精品解析：湖南省花垣县华鑫教育集团2025-2026学年九年级上学期12月阶段测试数学试题

2025年秋华鑫教育集团12月份考试卷 九年级数学 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 一、填空题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本 大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 5，4，1 B. 5，4， C. 5，， D. 5，，1 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币正面朝上 B. 太阳从西边升起 C. 守株待兔 D. 五边形内角和 4. 在平面直角坐标系中，已知点，点A关于坐标原点O的中心对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 经过原点 C. 对称轴右侧部分是上升的 D. 顶点坐标是 6. 某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 8. 二次函数的图象如图所示，若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O_____．（填“相交”、“相切”、“相离”） 12. 如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是________． 13. 如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为______． 14. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积__________． 15. 将二次函数的图象向下平移4个单位长度，得到的函数的解析式是______． 16. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 17. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 18. 如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题8分，第23，24每小题9分，第25，26每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或验算步骤） 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 近期江苏省举行城市足球联赛，在一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“苏”、“超”、“联”、“赛”的四个小球．除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“苏”的概率是______． （2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“苏超”或“联赛”的概率． 21. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积． 23. 如图，在中，，点B是上一点，的角平分线交以为直径的于点E，过点B作，垂足为F， 恰好过点C． （1）求证：是切线； （2）若，求的长． 24. 蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4把．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元， （1）求y关于x的函数关系式； （2）为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？ （3）当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 25. 定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 26. 已知抛物线（）与轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，当点在第二象限时，连接，交轴于点．当平分时，求点的坐标； （3）如图，当点在第三象限时，过点作于点，作交抛物线于点，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋华鑫教育集团12月份考试卷 九年级数学 考试时长：120分钟 试卷总分：120分 一、填空题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项，本 大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A. 5，4，1 B. 5，4， C. 5，， D. 5，，1 【答案】C 【解析】 【分析】对照一元二次方程的一般形式，其中叫做二次项，叫做二次项系数； 叫做一次项； 叫做常数项，找二次项系数，一次项，常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是5、、． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的一般形式的认识，关键是掌握任何一个关于x的一元二次方程经过整理成一般形式，识别各项及项的系数，易错点：系数的符号． 2. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 投掷一枚硬币正面朝上 B. 太阳从西边升起 C. 守株待兔 D. 五边形内角和 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了随机事件，不可能事件，随机事件的概念，能区分各个概念是区分此题的关键． 必然事件：必然事件指在一定条件下一定发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件； 随机事件：随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件； 根据必然事件．不可能事件．随机事件的概念可区别各类事件． 【详解】解：A．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故选项不符合题意； B．太阳从西边升起是不可能事件，故选项不符合题意； C．守株待兔是随机事件，故选项不符合题意； D．五边形内角和是必然事件，该选项符合题意． 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，已知点，点A关于坐标原点O的中心对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标关于原点对称规律，由关于原点对称的点，横纵坐标均与原坐标互为相反数，即可求解． 【详解】解：∵点关于原点O对称， 对称点的坐标为． 故选：C． 5. 关于二次函数的图象，下列说法正确的是（ ） A. 开口向下 B. 经过原点 C. 对称轴右侧部分是上升的 D. 顶点坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的图象与性质进行排除选项即可． 【详解】解：由二次函数，可知：，开口向上，顶点坐标为，故A、D错误； 当时，，故不经过原点，B错误； ∵，对称轴为直线， ∴在对称轴右侧（），y随x增大而增大，即上升的，故C正确； 故选C． 6. 某人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了人，则正确的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由每一轮传染中平均每人传染了人，可以得到第一轮传染中有人被传染，第二轮传染中有人被传染，结合已知的总感染人数即可列出一元二次方程，本题考查了根据实际问题列一元二次方程，解题的关键是：根据题意找出等量关系． 【详解】解：有一人患了流感，每一轮传染中平均每人传染了人， 第一轮传染中有人被传染，第一轮结束后有人患流感， 第二轮传染中，人每人又传染了人，即，加上第二轮开始的人， 根据题意列式：， 整理得：， 故选：． 7. 已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　） A. 8 B. 10 C. 16 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 如图所示，连接，则，由垂径定理可得，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，则， ∵弦于点，，， ∴， ∴在中，， ∴的直径为20． 故选：D． 8. 二次函数的图象如图所示，若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，解一元一次不等式，熟练掌握它们的性质是解题的关键； 根据二次函数的顶点坐标和开口得，，然后根据与一元二次方程的关系列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】解∵二次函数的图象开口向上，顶点坐标为， ∴，即， ∵一元二次方程有实数根， ∴， ∴． ∴， ∴． 故选D． 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是．有下列结论： ①小球从抛出到落地需要； ②小球运动中的高度可以是； ③小球运动时的高度小于运动时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，令解方程即可判断①；配方成顶点式即可判断②；把和代入计算即可判断③． 【详解】解：令，则，解得：，， ∴小球从抛出到落地需要，故①正确； ∵， ∴最大高度为， ∴小球运动中的高度可以是，故②正确； 当时，；当时，； ∴小球运动时的高度大于运动时的高度，故③错误； 故选C． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若m和n是关于x的一元二次方程的两根，且，则，．其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴，，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程的两根， 且，则，；故④正确； 故正确的有①②④，共3个， 故选：C． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O_____．（填“相交”、“相切”、“相离”） 【答案】相交 【解析】 【分析】设圆的半径为，点到直线的距离为，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离，从而得出答案． 【详解】解：设圆的半径为，点到直线的距离为， ，， ， 直线与圆相交． 故答案为：相交． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离与圆半径大小关系完成判定． 12. 如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：由题意可得： 边数为， 则它的边数是10． 故答案为：10． 13. 如图，在中，，．将绕点逆时针方向旋转，得到，连接．则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上性质是解题关键． 由旋转性质可判定为等腰直角三角形，再由勾股定理可求得的长． 【详解】解：由旋转性质可知，， 则为等腰直角三角形， ∴． 故答案为：． 14. 已知扇形的圆心角为，半径为2，则这个扇形的面积__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，掌握扇形面积公式是解决问题的关键．利用扇形面积求解即可． 【详解】解：，， ． 故答案为． 15. 将二次函数的图象向下平移4个单位长度，得到的函数的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规律，向下平移4个单位长度相当于在函数值上减去4个单位长度即可得解，熟练掌握二次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移4个单位长度，得到的函数解析式为， 故答案为：． 16. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点，．如图所示，则能使成立的x的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数与不等式．根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的交点横坐标分别为， ∴使成立的的取值范围为或， 故答案为：或． 17. 如图，四边形内接于，，连接、，则____． 【答案】140 【解析】 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：四边形内接于， ， ， 由圆周角定理得：， 故答案为：140． 18. 如图，直角△ABC中，，，，点P是内部一动点，总满足，连接，则的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】作的外接圆，连接，过点O作交的延长线于H．求出，根据，可得结论． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接，过点O作交的延长线于H． ∵， ∴优弧所对的圆心角的度数为， ∴劣弧所对的圆心角：， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴BP的最小值为． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，求出，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8个小题，第19，20题每小题6分，第21，22题每小题8分，第23，24每小题9分，第25，26每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或验算步骤） 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法等）是解题关键． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可得； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 20. 近期江苏省举行城市足球联赛，在一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“苏”、“超”、“联”、“赛”的四个小球．除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． （1）若从中任取一个球，求球上的汉字刚好是“苏”的概率是______． （2）从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求取出的两个球上的汉字恰能组成“苏超”或“联赛”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法，概率公式，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法． （1）直接根据概率公式计算，即可求解； （2）根据题意，列出表格，可得一共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“苏超”或“联赛”的有4种，再根据概率公式计算，即可求解． 【小问1详解】 解：∵有汉字“苏”、“超”、“联”、“赛”的四个小球，任取一球，共有4种不同结果， ∴球上的汉字刚好是“苏”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：从中任取一球，不放回，再从中任取一球，列表如下： 苏 超 联 赛 苏 - 苏超 苏联 苏赛 超 苏超 - 超联 超赛 联 苏联 超联 - 联赛 赛 苏赛 超赛 联赛 - 一共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰能组成“苏超”或“联赛”的有4种， 所以取出的两个球上的汉字恰能组成“苏超”或“联赛”的概率为． 21. 已知：在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于原点成中心对称的，并写出点的坐标； （2）画出将绕点按顺时针旋转所得的． 【答案】 （1）如图所示，即为所求， 点的坐标为； （2）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得； 分别作出点、绕点按顺时针旋转所得的对应点，再顺次连接即可得． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键． 22. 已知关于x的方程． （1）求证：方程恒有两个不相等的实数根； （2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积． 【答案】（1） 证明：， ， 在实数范围内，无论取何值，，即， 关于的方程恒有两个不相等的实数根； （2）方程的另一根为；或 【解析】 【分析】本题综合考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类讨论”的数学思想． （1）根据关于的方程的根的判别式的符号来证明结论； （2）根据一元二次方程的解的定义求得值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类讨论：①当该直角三角形的两直角边是1、3时，即可求得直角三角形的面积为；②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另一直角边为，即可求得直角三角形的面积为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据题意，得 ， 解得， ， ， 或， 则方程的另一根为； ①当该直角三角形的两直角边是1、3时， 该直角三角形的面积为； ②当该直角三角形的直角边和斜边分别是1、3时， 该直角三角形的另一直角边为； 该直角三角形的面积为； 综上，该直角三角形的面积为或． 23. 如图，在中，，点B是上一点，的角平分线交以为直径的于点E，过点B作，垂足为F， 恰好过点C． （1）求证：是切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点C在上， ∴：是切线； （2） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接，先根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再利用三角形内角和定理求出即可证明结论； （2）由是直径，得到，再由含30度角的直角三角形的性质得到，由角平分线的定义得到，即可证明是等腰直角三角形，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 24. 蜀绣，是巴蜀地区流行的一种民间工艺，国家级非物质文化遗产之一，某经销商从工厂以30元每把的价格购进一批蜀绣团扇，经市场调研，当该蜀绣团扇每把的销售价为50元时，每周可销售120把，当每把的销售价每增加1元，每周的销售量将减少4把．设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把，利润为w元， （1）求y关于x的函数关系式； （2）为保证每周获得2400元的销售利润，则每周该蜀绣团扇的销售价应定为多少？ （3）当销售价定为多少时，每周的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元 （3）当销售价定为55时，每周的销售利润最大，最大利润是2500元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，一次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据销售量＝原来的销售量－减少的销售量，即可解答； （2）根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答； （3）根据总利润＝单个利润总数量进行计算，即可解答． 【小问1详解】 设该蜀绣团扇每件的销售价为x元，每周的销售量为y把， ； 【小问2详解】 当利润为w元时， ， 当元时，， ， ， ， 或， 每周该蜀绣团扇的销售价应定为60元或50元． 【小问3详解】 由（2）可得， ， 当时，函数有最大值， 当销售价定为55时，每周的销售利润最大，最大利润是2500元． 25. 定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． 【解决问题】 （1）已知29是“完美数”，请将它写成（a，b是整数的形式）______； （2）若可配方成（m，n为常数），则的值为______； 【探究问题】 （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． 【拓展结论】 （4）已知x，y满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2）2； （3）当时，为“完美数”，理由如下： ， 当时，，则，为完美数； （4）4 【解析】 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，完全平方公式的应用，熟练的掌握完全平方公式的特点与性质是解本题的关键． （1）根据“完美数”可得答案； （2）利用完全平方公式可得，从而可得答案； （3）利用完全平方公式可得，再利用新定义可得答案； （4）由条件可得，再结合非负数的性质可得最小值． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）； ∴，， ∴； （3） 略 （4）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时， 有最小值，最小值为4． 26. 已知抛物线（）与轴交于，两点，与y轴交于点，连接，点是抛物线上一动点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图，当点在第二象限时，连接，交轴于点．当平分时，求点的坐标； （3）如图，当点在第三象限时，过点作于点，作交抛物线于点，当时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把，，代入，待定系数法即可求出、、的值，进而得出该抛物线的函数表达式； （2）过点作于点，则，由角平分线的性质定理可得，由，可得，，进而可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，即，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，则，设，由勾股定理可得，由可得，解方程即可求出的值，进而可得点的坐标； （3）连接，过点作轴，交直线于点，由可得，由两直线平行内错角相等可得，由等边对等角及三角形的内角和定理可得，设直线的函数表达式为，将，代入，直线的函数表达式为，设，由可得直线的函数表达式为，设，，则，由直线与抛物线交于点，可得，由一元二次方程的根与系数的关系可得，，由（2）得，由两直线平行内错角相等可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，过点作于点，则，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，由等角对等边可得，，由内错角相等两直线平行可得，由勾股定理可得，即，进而可得，再结合，，可得即可得出点的坐标． 【小问1详解】 解：把，，代入，得： ， 解得：， 该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 则， 平分， ， ，， ，， ， ， ， 即：， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， 点的坐标为； 【小问3详解】 解：如图，连接，过点作轴，交直线于点， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得： ， 解得：， 直线的函数表达式为， 设， ， 直线的函数表达式为， 设，，则， 直线与抛物线交于点，， ， 整理，得：， ，， 由（2）得：， 轴， ， ， 如图，过点作于点， 则， ， ， ，，， ， ， 即：， ， ，， ， 整理，得：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ， 即：， 解得：，， 或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，求一次函数解析式，一次函数图象平移问题，一元二次方程的根与系数的关系，角平分线的性质定理，因式分解法解一元二次方程，等边对等角，等角对等边，三角形的内角和定理，直角三角形的两个锐角互余，两直线平行内错角相等，内错角相等两直线平行，完全平方公式，代数式求值，解三元一次方程组，解二元一次方程组，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $