精品解析：吉林省长春市经开区2025-2026学年上学期期末九年级数学试卷

长春经开区2025—2026学年度第一学期期末质量调研九年级数学试卷 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 计算所得结果是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 2. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（） A. 至少有一个黑球 B. 至少有一个白球 C. 至少有两个黑球 D. 至少有两个白球 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. ， C D. ， 4. 在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地间的实际距离是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，点D在延长线上，且，连接，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 二、多项选择题（每小题3分，共9分） 6. 下列式子中，不是最简二次根式的有（ ） A. B. C. D. 7. 我们规定：若一个三角形中某一个内角是另一个内角的2倍，那么我们把这个三角形叫作“三角形”．下列各组数据中，能作为一个“三角形”三边长的一组有（ ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 1，2， 8. 如图，在中，，，正方形的顶点、均在边上，顶点、分别在边、上，的面积为．则下列语句中，正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 请任意写出一个能使有意义的m值：_____． 10. 从到的连续自然数中任取一个，是偶数的概率是_____． 11. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 12. cos60°的值等于_____． 13. 如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 四、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌．每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率． 16. 解一元二次方程：． 17. 判断值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程． 18. 如图，矩形中，点在边上，连接，于点，，，． （1）求证：． （2）求的长． 19. 一家小超市1月份的利润是50000元，3月份的利润达到60500元，求这两个月的利润平均月增长的百分率． 20. 有长度分别为、、、的四条线段，不采用树状图与列表的方法，求任取其中三条线段能构成三角形的概率，并加以说明． 21. 如图，小李在森林公园瞭望塔的点处，测算塔下方的一棵树的高度．观测到点处到地面的距离为米，树顶处的俯角为，塔底到这棵树的距离为米．求这棵树的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 22. 如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，，点为的中点，线段过点交、于点、，．求、的长． 23. 【问题探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，若，，，求的长． 【方法拓展】如图②，中，点为边上的一点，，若，，，求的长． 24. 我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”． （1）等边三角形的“半似位线”的条数为_____条． （2）一个三角形“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是________． （3）若一个三角形的三边长之比为，则这个三角形的“半似位线”的条数为_______条． （4）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线向终点运动．设运动时间为秒． ①用含的代数式表示的长为_______． ②当为的“半似位线”时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春经开区2025—2026学年度第一学期期末质量调研九年级数学试卷 本试卷包括四道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 计算所得结果是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘方运算．应用指数运算规则，将平方分配到每个因子进行计算． 【详解】解：． 故选：D． 2. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出3个球，下列事件是必然事件的是（） A. 至少有一个黑球 B. 至少有一个白球 C. 至少有两个黑球 D. 至少有两个白球 【答案】A 【解析】 【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可． 【详解】A、是必然事件，故本选项符合题意； B、是随机事件，故本选项不符合题意； C、是随机事件，故本选项不符合题意； D、是随机事件，故本选项不符合题意， 故选∶A． 【点睛】解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3. 一元二次方程的解为（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直接开平方法：形如或的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 利用直接开平方法解方程． 【详解】解：， ∴， ∴． 故选：B． 4. 在比例尺为的地图上，量得两地的距离是，则两地间的实际距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，设两地间的实际距离是，根据比例尺的定义，地图上的距离与实际距离成比例得，计算实际距离后转换单位即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设两地间实际距离是， ∴， ∴， ∴， ∴两地间的实际距离为， 故选：． 5. 如图，中，，，点D在延长线上，且，连接，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查正切值的计算，掌握正切值的计算方法是关键． 根据题意设，由含30度角的直角三角形的性质得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， 设，则， ∵， ∴，则， ∴， 故选：A． 二、多项选择题（每小题3分，共9分） 6. 下列式子中，不是最简二次根式的有（ ） A B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．根据最简二次根式的定义，需同时满足：被开方数是整数或整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A. 为最简二次根式； B. 被开方数含分母，故不是最简二次根式； C. 可简化为，故不是最简二次根式； D. 分母中含有根号，故不是最简二次根式； 故选：BCD． 7. 我们规定：若一个三角形中的某一个内角是另一个内角的2倍，那么我们把这个三角形叫作“三角形”．下列各组数据中，能作为一个“三角形”三边长的一组有（ ） A. 1，2，3 B. 1，1， C. 1，2， D. 1，2， 【答案】BC 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理的逆定理，直角三角形的两个锐角互余；首先验证各组边长是否满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边），排除不能构成三角形的选项；对于能构成三角形的选项，利用三角函数的知识计算各角大小，判断是否存在一个角是另一个角的两倍的关系，同时注意角度和边长的对应关系． 【详解】解：A、，不能构成三角形，不符合题意； B、，该三角形为等腰直角三角形，三个角分别是的直角三角形，其中，，符合“三角形”的定义，符合题意； C、，该三角形为直角三角形，最小的角的正弦为，则最小的角为， 则三个角分别是，其中，符合“三角形”的定义，符合题意． D、，是直角三角形，但是不满足某一个内角是另一个内角的2倍，不符合题意； 故选：BC． 8. 如图，在中，，，正方形的顶点、均在边上，顶点、分别在边、上，的面积为．则下列语句中，正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意得，得出，再推出，得出，，根据相似三角形面积比是边长比的平方，相似三角形面积比的关系即可求解． 【详解】解：，， ， 正方形， ，，， 和是等腰直角三角形， ， ，故B选项符合题意； ∵， ， ， ， ，故A选项符合题意； 又， ，， 和是等腰直角三角形，， ∴， ， ， ，故C选项不符合题意； ，则, ， ， 即， 解得，故D选项符合题意． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 三、填空题（每小题3分，共18分） 9. 请任意写出一个能使有意义的m值：_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负． 【详解】解：要使有意义，需满足， 解得． 因此，任意取的一个值即可，例如． 故答案为：（答案不唯一）． 10. 从到的连续自然数中任取一个，是偶数的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式求概率；到的自然数中，偶数有个，总数为，根据概率公式，概率为偶数个数与总数之比 【详解】解：从到的自然数中，偶数包括，，，，共个，总数为个， 因此任取一个数是偶数的概率为． 故答案为：． 11. 已知一元二次方程有一个根为2，则另一个根为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此设出方程的另一个根，再利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为4， 故答案为；4． 12. cos60°的值等于_____． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案． 【详解】解：根据特殊角三角函数值可知， cos60°的值为， 故答案为． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 13. 如图，在平行四边形中，点E、F分别为边和对角线上的点，．若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先证出，根据相似三角形的性质可得，则，再根据平行四边形的性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴夹角的正切值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键．过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴， ， ， ， ； 故答案为：． 四、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 已知甲袋有3张分别标示1、2、3的号码牌，乙袋有3张分别标示6、7、8的号码牌，榕榕分别从甲、乙两袋中各抽出一张号码牌．每张号码牌被抽出的机会相等，请借助列表或树状图，求她抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来是关键． 根据列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下， 共有9种等可能结果，其中乘积为3的倍数有5种：， ∴抽出两张号码牌上数字乘积为3的倍数的概率为． 16. 解一元二次方程：． 【答案】无实数根 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握用根的判别式判断一元二次方程根的情况是关键． 根据题意，得到，结合根的判别式即可求解． 【详解】解：在一元二次方程中，， ∴， ∴方程无实数根． 17. 判断的值在哪两个连续整数之间，并简要写出推理过程． 【答案】在24和25之间，见解析 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，解题的关键是掌握二次根式的乘法运算，进一步得出即可求解． 【详解】解：， ，， ， ． 18. 如图，矩形中，点在边上，连接，于点，，，． （1）求证：． （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的运用，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据矩形的性质，垂直的定义得到，结合相似三角形的判定即可求解； （2）根据线段和差得到，运用勾股定理得到，由相似三角形的性质列式求解即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：根据题意，， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 解得，． 19. 一家小超市1月份的利润是50000元，3月份的利润达到60500元，求这两个月的利润平均月增长的百分率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意、找准相等关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两个月的利润平均月增长的百分率是x，根据“原有量增长率现有量”，n表示增长的次数，据此列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这两个月的利润平均月增长的百分率是x， 根据题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：这两个月的利润平均月增长的百分率是． 20. 有长度分别为、、、的四条线段，不采用树状图与列表的方法，求任取其中三条线段能构成三角形的概率，并加以说明． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，列举法求概率，利用列举法得到所有四种结果，然后根据三角形三边的关系得到能组成三角形的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：从长度分别为3，5，6，9的四条线段中任取三条，共有（3， 5 ，6）、（3， 5， 9）、（3 ，6，9）、（5， 6， 9）四种等可能结果， 其中能组成三角形的有（3 ，5 ，6）、（5 ，6 ，9）两种等可能结果， 所以能组成三角形的概率 21. 如图，小李在森林公园瞭望塔的点处，测算塔下方的一棵树的高度．观测到点处到地面的距离为米，树顶处的俯角为，塔底到这棵树的距离为米．求这棵树的高度．（结果精确到米）（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作于，根据正切的定义求出的长，结合图形计算即可． 【详解】如图，作于，则四边形为矩形， 米， 在中， ， 则， 米， 答：这棵树的高度约为米． 22. 如图，正方形的边长为6，点在边上，连接，，点为的中点，线段过点交、于点、，．求、的长． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识的综合，合理作出辅助线是关键． 根据正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质得到，同理在直角中得到，结合题意，可得是线段的垂直平分线，则，运用勾股定理列式求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去），， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴，且， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴，， ∴，则， 如图所示，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，， ∴是线段的垂直平分线，则， 设，则， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 在中， ； ∴． 23. 【问题探究】如图①，中，点、分别为边、的中点，若，，，求的长． 【方法拓展】如图②，中，点为边上的一点，，若，，，求的长． 【答案】问题探究：；方法拓展： 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查三角形中位线定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判定和性质，添加恰当的辅助线构造相似三角形是本题的关键； 问题探究：由三角形中位线定理可得，，由平行线的性质和等腰三角形的判定可得，即可求的长； 方法拓展：过作，交延长线于，易证，易证，可得，即可求得的值，即可求得的值，即可解题． 【详解】解：问题探究、分别为边、的中点 ， 方法拓展：如图，过作，交延长线于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 24. 我们规定：若一条线段的两个端点都在一个三角形的边上（不与端点重合），且这条线段截得的小三角形与原三角形相似，相似比为，则把这条线段叫做这个三角形的“半似位线”． （1）等边三角形的“半似位线”的条数为_____条． （2）一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是________． （3）若一个三角形的三边长之比为，则这个三角形的“半似位线”的条数为_______条． （4）如图，在中，，，．点从点出发，以每秒5个单位长度的速度，沿向终点运动；在点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位长度的速度，沿折线向终点运动．设运动时间为秒． ①用含的代数式表示的长为_______． ②当为的“半似位线”时，直接写出的值． 【答案】（1）3条 （2） （3）4条 （4）①；②或4或或12 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，理解“半似位线”的定义，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）作出图形，根据“半似位线”的定义求解即可； （2）根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方求解即可； （3）根据“半似位线”的定义，作出图形，分别求解即可； （4）①当运动t秒时，，则． ②根据勾股定理求出．分两种情况讨论：（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，，，若为的“半似位线”时，则或，分别根据相似三角形的对应边成比例求解；（Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，，若为的“半似位线”时，则或，同（Ⅰ）求解即可． 【小问1详解】 解：如图，在等边中，取各边中点，连接，，． ∵点分别是，的中点， ∴，， ∴，相似比为， ∴是等边三角形的“半似位线”． 同理可得，是等边三角形的“半似位线”． ∴等边三角形的“半似位线”的条数为3条． 故答案为：3． 【小问2详解】 解：如图，是的“半似位线”， ∴，且相似比为， ∴， ∴， ∴一个三角形的“半似位线”把三角形分成的两部分图形的面积之比是． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵一个三角形的三边长之比为， ∴如图，不妨设，，（） 取各边的中点，连接，，， ∴，， ∴，且相似比为， ∴是的 “半似位线”， 同理可得，，是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴，， 此时，点G与点A重合， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴， 此时，点N不在边上， 不符合“半似位线”的定义，即不是的 “半似位线”． 如图，若是的 “半似位线”，且， 则 ∴，， 符合“半似位线”的定义，即是的 “半似位线”． 综上所述，这个三角形的“半似位线”的条数为4条． 故答案为：4． 【小问4详解】 解：①当运动t秒时，， ∴． 故答案为：． ②∵在中，，， ∴． （Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则， ∴， ， ∴，解得． 当，则， ∴， ， ∴，解得． （Ⅱ）当点P在上，点Q在上时，，， 若为的“半似位线”时，则或， 当，则， ∴， ， ∴，解得． 当，则， ∴， ， ∴，解得． 综上所述，a的值为或4或或12． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $