湖南省教育战略合作学校2025-2026学年高三上学期第二次联考数学试题

湖南 教育战略合作学校2026届高三第二次联考卷 数学参考答案 1.D【解析】因为A={xlog2x<1}={x|0<x<2},则CRA={xx≤0或x≥2. 2.C【解析】因为之=a十bi,则x2=(a十bi)2=(a2一b)十2abi=2i,所以x=士(1十i),其在复平面内对应的点 位于第一、三象限 3.A【解析】设正项等比数列{an}的公比为q(q>0),因为4a2,a4,2a3等差数列，所以a4=2a2十a3,即q-q- 2-0,解得q=-1(含去)或g=2,所以-二义=1十g=9. S31-q3 4.C【解析】国锥体积：V=号h=12,化简得rh=36.由母线长1=5，得2+=25，解得=3，h=4(另- 解不符合题意)，表面积为24π 5.A【解析1由1al=a-b1得a…b-,a9b-1.b1-号 b 6.C【解析1re[0,受]，即2x一晋∈[-专]，使得fx)=m(2x-晋）-m在[0，受]上怡有两个不同的 零点则m[.1小等<2吾登<2音<且(2音）+(2）x可得0： x≤晋，故号<c0s(-)1,C正痛， 7.D【解析】问题转化为y=lnx一m与圆x2十y2=2相切，设切点横坐标为x。进一步转化为 0√2-x8 的解，m=1 1m=11 lnxo-m=-√2-x6 8.B【解析】设三角形△AF2B的内切圆切AB于E,切AF2于N,切BF2于M, BF2-BF=AF2-AF,BMI+MF2-(BE+EF=AN+INF2-(AEI- |EF), ∴.-EFI=|EF,即|EF|=0,也就是E与F1重合，则CF1⊥AB于F 数an∠DcF,-anDF质a☑CD5-中A·女1中(-一7)·《一D了 1 k,一k 即iam∠DCf,=专 9.AD【解析】对于A,因为2x=(x十)+(x-),别由1≤x十≤3,0≤x-1,可知<x≤2，故A正确： 对于B,2y=(x十)+[-(-)]则由1≤x+3,-1≤-(x-)<0,可知0≤≤号，故B错误： 对于C,因为y=x十1在[2,2]上单调道减，所以x十1的取位范圈为[1，号]，故C错误： 对于D,因为e(e-e)=e+y-ey,又1≤x+y≤3,0≤x-y≤l,所以e(e-ey)的取值范围为 [0,e3-1],故D正确. 10.AD【解析【解析】对于A,EF∥AB,故A正确； 对于B,易得R=号，外接球表面积为，救B错误： 对于CE求-G方-G立-(1-G-1-》G,成.G-0,结合+=1，解得X-号-子，放C 错误； 对于D,VG-AEF=VP-ACE=VA-ACE=VE-ACA1,取AB1的中点M,连接EM,则VACA1=VMHACA1=VC-MAA1= 青×号×1X5X5-名故D正确 数学试题参考答案第1页 11.ABD【解析】对A,若{an}为等差数列，设公差为d,前n项和为Sm, 因为离散型随机变量的取值为1,2,3，…，99，且P(=k)=a(k=1,2,3,…,99), 所以Sg= 9X(a,十a）=99a0=1,故aw=9:故A正确： 2 对B由a9(W+k+ 、可知0<ak<1, k+1-E 可变形为a9(E+√k十1)（√十1-√E产9C+1一E), 所以a1十a十a,++as=号×(2-)+号×W5-2)+…+号×(1o0-9) =号×[2-)+(W5-2)++(100-V9)]=1,故B正确： 对C,由题意得数列{)是以号为首项，号为公比的等比数列， 所以a十a2+…十a9s 1一2 =1一28' 所以am=1-[1六]一女a·aam·之克·六22点故C错误， 1.11.1 1 1 对D,令S6=P(≤k)=k2a,k=1,2,…,99, 则a+1=S+1一S%=(k十1)2a+1一k2a, 整理得4+！=k a6+2k=1,2,…,98, 即42.4982=98,97 963.2 1 ag·am…498+2‘97+2‘96+23开2‘2千2‘1十2 化简可得，塑= 2×1 'a1100×99 又S=P(99)=992ag=1即ag-99 1 ·992-器D正商， 故a1=99· 2×1 12.80 【解析】=C(2)()°，放系数为C2(-12=80. 13.3【解析】令A=a十B,B=a-3,于是有sin(A+B)-2sin(A-B), 所以sin Acos B+cos Asin B=2(sin Acos B-cos Asin B),化简得tanA=3tanB, 于是ama+的值为3. tan(a-B) 14.(-e3-1,4)【解析】依题意f(x)>g(x)恒成立，即[x2-(a十3)x十2a十3]·e>-e4恒成立 设h(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]·e,当x→o∞时，h(x)>0 h'(x)=(x-l)(.x-a)·e则只需h(1)>-e4且h(a)>-e4即可 由h(1)>-e4得，(1+a)·e>-e4,即a>-e3-1 由h(a)>一e得，（一a十3）·e“>一e4,讨论函数t(a)=(一a十3)·e的单调性，结合图象得a<4, 故a∈(-e3-1,4). ⑤.【解析I)由2sinB-cosC-osC,得到2 2sin Asin B-sin Acos C-cs Asin C·(2分2 即2 sin Asin B=sin Acos C+cos Asin C=sin(A+C)=sinB,又sinB≠0， 1 所以sinA=立， (4分) 又A∈(0，)，所以A-吾或A-5 61 …(6分) 数学试题参考答案第2页 (2)因为△ABC为锐角三角形，所以A=否，由正弦定理得，sin A sin B sin C一4， b 即b=4sinB,C=4sinC,…(8分) 则SAA= besin A-4sin Bsin C-4sin Bsin(B -sin Bin B)-2sin Bcos B2inB -sin 2B-/3cos 2B+3-2sin(2B-)+3 …(10分) 0<B<受 又 0<C-x-B<受 解得<B<受，则晋<2B-晋<号x, 号<n(2B-）1. (12分) 所以S△∈(2√5,2十5]. (13分) 16.【解析】记事件A为“乙摸到红球”， 2 (1)若乙选择的是1号盒子，则乙摸到红球的概率p1= 3 (2分) 若乙选择的是2号盒子，则乙摸到红球的概率D,=3,… (4分) 由全概率公式得，P风A）=号p十号么=号…（6分) (2)由(1)知，PA)=A十 不妨设在一号盒子中放k个红球和m个白球，则在二号盒子中有3一k个红球，3一m个白球，其中k=0,1, 2,3且m=0,1,2,3,由对称性，只需考虑m=0和m=1两种情况 当友=m-0时，PA0=名十号=号×号-司 ……… (7分) 当1十m5时6年n。千m 3一k 当m=0,1ck≤3时P(A)=p+P=2×(会+)=2×(2-3方)】 =1时取最大，即在一号盒子中只放一个红球，则=1，p:=号， 2 (10分) 当m=10长3时P-方A+A=专×（年+）-合×2中产) 列举可得，P,M)=,P(A)=,P:A=PA-冬均小于品 … (13分) 故甲应该在其中一个盒子中只放1个红球，在另一个盒子中放入剩余5个球，此时乙最终摸到红球的概率 最大为品 …（15分) 17.【解析】(1)由G∈直线PC,设AG=入A2+(1-)AC=入A2+(1-)A店+(1-)AD,…(1分) 又G∈面AEF,设AG-xA它+yA市=xA店+Ai+Ai+A市-xA+(受+当)Ai+A立， …(2分) 数学试题参考答案第3页 由空间向量基本定理，得 3 (4分) 、1-λ=x GC …… (2)以A为原点，AB为x轴，垂直于直线AB所在的直线为y轴，AP为之轴建z 立如图所示的空间直角坐标系，H在PC上，设PH=tPC(0<<1), …(6分) 由题设 A00.0D10.P00,2,E(号，9o,F(号9 Ai=(3t,N5t,2-2t),PD=(-1,-5,2) 由题意PD⊥AF,要使得PD⊥平面AHF,则PD⊥AH 即Pi.Ai=(-1,-5,2)(3,5,2-20=0,得1=号，…(9分) 故Hg29,g）-(-品.-得）E=(-2.01. n·EH=0 13546 设平面EFH的法向量为n=(x,y,z), n…E京-o'即 10x-10y+ 5=0 2x十x=0 取n=(一√3，-11，-2√3)… (12分) 平面AFH的法向量为PD=(-1,-√5,2) 设面AFH与面EFH夹角为O, PD·n 83 cos =√57 PD 22×2√34 17· …(15分) l8.【解析】(1)当a=e时，f(x)=e-elnx一e,对其求导得∫(x)=e-e (2分) x 设g()=-号，在(0，十o∞)单调递增，又g1)=0,…（(3分) 令∫(x)>0得x>1,f(x)单调递增，令f(x)<0得0<x<1,f(x)单调递诚. 综上，f(x)的增区间为(1，十o∞)，f(x)的减区间为(0,1) (5分) (2②)设F)=e-nx-1-(侵x-x+1=ec-nx-+x-2, 对其求导得F(x)=e一1一x十1.. (6分) 7 设m)=e-}-x+1,对其求导得m'《u)=心+号-1>0， x 所以m(x)在(1，十o∞)上单调递增.… ....s。 (8分) 又m(1)=e-1>0,即F(x)>0,所以F(x)在(1，+o∞)上单调递增 则F)>FI)=e号>0 …………………… (10分) (3)对f(.x)=g-alnx-a求导得f'(x)=e-g=e二a.. (11分) x 设h(x)=xe-a,在(0，十o∞)单调递增. 因为函数f(x)存在极小值点x,所以h(x)在(0，十o∞)存在零点xo, 即h(x0）=x0e2%-a=0,Q=0e20.……（13分) 此时f(xo)=eo-aln xo-a=eo-oeIn o一xoeo≥0， 即1-x0lnx0-x0≥0. (14分) 数学试题参考答案第4页 设(x)=1-xlnx-x,对其求导得(x)=-lnx-2. 令(x)=0,即一lnx-2=0,解得x=e2.… (15分) 当x∈(0，e),(x)单调递增；当x∈(e2,十o∞)，(x)单调递减. 又(1)=0，当x∈(0,1)，6(x)>0;当x∈(1，+o∞)，6(x)<0. 所以0<x≤1， 则0<xoe0≤e此时0<a≤e.… (17分) 19.【解析】(1)设动圆C的半径为R, .动圆C与圆F1外切，则CF=R十1…(1分) 又动圆C与圆F2内切，结合图像可知：R<3,.CF2=3一R,… (2分) .|CF|+|CF2|=4>|FF2…(3分) 由椭圆的定义可知，动点C在以F1、F2为焦点，4为长轴长的椭圆上， 设横西的方程为号+芳1a>60半套距为。. 则a=2,C=1,.b2=a2-c2=3,…(4分) 又可知圆F与圆F2内切，.点C不能在切点处，即椭圆应去掉点(0,2)， 曲线C的方程为专1(yf2。………⑤ (2)(1)证明：设M(x1,y),N(x2y2),A'(-3,0),则 EM·kr=L ·1=好=-4 01-3x1十V3-3 3… (7分) kM·kA=边 ==4 x2-32十/5x-33 …(9分) 0 又kM=k4,∴.kMm=一kNA. y2 即〈 -52-5 (*),同向相除得西十3一2+区 =一y2 1-√5 a2-√/51 x1+√5x2+3 解得1x2=3.即点M,N的横坐标乘积为定值3.…(11分) (i)设P(x3,y3),Q(x4,y4),H(x,y),则 由(1)知1=3，带入(*)式得：=5业.同理，=3为=-54.…(13分) XA MQ:y=二出4(x-x1)+y, x1一x4 整理得：MQ:(x1一x4)y-（y1一y4)x=x1y4一x4y1① 同理NP:(x3-x2)y-(y3-2)x=x3y2-x2y3…② ……（15分) 丛，9=-业带入②化简得： NP:-zyyx==3(y…圆 联立①③解得：x=一5. 即点H在定直线上x=一√5上.…(17分) 注：动笔尽量不给零分，若思路可行，计算出错可以给满分的三分之一以上，不超过二分之一，如19题导数第一 问5分，只写了一步求导，但结果错误，可以给1分，但第一问全部写完，因为求导出错导致结果出错，可的情给 2~3分；如17题立体几何第二问10分，若思路正确，确因为点的坐标写错，导致结果出错，可以酌情给3~5 分；解答题其他方法（如16题第2问用列举法）同等给分. 数学试题参考答案第5页湖南 教育战略合作学校2026届高三第二次联考卷 数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自已的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 h 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 阁 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试 卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.已知集合A={x|1og2x<1),则CRA= A.(0,2) B.（-∞，2) C.[2,+o∞) D.(-∞，0]U[2,+∞) 2.设复数之2=2i,则之在复平面内对应的点位于 和 A.第一象限 B.第二象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 3.已知(a,)是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为S,若4a2,4,2a:成等差数列，则- A.9 B.2 c司 D号 4.已知圆锥的母线长1为5，体积V为12π，底面半径r,高为h(rh),该圆锥的表面积为 A.15π B.20π C.24π D.30π 5.已知向量a,b满足|a=|a一bl,且a+b在b上的投影向量为单位向量，则|b= A号 B.√2 C.3 D.2 6.已知函数f(x)=sin(2x一背）一m在0，]上恰有两个不同的零点西，x,则cos(1一)的值 可能为 A.0 B. c日 D.1 数学试题第1页（共4页） 7.若曲线y=lnx一m与圆x2十y=2恰有一个公共点，则实数m的值为 A.e B.2 c号 D.1 8已知双曲线后-苦=1a>0,6>0)的左，右焦点分别为B,,过五的直线4：十十2=0与 双曲线的左支交于A、B两点，若∠AF2B的角平分线为L2:x十7y一2=0，与直线l☑交于点D, △AF2B的内切圆圆心为C,则tan∠DCF1的值为 A是 B号 c分 D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知实数x,y满足1≤x十y≤3,0≤x一y≤1，则下列说法正确的是 Ax的取值范围为[2,2] B.y的取值范围为[0,1] C.x+生的取值范围为[2,5] D.e*(e-e)的取值范围为[0，e3一1] 10.在三棱柱ABC-A1B,C,中，底面△ABC是边长为2的正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且 ∠ABB1=60°，平面ABB1A1⊥平面ABC,D为AB的中点，E,F分别是B1C,A1C的动点， 满足B它=λB1C,A1F=μA1C,(0<入，u<1),则下列说法正确的是 A.当入=u时，直线EF∥平面ABB1A1 B三棱锥C-ABB1的外接球表面积为x C若入+k=1,且EF1BC,则X=是=} D,当入=24=号时，三棱锥C-AEF的体积为2 11.设离散型随机变量的取值为1,2,3，…，99，且P(=k)=a%(k=1,2,3,…,99),则 A当数列a:)为等差数列时，as一弱 B.数列(as)的通项公式可能为a一9W+,√十T 1 C.当数列{a)满足au=是(k=1,,98)时，a1·a2ag= 1 4950 D当数列a,满足P()=a,=1,2…,9)时，a-羽 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.(2x一)°的二项展开式中的第3项的系数为 13.若sin2a=2sin2g,则anCa±g的f值为 tan(a-B) 14.已知函数f(x)=x2一(a十3)x十2a十3的图象总在g(x)=一e-x的图象的上方，则实数a的 取值范围是 数学试题第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 记△ABC内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2sinB-cosC=sin tan A' (1)求A的大小； (2)若△ABC为锐角三角形，且a=2,求△ABC的面积的取值范围. 16.(本小题满分15分) 现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球.甲同学将这6个小 球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒子中随机 摸1个球，试验结束， (1)若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率； (2)甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最 大值. 17.(本小题满分15分) 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，PA⊥底面ABCD,PA=2, 点E,F分别是BC,PD的中点. (1若过点A,EF的平面交PC于点C,求瓷的值， (2)在棱PC上取一点H,使得PD⊥平面AHF,求面AFH与面EFH夹角的余弦值， 数学试题第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ez一alnx一a,其中a∈R,e为自然对数的底数， (1)当a=e时，求函数f(x)的单调区间； (2)当a=1时，证明：对于任意的x∈(1，十∞)，都有f(x)>2x2-x十1； (3)若函数f(x)存在极小值点xo,且f(xo)≥0，求a的取值范围. 19.(本小题满分17分) 已知圆F1:x2+(y-1)2=1,圆F2:x2十(y十1)2=9.若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切， 设圆心C的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程； (2)已知双曲线r:亏-苦-1，过其右顶点A作直线1分别交曲线E和双曲线I于点M,N (异于点A),作直线L2分别交曲线E和双曲线T于点P,Q(异于点A),设直线MQ与直 线NP交点为H, (ⅰ)求证：点M,N的横坐标乘积为定值，并求出该定值. (ⅱ)求证：点H在定直线上，并求出该定直线的方程 数学试题第4页（共4页）