福建省厦门第六中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年高二上学期数学期中考试答案 1-4 CBCA 5-8 DDAB 9.BD 10.BD 11.ACD 12.-12 13.4 14.； ． 1．由题意得，则其渐近线方程为.故选：C. 2．由已知得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，故，所以圆与圆相交.故选：B. 3．直线的斜率为，则所求直线的斜率为，且过点，所以所求直线的方程为，即.故选：C. 4．设点，则，因为为的中点，所以，即，又在圆上，所以，即，即点的轨迹方程为.故选：A 5．连接，因为，，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线与所成角或其补角，设正方体的边长为， 所以，，因为平面，平面， 所以，所以， 所以，因为， 所以.故选：D. 6．，根据椭圆的几何性质可知，当轴时，有最小值，此时的最大值为10，此时在中，令则，所以，所以的值是.故选:D. 7．由双曲线定义可得，又，所以， 又渐近线方程为，因为渐近线，所以，所以，所以，即，化简可得，平方可得，即，解得或（舍去），故选：A 8．直线可变形为，直线过定点， 同理，则直线过定点， 时，直线，，此时；当时，，直线， 直线与直线的交点的轨迹是以AB中点为圆心，半径为的圆， 又圆的圆心，半径，两圆位置关系如图所示， 的最大值是．故选：B． 9．椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，对于A，，A错误；对于B，，B正确；对于C，当时，最大，最大值为，故不存在点，使得，C错误.对于D，，当且仅当时取等号，D正确；故选：BD 10．，，，，，对于A：，故A错误；对于B：直线的方向向量与共线，而，直线的一个方向向量是，故B正确；对于C：，， 向量在向量方向上的投影向量为，故C错误； 对于D：，，与不共线，，，设存在唯一实数对使得，则 ，，， 存在唯一实数对使得，与、共面，即，，，四点共面，故D正确.故选：BD. 11．由双曲线，则，，双曲线的渐近线方程为，即. 设，因P点在双曲线上，所以，所以P到两条渐近线和的距离分别为： ，，所以，故A正确； ，.故B错误 由直线l与双曲线C的左右支都相交，所以直线l的斜率存在， 设l的方程为，，，，.联立，消去y得，若，即，方程有且仅有一个解，与题意不符. 所以，且是方程的两个根，由韦达定理得，所以的中点的横坐标为. 再联立，解得，再由，解得. 所以的中点的横坐标为，与的中点的横坐标相同，且P，Q，S，T都在直线l上.所以与的中点重合，根据中点的性质可得.故C正确； 在中，，，设，，则. 因直线的倾斜角为，直线的倾斜角的补角为，且. 所以，， . 所以.故D正确； 12．，则直线l的方向向量与平面α的法向量垂直，故，解得. 13．双曲线方程为，所以，，，设其左焦点为，右焦点，因为，关于原点对称，所以，又由双曲线的对称性可得，由双曲线的定义可得,所以，又，所以，所以. 14．如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，，，，， 在平面内，设，则由得， 化简得，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆，面积为， 长方体中，，，，设平面的一个法向量是，则，取得， ，到平面的距离为，满足， 所以的最小值等于， 从而到平面的距离的最小值为， ∴三棱锥体积的最小值为． 15． （1）因为， ........................................................2分 所以圆． .........................................................4分 （2）由已知得，A在圆外， 当斜率不存在时，直线方程为，与圆相切， . .......................................................7分 当斜率存在时，设切线方程为 ........................................................9分 ，解得， ........................................................11分 所以切线方程为，综上，切线方程为或． ........................................................13分 16． （1）解：以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系.................1分 可得，，，，由为棱的中点，得， ，，. ..................3分 设为平面的法向量，则，即， 令，得为平面的一个法向量，........................................6分 所以，.....................................................8分 所以直线与平面所成角的正弦值为. ............................9分 （2）向量，设平面的法向量，，即，令，得为平面的一个法向量， ........................................12分 则. ........................................15分 17．（1）由题意：，所以．     ........................................2分 又因为椭圆的右顶点为，所以，， .......4分(，的值一个一分） 所以的标准方程为. ........................................5分 （2）设交点坐标， 因为弦被点平分，所以 ........................................6分 又，两式相减得：）， ........................................8分 所以直线的斜率， ........................................10分 故直线的方程为 ........................................11分 因为，与椭圆方程联立，........................................12分 所以， 由弦长公式可知. ........................................15分 18．（1）解：因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点， ........................................2分 (焦点坐标1分，渐近线方程1分) 所以解得，故双曲线的标准方程为； ........................................4分 (的值1分，双曲线标准方程1分) （2）（i）易知，， 由题可设直线的方程为， 由，得， ...................5分 ， 直线与的右支交于两点， ， ........7分(有联立过程，的值如果错误也给1分) ，. ，故为定值. ........11分(学生有写出的展开化简过程，如果结果错误也给1分) （ii）由题意可得，.........................................................................12分 直线的方程为，则，...................................13分 同理可得，..............................................................................................................14分 ，.......................................15分 ，.....................................................................................16分 ，， 当且仅当时等号成立，故的取值范围为.................................................................17分 19．(1)因为椭圆的焦距为2，所以，所以， .......................................1分 因为离心率为，故，解得， .......................................2分 则，由题意，椭圆的焦点在轴上， .......................................3分 所以椭圆方程为. .......................................4分 (2)直线，即，联立得， 解得或，当时，，当时,，因为点A在x轴上方，， ...................................5分 以为坐标原点，折叠后的轴负半轴为轴，原轴为轴，原轴正半轴为轴，建立空间直角坐标系， ...................................6分 则，. 其中平面的法向量为， ...................................7分 设平面的法向量为， 则，令得，故 ...................................9分 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为；.....................................................................10分 (3)设折叠前，折叠后对应的， 设直线方程为，将直线与椭圆方程联立得，， 则， ..........11分 在折叠前可知， 折叠后，在空间直角坐标系中，， 由，，故， 所以①， 分子有理化得， .........12分 所以②， .........13分 由①②得， .........14分 因为， 故，即， 将代入上式得， .........15分 两边平方后，整理得，即，解得......16分 因为，所以. .........17分 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $厦门六中2025一2026学年第一学期高二年期中考试 数学试卷 满分150分考试时间120分钟命题人： 审核人： 命题时间：25年11月 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 L,双曲线少一1的渐近线方程为() A.y=±4x B.y=±2x C.yis D.y=t/2x 2.圆C:(x-2)2+(y+1)2=3与圆C2:x2+(y-1)2=3的位置关系是() A.相离 B.相交 C.外切 D.内切 3.过点(-1,6)且与直线2x+6y-7=0平行的直线方程为（) A.x-3y+19=0 B.x+3y-19=0 C.x+3y-17=0 D.3x-y+9=0 4.已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线段PP,P'为垂足，则线段PP的 中点M的轨迹方程为() A若190)R6号10)c6+号10) D.兰+=1(y>0) 164 168 168 5.在正方体ABCD-ABCD中，E为线段AC的中点，则异面直线DE与B,C所成角的大小为(). A.90° B.60° C.45° D.30° 6.已知椭圆+y =1(0<b<4)的左、右焦点分别为耳，E,,过的直线交椭圆于A,B两点，若 16b2 BF+AF的最大值为10，则b的值是() A.√2 B./6 C.2W2 D.23 设，飞分别是双曲线。-(>0，b>0的左右焦点，P为双曲线左支上一点，且满足PP☑ 直线PF,与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为() A B.5 C.2 D.5 8.己知点P是直线：x-y-5+1=0和l2:x+y-5m-1=0的交点，点2是圆C:(x+1)2+y2=1上的动 点，则川PQ的最大值是() A.8+2√2 B.6+2W2 C.7+25 D.6+25 第1页共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共8分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部 选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分」 9.已知椭圆C:+”=1的左、右焦点分别为R,乃，P是c上的动点，则() 43 A.PE+PE引=8 B.P的最大值为3 C.存在点P,使得PE⊥PF D.PPF的最大值为4 10.已知A(-1,0,1),B(2,1,1),C(0-1,1)是空间中的三个点，则() A.向量AB的模长为4 B.直线AB的一个方向向量为(6,2,0) C.向量4正在向量AG方向上的投影向量为(2，-1,1) D.若D(1,0,1),则A,B,C,D四点共面 1.双曲线C:上-1的左右焦点分别为R、乃，左右顶点分别为4B,设P(K,),若P是右支上一 44 点（与B点不重合），过点P的直线1与双曲线C的左支交于点Q,与其两条渐近线分别交于S,T两点，则 下列结论中正确的是() A.P到两条渐近线的距离之积为2 B.Pr=√2x。-2 C.当直线1运动时，始终有2S=TP到 D.在△PAB中，tan∠PAB+tan∠PBA+2tan∠APB=0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知直线1的方向向量为(2m1),平面a的法向量为1，)4， 且1∥&，那么m= 13.双曲线-上=1的右焦点为，点P,Q在双曲线上，且关于原点O对称.若PF1OP,则△POF 4 的面积为 14.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点A,B的距离之比为常数 入(2>0,2≠1)的点的轨迹是一个圆心在直线AB上的圆，该圆被称为阿氏圆.如 A 图，在长方体ABCD-ABCD中，AB=2AD=2AA=12,点E在棱AB上， D BE=2AE,动点P满足BP=√3PE,若点P在平面ABCD内运动，则点P对应 E 第2页共4页 的轨迹的面积是 ;F为CD的中点，则三棱锥P-B,CF体积的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知圆C是以点C(0,2)为圆心，且过点M-2√2,3)的圆. (1)求圆C的标准方程； (2)若点A的坐标为(3，-3)，求过点A的圆C的切线方程. 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB/IDC,AD=DC=AP=2,AB=1, E为棱PC的中点， (1)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值： (2)求点D到平面PBC的距离. 1,已知椭圆C若+若=1Q>6>0的右顶点为84,0.以稀质的四个预点为原点的四边形的街积为16 (1)求椭圆C的标准方程： (2)直线1与曲线C相交于A,B两点，点P ,3 是线段AB的中点，求直线I的方程和线段AB的长. 2 第3页共4页 18已知双商线r答长1a>0b0,右焦点为2,0)，7-Q是它一条渐近线的个方向响显 (1)求双曲线T的标准方程： (2)若双曲线Γ的右顶点为A,过焦点F的直线I与T的右支交于P,Q两点，直线AP,AQ分别与直线x= 交 于M,N两点，记直线AP,AO的斜率分别为k,k2,△AP2,△AMN的面积分别为S,S2 (i)求证：kk为定值： (i求：的取值范围 S, 19.已知桶圆C若茶1a>b~0的左、右焦点分别为天，只，离心学为，焦距为2，经过点5且 倾斜角为00<0<习到的直线1与椭国交于，B两点（其中点A在x轴上方）。将平面0沿x轴向上折 叠，使二面角A-耳E-B为直二面角，如图所示，折叠后A,B在新图形中对应点记为A',B, (1)求椭圆C的方程： (②当0-号时，求平面4和平面4"8g所成角的余弦值： (3)是否存在60<0<四 2 使相折叠后B风的周长为？者存在，求m9的值：若不存在，请说明理 由 F 折叠前 折叠后 第4页共4页