专题1.5 二次函数（章节复习）知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题-2025-2026学年浙教版数学九年级上册同步培优讲练

专题1.5 二次函数（章节复习） （知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数的概念 2 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 2 知识点梳理03：二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 3 知识点梳理04：二次函数的常见表达式 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：y=a(x-h)²的图象和性质 4 考点2：y=a(x-h)²+k的图象和性质 4 考点3：y=ax²+bx+c的图象与性质 4 考点4：一次函数、二次函数图象综合判断 5 考点5：反比例函数、二次函数图象综合判断 5 考点6：抛物线与x轴的交点问题 6 考点7：求x轴与抛物线的截线长 6 考点8：根据交点确定不等式的解 6 考点9：图形问题(实际问题与二次函数) 7 考点10：图形运动问题(实际问题与二次函数) 8 考点11：拱桥问题(实际问题与二次函数) 9 考点12：销售问题(实际问题与二次函数) 10 考点13：投球问题(实际问题与二次函数) 10 考点14：喷水问题(实际问题与二次函数 11 考点15：增长率问题(实际问题与二次函数) 13 考点16：线段周长问题(二次函数综台) 13 考点17：面积问题(二次函数综合) 14 考点18：角度问题(二次函数综合) 15 考点19：特殊三角形问题(二次函数综合) 16 考点20：特殊四边形(二次函数综台) 17 中考真题 实战演练 18 难度分层 拔尖冲刺 19 基础夯实 19 培优拔高 20 知识点梳理01：二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点梳理03：二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 知识点梳理04：二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 考点1：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【变式训练】（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 考点2：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）拋物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两位同学分别说出了二次函数的一个性质，甲说：“抛物线的对称轴是直线”；乙说：“抛物线经过点”．请写出一个符合条件的二次函数表达式为 ． 考点3：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）若点，在二次函数的图象上，则 （填，或）． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数，若当时，的取值范围是（为常数），则当时，的取值范围是 ． 考点4：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川广元·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 考点5：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025·浙江·模拟预测）平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．2个或3个 考点6：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知抛物线（是常数，）过点，且，该抛物线与直线（是常数，）相交于两点（点在点左侧）．下列说法：①；②；③点是点关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论是 （填序号） 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线与轴有两个交点A，B，且点A，B关于轴对称，则此抛物线的函数表达式为 ． 考点7：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）抛物线与轴两交点间的距离为 ． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 考点8：根据交点确定不等式的解 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，则下列说法错误的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时， C． D．方程 的两根为， 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（，为常数）的图像经过点，． (1)求二次函数的表达式，并写出该二次函数图像的顶点坐标； (2)求当时，的范围． 考点9：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． (1)苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）某校的围墙上端由相同的拱形栅栏组成．如下图，一段拱形栅栏为抛物线的一部分，该栅栏的立柱和横杆用相同的钢筋切割而成，横杆AB间用5根立柱加固，立柱的间距为，． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的表达式． (2)一根长为7m的钢筋能不能做成一段符合要求的栅栏？请说明理由． 考点10：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点11：拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，有一个横截面边缘为抛物线形的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度约为 （结果精确到）． 考点12：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建漳州·期中）中秋国庆长假，各地游客为2025海峡两岸中秋晚会“月是故乡明”而来，走进铜陵镇，某海鲜零售店销售海鲜制品伴手礼，其进价为每件40元，按每件60元出售，每周可售出100件，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每周的销售量可增加10件． (1)若该海鲜零售店销售这种海鲜制品伴手礼要想平均每周获利2160元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店每件海鲜制品伴手礼的售价为多少元？ (2)在降价情况下，该零售店销售这种海鲜制品伴手礼平均每周获利能达到2500元吗？请说明理由． 【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映，如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？ 考点13：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 考点14：喷水问题(实际问题与二次函数 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 【变式训练】（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 考点15：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为 ． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 考点16：线段周长问题(二次函数综台) 【典例精讲】（25-26九年级上·天津·期中）已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接BC．若在第四象限的抛物线上取一点M，过点M作轴于点D，交直线BC于点E．    (1)求抛物线的表达式． (2)抛物线上是否存在点M，使得ME有最大值？若存在，求出点M的坐标和ME的最大值；若不存在，请说明理由． 考点17：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知直线分别交轴，轴于，两点，抛物线两点，点是抛物线与轴的另一个交点（与点不重合），点是抛物线的顶点．请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出的面积． 【变式训练】（25-26九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点和点的坐标； (3)若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． (4)若点M在第一象限内的抛物线上，求的最大值，并求出面积最大时点M的坐标． 考点18：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【变式训练】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是 ． 考点19：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 考点20：特殊四边形(二次函数综台) 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 1．（2024·河南开封·中考真题）二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向左平移一个单位长度后得到抛物线解析式为，则的值为（    ） A．9 B．17 C．1 D． 3．（2024·云南红河·中考真题）如图，二次函数的图象经过，，三点． (1)观察图象，直接写出：当x满足 时，随x的增大而减小． (2)求抛物线的解析式； (3)观察图象，直接写出：当时，y的取值范围 ． 4．（2024·吉林·中考真题）二次函数与直线的图象交于点． (1)______． (2)求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 5．（2024·北京·中考真题）已知抛物线经过点，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 基础夯实 1．（25-26九年级上·北京·期中）由二次函数，可知（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 2．（25-26九年级上·全国·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 4．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）已知二次函数的图象经过原点，则 ． 5．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线经过点． (1)试判断点是否在此抛物线上． (2)设点，是此抛物线上的两点．若 ，试判断，的大小关系． 培优拔高 6．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级上·河北张家口·期中）二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下： 0 1 2 8 3 0 0 下列说法错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．图象开口向下 C．的解集为 D．当时， 8．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知点是二次函数图象上不同的两点，则与的大小关系是 ．（用“>”连接） 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为 ． 10．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 二次函数（章节复习） （知识梳理+20个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共55题） 知识梳理 技巧点拨 2 知识点梳理01：二次函数的概念 2 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 2 知识点梳理03：二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 3 知识点梳理04：二次函数的常见表达式 3 优选题型 考点讲练 4 考点1：y=a(x-h)²的图象和性质 4 考点2：y=a(x-h)²+k的图象和性质 5 考点3：y=ax²+bx+c的图象与性质 5 考点4：一次函数、二次函数图象综合判断 7 考点5：反比例函数、二次函数图象综合判断 8 考点6：抛物线与x轴的交点问题 10 考点7：求x轴与抛物线的截线长 12 考点8：根据交点确定不等式的解 13 考点9：图形问题(实际问题与二次函数) 14 考点10：图形运动问题(实际问题与二次函数) 17 考点11：拱桥问题(实际问题与二次函数) 19 考点12：销售问题(实际问题与二次函数) 21 考点13：投球问题(实际问题与二次函数) 23 考点14：喷水问题(实际问题与二次函数 25 考点15：增长率问题(实际问题与二次函数) 26 考点16：线段周长问题(二次函数综台) 27 考点17：面积问题(二次函数综合) 31 考点18：角度问题(二次函数综合) 34 考点19：特殊三角形问题(二次函数综合) 38 考点20：特殊四边形(二次函数综台) 43 中考真题 实战演练 47 难度分层 拔尖冲刺 50 基础夯实 50 培优拔高 52 知识点梳理01：二次函数的概念 一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 知识点梳理02：二次函数的图象与性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 知识点梳理03：二次函数y＝ax²＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 知识点梳理04：二次函数的常见表达式 名称 解析式 前提条件 一般式 y=ax²+bx+c (a≠0) 当已知抛物线上的无规律的三个点的坐标时,常用一般式求其表达式. 顶点式 y＝a(x–h)²＋k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k） 当已知抛物线的顶点坐标(或者是对称轴) 时，常用顶点式求其表达式. 交点式 y＝a（x–x1）（x–x2） (a≠0) 其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，若题目已知抛物线与x 轴两交点坐标时，常用交点式求其表达式. 相互联系 1）以上三种表达式是二次函数的常见表达式，它们之间可以互相转化. 2)一般式化为顶点式、交点式，主要运用配方法、因式分解等方法. 考点1：y=a(x-h)²的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·天津西青·阶段练习）抛物线的对称轴是（ ） A．y轴 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【思路点拨】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式的对称轴为，顶点坐标为是解题的关键． 直接根据顶点式的性质即可解答． 【规范解答】解：抛物线的对称轴是直线； 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·广东惠州·阶段练习）已知二次函数，请直接写出该二次函数图像对应的顶点坐标，对称轴以及最值． 顶点坐标：______，对称轴：______，当______时，y有最______值，最值为______． 【答案】，直线，，小，． 【思路点拨】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数(a，h，k为常数，)，当时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是，对称轴为直线． 根据二次函数的性质作答即可． 【规范解答】解：已知二次函数， 顶点坐标：，对称轴：直线，当 时，y有最小值，最值为． 故答案为：，直线，，小，． 考点2：y=a(x-h)²+k的图象和性质 【典例精讲】（25-26九年级上·湖北武汉·阶段练习）拋物线的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 由顶点式即可直接求出顶点坐标． 【规范解答】解：拋物线的顶点坐标为， 故选：C． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）两位同学分别说出了二次函数的一个性质，甲说：“抛物线的对称轴是直线”；乙说：“抛物线经过点”．请写出一个符合条件的二次函数表达式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【思路点拨】本题主要考查二次函数的图象和性质，抛物线的对称轴是直线，再结合抛物线经过点写出符合条件的二次函数表达式即可． 【规范解答】解：符合条件的二次函数表达式可以为（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 考点3：y=ax²+bx+c的图象与性质 【典例精讲】（25-26九年级上·北京·期中）若点，在二次函数的图象上，则 （填，或）． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键在于能够熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征．通过计算二次函数在给定点的函数值，比较纵坐标大小即可． 【规范解答】解：对于点， 将代入二次函数，得：， 对于点， 将代入二次函数，得： ， ． 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江嘉兴·期中）已知二次函数，若当时，的取值范围是（为常数），则当时，的取值范围是 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意，根据时，的取值范围为，且抛物线开口向下，则对称轴是直线，从而，故抛物线为，又当时，，可得，即求出二次函数为，又当，结合二次函数的性质即可得出答案，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【规范解答】解：由题意，时，的取值范围为，且抛物线开口向下， 对称轴是直线， ， 抛物线为， 又当时，， ， 二次函数为， 抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， ，， 又∵， 当时，取最大值为， 当时，取最小值为， 当时，， 故答案为：． 考点4：一次函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·四川绵阳·期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象的综合分析，解题的关键是熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质． 先根据题干可得抛物线开口向下，则；直线经过第一、二、三象限，则，再判断的图象即可． 【规范解答】解：由图可得图象开口向下，则；直线经过第一、二、三象限，则， ∴抛物线开口向下， ∵， ∴对称轴 ∴对称轴在y轴右侧， ∵， ∴抛物线与y轴的正半轴相交， 故选：D． 【变式训练】（25-26九年级上·四川广元·阶段练习）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过（   ） A．第二、三、四象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第一、二、三象限 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质、一次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线的顶点坐标为，结合图象得出，，最后由一次函数的性质即可得出答案． 【规范解答】解：∵， 抛物线的顶点坐标为， 由二次函数的图象可得：，， ，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 故选：B． 考点5：反比例函数、二次函数图象综合判断 【典例精讲】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【规范解答】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 【变式训练】（2025·浙江·模拟预测）平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图象交点个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．2个或3个 【答案】C 【思路点拨】本题考查反比例函数和二次函数的图象性质，联立方程并根据函数的图象来判断交点是解题的关键．联立两个函数得到方程，判断所得方程根的个数，从而确定两个函数图象的交点个数． 【规范解答】解：反比例函数与二次函数联立，即， 两边同时乘x，得， 化简得， 由题意知，，， ， ，即， 可以看成反比例函数与二次函数交点横坐标， 反比例函数与二次函数图象如图所示， 由图可知反比例函数与二次函数有3个交点， ∴方程有3个不同的实数根， 反比例函数与二次函数的图象交点个数为3个， 故选：C． 考点6：抛物线与x轴的交点问题 【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知抛物线（是常数，）过点，且，该抛物线与直线（是常数，）相交于两点（点在点左侧）．下列说法：①；②；③点是点关于直线的对称点，则；④当时，不等式的解集为．其中正确的结论是 （填序号） 【答案】①④ 【思路点拨】本题考查二次函数的性质及与一次函数的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，根据抛物线过点和，可设交点式，从而得到系数关系，再逐一分析各结论，①由和的符号判断；②代入表达式计算；③考虑点横坐标的两种情形，判断距离范围；④当时，推导不等式解集，即可得到答案． 【规范解答】解：∵抛物线过点和， ∴设， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴②错误， ∵对称轴，点是点关于的对称点， ∴点为抛物线与直线交点，方程的根为和， 当点横坐标时， ∴， ∵， ∴， 当点横坐标时， 则，其值不一定在3到4之间，结论③不一定成立，故错误； 当时，点横坐标为4， ∴，即， ∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 结论④正确， 故答案为：①④． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线与轴有两个交点A，B，且点A，B关于轴对称，则此抛物线的函数表达式为 ． 【答案】 【思路点拨】由于抛物线与轴的两个交点关于轴对称，可知抛物线的对称轴为轴，即．根据抛物线对称轴公式，令其等于，可得，代入的表达式解出，再根据判别式大于零确定的值，最后代入原方程得到函数表达式． 【规范解答】解：抛物线的一般式为， 其中，，． ∵点关于轴对称， ∴对称轴为轴， 即， 解得：或． ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴抛物线表达式为． 故答案为：． 考点7：求x轴与抛物线的截线长 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）抛物线与轴两交点间的距离为 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查抛物线与轴的交点，令，解一元二次方程求出交点坐标，利用两点之间距离公式求解即可得到答案，掌握一元二次方程的解法是解决问题的关键． 【规范解答】解：令，则， ， 解得或， 抛物线与轴的两交点坐标为和， 抛物线与轴的两交点间的距离是． 故答案为：3． 【变式训练】（24-25九年级上·全国·阶段练习）二次函数的图象与x轴交于A、B两点，则的长为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路点拨】本题考查了抛物线与坐标轴的交点，抛物线与一元二次方程，熟练掌握解方程是解题的关键．根据题意，得，解得，故，解答即可． 【规范解答】解：根据题意，得， 解得， 故， 故选：C． 考点8：根据交点确定不等式的解 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，抛物线与x轴交于，两点，则下列说法错误的是（    ） A．对称轴为直线 B．当时， C． D．方程 的两根为， 【答案】B 【思路点拨】本题考查了抛物线的性质，二次函数与x轴交点和一元二次方程根的关系，根据与x轴交点关于对称轴对称求出对称轴判断A，根据图像在x轴上方和下方即可判断B，将点代入解析式即可判断C，根据图像与x轴交点即可得到方程的解即可判断D； 【规范解答】解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴对称轴为x＝，故A选项正确，不符合题意， 根据图像得，时，，故B选项错误，符合题意， 当时，故C正确，不符合题意， 由图像可得方程两根为A、B横坐标，故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 【变式训练】（25-26九年级上·浙江宁波·期中）二次函数（，为常数）的图像经过点，． (1)求二次函数的表达式，并写出该二次函数图像的顶点坐标； (2)求当时，的范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【思路点拨】本题考查了求二次函数解析式，求顶点坐标，以及利用二次函数的性质解不等式． （1）将，代入求出解析式，化为顶点式求顶点坐标即可； （2）先求出与x轴的交点横坐标，然后结合二次函数的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵二次函数（，为常数）的图像经过点，， ∴， 解得：， ∴二次函数表达式为， ∴顶点坐标为； （2）解：当时，， 解得或， 当时，， ∵抛物线开口向上， ∴当时，x的取值范围为． 考点9：图形问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·北京延庆·期中）如图所示，有一直角梯形的苗圃，它的两邻边借用了成的墙角（墙足够长），另外两边由总长为的篱笆围成． (1)苗圃的面积y（单位：）是的长x（单位：m）的函数，求该函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)判断苗圃的面积能否达到，并说明理由． 【答案】(1) (2)苗圃的面积不能达到，理由见解析 【思路点拨】本题考查了二次函数的实际应用． （1）过点D作于E，求得，利用梯形的面积公式即可求解； （2）利用二次函数的性质求得当时，y的最大值是600，苗圃的面积不能达到． 【规范解答】（1）由题意，． 过点D作于E， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）判断：苗圃的面积不能达到． 理由如下： ． ∴当时，y的最大值是600． ∴苗圃的面积不能达到 ． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）某校的围墙上端由相同的拱形栅栏组成．如下图，一段拱形栅栏为抛物线的一部分，该栅栏的立柱和横杆用相同的钢筋切割而成，横杆AB间用5根立柱加固，立柱的间距为，． (1)建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的表达式． (2)一根长为7m的钢筋能不能做成一段符合要求的栅栏？请说明理由． 【答案】(1)见解析， (2)能，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用，解题关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系． （1）先建立平面直角坐标系，得到点坐标，再根据待定系数法，设，代入求解即可； （2）将与分别代入（1）中所求解析式，进而求出一段栅栏所需钢筋的总长度，与作比较即可判断． 【规范解答】（1）解：示例：如图，以为原点，水平方向为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． 立柱的间距为，， ． 设抛物线的表达式为， 则， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：能，理由如下： 由（1）可知，将与分别代入， 解得与， 一段栅栏所需钢筋的总长度为． ， 一根长为的钢筋能做成一段符合要求的栅栏． 考点10：图形运动问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建南平·阶段练习）在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【规范解答】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 【变式训练】（25-26九年级上·广东东莞·阶段练习）如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【思路点拨】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【规范解答】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 考点11：拱桥问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）如图1，某蔬菜大棚的一边靠墙，其截面图可看作抛物线的一部分（如图2），大棚跨径，顶端到墙体的距离为，顶端到的距离为，则大棚与墙的交点到原点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数的解析式是解题关键．设抛物线的解析式为，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出时，的值，由此即可得． 【规范解答】解：由题意可得顶点，， 设该抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， 该抛物线的解析式为， 令，则， 即， 故选：D． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，有一个横截面边缘为抛物线形的隧道入口，隧道入口处的底面宽度为，两侧距底面处各有一盏灯，两灯间的水平距离为，则这个隧道入口的最大高度约为 （结果精确到）． 【答案】 【思路点拨】此题考查了二次函数在实际生活中的应用，解此题的关键是理解题意，求得相应的函数解析式，注意待定系数法的应用． 建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，，，，又由抛物线的顶点在轴上，即可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法即可求得此二次函数的解析式，继而求得这个隧道入口的最大高度． 【规范解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系．由题意可知，，，． 设抛物线的表达式为． 把，代入，得  解得 该抛物线的表达式为，则， 这个隧道入口的最大高度约为． 故答案为：． 考点12：销售问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·福建漳州·期中）中秋国庆长假，各地游客为2025海峡两岸中秋晚会“月是故乡明”而来，走进铜陵镇，某海鲜零售店销售海鲜制品伴手礼，其进价为每件40元，按每件60元出售，每周可售出100件，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每周的销售量可增加10件． (1)若该海鲜零售店销售这种海鲜制品伴手礼要想平均每周获利2160元，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店每件海鲜制品伴手礼的售价为多少元？ (2)在降价情况下，该零售店销售这种海鲜制品伴手礼平均每周获利能达到2500元吗？请说明理由． 【答案】(1)该店每件海鲜制品伴手礼的售价为52元 (2)该零售店销售这种海鲜制品伴手礼平均每周获利不能达到2500元 【思路点拨】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程． （1）设每件海鲜制品伴手礼应降价元，利用“销售量每件利润”元列出方程求解即可； （2）设每件海鲜制品伴手礼应降价元，列方程整理后为，代入根的判别式得，方程无实数根，故不能达到要求； 【规范解答】（1）解：设每件海鲜制品伴手礼应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 由在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场， 该店每件海鲜制品伴手礼的售价为（元）， 答：该店每件海鲜制品伴手礼的售价为元； （2）解：不能达到，理由如下： 设海鲜制品伴手礼应降价元， 则， 整理得：， 则， ∴方程无实数根， ∴该零售店销售这种海鲜制品伴手礼平均每周获利不能达到元． 【变式训练】（25-26九年级上·内蒙古赤峰·期中）某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件，市场调查反映，如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？ 【答案】每件定价为元时利润最大 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，设每件涨价元，每星期售出商品的利润为元，根据题意列出函数关系式，根据二次函数的性质求得最值，即可求解． 【规范解答】解：设每件涨价元，每星期售出商品的利润为元． 由题意得， ， 当时，有最大值， ， 答：每件定价为元时利润最大． 考点13：投球问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·全国·期中）如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可． 【规范解答】解：令，则， 解得：（舍去），， 则该运动员这次抛出的水平距离为． 故选：B． 【变式训练】（2025九年级下·全国·专题练习）小明在小区内看到一个小朋友在玩跳跳球，他对此展开了研究．如下图，已知抛球点A距地面，跳跳球落在距离点远的地面上（点B处），运动轨迹为抛物线的一部分，记为图象，其最高点与抛球点的水平距离为．以点O为坐标原点建立平面直角坐标系． (1)求图象所在抛物线的解析式； (2)小球落地后立即弹起，弹起后的运动轨迹为图象（图象所在抛物线的形状相同，且图象的最高点低于图象的最高点），跳跳球恰好落到距离点远的一个矩形石凳上（），石凳高度为，宽度为． ①当跳跳球恰好落到点E处时，求图象所在抛物线的解析式； ②如果图象所在抛物线的对称轴为直线，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)①② 【思路点拨】（1）把函数解析式配成顶点式即可求解； （2）①设解析式为，将代入解方程，即可得；②分别考虑点落到、处时，抛物线对应的，即可判断出取值范围． 【规范解答】（1）解：由题可设图象所在抛物线的解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． （2）解：①， ∴点E的坐标为． 当图象所在抛物线经过点E时，设其解析式为． 将分别代入， 得 解得 故图象所在抛物线的解析式为． ②当图象所在抛物线经过点E时，． ， ∴点F的坐标为． 当图象所在抛物线经过点F时，设其解析式为． 将分别代入，得 解得 图象的最高点低于图象的最高点， ， 综上所述，m的取值范围为． 考点14：喷水问题(实际问题与二次函数 【典例精讲】（2025九年级下·全国·专题练习）某公园有一个直径为16m的圆形喷水池，喷出的水柱呈抛物线形，且各方向喷出的水柱恰好落在水池内．如图，过喷水管口所在铅垂线每一个截面均可得到两条关于对称的抛物线，以喷水池中心为原点，喷水管口所在铅垂线为纵轴，建立平面直角坐标系．    (1)若喷出的水柱在距水池中心3m处达到最高，且高度为5m，求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式； (2)王师傅在喷水池内维修设备时，喷水管意外喷水：为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心多少米以内？ 【答案】(1) (2)为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【思路点拨】（1）根据顶点坐标可设二次函数的顶点式，代入点，求出值即可； （2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出当时的值，由此即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． 将代入，得，解得， 水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式为． （2）解：当时，有， 解得， 为了不被淋湿，身高1.8m的王师傅站立时必须在水池中心7m以内． 【变式训练】（2025·陕西·模拟预测）某公园要修建一个喷泉景观，喷射水柱呈抛物线型，如图所示，线段表示水平地面，以为坐标原点，以所在直线为轴，以过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系．已知：为安装的m高的花形柱子，并在柱子顶端处安置喷头向外喷水．为使水流形状较为美观，设计成水流在距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． (1)求满足设计要求的抛物线的函数表达式； (2)若李师傅计划在线段上的点处竖立一座雕像，雕像高米，若想雕像不碰到水柱，请求出线段的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，根据题意求得函数解析式是解题的关键． （1）设抛物线的函数表达式为，将代入，即可求解． （2）求出时的横坐标，根据图像即可得出结论． 【规范解答】（1）解：∵距的水平距离为1m时达到最大高度，此时离地面m． ∴抛物线的顶点， 可设抛物线的解析式为， 把代入，得， 抛物线的解析式为． （2）解：，令，代入抛物线的解析式， 得，， 线段的取值范围为． 考点15：增长率问题(实际问题与二次函数) 【典例精讲】（25-26九年级上·安徽·阶段练习）为解决药价虚高给老百姓带来的求医难的问题，国家决定对某药品分两次降价．若设平均每次降价的百分率为x，该药品的原价是元，降价后的价格是y元，则y与x的函数关系式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查列函数关系式，掌握相关知识是解决问题的关键．该药品的原价是元，第一次降价后是元，第二次降价后是元，据此解答即可． 【规范解答】解：根据题意， 故答案为：． 【变式训练】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段练习）某工厂一种产品今年的产量是件，如果每年的产量比上一年增加相同的百分率，那么第三年的产量（件）关于的函数关系式为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查了利用二次函数解决增长率问题． 增长率问题公式：，按公式列出函数关系式即可． 【规范解答】解：初始量为2000，增长了两次，所以可列出函数关系式， 故选：C． 考点16：线段周长问题(二次函数综台) 【典例精讲】（25-26九年级上·天津·期中）已知，抛物线经过点和，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)是直线上方抛物线上的一个动点（不与点B，C重合，过点作直线轴于点，交直线BC于点．当时，求点的坐标； (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为； (2)当时，求点的坐标； (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【思路点拨】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设点，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，得到点，点，利用，列式计算即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【规范解答】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图，设点， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， 设直线的解析式为， 将代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵轴于点，交直线BC于点， ∴点，点， ∵，即， ∴， 整理得， 解得或， 当时，， 当时，，（舍去） ∴当时，求点的坐标； （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【变式训练】（2025九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，连接BC．若在第四象限的抛物线上取一点M，过点M作轴于点D，交直线BC于点E．    (1)求抛物线的表达式． (2)抛物线上是否存在点M，使得ME有最大值？若存在，求出点M的坐标和ME的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点M的坐标为，最大值为3 【思路点拨】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出直线的表达式为，则设点，则点，得到，即可求解． 【规范解答】（1）解：抛物线与x轴交于点，， 设抛物线的表达式为． 由题意，得．将点C的坐标代入表达式，得， 解得， 抛物线的表达式为． （2）解：存在． 设直线的表达式为． 将点的坐标代入上式，得，解得， 直线的表达式为． 设点，则点， 则． ， 有最大值． 由题意可知，， 当时，ME有最大值，最大值为3， 此时点的坐标为． 考点17：面积问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·期中）如图，已知直线分别交轴，轴于，两点，抛物线两点，点是抛物线与轴的另一个交点（与点不重合），点是抛物线的顶点．请解答下列问题： (1)求抛物线的解析式； (2)直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)． 【思路点拨】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式求法、二次函数的图象与性质以及三角形面积的计算，熟练掌握函数图象上点的坐标特征和面积割补法是解题的关键． （1）先求出直线与轴、轴的交点、的坐标，再将其代入抛物线解析式，通过解方程组求出抛物线的系数，从而得到解析式． （2）先求出抛物线与轴的另一个交点的坐标和顶点的坐标，然后通过割补法（如利用梯形、三角形面积公式）计算出的面积． 【规范解答】（1）解：对于直线，当时，， 解得， ∴． 当时，， ∴． 将、代入抛物线得 ， 将代入，得， 解得． ∴抛物线的解析式为； （2）解：对于抛物线，令，则， 解得，， ∴． 又， ∴顶点． 过作轴于， ． 【变式训练】（25-26九年级上·河南三门峡·阶段练习）如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点．    (1)求此抛物线的解析式； (2)直接写出点和点的坐标； (3)若点在第一象限内的抛物线上，且，求点坐标． (4)若点M在第一象限内的抛物线上，求的最大值，并求出面积最大时点M的坐标． 【答案】(1)； (2)，； (3)； (4)的最大值为，此时． 【思路点拨】此题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求函数解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用． （1）用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数解析式求图象与交点坐标，顶点坐标即可， （3）设点坐标，然后根据数量关系列一元二次方程，求解即可． （4）求得直线的解析式为，设，则，根据列出关于的二次函数，利用二次函数的性质，求解即可． 【规范解答】（1）解：由点和点得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）得：， 当时，， ∴点， 由， ∴顶点； （3）解：设， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去），， ∴点． （4）解：过点作轴的平行线，交于点，如图， ∵，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，． 考点18：角度问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）如图，二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴交于点，连接． (1)求此二次函数的解析式； (2)若点在二次函数图象上，且满足，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路点拨】本题主要考查了二次函数与几何综合，求二次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式为，则可求直线与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P，根据抛物线的对称性得出A、C关于直线对称，则，即，同理可求出直线解析式为，联立方程组，即可求出点P的坐标；作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于，则，，即同理可求点的坐标，即可求解． 【规范解答】（1）解：把和代入， 得， 解得， ∴； （2）解：当，则， 解得，， ∴， ∵， ∴对称轴为直线 设直线解析式为， 则， ∴， ∴， 当时， ∴与直线相交于，设为点D，连接并延长交抛物线于P， ∵A、C关于直线对称， ∴，即， 同理可求出直线解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴， 作点D关于x轴的对称轴点E，连接并延长交抛物线于， 则，，即 同理可求直线解析式为，， 综上，当时，点P的坐标为或 【变式训练】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，已知抛物线的图象与轴交于点和点，与轴交于点．点是抛物线上的一动点，且满足，则点横坐标是 ． 【答案】或 【思路点拨】本题考查的是求解二次函数的解析式，二次函数与角度问题. 连接，取，连接交抛物线于，证明，，可得，即，求解直线为，再进一步解答即可；如图，关于直线对称的，证明，可得，同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为，再进一步求解即可. 【规范解答】解：令，则， 令，则， 解得或， ∴，，， 如图，连接，取，连接交抛物线于， ∵，，， ∴，，而， ∴，， ∴， ∴，即， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， 联立得， 解得：（舍去）或； 关于直线对称的， ∴，，， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为：，记直线与抛物线的交点为， ∴， 联立得， 解得：（舍去）或；， 综上：点横坐标是或. 故答案为：或. 考点19：特殊三角形问题(二次函数综合) 【典例精讲】（25-26九年级上·天津蓟州·阶段练习）已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式及顶点坐标； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】(1)， (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【思路点拨】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【规范解答】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【变式训练】（25-26九年级上·甘肃定西·期中）已知二次函数的图象与轴交于两点（A在左侧），与轴交于点C． (1)求A、B、C的坐标； (2)设抛物线的顶点为，求四边形的面积； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使为等腰三角形，若存在，写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)9 (3)存在，点P的坐标为，，， 【思路点拨】本题考查二次函数与坐标轴的交点、顶点坐标、四边形面积以及等腰三角形的存在性问题等知识点． （1）分别令和，即可求解抛物线与坐标轴的交点； （2）先求出故顶点，过点作轴于点，再由即可求解； （3）先求出，然后分三种情况求解即可． 【规范解答】（1）解：令，则， 解得或， ∴抛物线与轴交于点，； 当， ∴抛物线与轴交于点； （2）解：， 故顶点， 过点作轴于点， ∵， ∴； （3）解：存在， ∵，， ∴， ①时，而， ∴或； ②时， 由等腰三角形的性质可得点关于轴对称， ∴； ③时，设， 解得， ∴， 综上：存在，点P的坐标为，，，． 考点20：特殊四边形(二次函数综台) 【典例精讲】（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连接，，当的面积最大时，求点的坐标及的最大值； (3)在（2）的条件下，为轴上一点，在平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)最大值为； (3)存在，的坐标为或或或 【思路点拨】本题考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）将、，代入即可求解析式； （2）如图，连接，，，设，而，，则，，，再利用割补法建立面积函数关系式，利用二次函数的性质可得答案； （3）根据题意，以，，，为顶点的四边形为菱形，可分四种情况进行讨论求解． 【规范解答】（1）解：∵抛物线过、，． ，解得：， ∴抛物线为：； （2）如图，连接，，， 设，而，， ∴，，， ∴ ，其中， 当时，取得最大值， 此时P的纵坐标为：， ∴， 所以当时，取得最大值． （3）存在，由（2）知，又， ， 在轴上，以，，，为顶点的四边形为菱形， ①如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ②如图，以为边构成菱形， ，，且， ,即； ③如图，当，且互相平分时， 此时关于轴对称，； ④如图，当，且互相平分时，， 设相交于，过作交于， 易得， ，即， 解得， ； 综上，存在，的坐标为或或或． 【变式训练】（25-26九年级上·福建龙岩·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上，过点作轴的垂线，交抛物线于另一点，点，在线段上，分别过点，作轴的垂线，交抛物线于，两点． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)当四边形为正方形时，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【思路点拨】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解是解决本题的关键． （1）将点代入抛物线中求出解析式为； （2）设，进而求得E点坐标为，代入中即可求解． 【规范解答】（1）将点代入抛物线中，得 解得， ∴抛物线解析式为； （2）设、分别与轴交于点M和点N， 当四边形为正方形时，设，则，， ∴E点坐标为，代入抛物线中， 得到：， 解得，（负值舍去）， ∴． 1．（2024·河南开封·中考真题）二次函数的图象如图，则一次函数的图象一定不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键．根据二次函数图象开口方向可以判断出的符号，由对称轴的位置判断b的符号，再由一次函数的性质解答． 【规范解答】解：由图象可知，函数图形开口向下， ∴ ∴一次函数中随的增大而减小， ∵抛物线的对称轴直线在y轴右侧， ∴， ∴， ∴一次函数交于轴的正半轴， ∴一次函数经过第一、二、四象限，不经过第三象限． 故选：C． 2．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线向左平移一个单位长度后得到抛物线解析式为，则的值为（    ） A．9 B．17 C．1 D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数图象的平移，平移规律“上加下减，左加右减”．根据平移方式和平移后的解析式即可解答．抛物线向左平移一个单位，解析式中的被替换为，通过比较系数求出、、的值，再计算． 【规范解答】解：将抛物线向左平移一个单位后，解析式为， 展开得， 又平移后解析式为， ，，， ，， ， 故选：C． 3．（2024·云南红河·中考真题）如图，二次函数的图象经过，，三点． (1)观察图象，直接写出：当x满足 时，随x的增大而减小． (2)求抛物线的解析式； (3)观察图象，直接写出：当时，y的取值范围 ． 【答案】(1) (2) (3) 【思路点拨】本题考查二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键： （1）直接观察图象即可得出结果； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）图象法求出的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知，抛物线的对称轴为直线， 当时，随x的增大而减小； 故答案为：； （2）设抛物线的解析式为， 把，，代入，得 ，解得， ∴； （3）∵， ∴当时，； 由图象可知：当时，． 4．（2024·吉林·中考真题）二次函数与直线的图象交于点． (1)______． (2)求该二次函数的解析式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】(1)1 (2)，顶点坐标为，对称轴为y轴 【思路点拨】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据直线的图象过点可求得的值； （2）根据二次函数的图象过点，可求得的值，即可得到二次函数的解析式，再根据二次函数的图象和性质即可求得答案． 【规范解答】（1）解：直线的图象过点，可得． 故答案为：1； （2）解：由（1）可知，点P的坐标为． ∵点P在二次函数的图象上， ， ∴该二次函数的解析式； ∴顶点坐标为，对称轴为y轴． 5．（2024·北京·中考真题）已知抛物线经过点，那么该抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了求抛物线的对称轴．抛物线的对称轴为，再根据已知条件，将代入抛物线解析式，即可，据此求解即可． 【规范解答】解：将代入抛物线解析式可得， ， 移项整理得， 该抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 基础夯实 1．（25-26九年级上·北京·期中）由二次函数，可知（    ） A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的解析式，分别判断其开口方向、对称轴、最值和增减性即可得． 【规范解答】解：在二次函数中，， ∴这个二次函数图象的开口向上，选项A错误； 对称轴为直线，选项B错误； ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，选项D错误； ∴当时，取得最小值，最小值为1，选项C正确； 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·期中）若抛物线的顶点在第二象限，则常数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】本题考查二次函数顶点坐标的求解及象限内点的坐标特征，正确求出顶点坐标是解题关键． 先求出抛物线的顶点坐标，再根据第二象限内点的横坐标小于0、纵坐标大于0的特征列不等式组求解． 【规范解答】解：∵ 抛物线解析式为 ， ∴ 顶点横坐标， 代入得顶点纵坐标， ∴ 顶点坐标为 ． ∵ 顶点在第二象限， ∴ 且 ， 解得：． 故选：C． 3．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段练习）将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为 ． 【答案】 【思路点拨】本题二次函数图象的平移变换；根据“左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【规范解答】解：先向右平移1个单位长度将替换为， 再向下平移3个单位长度在原解析式后面减3， ∴平移后解析式为， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）已知二次函数的图象经过原点，则 ． 【答案】3 【思路点拨】本题考查二次函数的图像与性质，掌握知识点是解题的关键．由二次函数图象经过原点，将原点坐标代入解析式求解． 【规范解答】解：将点代入函数解析式中，得 ， 即， 解得． 故答案为：3． 5．（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线经过点． (1)试判断点是否在此抛物线上． (2)设点，是此抛物线上的两点．若 ，试判断，的大小关系． 【答案】(1)点不在此抛物线上，理由见解析 (2)，理由见解析 【思路点拨】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入，求得解析式后，将代入后可判断； （2）由条件可知、两点都在对称轴左侧，利用二次函数的单调性质可比较大小． 【规范解答】（1）解：将代入，得， 这个函数的表达式为． 当时，， 点不在此抛物线上． （2）解：当时，函数值随的增大而增大， 又∵， ． 培优拔高 6．（25-26九年级上·湖北荆州·期中）二次函数的图像如图所示，那么一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】本题主要考查了二次函数图像与性质、一次函数的图像与性质，结合二次函数图像确定的取值范围，然后结合一次函数的图像与性质，即可获得答案． 【规范解答】解：对于二次函数，由题意可知， 其图像开口向下，则， ∴， 该二次函数图像的对称轴在轴左侧， 则， 结合可得， ∴， ∴对于一次函数，可知随的增大而减小， 当时，则，即该一次函数的图像与轴交于正半轴， ∴选项A、C、D不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 7．（25-26九年级上·河北张家口·期中）二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下： 0 1 2 8 3 0 0 下列说法错误的是（   ） A．对称轴为直线 B．图象开口向下 C．的解集为 D．当时， 【答案】B 【思路点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与不等式的关系等知识点． 根据给定的对应值，可求出二次函数解析式为，再逐一验证各选项． 【规范解答】解：将点、、代入得： 解得， ∴， A、对称轴，正确； B、，图象开口向上，故开口向下错误； C、由表格可知抛物线经过，而抛物线开口向上，则时，，正确； D、时，，正确， ∴ 错误的是B， 故选：B． 8．（25-26九年级上·山东滨州·阶段练习）已知点是二次函数图象上不同的两点，则与的大小关系是 ．（用“>”连接） 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，先根据函数解析式确定出对称轴为直线，再根据二次函数对称性和增减性即可得到结论． 【规范解答】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， ∵， ∴． 故答案为：． 9．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）我们约定：当，，，满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．若关于的二次函数是“对偶函数”，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【思路点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式等知识点，正确理解新定义是解题的关键． 由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【规范解答】解：设函数图象上两点和 为一对“对偶点”，则由定义有 和，即和， 同时，两点在函数图象上，故： ∴， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 故答案为：． 10．（2025·山东济宁·三模）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求该函数图象的对称轴及顶点坐标； (2)当时，该函数的最小值为，最大值为，求m的取值范围； (3)若该函数图象与x轴的两个交点的横坐标为，，满足，求a取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2) (3) 【思路点拨】本题主要考查了二次函数的图象与性质，与x轴的交点问题，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将代入，得到，再由对称轴公式即可求解； （2）当时，；当时，．根据对称性，可得和时，y值相等，即可求解； （3）根据题意可得，从而得到，再由时，，可得关于a的不等式，然后解不等式即可． 【规范解答】（1）解：由题意得：， ， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：当时，； 当时， 根据对称性，和时，y值相等， （3）解：，对称轴为， ， ， ， 时，， 时，， 即， 解得： 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $