九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷（浙教版，举一反三）

九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【浙教版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 二次函数~第3章 圆的基本性质 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 3．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（   ） A．最大，最小 B．最小，最大 C．最小，最大 D．最小，最大 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 7．（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ）． A．点 B．点 C．点 D．点 10．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　） A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 12．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 13．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ． 14．（2024·湖北·模拟预测）如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ． 15．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ． 16．如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 17．（6分）（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（是常数，）的图象经过． (1)若二次函数图象经过，，求该二次函数解析式； (2)若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：； (3)若二次函数图象的对称轴为直线，当时，求的最小值． 18．（6分）（2025·甘肃酒泉·二模）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于、两点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围是什么？ 19．（6分）（2025·陕西西安·模拟预测）某校阅读社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张（除编号和人物肖像外其余完全相同）卡片，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事． 游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好．小林先从中随机抽取一张，把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小梅再从3张卡片中随机抽取一张． (1)小林抽到孙悟空的概率为 _________ ； (2)若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小林讲述，否则由小梅讲，用列表法或画树状图法说明这个游戏规则对双方是否公平？ 20．（8分）（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 21．（8分）（2025·湖南长沙·模拟预测）问题：将直线关于轴对称所得的直线记为，求的函数解析式． 解决办法： ①设点是直线上的点； ②点关于轴的对称点为； ③点在直线上，把点代入，得，则，∴直线的函数解析式为． (1)结合上述解决方法，若的函数图象与函数的图象关于轴对称，求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，当时，的最小值为1，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，直线与的函数图象有2个交点，求的取值范围． 22．（8分）（2024·湖北·三模）如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． (1)求证：； (2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 23．（12分）（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 24．（12分）如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接． (1)求证：点是的中点； (2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？ (3)①当在的左侧时，求证：； ②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系； ③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学上学期期中模拟卷·培优卷 【浙教版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．一个不透明的口袋中有4个红球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球，则摸到红球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：摸到红球的概率为：． 故选D． 【点睛】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 2．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 【详解】解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）二次函数（，，为常数，）的图象经过点，，，，其中，为常数，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据题意，得出，两点关于抛物线的对称轴对称，据此得出，之间的关系，再将点和点代入二次函数解析式，进一步得出，之间的关系，最后用表示出和即可解决问题．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，在二次函数图象上， ∴，两点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵，在二次函数图象上， ∴，， ∴， ∴， ∵在二次函数图象上， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4．（2025·陕西西安·模拟预测）已知一个二次函数图象经过，，，，其中，则，，中最值情况是（   ） A．最大，最小 B．最小，最大 C．最小，最大 D．最小，最大 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．依据题意，由图象过和，可得抛物线的对称轴是直线，然后分抛物线开口向上与开口向下进行讨论分析可以判断得解． 【详解】解：由题意，图象过和， 抛物线的对称轴是直线， 若抛物线开口向上，则顶点为最低点，离对称轴越远的点函数值越大， 到对称轴的距离为，和到对称轴的距离均为2， 又由于开口向上， 最大，且， 对于，其到对称轴的距离为，是四个点中最近的， 最小， 即最大，最小， 若抛物线开口向下，则顶点为最高点，但此时应小于，与条件矛盾， 综上，抛物线开口向上时结论成立， 最大，最小． 故选：A． 5．（2025·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键． 开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即． 【详解】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． 6．（2024·广东·模拟预测）如图，是的直径，，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、平行线的性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．利用平行线的性质求出的度数，再根据等腰三角形的性质求出的度数，进而得出的度数，最后由等腰三角形性质求． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故选：C． 7．（2025·湖南长沙·一模）如图，已知是等边的外接圆，连接并延长交于点，交于点．若，则四边形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质、含30度角的直角三角的性质、垂径定理、圆周角定理等，连接，根据等边三角形的性质得到，，根据垂径定理得到，根据勾股定理求出，再根据四边形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2024·广东·模拟预测）如图，正六边形内接于，若的长为，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，弧长公式，勾股定理，等边三角形的判定与性质，连接，，过作于点，由正六边形内接于，则，，所以，是等边三角形，然后通过弧长公式求出，由等边三角形性质可得，最后通过勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，，过作于点， ∵正六边形内接于， ∴，， ∴，是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为， 故选：． 9．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ）． A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作，的垂直平分线即可得到答案． 【详解】解：作的垂直平分线，作的垂直平分线，如图， 它们都经过，所以点为这条圆弧所在圆的圆心． 故选：B． 【点睛】本题主要查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，理解并掌握圆心为弦垂直平分线的交点是解决此题的关键． 10．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（　　） A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球 B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数 C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9 【答案】D 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解: 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33， A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意； C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意； D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 12．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线．当，时，，则 ；若，对于，都有，则t的取值范围为 ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．根据二次函数的性质求得对称轴即可，根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出与的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答． 【详解】解：对于，，有， ， ， ， ； ， ， ， 抛物线开口向下， 若，对于，都有， 离对称轴的距离大于， 则与的中点在对称轴的右侧， ， 即， 故答案为：1；． 13．（2024·安徽合肥·一模）如图，内接于，为的直径，，，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得到，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：连接， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：15． 14．（2024·湖北·模拟预测）如图，内接于，且，直径交于点，是的中点，如果，，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】本题考查的知识点有圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等的判定、等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理．通过连接辅助线，利用圆的性质(直径所对圆周角为直角)、三角形全等判定以及勾股定理，逐步推导得出线段的长度． 【解答】解：连接， ∵是的直径， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，是的中点， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】先求出黑色方砖在整个地面中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，黑色方砖6块，共有16块方砖， ∴黑色方砖在整个区域中所占的比值=， ∴小球停在黑色区域的概率是； 故答案为： 【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率=相应的面积与总面积之比． 16．如图，圆心角为的扇形内，以为直径作半圆，连接．若阴影部分的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解． 利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解． 【详解】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为；两块空白分别为，连接，如图所示： 由已知得：三角形为等腰直角三角形，， ∵为直径， ∴，即， 故， ∴点为中点，由对称性可知与弦围成的面积与相等． 设，， 则， 其中， ， 故：， 即， 所以：（舍去）， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，满分66分） 17．（6分）（2025·浙江·模拟预测）已知二次函数（是常数，）的图象经过． (1)若二次函数图象经过，，求该二次函数解析式； (2)若二次函数图象的顶点落在x轴上，求证：； (3)若二次函数图象的对称轴为直线，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)有最小值 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，通过待定系数法即可计算得解； （2）依据题意，由抛物线的顶点落在x轴上，则，又，且，可得，从而可以得解； （3）依据题意，对称轴为直线，且，先求出，从而，再求出c的范围，然后根据，从而可以计算得解． 【详解】（1）解：图象过， ， 又图象过，， ， ， ； （2）证明：顶点落在x轴上， ， ，且， ， ； （3）解：抛物线的对称轴为直线，且， ， ， ， ， 又， ， 将，代入得， 当时，有最小值． 18．（6分）（2025·甘肃酒泉·二模）如图，已知二次函数的图象经过两点与，且与轴相交于、两点，其顶点为． (1)求点的坐标； (2)求的面积； (3)在二次函数图象上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)把二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变．得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围是什么？ 【答案】(1) (2) (3)存在，或 (4) 【分析】本题是一道二次函数的综合试题，考查了利用待定系数法求函数的解析式，抛物线顶点坐标的求法，三角形面积公式的运用，抛物线与直线的交点情况的关系． （1）利用待定系数法将点、点的坐标代入解析式就可以求出抛物线的解析式，再化为顶点式就可以求出其顶点坐标． （2）当时，求出抛物线与轴的交点坐标就可以求出的值，的高就是的纵坐标的高的绝对值．利用三角形的面积公式就可以求出其面积． （3）设出点的坐标为，根据条件建立等量关系就可以求出点的坐标． （4）当直线经过点时，可以求出的值，当直线经过点时可以求出的值，再根据图象就可以求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点与在二次函数的图象上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， ∴ ∴ ； （2）解：当时，则， 解得，， ，， ， ∴； （3）解：设点的坐标为，当点在轴的上方时， ∴， 解得：，， ∴或， 当点在轴的下方时的点不存在． ∴或； （4）解：如图，当直线经过点时， ∴， ， 当直线经过点时， ∴， ， 由图象得：． 19．（6分）（2025·陕西西安·模拟预测）某校阅读社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张（除编号和人物肖像外其余完全相同）卡片，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事． 游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好．小林先从中随机抽取一张，把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小梅再从3张卡片中随机抽取一张． (1)小林抽到孙悟空的概率为 _________ ； (2)若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小林讲述，否则由小梅讲，用列表法或画树状图法说明这个游戏规则对双方是否公平？ 【答案】(1) (2)此游戏规则公平，理由见解析 【分析】本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率； （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果数，继而求出小林、小梅讲的概率，从而得出答案． 【详解】（1）解：小林抽到孙悟空的概率为， 故答案为：； （2）解：游戏规则公平，理由如下： 列表如下 A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，由表知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有6种， ∴由小林讲的概率为， 则由小梅讲的概率为1， ∴此游戏规则公平． 20．（8分）（2025·广东·模拟预测）一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径，碗底直径，面碗的边沿上一点B到桌面的距离，碗足高．小丽又进一步建立以所在直线为x轴，以碗的中轴线（面碗的上下两个底面圆的圆心所在直线）m为y轴的平面直角坐标系（如图3）． (1)请你帮助小丽求出碗的轴截面所在抛物线的函数解析式； (2)小丽向空面碗中倒入一些水，当水面与桌面的距离为时，求此时面碗中水面的宽度． 【答案】(1) (2)此时面碗中水面的宽度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可知点、点，设抛物线的表达式为，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可知当与桌面的距离为时，则，然后代入二次函数解析式可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由题意，可知点、点． 设抛物线的表达式为， ，解得； 抛物线的函数解析式为． （2）解：∵， ∴当与桌面的距离为时，则． 当时，，解得． ． 答：此时面碗中水面的宽度为． 21．（8分）（2025·湖南长沙·模拟预测）问题：将直线关于轴对称所得的直线记为，求的函数解析式． 解决办法： ①设点是直线上的点； ②点关于轴的对称点为； ③点在直线上，把点代入，得，则，∴直线的函数解析式为． (1)结合上述解决方法，若的函数图象与函数的图象关于轴对称，求函数的解析式； (2)在（1）的条件下，当时，的最小值为1，求的值； (3)在（1）的条件下，当时，直线与的函数图象有2个交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3)当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数图象与性质，灵活运用数形结合思想是解答本题的关键． （1）依照轴对称的性质进行解答即可； （2）求出函数图象的对称轴为直线，根据题意分和两种情况讨论求解即可； （3）画出函数图象，结合图象解答即可． 【详解】（1）解：设在的函数图象上，则点关于轴对称的点在的图象上， 把点代入中，得，则， ∴函数的解析式为； （2）解：∵， ∴函数图象的对称轴为直线，的最小值为， ∵当时，的最小值为1， ∴或， ①当时，在处取得最小值1， ∴，解得或， ∵， ∴； ②当，即时，在处取得最小值1， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上所述，的值为或； （3）解：当时，直线与的函数图象有2个交点； 令，整理，得， 令，， 在同一平面直角坐标系内与在的函数图象如解图， 当时，满足与图象有2个交点的的取值范围是． 22．（8分）（2024·湖北·三模）如图，，是中相等的两条弦，过点O分别作于点F，于点G． (1)求证：； (2)延长交于点D，连接交的延长线于点E．若，，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)13 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质；掌握垂径定理，添加恰当的辅助线是解题的关键. （1）连接，证明，即可求证； （2）连接，根据垂径定理可得，可证明，可得，设，则，，．在中，根据勾股定理可得x的值，即可求解． 【详解】（1）证明：连接． ∵，， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解：连接． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 设，则， ，． 由（1）得 在中，， ∴ ∴或（舍去）， ∴，即⊙O的半径为13． 23．（12分）（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 24．（12分）如图，是的直径，点在上，连接，作直线交于点．点是直线上的动点，连接． (1)求证：点是的中点； (2)连接，问为多少度时，四边形是菱形？ (3)①当在的左侧时，求证：； ②当在的内部时，①的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，请求出这三个角之间的数量关系； ③当在的右侧时，请直接判断①或②中的结论是否成立，不需证明． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是菱形 (3)①见解析；②不成立，；③不成立 【分析】(1)通过平行线性质可得，，又因为，进而得到，根据圆的性质可证明点是弧的中点； (2)根据角度关系可得是等边三角形，从而得到，结合判定四边形是平行四边形，又，进而确定平行四边形是菱形； (3)利用平行线性质可得，又因为，所以，再利用三角形外角性质确定角之间的数量关系即可得出结论． 【详解】（1）如图，连接， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （2）当时，四边形是菱形， 证明如下： 如图，连接，， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形； （3）证明：如图，延长交于点， ， ， ， ， ， ； ②当在的内部时，①的结论不成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， 故当在的内部时，①的结论不成立； ③当在的右侧时，①或②中的结论都不成立，理由如下： 如图：设与的延长线交于点，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 是的直径， ， ， ， ， 综上所述，当在的右侧时，①或②中的结论都不成立． 【点睛】本题主要考查了在同圆或等圆中弧与圆心角的关系、平行线的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质、菱形的判定等知识，有一定的综合性，运用平行线的性质及三角形外角的性质（或三角形内角和定理）是解决本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $