精品解析：辽宁省铁岭市西丰县2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末考试试卷 九年数学 第一部分 选择题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分）下列各题的备选答案中，只有一项是正确的．请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内． 1. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 5. 某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（ ） 摸球次数 摸到黑球次数 摸到黑球的频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 063 500 300 0.60 A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 6. 已知关于一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 7. 如图，内接于是的直径，若，则的度数是（） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如右图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(　　) A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. D. 6 10. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（共6题，每题3分，共15分） 11. 如果m是方程的一个根，则____________． 12. 当时，二次函数的最小值为，则的值为_______． 13. 如图，是的直径，过点D的切线与的延长线相交于点，且，则的度数为_____． 14. 如图，的顶点在量角器的外周边上，射线与量角器的交点和对应的刻度分别是和，则的度数为________． 15. 如图，矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，反比例函数的图象同时经过点A与点C，则k的值为______． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为．过点作轴交反比例函数的图象于点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 18. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 19. 某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份调查问卷，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图．请根据统计图回答问题： 调查问卷 年龄________岁；具体地址：________ 问题1：您乘坐免费公交车吗（ ） A．从不坐 B．偶尔坐 C．经常坐 问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价（ ） A．满意 B．不太满意 （1）①调查的50人中，55岁以上的有________人，的值为________， ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为________； （2）本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率． 20. 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内每个街区的空地搭建一个面积为平方米的快递投放点．如图是其中一个街区的快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙，这堵墙长米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道米宽的门．准备施工时，王师傅却忘记了该快递投放点的具体长宽，只记得围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材米．请你帮助王师傅求出这个快递投放点的边和的长． 21. 如图，在中，为弦，为直径，且于点，连接，过点作于点与相交于点，连接． （1）求证：是线段的中点． （2）若，求的半径． 22. 在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为． （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段长度． 23. （1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，；．求证：； （2）如图2，点在反比例函数图像上，连接，将绕点逆时针旋转到，若反比例函数经过点． ①求点的坐标， ②求反比例函数的解析式； （3）如图3，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末考试试卷 九年数学 第一部分 选择题 一、选择题（共10题，每题3分，共30分）下列各题的备选答案中，只有一项是正确的．请将正确答案的选项填入下表中相应题号下的空格内． 1. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系下点的特征，解决本题的关键是熟练掌握点关于原点成中心对称点的特征． 关于原点成中心对称的点的横坐标和纵坐标都互为相反数，由此求解即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴点B的坐标为． 故选：B． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法的步骤是解题的关键．将给定的一元二次方程通过配方法使方程左边成为完全平方式的形式即可． 【详解】解：∵方程, ∴配方需加于两边, 得, 即. ∴变形后结果为． 故选：C. 3. 图1是一个球形烧瓶，图2是这个球形烧瓶下半部分的平面示意图，若为的中点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，熟知等弧所对的圆心角相等是正确解决本题的关键． 根据即可得出． 【详解】解：D为的中点， ， ． 故选：A． 4. 已知反比例函数，则下列描述不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象位于第一、第三象限 C. 当时，随的增大而减小 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，图象分布，图象与点的关系，熟练掌握性质和分布是解题的关键． 利用反比例函数的性质，图象的分布等解答即可．根据反比例函数的性质，，图象经过点，位于第一、三象限，在每个象限内随增大而减小；当时，，故D错误. 【详解】解：A、∵，， ∴当时，，图象经过点， ∴A正确； B、， ∴图象位于第一、第三象限， ∴B正确； C、∴在每个象限内，随增大而减小， 当时（第三象限），随增大而减小， ∴C正确； D、当时，例如，，故， ∴D错误． 故选：D． 5. 某校九年级数学兴趣小组做摸球试验，在一个不透明的袋子中装有除颜色外其他均相同的黑球、白球共20个．将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色后再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，由此可以估计袋中白球的个数为（ ） 摸球次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 50 28 0.56 100 61 0.61 150 93 0.62 200 124 0.62 250 145 0.58 300 189 0.63 500 300 0.60 A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率，由表中数据得到摸到黑球的概率，进而得到黑球的个数，最后根据黑球的个数求出白球的个数，即可解题． 【详解】解：由表中数据可知，摸到黑球的概率为0.6， 袋中白球的个数为（个）， 故选：B． 6. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及满足两个实数根的条件，解决本题的关键是熟练掌握一元二次方程根与判别式的关系． 一元二次方程有两个实数根需满足判别式且二次项系数不为0，列式求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，且， 即，解得， ∴且． 故选：C． 7. 如图，内接于是的直径，若，则的度数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理（直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等），熟练掌握圆周角定理是解题的关键．先利用直径所对圆周角为直角得到直角三角形，再结合同弧所对圆周角相等，通过直角三角形内角和求出角度． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， 在中， ∵， ∴， 故选：． 8. 二次函数的图象如右图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知二次函数的图象开口方向可以知道的取值范围，对称轴可以确定的取值范围，然后就可以确定反比例函数与正比例函数在同一坐标系内的大致图象 【详解】解：∵的图象开口向下， ∴， 对称轴在轴的左侧， ∴， ∴， ∴反比例函数在第二、四象限，正比例函数在第二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数、反比例函数、正比例函数的图象与性质，判断出的符号是解题的关键． 9. 如图，在中，，，，将绕点旋转得到，当点恰好落在直线上时，的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质以及特殊锐角三角函数的应用，由题意得，在中，利用特殊锐角三角函数得出和，进一步即可得出． 【详解】解：绕点旋转得到， ， ， ， , 又， 在中， ， ， ， ， ． 故选：D． 10. 如图，以正六边形的顶点为圆心，的长为半径画弧，得到，连接AC，AE，若的长为，则正六边形的边长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设正六边形的边长为x，则，，进而求出，，过B作于H，由等腰三角形的性质和含直角三角形的性质得到，，在中，由勾股定理求得，得到，再根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设正六边形的边长为x， ∴，， ∵， ∴， 过B作于H， ∴，， 在中，， ∴， 同理可证，， ∴， ∵的长为， ∴， 解得， 正六边形的边长为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质和弧长公式，等腰三角形的性质，勾股定理，一元一次方程的应用． 第二部分 非选择题 二、填空题（共6题，每题3分，共15分） 11. 如果m是方程的一个根，则____________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解．将m代入，进而移项即可求得答案．此题的关键在于理解方程根的概念，并能灵活运用代数变形来求解目标表达式的值，而不必先解出根的精确值．在处理类似问题时，识别方程与目标表达式之间的联系，通过直接代换或变形来求解，可以快速准确地找到答案． 【详解】解：m是方程的一个根， 当时，有， ． 故答案为：4． 12. 当时，二次函数的最小值为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据题意可知二次函数开口向上，当时，取得最小值为，令，得方程，求解，根据二次函数的图象和性质即可求得答案． 【详解】可知二次函数开口向上，当时，取得最小值为． 令，得方程，解得或． 由于当时最小值为，因此． 故答案为： 13. 如图，是的直径，过点D的切线与的延长线相交于点，且，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，切线性质定理，三角形的内角和等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键．由切线的性质定理得出，由圆周角定理得出，然后利用三角形内角和得出，进而即可得解． 【详解】解：如图，连接， ∵为的切线， ∴， ∴， ∵所对的圆心角为，圆周角为， ∴， ∵，在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，的顶点在量角器的外周边上，射线与量角器的交点和对应的刻度分别是和，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线是解题的关键． 连接点、与量角器圆心，可得出的度数，再根据圆周角定理，求出的度数即可． 【详解】解：连接点、与量角器圆心，如下图所示： ∴， ∵点、、三点共圆， 优弧所对圆心角为， 故优弧所对圆周角， 故答案为：． 15. 如图，矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，，反比例函数的图象同时经过点A与点C，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质及待定系数法求反比例函数解析式，根据矩形的边与y轴平行，，，可得A、C坐标，根据反比例函数图象过点A、C，可得关于m的方程，即可求出m的值，进而可求出k值．正确表示出点A、C的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：∵矩形的边与y轴平行，顶点B的坐标为，， ∴，， ∵反比例函数的图象同时经过点A与点C， ∴， 解得， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 解方程． （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题的关键是选择合适的方法． （1）利用因式分解的方法求解； （2）移项后提取公因式即可求解． 【小问1详解】 解： ∴或， 解得，； 【小问2详解】 解： ∴或， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为．过点作轴交反比例函数的图象于点，连接． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题、三角形面积的计算，熟练掌握函数图象上点的坐标特征（点的坐标满足函数表达式）是解题的关键。 （1）先通过一次函数求出点的坐标，再代入反比例函数求出表达式； （2）先确定点坐标，结合平行轴得到点纵坐标，代入反比例函数得点坐标，进而求出长度，最后通过作高利用三角形面积公式计算面积． 【小问1详解】 解：把代入，得， ， 把代入，得， 所以反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：一次函数的图象与轴交于点 当时，， 点的坐标为， 轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，是， 点在反比例函数的图象上， 当时，解得， ， 如图，过作于，则， ． 18. 瓷板画（图1）最早可追溯到秦汉时期，是我国非物质文化遗产，可装裱或嵌入屏风中，作观赏用．图2为其平面示意图，A，C为上的两点，连接，（桌面），的半径，，分别与直线垂直于B，D两点，，，过点O作于点E，交于点F，求圆心O到桌面的距离． 【答案】27cm 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，平行线间的距离， 先根据，，可得，，再根据垂径定理得，然后根据勾股定理得，即可得出答案． 【详解】∵，，分别垂直于点B，D， ∴， ∵， ∴． 在中，根据勾股定理得， ∴． 19. 某小区物业为了解本小区居民免费乘车情况和满意度，设计了一份调查问卷，并在该小区随机调查了50人，并将部分调查数据制成如下两个统计图．请根据统计图回答问题： 调查问卷 年龄________岁；具体地址：________ 问题1：您乘坐免费公交车吗（ ） A．从不坐 B．偶尔坐 C．经常坐 问题2：若您乘坐免费公交车，请对乘车体验作出评价（ ） A．满意 B．不太满意 （1）①调查的50人中，55岁以上的有________人，的值为________， ②物业人员准备从已经筛选出的经常乘坐免费公交车的调查问卷中，随机抽取一份问卷，则恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为________； （2）本次活动结束后，物业人员从经常乘车但不太满意的几位居民中，随机抽取两位到物业公司座谈并提出合理有效的解决乘坐免费公交车的方案．求恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率． 【答案】（1）①30，10；② （2） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，统计表和简单的概率计算，能从表中获取信息和正确计算是解题的关键． （1）①用调查的总人数乘以55岁以上所占的百分比即可；用1减去其余两项所占的百分比即可； ②直接用概率公式计算即可； （2）列表表示出所有等可能得情况和恰好选20岁岁这个范围内居民的情况，然后利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：①55岁以上的有（人）， ， ， 故答案为：30，10； ②恰好抽到乘车体验为“满意”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：不满意的人有（人）， 设20岁岁这个范围内居民为A，55岁以上的三位居民分别为，，， 根据题意，列表格如下∶ A A 或画树状图如下： 由表格可知：随机选居民去参加座谈，共有12种等可能的情况， 其中恰好选20岁岁这个范围内居民的有6种情况，即，，，，，， ∴恰好抽到20岁岁这个范围内的居民的概率． 20. 为了方便居民收取快递，某小区计划在小区内每个街区的空地搭建一个面积为平方米的快递投放点．如图是其中一个街区的快递投放点的设计图，该快递投放点为矩形且一边靠墙，这堵墙长米，在垂直于墙的两边分别开设“进口”和“出口”两道米宽的门．准备施工时，王师傅却忘记了该快递投放点的具体长宽，只记得围建投放点的三边（不含靠墙的一边和两道门）共需高度适当的板材米．请你帮助王师傅求出这个快递投放点的边和的长． 【答案】长米，长米． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设长为米，根据围建投放点的三边的长度需要的板材长为米，可以把的长度用含的代数式表示出来，根据矩形的面积公式和投放点的面积为平方米可列一元二次方程，解方程可得：，，根据墙长米把不符合题意的解舍去． 【详解】解：设长为米，则米， 根据题意得：， 解得：，， 当时，（不符合题意，舍掉）， 当时，， 答：这个快递投放点的边长米，长米． 21. 如图，在中，为弦，为直径，且于点，连接，过点作于点与相交于点，连接． （1）求证：是线段的中点． （2）若，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）的半径为 【解析】 分析】（1）证明，则，进而结论得证； （2）如图，连接．设，则．．由勾股定理得，，即，计算求出满足要求的解即可． 【小问1详解】 证明：， ． ， ． ∵， ∴， ． ∵， ， ， 是线段的中点． 【小问2详解】 解：如图，连接． 设，则． 由（1），知， ． ， ，即， 解得（负值已舍去）， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形内角和定理，勾股定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，垂径定理，三角形内角和定理，勾股定理是解题的关键． 22. 在中，，为的中点．将以点为中心顺时针方向旋转，点，的对应点分别为点，，与的交点为． （1）如图1，当时，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当点恰好落在边上时， ①猜想线段，的数量关系，并说明理由； ②若，，请直接写出线段的长度． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2）①，理由见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据，得到，根据旋转性质得，，继而得到，即可证明，再根据，可得四边形为菱形； （2）①连接，先证明，再证明即可； ②过点作于点，利用等腰三角形的性质，勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：四边形为菱形，理由如下： ， ， 根据旋转的性质可得，， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， 为的中点， ， ∴平行四边形为菱形； 【小问2详解】 解：①，理由如下： 如图，连接， 根据旋转可得，， ，为的中点， ， ，即 根据（1）中可得， ， ，， ，为的中点， ， ，即， ， ， ； ②如图，过点作于点， ， ， 根据三角形面积公式可得， ， 根据勾股定理可得， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，菱形的判定，三角形全等的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 23. （1）如图1，点是线段上的一点，，，，垂足分别为，，；．求证：； （2）如图2，点在反比例函数图像上，连接，将绕点逆时针旋转到，若反比例函数经过点． ①求点的坐标， ②求反比例函数的解析式； （3）如图3，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点，连接，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的横坐标． 【答案】（1）证明见解析；（2）①，②；（3）存在，或 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，反比例函数的应用，二次函数的性质，一元二次方程的解法，熟练利用类比的方法解题是关键． （1）根据题意得出，，结合，，证明即可； （2）①如图，过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，证明，由边长关系，得出点的坐标；②由点的坐标，代入，求出值即可； （3）如图，适当添加辅助线，得出情况，由（2）中的证明方法，证出对应的点坐标或点坐标，求出直线、的表达式，由一次函数和二次函数表达式求出交点的横坐标． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵, . ∴， 又∵，， ∴． （2）解：①∵点在反比例函数上， ∴， ∴点坐标为， 过点作轴交轴于点，过点作轴交轴于点，如下图所示： ∴， ∵, . ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵点坐标为， ∴，， ∴，， 又∵点在第四象限 ∴点坐标为； ②∵点在反比例函数上， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：抛物线， 当时，得， 解得或， ∴点的坐标为， ∴，， 分类讨论：①将绕点逆时针旋转得，连接并延长，交抛物线于点,如下图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）中，同理可得点坐标为， 令直线解析式为， 将点，代入， 得，解得， ∴， ∵点为与的交点， ∴， 解得或， 故点的横坐标为； 分类讨论：②将绕点顺时针旋转得，连接并延长，交抛物线于点,如下图所示： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（2）中，同理可得点坐标， 令直线解析式为， 将点，代入， 得，解得， ∴， ∵点为与的交点， ∴， 解得或， 故点的横坐标为； 综上，点的横坐标为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $