专题01 二次函数（期末复习讲义，16知识点+14题型）九年级数学上学期浙教版

该初中数学二次函数期末复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，分知识点详解定义、图像性质等内容，用对比表格呈现不同形式二次函数的开口方向、对称轴等性质，构建清晰知识脉络，突出图像与性质、待定系数法等重难点。 讲义亮点在于分层题型设计，如二次函数与商品利润应用题培养模型意识，“左加右减”平移规律指导方法，结合典例与变式题帮助学生用数学思维推理。基础通关、重难突破等练习满足不同层次需求，助力教师精准教学，提升学生数学眼光与应用能力。

专题01 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义 理解二次函数的定义（形如，能根据定义判断一个函数是否为二次函数，并能根据定义求参数。 基础概念题，常在选择题或填空题中考查对定义的准确理解。 二次函数的图像与性质 掌握二次函数图像（抛物线）的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性（单调性）及最值等核心性质，并能根据解析式熟练分析。 核心高频考点，几乎贯穿所有二次函数题型，是解决各类问题的基础，必须熟练掌握。 二次函数图象与各项系数符号 能根据二次函数的图像特征，判断系数 ( a, b, c ) 及判别式的符号，理解它们与图像的内在联系。 高频易错点，常以选择题形式出现，要求熟记“开口方向定a、对称轴位置定b、与y轴交点定c、与x轴交点定Δ”的规律。 两个二次函数图象综合判断 能综合比较两个二次函数图像的位置关系、开口大小、对称轴等，或判断同一坐标系中多个函数图像的共存问题。 中档难度题，常出现在选择题中，考查对图像特征和系数关系的综合分析能力。 待定系数法求二次函数解析式 能根据已知条件（如三点坐标、顶点坐标、与轴交点等），灵活选用一般式、顶点式或交点式，用待定系数法求出函数解析式。 中考必考计算题型，是连接已知条件与函数性质的关键步骤，要求计算准确，格式规范。 二次函数图象的平移 掌握二次函数图像平移的规律（“左加右减，上加下减”），能根据平移过程写出新函数的解析式，或根据解析式判断平移方式。 高频考点，常以填空题或选择题形式出现，考查对函数图像变换本质的理解。 抛物线与坐标轴的交点问题 会求抛物线与轴、轴的交点坐标，理解交点与对应一元二次方程根的关系。 基础计算题，常与其他知识点（如求三角形面积）结合考查。 根据交点确定不等式的解集 能利用二次函数图像与轴的交点，直观地确定一元二次不等式或的解集。 中档题，为数形结合思想的典型应用，常出现在选择题或填空题中。 二次函数的应用 能将最大利润、最大面积、抛物线形实物（拱桥、喷泉等）问题抽象为二次函数模型，并利用函数性质求出最优解或特定值。 中考必考应用题，背景丰富，综合性强，常作为解答题出现，要求具备完整的建模、求解、检验和作答能力。 知识点一、二次函数的定义 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 知识点二、二次函数的一般形式 1、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 易错点： 必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 2、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点三、根据实际问题列二次函数关系式 ★根据实际问题构建二次函数的一般步骤 知识点四、 二次函数的图象与性质 1、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： 要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 易错点： 在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 2、抛物线的相关概念： 二次函数y＝ax2 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2 ，y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线 y＝ax2 与它的对称轴的交点为（0,0）叫做抛物线的顶点，是抛物线的最低点或最高点. 一般地，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2+bx+c，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 3、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 4、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 知识点五、 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. 上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 知识点六、 二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质 1、二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质 y＝a(x﹣h)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，0)，抛物线最低点 (h，0)，抛物线最高点 最值 当 x = h 时，y最小值 =0 当x = h时，y最大值 =0 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝a（x﹣h）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当h > 0 时，向右平移h 个单位长度得到. 当h< 0 时，向左平移个单位长度得到. 左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 知识点七、 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象与性质 1、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 知识点八、 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 1、将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a（x﹣h）2+k （1）运用配方法，可以将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与顶点式y＝a(x﹣h)2+k相互转化. ①通过去括号、合并同类项可将顶点式化为一般式. ②用配方法可把二次函数的一般式化为顶点式. 即：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋； （2）从函数解析式y＝a(x﹣h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，我们称y＝a(x﹣h)2+k 为顶点式， 将顶点式y＝a(x﹣h)2+k去括号，合并同类项就化成一般式y＝ax2＋bx＋c. 2、将二次函数y＝ax2+bx+c图象的两种画法 （1）描点法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式. ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. ③在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点. ④用平滑的曲线将描出点顺次连接起来. （2）平移法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式,确定其顶点坐标为(h，k). ②作出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象. ③将函数数y＝ax2(a≠0)的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h，k)，平移后的图象就是y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象. 3、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 知识点九、 用待定系数法求二次函数的解析式 1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2、用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点十、 建立函数模型解决最值问题的基本步骤 对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下： （1）理解问题情境，厘清问题中涉及的变量. （2）确定自变量. （3）利用问题情境中的数量关系列函数表达式，并确定自变量的取值范围. （4）求函数的最大值或最小值和相应自变量的值. 易错点： 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须要符合实际意义和已知条件的限制. 知识点十一、 二次函数与图形面积的最值问题 1、二次函数与图形面积 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. 2、在几何图形中建立二次函数关系的三种方法： 面积法 利用几何图形的面积公式建立函数关系. 勾股法 在直角三角形中利用勾股定理建立函数关系. 和差法 利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系. 知识点十二、 二次函数与商品利润问题 1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点十三、 抛物线型的实际问题 1、抛物线型的实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 2、建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5） 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点十四、 二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点十五、 用图象法解一元二次方程 图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点十六、 二次函数与一元二次方程的联系 1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 题型一 列二次函数 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题中的数量关系，用形如的等式表示出来 ☆仔细审题，找出题目中涉及的两个变量 ☆根据几何公式（如面积）、物理公式或数量关系（如利润=售价-成本），建立等量关系 ☆将等式整理为关于的二次函数形式，注意自变量的取值范围（实际问题常有约束） 【典例1】（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 题型二 二次函数的识别 解｜题｜技｜巧 ☆判断一个函数或等式是否为二次函数，抓住三点： 1 整式； ② 一个自变量； ③ 自变量的最高次数为2，且二次项系数不为零 ☆将函数关系式整理化简为标准形式 检查：① 是否为整式（分母不含自变量）； ② 自变量的最高次是否为2； ③ 二次项系数 是否不等于0 ☆注意：形式为 的不一定是二次函数，如 则是一次函数 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下列各式中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 题型三 根据二次函数定义求参数 解｜题｜技｜巧 ☆利用二次函数的定义（最高次为2且二次项系数 ≠ 0）建立关于参数的方程或不等式 ◎找出含参数的二次项系数（即 项的系数） ☆令该系数不等于0，解出参数的范围或值（此为保证“是二次函数”的条件） ◎有时还需考虑“最高次为2”，即令更高次项（如 ）的系数为0 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）函数的图象过点，则 ． 题型四 二次函数的图像 解｜题｜技｜巧 ☆二次函数 的图像是一条抛物线。其开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点由系数 决定 ◎开口方向：由 决定。，开口向上；，开口向下 ◎对称轴：直线 ◎顶点坐标：。顶点是抛物线的最低点（）或最高点（） ☆五点法画图：通常找顶点、与y轴交点、及两组对称点 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期中）二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 题型五 一般式化为顶点式 解｜题｜技｜巧 ☆通过配方，将一般式 化为顶点式 ，其中 为顶点坐标 ◎提：提取二次项系数 （若 可跳过）： ◎配：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的值以保持平衡： ◎化：将前三项写成完全平方，合并常数项：，顶点式中的 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知y关于x的二次函数． (1)当时， ①求二次函数的顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求m的值． (2)当时，该二次函数最大值与最小值的和为8，求a的值． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为，求的长． (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 题型六 二次函数图象与各项系数符号 解｜题｜技｜巧 ☆根据抛物线的图像特征，推断系数 及判别式 的符号 ☆a：看开口，上正下负 ☆b：结合a和对称轴位置（“左同右异”）： ◎对称轴在y轴左侧，则 同号 ◎对称轴在y轴右侧，则 异号 ◎对称轴是y轴，则 ☆c：看抛物线与y轴交点的纵坐标，交于正半轴则 ，负半轴则 ，过原点则 ：看抛物线与x轴的交点个数。两个交点 >0；一个交点 =0；没有交点 <0 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若，是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【典例2】（25-26九年级上·全国·期中）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有 填序号 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（   ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，则下列四个结论：①：②；③对于任意实数，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与抛物线都经过y轴上的点D，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线，且，直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列命题中正确的 ． ①，②，③，④． 题型七 两个二次函数图象综合判断 解｜题｜技｜巧 ☆比较两个二次函数图象的位置关系、开口大小、对称轴、交点等 ◎将两个函数表达式都化为顶点式，便于直接比较顶点和对称轴 ◎关注它们在同一坐标系中的相对位置：谁在上方（函数值大），谁在下方 ◎有时需要联立两个函数解析式，解方程求交点坐标 ☆比较开口大小时，看 ，绝对值越大，开口越小（抛物线越“瘦”） 【典例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（九年级上·浙江杭州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A． B． C． D． 题型八 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜技｜巧 ☆根据已知条件，设出合适的二次函数表达式，代入已知点的坐标，解方程组求出待定系数 ☆选形式： 已知任意三点坐标：设一般式 已知顶点坐标或对称轴与最值：设顶点式 已知抛物线与x轴的两个交点：设交点式 ☆代入：将已知点的坐标代入所设表达式 ☆求解：得到关于待定系数的方程（组），解之 ☆还原：将求得的系数代回所设表达式 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）设抛物线（b为常数）经过点． (1)求二次函数表达式． (2)过点（其中）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若，求t的值． (3)若点，在抛物线上，且始终满足，求的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·月考）抛物线的顶点坐标为，且过点．求： （1）抛物线的函数表达式； （2）抛物线与轴的交点坐标． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知，二次函数经过，两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，求的取值范围． 题型九 二次函数图象的平移 解｜题｜技｜巧 ☆抛物线平移，本质是顶点坐标的平移。平移规律：“左加右减（对x），上加下减（对y）” ☆先将原函数化为顶点式 ，顶点为 ◎左右平移：若向左平移 个单位，则新顶点横坐标为 ，新函数为 （即x变成 ） ◎上下平移：若向上平移 个单位，则新顶点纵坐标为 ，新函数为 （即整个式子加 ） ◎综合平移：先左右，后上下 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22九年级上·福建福州·月考）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A．B． C． D． 题型十 利用二次函数对称性求最短路径 解｜题｜技｜巧 ☆在抛物线背景下的“将军饮马”问题。利用抛物线的轴对称性，将同侧两点转化为异侧，根据“两点之间，线段最短”求解 ◎确定抛物线的对称轴 ◎找出定点（或动点）关于对称轴的对称点 ◎连接对称点与另一个定点（或动点所在直线的另一点），连线与对称轴的交点即为所求点的位置，连线长度即为最短路径长 【典例1】（22-23九年级上·浙江宁波·月考）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，且抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式及A，B两点坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH的值最小，并求出点H的坐标； 【变式2】（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； 题型十一 抛物线与坐标轴的交点问题 解｜题｜技｜巧 ☆求抛物线与坐标轴的交点坐标，即解对应的一元二次方程或直接观察 ☆与y轴交点：令 ，解得 ，坐标为 ☆与x轴交点：令 ，即解方程 - 若 ，有两个交点 - 若 ，有一个交点（顶点在x轴上） - 若 ，无交点 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数的图象经过点，顶点坐标为 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围； (3)直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的解析式； (2)当时，y的最小值是，则当时，求y的最大值； (3)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值． 题型十二 根据交点确定不等式的解集 解｜题｜技｜巧 ☆利用函数图像与x轴的交点，结合开口方向，确定 或 的解集 ☆画出函数 的示意图，标出与x轴的交点 “大于0”即求图像在x轴**上方**部分对应的x范围 “小于0”即求图像在x轴**下方**部分对应的x范围 ☆若不等式含等号（≥或≤），则解集包含交点（端点） 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【典例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．当时，的取值范围为 ． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·月考）已知抛物线（为常数）． (1)如果函数图像经过点，求函数解析式； (2)如果函数图像经过点，，求与的数量关系； (3)在（）的条件下，函数图像还经过点，且，求的取值范围． 题型十三 图象法确定一元二次方程的近似根 解｜题｜技｜巧 ☆方程 的根，即抛物线 与x轴交点的横坐标 ☆在同一坐标系中精确画出抛物线 ☆观察抛物线与x轴交点的横坐标值 ☆若交点横坐标不是整数，则根据网格估算其近似值（通常精确到0.1） 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是 ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值；    (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． x 0 1 y 0 0 【变式2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）已知二次函数 (1)请你把已知的二次函数化成的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果、是（1）中图象上的两点，且，请直接写出的大小关系为 ； (3)利用（1）中的图象表示出方程的根m，n（，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； (4)观察（1）中的图象知，当时，y的取值范围是 ． 题型十四 二次函数的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将利润最大、面积最大、抛物线形拱桥等实际问题转化为二次函数模型，利用性质求最值或特定值 ◎建模：设出自变量和因变量，根据题意列出二次函数关系式 ◎求最值：通常求顶点坐标（特别是纵坐标 ）。若自变量有实际范围，需比较顶点值与区间端点值 ◎求解：将问题中的条件代入函数式，解方程或不等式 ◎检验：答案必须符合实际意义（如边长大于0，人数为整数等） 【典例1】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；当时，对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（    ） A．先变大，最后不变 B．先变小，最后不变 C．先变小后变大，最后不变 D．先变大后变小，最后不变 【典例2】（24-25九年级上·浙江温州·月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为 （直观关系式无需化简） 【典例3】（25-26九年级上·浙江金华·月考）不论为何值，抛物线均经过定点，抛物线与轴交于两个不同的点和点，若，则 ． 【典例4】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则 ，点在直线上，若，则点的坐标是 ． 【典例5】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，风筝的骨架由3条竹棒组成，其中E，F分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（），求s关于x的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 【典例6】（25-26九年级上·浙江温州·月考）综合与实践：设计隧道的限高方案． 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为8米，宽度为16米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米． 解决问题： (1)确定隧道形状：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？ 【典例7】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）新年临近，一款马年吉祥物玩具深受大家喜爱，玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元 (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将玩具的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【典例8】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标， (3)连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·月考）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为 . 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则 （用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则 ． 【变式4】（25-26九年级上·浙江·月考）在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【变式5】（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【变式6】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【变式7】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【变式8】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【变式9】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【变式11】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，过点作直线垂直于交轴于点，交新抛物线于点，请直接写出点的横坐标． 【变式12】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示） (1)直接写出经过、、三个点的二次函数表达式； (2)当函数值随的增大而增大时，求的取值范围； (3)当直线与函数的图象有2个交点时，求的取值范围． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江金华·月考）二次函数的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）抛物线与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）在抛物线上有，和三点，则、和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）将二次函数的图象向下平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为 ． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若，两点在二次函数的图象上，则 （请填写，，中的一个） 6．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为 ． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．求此抛物线的表达式． 8．（25-26九年级上·浙江温州·月考）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙面足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分成正方形和矩形（如图所示），已知篱笆总长80．设边为x，矩形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式． (2)能否围成一个面积为384的矩形花园，若能，请求出的长； 若不能，请说明理由． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．对称轴为直线 B．顶点为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移2个单位长度可以得到 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向下 B．当时，随的增大而增大 C．对称轴是直线 D．经过点 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某商品的进价为每件20元，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，如果调整价格，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． (1)求每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 8．（25-26九年级上·浙江·月考）已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1． (1)求的值； (2)设点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求的值；②若，求的最小值． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26九年级上·浙江·月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，这个函数图象如图所示．小球从第秒到第秒的运动路径长为（　　） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段上，与x轴交于C，D两点，若线段的最小值为2，则最大值为 ． 4．（25-26九年级上·广西崇左·月考）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是 ；不等式的解集是 ；不等式的解集是 ． 5．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）点，，是抛物线（是常数，且）上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1，其中正确结论的是 ． 6．（25-26九年级上·浙江温州·自主招生）已知，，若有且只有一个整数解，则的取值范围是 ． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数． 【总结归纳】 (1)填空：的顶点坐标为______，的顶点坐标为______． 【知识应用】 (2)求的互利函数解析式； (3)已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点，设的顶点为．若，．求证：这两个函数的图象的交点为、． 8．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标． (1)求抛物线与直线的解析式． (2)已知，是抛物线上不同的两点，若，求的取值范围． (3)平移直线得到直线，与轴交于点．如图②，过，两点向下作矩形，使得 ，当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数的定义 理解二次函数的定义（形如，能根据定义判断一个函数是否为二次函数，并能根据定义求参数。 基础概念题，常在选择题或填空题中考查对定义的准确理解。 二次函数的图像与性质 掌握二次函数图像（抛物线）的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性（单调性）及最值等核心性质，并能根据解析式熟练分析。 核心高频考点，几乎贯穿所有二次函数题型，是解决各类问题的基础，必须熟练掌握。 二次函数图象与各项系数符号 能根据二次函数的图像特征，判断系数 ( a, b, c ) 及判别式的符号，理解它们与图像的内在联系。 高频易错点，常以选择题形式出现，要求熟记“开口方向定a、对称轴位置定b、与y轴交点定c、与x轴交点定Δ”的规律。 两个二次函数图象综合判断 能综合比较两个二次函数图像的位置关系、开口大小、对称轴等，或判断同一坐标系中多个函数图像的共存问题。 中档难度题，常出现在选择题中，考查对图像特征和系数关系的综合分析能力。 待定系数法求二次函数解析式 能根据已知条件（如三点坐标、顶点坐标、与轴交点等），灵活选用一般式、顶点式或交点式，用待定系数法求出函数解析式。 中考必考计算题型，是连接已知条件与函数性质的关键步骤，要求计算准确，格式规范。 二次函数图象的平移 掌握二次函数图像平移的规律（“左加右减，上加下减”），能根据平移过程写出新函数的解析式，或根据解析式判断平移方式。 高频考点，常以填空题或选择题形式出现，考查对函数图像变换本质的理解。 抛物线与坐标轴的交点问题 会求抛物线与轴、轴的交点坐标，理解交点与对应一元二次方程根的关系。 基础计算题，常与其他知识点（如求三角形面积）结合考查。 根据交点确定不等式的解集 能利用二次函数图像与轴的交点，直观地确定一元二次不等式或的解集。 中档题，为数形结合思想的典型应用，常出现在选择题或填空题中。 二次函数的应用 能将最大利润、最大面积、抛物线形实物（拱桥、喷泉等）问题抽象为二次函数模型，并利用函数性质求出最优解或特定值。 中考必考应用题，背景丰富，综合性强，常作为解答题出现，要求具备完整的建模、求解、检验和作答能力。 知识点一、二次函数的定义 1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． 2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. 知识点二、二次函数的一般形式 1、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 易错点： 必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. 2、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 知识点三、根据实际问题列二次函数关系式 ★根据实际问题构建二次函数的一般步骤 知识点四、 二次函数的图象与性质 1、二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： 要画出二次函数的图象，一般用描点法，分为列表、描点、连线三步，具体步骤如下： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． 易错点： 在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． 2、抛物线的相关概念： 二次函数y＝ax2 的图象是一条曲线，这条曲线叫做抛物线y＝ax2 ，y轴是这条抛物线的对称轴，抛物线 y＝ax2 与它的对称轴的交点为（0,0）叫做抛物线的顶点，是抛物线的最低点或最高点. 一般地，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象叫做抛物线y＝ax2+bx+c，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点. 3、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 4、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2）越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 知识点五、 二次函数y＝ax2+k的图象与性质 1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. 上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 知识点六、 二次函数y＝a（x-h）2的图象与性质 1、二次函数y＝a（x﹣h）2的图象和性质 y＝a(x﹣h)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，0)，抛物线最低点 (h，0)，抛物线最高点 最值 当 x = h 时，y最小值 =0 当x = h时，y最大值 =0 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝a（x﹣h）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当h > 0 时，向右平移h 个单位长度得到. 当h< 0 时，向左平移个单位长度得到. 左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 知识点七、 二次函数y＝a（x-h）2+k的图象与性质 1、二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣h)2+k a > 0 a < 0 图象 h＞0，k＜0 h＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 (h，k)，抛物线最低点 (h，k)，抛物线最高点 最值 当x=h 时，y最小值=k 当x=h时，y最大值=k 增减性 当x＜h时，y随x增大而减小； 当x＞h 时，y随x增大而增大. 当x＞h时，y随x增大而增大； 当x＜h 时，y随x增大而减小. 2、抛物线y＝a（x﹣h）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣h)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设 h＞0，k＞0)： 简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变. 知识点八、 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 1、将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a（x﹣h）2+k （1）运用配方法，可以将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与顶点式y＝a(x﹣h)2+k相互转化. ①通过去括号、合并同类项可将顶点式化为一般式. ②用配方法可把二次函数的一般式化为顶点式. 即：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）可以转化为y＝a(x＋)2＋； （2）从函数解析式y＝a(x﹣h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，我们称y＝a(x﹣h)2+k 为顶点式， 将顶点式y＝a(x﹣h)2+k去括号，合并同类项就化成一般式y＝ax2＋bx＋c. 2、将二次函数y＝ax2+bx+c图象的两种画法 （1）描点法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式. ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. ③在对称轴两侧,以顶点为中心,左右对称描点. ④用平滑的曲线将描出点顺次连接起来. （2）平移法 ①运用配方法将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）化成y＝a(x﹣h)2+k（a≠0）的形式,确定其顶点坐标为(h，k). ②作出二次函数y＝ax2(a≠0)的图象. ③将函数数y＝ax2(a≠0)的图象平移，使其顶点(0,0)平移到(h，k)，平移后的图象就是y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象. 3、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 知识点九、 用待定系数法求二次函数的解析式 1、二次函数的解析式有三种常见形式： ①已知三点求二次函数解析式的方法叫做一般式法. 一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫做顶点式法. 顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫做交点式法. 交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0，其中x1，x2还图象与x轴的两个交点的横坐标）； 2、用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 知识点十、 建立函数模型解决最值问题的基本步骤 对于某些实际问题，如果其中的变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来研究.建立函数模型解决最值问题的基本步骤如下： （1）理解问题情境，厘清问题中涉及的变量. （2）确定自变量. （3）利用问题情境中的数量关系列函数表达式，并确定自变量的取值范围. （4）求函数的最大值或最小值和相应自变量的值. 易错点： 在实际问题中，各个量除了要满足一定的数量关系外，还必须要符合实际意义和已知条件的限制. 知识点十一、 二次函数与图形面积的最值问题 1、二次函数与图形面积 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．面积的最值问题应设图形的一边长为自变量，所求面积为函数，建立二次函数的模型，利用二次函数有关知识求得最值，要注意函数自变量的取值范围. 2、在几何图形中建立二次函数关系的三种方法： 面积法 利用几何图形的面积公式建立函数关系. 勾股法 在直角三角形中利用勾股定理建立函数关系. 和差法 利用图形面积的和或差表示图形的面积，从而建立函数关系. 知识点十二、 二次函数与商品利润问题 1、销售问题中的数量关系： 销售利润=销售收入﹣成本； 销售总利润=销售量×单价利润 2、求解最大利润问题的一般步骤： （1） 建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润 = 单件利润×总销量” 或“总利润 = 总售价 - 总成本”； （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润； 也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出. 知识点十三、 抛物线型的实际问题 1、抛物线型的实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 2、建立二次函数模型解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1） 根据题意建立适当的平面直角坐标系； （2） 把已知条件转化为点的坐标； （3） 合理设出函数解析式； （4） 利用待定系数法求出函数解析式； （5） 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点十四、 二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 知识点十五、 用图象法解一元二次方程 图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 知识点十六、 二次函数与一元二次方程的联系 1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. 2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 题型一 列二次函数 解｜题｜技｜巧 ☆将实际问题中的数量关系，用形如的等式表示出来 ☆仔细审题，找出题目中涉及的两个变量 ☆根据几何公式（如面积）、物理公式或数量关系（如利润=售价-成本），建立等量关系 ☆将等式整理为关于的二次函数形式，注意自变量的取值范围（实际问题常有约束） 【典例1】（25-26九年级上·浙江·期中）跳伞运动员在打开降落伞之前，下落的路程（米）与所经过的时间（秒）之间的关系为．则表格中的值为（    ） （秒） 0 1 2 3 4 … （米） 0 20 … A．40 B．50 C．80 D．160 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 根据给定关系式，利用表中时 的条件求出常数 ，再代入计算的值． 【详解】∵ ，且当 时，， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 当 时，， ∴ ． 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，设矩形一边长为x米，面积为y，请写出y关于x的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，求二次函数的关系式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意再表达另一边的长度为米，运用矩形的面积公式进行列式，得，即可作答． 【详解】解：依题意，另一边的长度为（米）， ∴， 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）如图，有一块正方形的花圃，正中间有一块圆形水池．从圆周上的点到正方形边上点的最短距离为．记正方形内除水池外的面积为，圆的半径为，则关于的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意得，正方形的边长为，然后通过面积差即可求解，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，正方形的边长为， ∴， 故选：． 题型二 二次函数的识别 解｜题｜技｜巧 ☆判断一个函数或等式是否为二次函数，抓住三点： 1 整式； ② 一个自变量； ③ 自变量的最高次数为2，且二次项系数不为零 ☆将函数关系式整理化简为标准形式 检查：① 是否为整式（分母不含自变量）； ② 自变量的最高次是否为2； ③ 二次项系数 是否不等于0 ☆注意：形式为 的不一定是二次函数，如 则是一次函数 【典例1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的识别，解题的关键是掌握：形如（、、是常数，）的函数叫做是的二次函数．据此判断即可． 【详解】解：A．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； B．，该函数是关于的二次函数，故此选项符合题意； C．该函数不是二次函数，故此选项不符合题意； D．该函数不是关于的二次函数，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下列各式中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数，形如的函数是二次函数，据此判断即可求解，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是二次函数，该选项不合题意； 、是一次函数，该选项不合题意； 、是二次函数，该选项符合题意； 、不是二次函数，该选项不合题意； 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）下列函数中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义，形如 （其中 ）的函数是二次函数，分析各选项是否符合此定义即可作答． 【详解】∵ 二次函数需满足最高次项为 且系数不为零， A、 为正比例函数； B、 为反比例函数； C. ，其中 ，符合二次函数定义； D. 为一次函数； 故选：C． 题型三 根据二次函数定义求参数 解｜题｜技｜巧 ☆利用二次函数的定义（最高次为2且二次项系数 ≠ 0）建立关于参数的方程或不等式 ◎找出含参数的二次项系数（即 项的系数） ☆令该系数不等于0，解出参数的范围或值（此为保证“是二次函数”的条件） ◎有时还需考虑“最高次为2”，即令更高次项（如 ）的系数为0 【典例1】（25-26九年级上·江苏苏州·月考）已知函数是关于的二次函数，则满足条件的的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义可得且，解之即可，掌握二次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴且， 解得， 故选：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）若点在函数的图象上，则的值为（    ） A．1 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）函数的图象过点，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握“若点在函数图象上，则点的横、纵坐标满足该函数解析式”这一核心结论． 先明确点的横坐标为，纵坐标为；再将横坐标代入函数的解析式中；最后计算出对应的函数值，该函数值即为的值． 【详解】解：∵函数的图象过点， ∴点的坐标． 满足函数解析式，即当时，． 将代入得： ∵， ∴． 故答案为：． 题型四 二次函数的图像 解｜题｜技｜巧 ☆二次函数 的图像是一条抛物线。其开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点由系数 决定 ◎开口方向：由 决定。，开口向上；，开口向下 ◎对称轴：直线 ◎顶点坐标：。顶点是抛物线的最低点（）或最高点（） ☆五点法画图：通常找顶点、与y轴交点、及两组对称点 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的增减性，可知抛物线开口向上，且对称轴为，对此一一分析选项即可得出答案． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小；当时，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上，且对称轴为． 对于选项A：， ∵，抛物线开口向上，对称轴， ∴符合题意． 选项B：对称轴，不符合题意； 选项C和D：，开口向下，不符合题意． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·月考）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数的顶点坐标为可直接求解． 【详解】解：∵是顶点形式，其中，， ∴顶点坐标为． 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·浙江台州·期中）二次函数的图象经过下列点中的（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 题型五 一般式化为顶点式 解｜题｜技｜巧 ☆通过配方，将一般式 化为顶点式 ，其中 为顶点坐标 ◎提：提取二次项系数 （若 可跳过）： ◎配：在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去相同的值以保持平衡： ◎化：将前三项写成完全平方，合并常数项：，顶点式中的 【典例1】（25-26九年级上·浙江金华·期中）抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，通过配方法将抛物线方程化为顶点形式，即可直接读出顶点坐标． 【详解】解：∵， 配方法：， ∴顶点坐标为， 故选：B． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知y关于x的二次函数． (1)当时， ①求二次函数的顶点坐标． ②当时，该函数的最小值是3，求m的值． (2)当时，该二次函数最大值与最小值的和为8，求a的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）①根据题意，当时，可得，即可确定该二次函数图像的顶点坐标；②结合，易知当时，y随x的增大而减小，进而可得，且当时，，可知，求解即可获得答案； （2）首先确定该二次函数图像的对称轴为直线，进一步可知当和3时，y有最值，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：①当时， ∴该二次函数图像的顶点坐标为； ②， ∴当时，y随x的增大而减小， ，且当时，， ，解得，（舍去）， ； （2）∵对称轴直线，且， ∴当和3时，y有最值， 分和两种情况讨论： 当时，抛物线开口向上，最小值为，最大值为， 由题意得，解得，符合； 当时，抛物线开口向下，最大值为，最小值为， 由题意得，解，不符合，故舍去， 综上所述，的值为1． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（a为常数）． (1)当时，求该二次函数图象的顶点坐标． (2)与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，且点B的横坐标为，求的长． (3)若，点，在该二次函数图象上，试说明． 【答案】(1) (2)6 (3)见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把代入二次函数解析式得，然后配成顶点式即可求解； （2）由题意易得该二次函数与x轴的交点坐标为，则有该二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （3）由题意易得，，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当时，则二次函数的解析式为， 化为顶点式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为； （2）解：令时，则有，解得：， ∴该二次函数与x轴的交点坐标为， ∴该二次函数的对称轴为直线， 由与x轴平行的直线交该二次函数图象于A，B两点，可知：二次函数图象上的A，B两点关于二次函数的对称轴对称， ∵点B的横坐标为， ∴点B到对称轴的距离为， 根据对称的性质可知：； （3）解：∵点，在该二次函数图象上， ∴， ， ∴ ， ∴当时，即， 解得：， ∵，且， ∴， 即． 题型六 二次函数图象与各项系数符号 解｜题｜技｜巧 ☆根据抛物线的图像特征，推断系数 及判别式 的符号 ☆a：看开口，上正下负 ☆b：结合a和对称轴位置（“左同右异”）： ◎对称轴在y轴左侧，则 同号 ◎对称轴在y轴右侧，则 异号 ◎对称轴是y轴，则 ☆c：看抛物线与y轴交点的纵坐标，交于正半轴则 ，负半轴则 ，过原点则 ：看抛物线与x轴的交点个数。两个交点 >0；一个交点 =0；没有交点 <0 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，且．下列结论：①；②；③；④若，是方程的两个根，则，．其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线的顶点坐标公式，二次方程根的分布，熟练掌握二次函数图象与、、的关系是解题关键． ①由开口方向、轴交点、对称轴分别得、、，推得；②由顶点坐标公式和顶点纵坐标值大于2，结合变形得；③代入得，再代入时，化简得；④整理方程为函数，结合开口方向、对称轴、当和时的函数值，判断根的范围． 【详解】解：①抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， 对称轴， ， ， 故①正确； ②由图可知，抛物线顶点纵坐标大于， ， ， ， 故②正确； 二次函数的图象经过点， ， ， 由图可知，当，， ，即， 故③正确； 已知，则， 令， 可知抛物线开口向下，对称轴为， 由③知， 故， 当，，则， 当，，则． 故④正确． 综上，正确答案有个． 故选：． 【典例2】（25-26九年级上·全国·期中）二次函数的部分图象如图所示，有下列结论： ①； ②； ③； ④； ⑤对任意实数m，不等式总成立． 其中正确的结论有 填序号 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程及不等式的关系逐一分析即可解答． 【详解】解：①∵抛物线开口向上，抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴下方， ∴ ， ∴，故①正确； ②根据图形可得二次函数图象与x轴有两个交点， ∴，故②错误； ③∵ ∴ ∴，故③正确； ④由图可得，当时，， ∵抛物线对称轴为直线， ∴当时，，即，故④错误； ⑤当时，取最小值， ∴， ∴，故⑤正确； 故答案为：①③⑤． 【变式1】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与对称轴直线交于点A，与x、y轴交于B、C、D三点，下列命题正确的是（   ） ①； ②若，则； ③对于任意（），始终有； ④若，，（）为方程的两个根，则且． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与x轴的交点问题及二次函数与一元二次方程的关系．判断命题的真假关键是根据二次函数的性质和图象得出信息判断．根据二次函数的性质和图象得出信息进行判断即可． 【详解】解：由图象得：，，， ∴， ∴， 故①正确； ， ， ， ，故②错误， ， 当时，函数的值最小， 对于任意，始终有，故③正确， ，对称轴为直线， 函数的图象与轴交点坐标为， 将方程变形为，如图所示， 可得且，故④正确， 故选：． 【变式2】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，二次函数的图象关于直线对称，则下列四个结论：①：②；③对于任意实数，都有．其中正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与系数之间的关系，熟练掌握二次函数的开口方向，对称轴，图象与轴交点，函数增减性并综合运用是解决本题的关键． 由开口方向、对称轴及抛物线与轴的交点位置可判断结论①；由和可判断结论②；当时，有最小值，则有，可判断结论③，即可得出答案． 【详解】解：抛物线开口向上，抛物线与轴交于负半轴， ，， 抛物线的对称轴为直线， ，即， ，故①错误； ， ，故②错误； 当时，有最小值， ， ，故③正确； 正确结论的个数是1． 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江宁波·期末）如图，直线与抛物线都经过y轴上的点D，抛物线与x轴交于A，B两点，其对称轴为直线，且，直线与x轴交于点C（点C在点B的右侧），则下列命题中正确的 ． ①，②，③，④． 【答案】②③④ 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象和性质，解决本题的关键是运用数形结合思想．由抛物线的开口判断a的符号，由对称轴判断b的符号及b与的关系，由一次函数的图象和性质可判断k的取值范围，由一次函数与二次函数的交点可判断k与的关系，进而得解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线对称轴是直线， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， ，故①不正确； ，故②正确； 直线经过一、二、四象限， ． 当时，， ， ， ， ， 点A的坐标为． 当直线的时，， ， ． ，故③正确； 令， 整理得， 解得， 由图象知：， ， ，故④正确． 综上，正确的命题有②③④． 故答案为：②③④． 题型七 两个二次函数图象综合判断 解｜题｜技｜巧 ☆比较两个二次函数图象的位置关系、开口大小、对称轴、交点等 ◎将两个函数表达式都化为顶点式，便于直接比较顶点和对称轴 ◎关注它们在同一坐标系中的相对位置：谁在上方（函数值大），谁在下方 ◎有时需要联立两个函数解析式，解方程求交点坐标 ☆比较开口大小时，看 ，绝对值越大，开口越小（抛物线越“瘦”） 【典例1】（2025九年级上·浙江·专题练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数（为常数，且）的图象与二次函数的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，利用图象特征判断字母系数的符号是解题的关键． 根据每个选项中的图象特征，分别判断一次函数和二次函数中的符号，再对比是否一致即可得出答案． 【详解】解：A、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故A选项不符合题意； B、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故B选项不符合题意 C、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 故C选项符合题意； D、由二次函数图象可知：， 由一次函数图象可知：， 矛盾，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·期中）在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象，熟记一次函数图象与性质、二次函数图象与性质是解决问题的关键． 依据题意，本题可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致． 【详解】解：A．观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江杭州·期末）函数和在同一直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及反比例函数图象的综合判断，根据二次函数图象和性质得到的取值范围，再判断反比例函数的图象，即可得到答案． 【详解】解：A. 由的图象可知，，，则，得到，的图象应该分别在二、四象限，故选项错误，不符合题意； B.由可知，图象必过原点，选项中的二次数图象不经过原点，故选项错误，不合题意； C. 由的图象可知，，，则，得到，的图象分别在一、三象限，故选项正确，符合题意； D. 由的图象可知，，，则，得到，则的图象应该分别在一、三象限，但选项中的反比例函数图象分别位于二、四象限，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 【变式3】（九年级上·浙江杭州·期中）在同一坐标系中，函数与的图象大致是图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数和二次函数的图象得出的范围，看看是否相同即可．本题考查了反比例函数和二次函数的图象和性质的应用，能理解反比例函数和二次函数的图象和性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； B、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； C、∵反比例函数图象经过第二、四象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向上，对称轴在轴的负半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围不同，故本选项错误； D、∵反比例函数图象经过第一、三象限， ∴得出， ∵二次函数的图象开口向下，对称轴在轴的正半轴， ∴二次函数得出，， ∴， ∴的范围相同，故本选项正确； 故选：D． 题型八 待定系数法求二次函数解析式 解｜题｜技｜巧 ☆根据已知条件，设出合适的二次函数表达式，代入已知点的坐标，解方程组求出待定系数 ☆选形式： 已知任意三点坐标：设一般式 已知顶点坐标或对称轴与最值：设顶点式 已知抛物线与x轴的两个交点：设交点式 ☆代入：将已知点的坐标代入所设表达式 ☆求解：得到关于待定系数的方程（组），解之 ☆还原：将求得的系数代回所设表达式 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）设抛物线（b为常数）经过点． (1)求二次函数表达式． (2)过点（其中）与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，若，求t的值． (3)若点，在抛物线上，且始终满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题是二次函数综合题，考查二次函数的图象性质，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的知识是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）由（1）知，根据点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点，得到，关于对称轴对称，，的纵坐标均为，根据，得到，即，于是求得，把代入，得到； （3）把点，，分别代入得到，，根据，得到，求得． 【详解】（1）解：把代入， 得：， 解得：， 二次函数表达式为； （2）解：由（1）知：， 点在轴上，过点与轴平行的直线交抛物线于，两点， ，关于对称轴对称，，的纵坐标均为， ，， ∴， 由对称性知， ∴， ， 代入， 得：， ； （3）解：点，，在抛物线上， ，， ， ， ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·月考）抛物线的顶点坐标为，且过点．求： （1）抛物线的函数表达式； （2）抛物线与轴的交点坐标． 【答案】（1）（2）和 【分析】本题考查二次函数的表达式求解及抛物线与轴的交点问题，掌握抛物线的顶点式及一元二次方程的解法是解题关键． （1）根据抛物线顶点坐标设顶点式，代入已知点求出系数，得到函数表达式； （2）令抛物线表达式中，解一元二次方程，得到与轴的交点坐标． 【详解】（1）解：已知抛物线的顶点坐标为，设抛物线的顶点式为， 将代入表达式： ， ， ， 故函数的表达式为． （2）解：令，即， 解方程：，得， 故抛物线与轴的交点为和． 答：和． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）已知，二次函数经过，两点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法，利用二次函数解不等式； （1）将，两点代入解析式，即可求解； （2）当时，解得，，根据图象开口向上，由的图象所对应的的取值范围，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， 故这个二次函数的表达式； （2）解：当时，， 解得，， ， 时，或 ． 题型九 二次函数图象的平移 解｜题｜技｜巧 ☆抛物线平移，本质是顶点坐标的平移。平移规律：“左加右减（对x），上加下减（对y）” ☆先将原函数化为顶点式 ，顶点为 ◎左右平移：若向左平移 个单位，则新顶点横坐标为 ，新函数为 （即x变成 ） ◎上下平移：若向上平移 个单位，则新顶点纵坐标为 ，新函数为 （即整个式子加 ） ◎综合平移：先左右，后上下 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）将抛物线向左平移4个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图像的平移，根据二次函数图像平移规律“左加右减，上加下减”进行变换． 【详解】解：该抛物线向左平移4个单位，则新的函数表达式为 ， 再向下平移1个单位，则新的函数表达式为， ∴新抛物线的函数表达式为 ． 故选：A． 【变式1】（21-22九年级上·福建福州·月考）将抛物线先向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到新的抛物线，则新抛物线的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据抛物线平移规则“左加右减，上加下减”直接计算新表达式． 【详解】解：∵ 原抛物线为， 向左平移2个单位：， 再向上平移3个单位: ， ∴ 新抛物线表达式为 ， 故选：A． 【变式2】（25-26九年级上·浙江金华·月考）抛物线的函数表达式为，若将轴向上平移2个单位长度，将轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移：将坐标轴的平移转换为函数图象的平移：轴向上平移2个单位相当于图象向下平移2个单位，轴向左平移3个单位相当于图象向右平移3个单位． 【详解】解：∵轴向上平移2个单位，相当于函数图象向下平移2个单位； ∵轴向左平移3个单位，相当于函数图象向右平移3个单位； ∴原函数向右平移3个单位得； 再向下平移2个单位得． 故选：C． 题型十 利用二次函数对称性求最短路径 解｜题｜技｜巧 ☆在抛物线背景下的“将军饮马”问题。利用抛物线的轴对称性，将同侧两点转化为异侧，根据“两点之间，线段最短”求解 ◎确定抛物线的对称轴 ◎找出定点（或动点）关于对称轴的对称点 ◎连接对称点与另一个定点（或动点所在直线的另一点），连线与对称轴的交点即为所求点的位置，连线长度即为最短路径长 【典例1】（22-23九年级上·浙江宁波·月考）如图，已知拋物线经过，，三点，直线是拋物线的对称轴，点M是直线上的一个动点，当最短时，点M的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据抛物线的对称性，连接交对称轴于M，此时最短，利用待定系数法求得直线的解析式即可求得点M的坐标． 【详解】解：连接交抛物线的对称轴于M，则最短，    设直线的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线经过、， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点M坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、最短路径问题，会利用抛物线的对称性解决最短路径问题是解答的关键． 【变式1】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，且抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式及A，B两点坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH的值最小，并求出点H的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入抛物线解析式，求得c，从而求得抛物线解析式，令得一元二次方程，解方程，进一步求得结果； （2）点B是点A关于抛物线的对称轴的对称点，连接交对称轴即为点H，可求的解析式，将代入，求得H点纵坐标，进而求得H点坐标； 本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是需要较强的计算能力． 【详解】（1）解：将点代入得 ∴， ∴抛物线的解析式是：， 令，即：， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵点在抛物线对称轴上， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线的解析式是：， ∴， ∴ ∴， 当时，， ∴． 【变式2】（2025九年级上·浙江·专题练习）已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图，点P是抛物线的对称轴l上的一个动点，当的周长最小时，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求函数解析式即可； （2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出P点坐标，即可得解； 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴相交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：在，当时，， ， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 的周长等于，为定长， ∴当的值最小时，的周长最小， 关于对称轴对称， ， ， ∴当三点共线时，的值最小，为的长，此时点P为直线与对称轴的交点， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ， ∴，， ∴． 题型十一 抛物线与坐标轴的交点问题 解｜题｜技｜巧 ☆求抛物线与坐标轴的交点坐标，即解对应的一元二次方程或直接观察 ☆与y轴交点：令 ，解得 ，坐标为 ☆与x轴交点：令 ，即解方程 - 若 ，有两个交点 - 若 ，有一个交点（顶点在x轴上） - 若 ，无交点 【典例1】（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知二次函数（是常数，）． (1)若，函数图象经过点和，求函数图象的顶点坐标． (2)若，函数图象与轴有两个交点，且，求证：． (3)若函数图象经过点，当时，的最小值为；当时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）当时，二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （2）若，则二次函数，则抛物线开口向下，然后根据当时，即可求证； （3）当时，；当时，，则可判断抛物线开口向上，即，然后分①若对称轴在直线左侧时，即，②若对称轴在直线右侧时两种情况分析，结合图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，则有二次函数解析式为， 由条件可得， 解得：， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）证明：若，则二次函数， ∴抛物线开口向下， ∵函数图象与轴有两个交点，且， ∴当时，， ， ∴； （3）解：∵当时，；当时，， ∴抛物线开口向上， ， ①如图，若对称轴在直线左侧时，即， ∵当时，；当时，， ∴当，取最小值， ， ∴此时不符合题意； ②如图，若对称轴在直线右侧时， ∴当时，，当，取最小值， ∵函数图象经过点， ∴，， ∴，即，， 解得：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴交点，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）二次函数的图象经过点，顶点坐标为 (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求的取值范围； (3)直接写出将该抛物线向上平移几个单位后所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【答案】(1) (2) (3)3或4 【分析】本题主要考查了待定系数法确定二次函数的解析式及二次函数图象的平移，解题的关键是正确地求得解析式． （1）设为顶点式，运用待定系数法求解即可； （2）抛物线开口向上，有最小值，在范围内，有最小值是，求出当时，，结合函数图象可得y的取值范围； （3）根据题意分两种情况：当抛物线与x轴只有一个公共点时，当与原点相交时，结合二次函数的性质及平移的性质求解验证即可． 【详解】（1）解：根据题意，设二次函数的表达式为， 将代入，得，， 解得，， ∴这个二次函数的表达式为． （2）∵二次函数的表达式为． ∴当时，， 当时， ∵抛物线的顶点坐标为 ∴y的最小值为， ∴当时，y的取值范围为； （3）解：当抛物线与x轴只有一个公共点时，向上平移4个单位长度得， ∴与x轴只有一个交点即， 当时，， ∴与y轴有一个交点即，符合题意； 当经过原点时，向上平移3个单位长度，得到函数解析式为：， 当时，， 解得：， 所得交点为，符合题意； ∴该抛物线向上平移3或4个单位后，所得抛物线与坐标轴只有两个公共点． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若抛物线过点，求该抛物线的解析式； (2)当时，y的最小值是，则当时，求y的最大值； (3)已知直线与抛物线存在两个交点，若两交点到x轴的距离相等，求a的值． 【答案】(1) (2)当时，y的最大值为17；当时，y的最大值为； (3) 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数与一次函数的交点问题，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出对称轴为直线；当时，则离对称轴越远，函数值越大，当时，函数有最小值，据此可求出a的值，进而得到抛物线解析式，再确定当时，函数有最大值，据此求解即可；时，则离对称轴越远，函数值越小，当时，函数有最小值，据此可求出a的值，进而得到抛物线解析式，再确定当时，函数有最大值，据此求解即可； （3）联立两函数解析式，求出两函数的两个交点的坐标，根据两个交点到x轴的距离相等建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，则离对称轴越远，函数值越大， ∵当时，y的最小值是， ∴当时，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴当时，当时，函数有最大值，最大值为； 当时，则离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，当时，函数有最小值，最小值为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， ∵对称轴为直线 ∴当时，当时，函数有最大值，最大值为； 综上所述，当时，y的最大值为17；当时，y的最大值为； （3）解：，解得或， ∴直线与抛物线的两个交点的坐标分别为， ∵两交点到x轴的距离相等， ∴， 解得（此时两个交点重合，不符合题意）或． 题型十二 根据交点确定不等式的解集 解｜题｜技｜巧 ☆利用函数图像与x轴的交点，结合开口方向，确定 或 的解集 ☆画出函数 的示意图，标出与x轴的交点 “大于0”即求图像在x轴**上方**部分对应的x范围 “小于0”即求图像在x轴**下方**部分对应的x范围 ☆若不等式含等号（≥或≤），则解集包含交点（端点） 【典例1】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 【典例2】（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为：或． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线的部分图象如图所示，顶点，与轴右侧交于点．当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先根据抛物线的顶点坐标，写出顶点式，再将代入求出，从而可得出抛物线的解析式，再求出抛物线与轴的另一个交点即可求解． 【详解】解：∵抛物线的部分图象如图所示，顶点， ∴抛物线的解析式为， ∵与轴右侧交于点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 取，则， 解得：，， ∴当时，的取值范围为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与轴的交点问题，根据交点确定不等式的解集等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·月考）已知抛物线（为常数）． (1)如果函数图像经过点，求函数解析式； (2)如果函数图像经过点，，求与的数量关系； (3)在（）的条件下，函数图像还经过点，且，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法即可求解； （）由图像经过，，则可得抛物线对称轴为直线，从而求出与的数量关系； （）把代入得，把，代入得，，从而可得，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：把代入得， 解得， ∴； （2）解：∵图像经过，， ∴抛物线对称轴为直线：， ∴； （3）解：把代入得， 把，代入得，， ∵， ∴， 解得． 题型十三 图象法确定一元二次方程的近似根 解｜题｜技｜巧 ☆方程 的根，即抛物线 与x轴交点的横坐标 ☆在同一坐标系中精确画出抛物线 ☆观察抛物线与x轴交点的横坐标值 ☆若交点横坐标不是整数，则根据网格估算其近似值（通常精确到0.1） 【典例1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 y 0.48 1.28 2.12 根据此表，可以判断方程的一个解x可能的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，弄清表格中的数据是解本题的关键．利用二次函数和一元二次方程的关系求解即可． 【详解】解：观察表格，可知：当时 ，，当时，， ∴方程的一个解x可能的取值范围是． 故选：B． 【典例2】（25-26九年级上·浙江金华·期中）下表是函数的部分自变量与对应的函数值： x y 根据此表，可以判断方程的一 个解x 可能的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查观察图表得知函数值情况，一元二次方程的根，二次函数与一元二次方程的关系．通过观察函数值的变化，当时，时，因此方程根在和之间． 【详解】解：由表可知，当时，；当时，， 由于二次函数图象是连续的，函数值由负变正，说明方程的一个解在和之间，即， 故答案为：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）已知函数，请按要求填空或解答问题： (1)函数图象的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____． (2)画出该二次函数的大致图象，并结合图象回答，当取何值时，函数值；    (3)利用第（2）小题得到的图象，直接写出方程的近似解（精确到0.1）． 【答案】(1)， (2)见解析；当时，函数值； (3) 【分析】根据二次函数的图象与性质，画二次函数图象，利用函数图象求函数值． （1）直接根据二次函数的性质求解即可； （2）用五点法画图，再根据图象作答即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴函数图象的对称轴是直线，顶点坐标是． 故答案为：，； （2）解： x 0 1 y 0 0 如图，    由图象可知，当时，函数值； （3）解：方程的近似解即为与的交点横坐标，由图象可知，． 【变式2】（25-26九年级上·浙江·课后作业）已知二次函数 (1)请你把已知的二次函数化成的形式： ，并在平面直角坐标系中画出它的图象； (2)如果、是（1）中图象上的两点，且，请直接写出的大小关系为 ； (3)利用（1）中的图象表示出方程的根m，n（，画在（1）的图象所在坐标系中即可，要求保留画图痕迹； (4)观察（1）中的图象知，当时，y的取值范围是 ． 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)图见解析 (4) 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、用图象法求一元二次方程的近似根等知识与方法，正确地画出函数的图象是解题的关键． （1）将配成顶点式得，求出抛物线的顶点坐标、对称轴及抛物线与坐标轴的交点，再画出函数的图象即可； （2）由（1）得抛物线的对称轴为直线，由图象可知，当时，y随x的增大而减小，所以当时，则； （3）当时，则，整理得，可知该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标，画出这两个交点即可； （4）由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点，所以． 【详解】（1）解：∵ ， ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； 当时，则， 解得， ∴该抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，； 当时，， ∴该抛物线与y轴的交点的坐标为， 故答案为：， 画出该函数的图象如图所示． （2）解：由（1）得，抛物线的对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． （3）解：当时，则， ∴， 该方程的两个根即为抛物线与直线的交点的横坐标， 如图，点M、N的横坐标即为m、n的值． （4）解：由函数图象可知，当时，函数图象的最低点为抛物线的顶点， ∴y的取值范围是， 故答案为：． 题型十四 二次函数的应用 解｜题｜技｜巧 ☆将利润最大、面积最大、抛物线形拱桥等实际问题转化为二次函数模型，利用性质求最值或特定值 ◎建模：设出自变量和因变量，根据题意列出二次函数关系式 ◎求最值：通常求顶点坐标（特别是纵坐标 ）。若自变量有实际范围，需比较顶点值与区间端点值 ◎求解：将问题中的条件代入函数式，解方程或不等式 ◎检验：答案必须符合实际意义（如边长大于0，人数为整数等） 【典例1】（25-26九年级上·浙江舟山·期中）如图，已知线段和线段，．点先沿着线段从点匀速运动到点，再沿着射线方向以同样的速度运动；点出发的同时点从点出发，以相同的速度沿着射线的方向运动；当时，对于，两点间的距离的变化情况，下列说法正确的是（    ） A．先变大，最后不变 B．先变小，最后不变 C．先变小后变大，最后不变 D．先变大后变小，最后不变 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用、勾股定理，利用二次函数的性质求解是解答的关键． 设，，运动时间为t，速度为1，分点D在线段上和点D在射线上两种情况，结合勾股定理和二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设，，运动时间为t，速度为1， ①当点D在线段上时，， 此时， 则， ∵，对称轴， ∴当时，随t增大而增大， 即当时，随t的增大而增大； ②当点D在射线上时，， 此时， ∴， 即的值不变， 综上，选项A说法正确，符合题意， 故选：A． 【典例2】（24-25九年级上·浙江温州·月考）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为 （直观关系式无需化简） 【答案】 【分析】此题考查了由实际问题抽象出二次函数关系式，掌握平均增长率是解决问题的关键；注意本题的等量关系为3个月的营业额之和． 可先表示出二月份、三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相应数值代入即可求解． 【详解】解：二月份的营业额为，三月份的营业额为， 则营业额与月平均增长率之间的函数关系式为：． 故答案为：． 【典例3】（25-26九年级上·浙江金华·月考）不论为何值，抛物线均经过定点，抛物线与轴交于两个不同的点和点，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是抛物线的定点问题、韦达定理的应用以及角度的几何意义；解题的关键是先求出抛物线的定点，再利用的几何特征确定交点的坐标，最后代入抛物线方程求解并验证判别式． 【详解】解：原抛物线整理为： ， 不论为何值，抛物线均过定点， 令 解得： 定点 如下图，过作轴， 则，， ，， 为等腰直角三角形， 点坐标为或 将代入抛物线方程得： 解得； 将代入抛物线方程得： 解得； 抛物线与轴交于两个不同的点， ，且， 解得：且， 当或时，均满足该条件， 故答案为：或． 【典例4】（25-26九年级上·浙江衢州·月考）如图，抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，点在抛物线上，则 ，点在直线上，若，则点的坐标是 ． 【答案】 或 【分析】先根据题意画出图形，先求出点坐标，当点在线段上时：是△DCE的外角，，而，所以此时，有，可求出所在直线的解析式，设点坐标，再根据两点距离公式，，得到关于的方程，求解的值，即可求出点坐标；当点在线段的延长线上时，根据题中条件，可以证明，得到为直角三角形，延长至，取，此时，，从而证明是要找的点，应为，为等腰直角三角形， 点和关于点对称，可以根据点坐标求出点坐标． 【详解】解：在中，当时，，则有， 令，则有， 解得：，， ∴，， 根据点坐标，有， 所以点坐标，    设所在直线解析式为，其过点、， 得， 解得， ∴所在直线的解析式为， 当点在线段上时，设， ， 而， ∴， ∴， 因为：，，， 有， 解得：，， 所以点的坐标为：， 当在的延长线上时， 在中，，，， ∴， ∴， 如图延长至，取，    则有为等腰三角形，， ∴， 又∵， ∴， 则为符合题意的点， ∵， ∴， 的横坐标：，纵坐标为； 综上点的坐标为：或， 故答案为：；或． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合应用，待定系数法求解析式，勾股定理，轴对称性质，等腰三角形的性质，两点间的距离等知识，熟练掌握一次函数与二次函数的图象和性质，分情况找到点的位置是解题的关键． 【典例5】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图1所示风筝的筝面可以抽象成图2的筝形，，风筝的骨架由3条竹棒组成，其中E，F分别是和的中点．现有一根总长为的竹棒可截成三段做风筝的骨架．为合理利用筝面的材料，作了如下探究： (1)设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（），求s关于x的函数关系式； (2)在图3中画出（1）中s关于x的函数图象； (3)利用图象分析，当骨架长度大于长度且筝面的面积超过时，骨架的长度范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意可知是的垂直平分线，根据面积公式列函数解析式； （2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可； （3）根据筝面的面积为，即，求出x的值，结合骨架长度必须大于长度且筝面的面积超过确定x的值可得． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴是的垂直平分线， ∵E，F分别是和的中点， ∴， 设筝面的面积为s（），骨架的长度为x（）， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）（）， ∴当时，s取最大值675； 当时，得：， 解得：， ∴函数的图象，如图即为所求； （3）当时，， 解得或48， 由得，， 解得， ∴当时，筝面的面积超过． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的几何应用，垂直平分线的性质，画二次函数图象，求二次函数的值，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是解答本题的关键． 【典例6】（25-26九年级上·浙江温州·月考）综合与实践：设计隧道的限高方案． 素材1：如图是一个横断面近似抛物线形状的公路隧道示意图，经测量，其高度为8米，宽度为16米． 素材2：车辆在此隧道可以双向通行，但规定车辆必须在隧道行驶方向的中心线右侧、距离路边缘2米这一范围内行驶，并保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于0.5米． 解决问题： (1)确定隧道形状：以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式． (2)探究隧道限高方案：为使车辆按要求安全通过，求该隧道限高多少米？ 【答案】(1) (2)该隧道限高米 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求二次函数解析式，求函数值，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据题意，然后设该二次函数的表达式为，然后利用待定系数法解题即可； （2）先求得点，然后代入，求得其函数值，即可求得答案． 【详解】（1）解：由题意可知，， 不妨设该二次函数的表达式为，代入点， 得 解得， ∴该二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴， ∴， 当时，， ∵保持车辆顶部与隧道顶部的最小空隙不少于米． ∴该隧道限高（米）． 答：该隧道限高米． 【典例7】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）新年临近，一款马年吉祥物玩具深受大家喜爱，玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元 (1)直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； (2)将玩具的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大？最大利润是多少元？ (3)该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】(1) (2) 将玩具的销售单价定为元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大，最大利润是元 (3) 捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是 【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及一元二次不等式： （1）根据已知条件写出关系式； （2）根据题意得到利润与销售单价之间的函数关系式，再求出最大利润； （3）根据题意列不等式，求解不等式，再结合的范围即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 规定销售单价不低于元，且不高于元， ， 即． （2）解：根据题意得， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为． 答：将玩具的销售单价定为元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大，最大利润是元． （3）解：根据题意可知剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， 即， 解得， ， ． 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 【典例8】（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，抛物线与x轴的交点为，，与y轴的交点为C，P是抛物线第一象限上一点，过点P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点E． (1)求抛物线的函数关系式． (2)当时，求点E的坐标， (3)连接，作点E关于的对称点E'，若E'落在y轴上，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识点是解题的关键． （1）把，代入求出的值即可确定函数解析式； （2）先求出直线的函数解析式，设，则，，进而得到、，再根据列方程求得，即可确定点E的坐标； （3）过E作，先根据轴对称的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质得到，设，则，，进而得到，，再根据列方程求得m，即可确定点E的坐标． 【详解】（1）解：把，代入 得：， 解得． 抛物线的函数关系式为． （2）解：设直线的解析式为， 把，代入 得∶， 解得：， 直线的解析式为， 设，则，， ∴，， ， ， 解得或（舍去）． ； （3）解：如图：过E作， ，关于PC对称， ∴，， ∵轴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 设，则，， ， ，， ，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ， ∵， ，解得：， ． 【变式1】（25-26九年级上·浙江·月考）为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【变式2】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与x轴交于点A，B（点B在A的右侧），与y轴交于点C，其中，点P在第一象限的抛物线上，若是以为底的等腰直角三角形，则m的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、全等三角形的性质与判定及等腰直角三角形的性质是解题的关键；过点P作轴于点E，由题意易得，然后可得，则有，进而代入二次函数解析式进行求解即可． 【详解】解：过点P作轴于点E，如图所示： 令，则有，解得：， 令时，则， ∴， ∴， ∵是以为底的等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点P在第一象限的抛物线上， ∴， ∴， 解得：（不符合题意，舍去）， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）定义：在平面直角坐标系中，直线称为抛物线的伴随直线，如直线为抛物线的伴随直线．若抛物线的伴随直线是，则 （用的代数式表示）；若该抛物线经过定点，且与轴交于点和点．当为直角三角形时，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数综合运用，新定义运算，熟练掌握新定义以及二次函数的性质是解题的关键． 根据定义可得抛物线解析式为，据此可得，根据抛物线解析式，可得定点，进而可证明为抛物线顶点，则，故为等腰直角三角形，由于点Q到的距离为3，则，可得交点坐标为或，据此利用待定系数法求解即可； 【详解】解：∵抛物线的伴随直线是， ∴原抛物线解析式为， ∴，． ∵抛物线解析式为， ∴时的函数值与a值无关，此时， ∴即抛物线过定点，且点Q为抛物线顶点，对称轴为直线． ∵点A、B为抛物线与x轴的交点，Q为抛物线顶点， ∴， ∵点A、B与定点Q构成直角三角形， ∴，即为等腰直角三角形． ∵为抛物线顶点，对称轴为直线， ∴点Q到的距离为3， ∴， ∴点A、B到对称轴的距离为3， ∴抛物线与轴交点坐标为或， 选择代入，可得 解得． 故答案为：；． 【变式4】（25-26九年级上·浙江·月考）在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个． (1)如果每天的利润要达到1200元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元？ (2)若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)元 (2)售价定为元时，最大利润是元 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其蕴含的函数关系，并列出解析式，也要求熟练掌握二次函数的性质． （1）设每个毛绒玩具售价定为元，，先表示出上涨的价格，然后得出销售量与售价的关系式； （2）根据单价利润乘以销售量等于总利润列出关系式，再根据获利不得高于进价的得到自变量的取值范围，然后由二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每个毛绒玩具售价定为元，， 该毛绒玩具每天的销售量为， 根据题意得， 解得，， 尽可能让利于顾客， ，即每个毛绒玩具售价定为元； （2）设每天销售玩具所获利润为元， ， 获利不得高于进价的， ， 解得， ， 当时，随着的增大而增大， 当时，最大，此时， 若获利不得高于进价的，每个毛绒玩具售价定为元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是元． 【变式5】（25-26九年级上·浙江温州·期末）根据以下材料，探究完成问题： 小瑞去研学旅游时看到图1所示的是一种古代远程攻击武器——投石车．经了解：①它平地发射射程距离为200米，发射高度最高可达25米．发射出去的石块当作一个点看，其飞行路线可以近似看作抛物线的一部分．②攻城时将投石车置于处，以点为原点，水平方向为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系，处是一座城池的城墙，其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米． 问题解决： (1)在图2的平面直角坐标系中，求石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式； (2)若外墙到投石车的距离约为170米，攻城时用投石车将火球发射出去，问火球是否会落在城墙内，请说明理由． 【答案】(1) (2)火球不会落在城墙内 【分析】本题考查二次函数的应用，熟练根据已知条件列出二次函数表达式是解题的关键． （1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设出顶点式，将原点坐标代入表达式，求出的值，进而得出抛物线的函数表达式； （2）根据题意可得石块发射距离的范围为，分别求出当和时，对应的值，与进行比较，确定火球是否落在城墙内即可． 【详解】（1）解：根据题意可得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线方程为， 由于抛物线过原点， 则， 解得， 因此，石块飞行轨迹所在抛物线的函数表达式为； （2）解：火球不会落在城墙内，理由如下： 城墙其竖直截面为，与轴平行，墙宽米，垂直距离米， 则石块发射距离的范围为， 当时，， 当时，， 由于石块高度均高于城墙， 因此，火球不会落在城墙内． 【变式6】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）某广场设有观赏性音乐喷泉，喷头的高度在垂直地面的方向随音乐变化而上下移动，不同高度的喷头喷出的水呈抛物线型（或其中一部分），但形状相同，水柱离地面的最高高度也相同，水都落在喷水管的同侧．当喷头在地面上时，其抛物线水柱如图1，水落地点离喷水口的距离米，水柱最高点离地面3米；当喷头升高时，水柱形状如图2，为喷水管，B为落水点，记的长为喷泉跨度． (1)在图1中，以O为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出该抛物线的函数表达式； (2)若喷水管最高可升到米，求出喷泉跨度的最小值； (3)如图3，安全通道在线段上，无论喷头高度如何变化，水柱都不会进入上方的矩形区域，则称这个矩形区域为安全区域．若该安全区域的宽为米，为了保证安全，进入该通道的人最高身高为多少？（精确到米） 【答案】(1) (2)喷泉跨度的最小值为3 (3)能够进入该安全通道的人的最大身高为米 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据二次函数图象的不同特点设出相关函数解析式是解题的关键． （1）抛物线过原点，可设抛物线解析式为：，易得抛物线的顶点坐标为，抛物线经过（，把这两点代入可得抛物线的解析式； （2）两个抛物线的形状相同，则二次项的系数相同，抛物线的最高高度相同，那么两个抛物线顶点的纵坐标也相等，设抛物线解析式为顶点式，当喷水管最高时，的值最小，把代入抛物线解析式可得抛物线的解析式，进而求解； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，根据点在过点的抛物线上，点在过点的抛物线上，求得纵坐标相等时的值，代入过点的抛物线可得纵坐标的值，即为能够进入该安全通道的人的最大身高． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，如图， ∵抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵水柱最高点离地面， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为：； （2）解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，如图， ∵不同高度的喷头喷出来的水呈抛物线型或抛物线的一部分，形状相同，最高高度也相同， ∴图3中抛物线的顶点的坐标可设为：， ∴抛物线解析式为：， ∵喷水管最高时，的值最小， ∴抛物线经过点，即， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， 当时，， 解得：（负值舍去）， ∴； 答：喷泉跨度的最小值为3； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， 由题意可知：点在抛物线上，点在抛物线上， 则， ∴， ， ， ， 解得：， ∴ ． 答：能够进入该安全通道的人的最大身高为米． 【变式7】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图 1，已知抛物线，点 ，过点的直线交抛物线于两点，过点且与垂直的直线交抛物线于两点，其中在轴右侧， 分别为的中点． (1)证明： 直线过定点． (2)如图 2，设为直线与直线的交点，连结， ① 证明： ； ② 求面积的最小值． 【答案】(1)过点，证明见详解 (2)①见详解；②8 【分析】（1）设，，，，则，，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，则，设直线的解析式为，根据题意，得，整理，得，则，，故，可求直线解析式为，当，故直线过定点； （2）①取中点为，连接，记交于点，交于点，由，得，则，同理可得，，则，同理可得，， 即可证明；②由得，同理可得：，故，当且仅当或时，等号成立，面积的最小值为8． 【详解】（1）解：设，，，，且分别为的中点， 则，， ∵ 设直线的解析式为，根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 整理，得， ∴， ∴， ∴； 设直线的解析式为，根据题意，得， 解得， 故直线解析式为， 当， 故直线过定点． （2）①解：取中点为，连接，记交于点，交于点， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∵分别为的中点， ∴ ∴； ②∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∵， 即：，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当或时，等号成立， ∴面积的最小值为8． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，主要考查二次函数的图象与性质，待定系数法求一次函数解析式，根与系数的关系，三角形中位线定理，两点之间距离公式等，化简计算量较大，正确添加辅助线，细心化简是解题的关键． 【变式8】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点和点，与轴交于点． (1)求的面积； (2)当时，直接写出的取值范围； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)当时，的取值范围为：. 【分析】本题考查的是求解二次函数图象与坐标轴的交点坐标，二次函数的图象与性质. （1）先求解，，可得；点，即， 再进一步求解即可； （2）根据函数图象求解即可； （3）先求解函数最大值为：，再求解当时，，当时，，进一步可得答案. 【详解】（1）解：在二次函数中， 当时，， 即， 则， 解得或， ∴，， ∴； 在二次函数中， 当时，则， ∴点，即， ∴． （2）解：由图象可得：当时，的取值范围为：或. （3）解：∵抛物线的对称轴为直线：， ∴函数最大值为：， 当时，，当时，， 当时，的取值范围为：. 【变式9】（25-26九年级上·浙江湖州·月考）已知，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上一动点，过点P作轴于点D，交直线于点E．当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得是等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、、 、或 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴；；， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为或； 当时，，解得或， ∴点Q的坐标为或， 当时，，解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为、、 、或 ． 【变式10】（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，已知二次函数的图象经过三点，它的顶点为，且正比例函数的图象与二次函数的图象相交于两点． (1)求该二次函数的表达式和顶点的坐标； (2)若点的坐标是，且二次函数的值小于正比例函数的值时，试根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围； (3)试探究：点是轴上一动点，以为边作正方形，除点外还有一个顶点在抛物线上，求出满足条件的点的坐标． 【答案】(1)二次函数的解析式是，顶点M的坐标是 (2) (3)或或或； 【分析】本题主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理，解二元一次方程组，等腰三角形的性质等知识点，求一次函数、二次函数的解析式和交点坐标是解此题的关键，此题题型较好，综合性比较强．用的数学思想是分类讨论的思想． （1）设二次函数的解析式为，把代入即可求出，即得到二次函数的解析式，把它化成顶点式即可求出顶点坐标； （2）把代入即可求出正比例函数的解析式，解由二次函数的解析式和正比例函数的解析式组成的方程组即可求出交点D的坐标，根据图象即可求出答案； （3）设正方形边长为，则，，得到和都垂直轴， 或不可能在抛物线上，或，然后根据、的位置确定点坐标，代入解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过三点， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得 ∴二次函数的解析式为， ∴顶点M的坐标是， 答：该二次函数的解析式是，顶点M的坐标是． （2）解：把代入得：，解得， ∴正比例函数的解析式为， 联立，解得或 ∵ ∴抛物线与正比例函数的另一个交点坐标为， 由图可知：当时，二次函数的值小于正比例函数的值， 答：根据函数图象求出符合条件的自变量的取值范围是． （3）解：设正方形边长为， ∴，， ∵点是轴上一动点，， ∴和都垂直轴， ∴或不可能在抛物线上，或， 当在抛物线上时，则只能是点与重合，此时，或； 当在抛物线上时， 若在的左上方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的左下方时，，，， 把代入得， 解得（舍去）， 此时，； 若在的右上方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）； 若在的右下方时，，，， 把代入得，解得（都不符合题意，舍去）． 综上所述，或或或． 【变式11】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线上方抛物线上的一动点，过点作轴交于点，在轴上取一点，使得，求的最大值及此时点坐标； (3)将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，过点作直线垂直于交轴于点，交新抛物线于点，请直接写出点的横坐标． 【答案】(1)； (2)最大值为：，； (3)． 【分析】本题主要考查了待定系数法解二次函数和一次函数解析式、二次函数与一次函数综合应用、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是综合运用相关知识，并运用数形结合的思想分析问题． （）由待定系数法即可求解； （）由，得到，即可求解； （）由平移的性质得到新抛物线的表达式，由直线且过点，求出直线的表达式，进而求解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 设直线的表达式为， ∴，解得 ∴直线的表达式为， 设点，则， 则， ∵， ， ∴， ∵， ∴有最大值， 当时，的最大值为：，此时点； （3）解：如图， 由， 将原抛物线沿射线方向平移个单位长度相当于将抛物线向右平移个单位向下平移个单位， 则， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入得 ，解得：， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线，， ∴， 解得：， 即点的横坐标为． 【变式12】（25-26九年级上·浙江杭州·月考）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示） (1)直接写出经过、、三个点的二次函数表达式； (2)当函数值随的增大而增大时，求的取值范围； (3)当直线与函数的图象有2个交点时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，从图象中有效的获取信息是解题的关键． （1）求出函数与坐标轴的交点坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）直接观察图象，即可求解； （3）由图可知，当直线与函数在之间的图象相切时，恰好有三个交点，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时的值，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴当时，，当时，， 解得：，， ∴图象与坐标轴的交点为，，， 设经过、、三个点的二次函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴经过、、三个点的二次函数表达式为； （2）解：根据图象得：图象的对称轴为直线， 观察图象得：当或时，函数值随值的增大而增大； （3）解：如图，当直线过点时，直线与函数的图象恰好有三个交点， ， 解得：， 当直线过点时，直线与函数的图象恰好有一个交点， ， 解得：， 当时，， 当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， 解得，， 结合图象得，当直线与函数的图象有个交点时，的取值范围为或． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（25-26九年级上·浙江金华·月考）二次函数的顶点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 该二次函数已给出顶点式，直接读取顶点坐标即可． 【详解】当二次函数顶点式为时，顶点坐标为， 对于，有， 则顶点坐标为． 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江温州·月考）抛物线与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，令，即可求得该抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：在中，令，得， ∴该抛物线与y轴的交点坐标为． 故选：D． 3．（25-26九年级上·浙江金华·月考）在抛物线上有，和三点，则、和的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向和对称轴，则可得到离对称轴越远函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵，和是抛物线上的三点，且， ∴， 故选：A． 4．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）将二次函数的图象向下平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象平移，涉及知识点：二次函数图象的平移规律（“上加下减”，即图象上下平移时，直接在函数表达式的常数项上加减平移的单位）．解题方法是根据“向下平移减”的规律，在原函数表达式后减去平移的单位；解题关键是掌握“上加下减”的平移法则，易错点是混淆上下平移与左右平移的规律． 【详解】由“上加下减”原则，将二次函数的图象向下平移4个单位长度，所得抛物线的表达式为． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）若，两点在二次函数的图象上，则 （请填写，，中的一个） 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的性质，二次函数开口向上，对称轴为直线，比较点和点与对称轴的距离，距离越大函数值越大，进一步可求解． 【详解】解：二次函数（其中 ) 的图象开口向上，对称轴为直线， 点 和点 在图象上， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为， 抛物线开口向上，距离对称轴越远的点函数值越大， ， 故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）“科教兴国，强国有我”．某中学在科技实验活动中，设计制作了“水火箭”升空实验，已知“箭”的升空高度（m）与飞行时间（s）满足的关系为．当“水火箭”的升空高度为时，此时的飞行时间为 ． 【答案】 6s 【分析】本题考查了二次函数的应用，令升空高度，代入关系式得到关于t的一元二次方程，解方程求，即可求解． 【详解】解：由题意，令，得 ， 整理得， 解得． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知抛物线经过两点，，且其对称轴为直线．求此抛物线的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了用待定系数法求函数解析式．设抛物线为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：抛物线对称轴为， 设抛物线为， 又抛物线过，， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为：． 8．（25-26九年级上·浙江温州·月考）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校决定用篱笆围成一个一面靠墙（墙面足够长）的矩形花园，用一道篱笆把花园分成正方形和矩形（如图所示），已知篱笆总长80．设边为x，矩形的面积为y． (1)求y关于x的函数表达式． (2)能否围成一个面积为384的矩形花园，若能，请求出的长； 若不能，请说明理由． 【答案】(1)y关于x的函数表达式为 (2)能围成一个面积为384的矩形花园，的长为8或12 【分析】本题考查了图形问题(实际问题与二次函数)，与图形有关的问题(一元二次方程的应用)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先用x分别表示出、、、，再根据矩形面积公式求得函数表达式； （2）转化为二次方程求根，并注意验证解的合理性（边长必须为正）． 【详解】（1）解：设边为x，， ∵四边形是矩形，四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴矩形的面积为， ∴， ∴y关于x的函数表达式为； （2）能围成一个面积为384的矩形花园． 令，则， 即， ∴，， ∴的长为8或12． 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，某游乐园要建造一个直径为的圆形喷水池，计划在周边安装一圈喷水头，使喷出的水柱距池中心处达到最高，高度为，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系，若要在喷水池中心设计一个装饰物A，使各方向喷出的水柱在此汇合，则这个装饰物设计高度应为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 由待定系数法求出函数表达式，即可求解． 【详解】解：由题意得，抛物线顶点的坐标为：，点， 则抛物线的表达式为：， 将点C的坐标代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，， 故选：A． 2．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A．对称轴为直线 B．顶点为 C．最大值是 D．由抛物线向右平移2个单位长度可以得到 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；二次函数已给出顶点形式，可直接确定顶点、对称轴和最值；平移需考虑方向和距离，然后问题可求解． 【详解】解：由可知：顶点为，对称轴为直线， ∵， ∴函数有最大值，最大值为， 选项A、B均错误；选项D中，向右平移2个单位得，与给定函数不符； ∴只有C正确； 故选：C． 3．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．开口方向向下 B．当时，随的增大而增大 C．对称轴是直线 D．经过点 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的对称轴，顶点坐标，函数增减性，以及抛物线的开口方向的确定，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据二次函数的性质对各选项分析判断即可． 【详解】解：∵抛物线为， ∴，开口向下，故A正确，不符合题意； 对称轴为直线 ，故C正确，不符合题意； ∵开口向下，对称轴， ∴ 当 时，随的增大而增大，故B正确，不符合题意； 当时，， ∴不经过点，故D错误，符合题意； 故选：D． 4．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，过点作直线轴，将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变，得到新图象，若直线和新图象恰好有3个交点，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与坐标轴的交点问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 求出点，可得直线为，再求出抛物线的顶点坐标为，可得点关于直线的对称点为，再根据直线和新图象恰好有3个交点，可得直线过点，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴点， ∵直线轴， ∴直线为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵将直线l下方的抛物线沿直线l向上翻折，其余部分不变， ∴点关于直线的对称点为， ∵直线和新图象恰好有3个交点， ∴直线过点， ∴， ∴，符合题意． 故选：B． 5．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的顶点式应用，待定系数法求二次函数解析式，一元二次方程的求解，将实际问题转化为二次函数模型是解题关键． 先将已知点代入抛物线顶点式，求出系数的值，得到完整的函数表达式，再令，解关于的一元二次方程，取正根即为铅球掷出的水平距离． 【详解】解： ， 点坐标为， 将代入抛物线中， 可得，解得， 抛物线为， 令，则， 移项、化简：， 解得，（不符合题意，舍去）， 故． 故答案为：． 6．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）某商品的进价为每件20元，当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，如果调整价格，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件． (1)求每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)，x的取值范围为 (2)销售单价为35元时，最大利润为2250元 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得销售量为件，然后根据总利润=单个利润×销售量可进行求解； （2）根据（1）中函数关系式及二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ， ∵， ∴； （2）解：由（1）可知：， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为2250， ∴此时销售单价为（元）； 答：销售单价为35元时，有最大利润，最大利润为2250元． 8．（25-26九年级上·浙江·月考）已知二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1． (1)求的值； (2)设点在抛物线上，点在抛物线上． ①若，，求的值；②若，求的最小值． 【答案】(1)4 (2)①或；②2 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式，非负数的应用，解决本题的关键是熟练掌握二次函数的相关性质． （1）先将二次函数化为顶点式求解出顶点横坐标，再由顶点横坐标大1求解即可； （2）根据可求解点A的坐标，再由将点B坐标代入函数中即可求解m的值； ②将代入函数中可求解，再将点B坐标代入函数中即可求解m与n的关系，由此可求解最值． 【详解】（1）解：二次函数， ∴该函数的顶点横坐标为1， ∵二次函数（为常数）的顶点横坐标比二次函数的顶点横坐标大1， ∴二次函数（为常数）的顶点横坐标为2， 又二次函数， ∴，解得； （2）解：①∵，且点在抛物线上， ∴，即， ∵，且点在抛物线上， ∴， 整理可得， 解得或； ②∵，且点在抛物线上， ∴，即， ∴点，即点 ∵点在抛物线上， ∴， 即， ∵，则， ∴， ∴的最小值为2． 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26九年级上·浙江·月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球运动时间（单位：）之间的关系式为，这个函数图象如图所示．小球从第秒到第秒的运动路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的顶点坐标求解与路程的分段计算是解题关键． 先根据二次函数的顶点坐标确定小球到达最高点的时间，再分别计算“第2秒到最高点”的上升高度、“最高点到第4秒”的下落高度，两者相加即为运动路径之长． 【详解】解：已知小球的高度与小球运动时间之间的关系式为， 其顶点横坐标为小球到达最高点的时间， 二次函数顶点的横坐标为， 当时，对应的高度为， 当时，对应的高度为， 当时，对应的高度为， 可得： 小球从第秒到第秒上升的高度为：， 小球从第秒到第秒下降的高度为：， 总路径长：． 故选：． 2．（25-26九年级上·安徽合肥·期中）若，函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象，分为或两种情况得到反比例函数和二次函数图象的位置，逐项判断解答即可． 【详解】当时，反比例函数图象位于一、三象限，二次函数图象开口向下，与y轴交点位于x轴上方； 当时，反比例函数图象位于二、四象限，二次函数图象开口向上，与y轴交点位于x轴下方； 符合题意的图象为D选项， 故答案为：D． 3．（25-26九年级上·浙江温州·月考）如图，在平面直角坐标系中，线段的两个端点的坐标分别为，，某二次函数图象在平移过程中，顶点始终在线段上，与x轴交于C，D两点，若线段的最小值为2，则最大值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查二次函数的性质，最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． 根据题意得出顶点为B点时，线段的最小值，顶点为A点时，线段有最大值，当顶点为B点时，设函数解析式为： ，得出，由于开口大小不变，确定顶点为A点时，则 ，利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意，顶点为B点时，线段的最小值，顶点为A点时，线段有最大值， 当顶点为B点时，设函数解析式为： ， 令,则 ，即 ， 设点， 则此时 ， ∵线段的最小值为2， ， ， ， 解得， ， 顶点为A点时，则 ， 令，则 ，即 ， 则此时 ， ， ， （负值舍去）， ∴线段的最大值为 ， 故答案为： ． 4．（25-26九年级上·广西崇左·月考）若二次函数的图象如图所示，则方程的解是 ；不等式的解集是 ；不等式的解集是 ． 【答案】 ， 或 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，利用图象法解不等式，利用函数图象在平面直角坐标系中的位置即可求得自变量的取值范围．根据二次函数图象与x轴的交点和分别在轴上方和下方部分的的取值分别填空即可． 【详解】解：由图象可知： 方程的解是，； 不等式的解集是或； 不等式的解集是． 故答案为：，；或；． 5．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）点，，是抛物线（是常数，且）上的两个点．下列结论：①抛物线与轴的交点是；②抛物线的对称轴是直线；③当时，；④当时，；⑤当时，有最大值是1，其中正确结论的是 ． 【答案】①③⑤ 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据二次函数开口方向，与轴的交点，与轴的交点，对称轴，以及函数图像逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：抛物线是常数，且， 当时，， 抛物线与轴的交点是， 故结论①正确，此结论符合题意； 抛物线的对称轴为， 故结论②错误，此结论不符合题意； 当时，代入抛物线方程得 解得： 或 、两点坐标为和 故结论③正确，此结论符合题意； 抛物线是常数，且， 抛物线的开口向上， 在对称轴的右侧的函数图像，随的增大而增大， ， ，两点位于对称轴的右侧， ， 故结论④错误，此结论不符合题意； 当时，随的增大而减小， 当时，有最大值，最大值为1， 故结论⑤正确，此结论符合题意； 综上所述，正确的结论为①③⑤， 故答案为：①③⑤． 6．（25-26九年级上·浙江温州·自主招生）已知，，若有且只有一个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数交点问题，先计算时，不等式的解集，根据有且只有一个整数解，分两种情况分析，根据是的一个整数解，且为唯一解，进而讨论时，时，求得的值，即可求解． 【详解】解：∵，， 当时，， ∴当时，解得：，没有一个整数解， ∴， 当时，， ， ∴是的一个整数解，且为唯一解， 当时，， 当时， 解得：或（舍去） ∵有且只有一个整数解， ∴， 当时， 同理可得，是的唯一的一个整数解， 当时，， 当时，， 解得：（舍去）或（舍去）， 综上所述， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·浙江杭州·月考）数学课上，数学老师对二次函数对称性进行了深入的研究．已知二次函数与，，我们把具有这样特点的函数和称为互利函数． 【总结归纳】 (1)填空：的顶点坐标为______，的顶点坐标为______． 【知识应用】 (2)求的互利函数解析式； (3)已知二次函数经过它的互利函数的图象的顶点，设的顶点为．若，．求证：这两个函数的图象的交点为、． 【答案】(1)， (2) (3)见解析 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据顶点式直接写出顶点的坐标，即可求解； （2）根据定义，直接写出互利函数解析式，即可求解； （3）根据定义分别得出，，根据二次函数经过，得，联立两个函数解析式，求出交点坐标，即可求解． 【详解】（1）解：已知二次函数与，， ∴的顶点坐标为，的顶点坐标为． 故答案为：，． （2）， 互利函数解析式为． （3）证明：，， ， ∴它的互利函数为． 它的顶点坐标为． 经过点， ，解得． ，， ，． 联立，解得或， ∴这两个函数的图象的交点为，． ∴这两个函数的图象的交点为、． 8．（25-26九年级上·浙江金华·月考）如图①，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标． (1)求抛物线与直线的解析式． (2)已知，是抛物线上不同的两点，若，求的取值范围． (3)平移直线得到直线，与轴交于点．如图②，过，两点向下作矩形，使得 ，当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求一次函数与二次函数解析式，二次函数的性质，矩形的性质，一次函数的平移； （1）将点的坐标代入抛物线解析式中，求得，得出抛物线解析式，进而令，得出点的坐标，待定系数法求直线解析式即可求解； （2）分当在点的左侧时，当在点的右侧时，得出的范围，再根据点与对称轴的距离的远近列出不等式，即可求解； （3）根据一次函数的平移得出直线的解析式为，先求得点的坐标，再令，连接抛物线解析式得出抛物线与的交点的横坐标，代入直线，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线得， 解得： ∴抛物线解析式为 当时，，则， 设直线的解析式为，代入，得 解得； ∴直线的解析式为 （2）解：∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∵，是抛物线上不同的两点， ∴，即， 当在点的左侧时， 解得： ∵ ∴ 解得： ∴无解， ∴不存在这种情况； 当在点的右侧时，， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：，令， ∴ 解得： ∴ 依题意，直线的解析式为 当直线经过点时，将代入得 解得：； ∵四边形是矩形， 又∵，则 ∴当直线：经过点时，则， 解得： ∵在直线上， 将代入抛物线解析式，得 解得： ∴当直线过点时， 解得： 结合图象可知：当直线与矩形内含边界的抛物线有公共点时，的取值范围为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $