔细观察、思考，回答下列问题： (1)按照以上等式的规律，请你写出第5个等式：______； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并说明等式成立； (3)在第（2）问的前提下，请用你发现的规律，化简下面的式子． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查有理数的减法运算、分式的减法及数字规律问题，解题的关键是理解题中所给的规律； （1）根据题中所给式子可进行求解； （2）由题意可直接进行求解； （3）根据（2）中的结论及分式的减法可进行求解． 【详解】（1）解：由题意可得：第5个等式是； 故答案为； （2）解：由题意可知：第n个等式是； ∵， ∴原等式成立； （3）解： ． 21．（24-25七年级上·上海普陀·期末）某单位需要完成一项工程，单位派遣甲施工队进场施工，计划用45天时间完成整个工程．当甲施工队工作24天后，单位又派遣乙工程队协助进行施工，最终比计划提前7天完成施工． (1)若乙施工队单独施工，完成整个工程需要多少天？ (2)若单位一开始派遣甲、乙两支队伍合作施工，能否在25天内完成工程？ 【答案】(1)90天 (2)不能 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设乙施工队单独施工完成需要天，根据题意列出方程求解即可； （2）先计算甲、乙两支队伍合作施工需要的时间，再与25天比较大小，即可得出结论． 【详解】（1）解：设乙施工队单独施工完成需要天， 由题意得，，     解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：乙施工队单独施工，完成整个工程需要90天． （2）解：甲、乙两支队伍合作施工，需要的时间为：（天）， ， 甲、乙两支队伍合作施工，不能在25天内完成工程． 答：不能在25天内完成工程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $