专题08 圆中的重要模型之圆幂定理模型（几何模型讲义）数学苏科版九年级下册

该初中数学复习讲义以“圆幂定理模型”为核心，通过分类梳理构建知识体系，用框架图呈现相交弦、双割线、切割线、弦切角、托勒密定理五大模型的内在联系，每个模型均以“条件-结论-证明”结构呈现，搭配对比表格归纳不同模型的适用场景，清晰展现重难点分布。 讲义亮点在于“真题引领-模型提炼-分层应用”的设计逻辑，结合2025年重庆、河南等地模拟题，通过相交弦模型计算线段乘积、托勒密定理证明四边形边长关系等例题，培养学生几何直观与推理意识。基础题帮助掌握定理应用，综合题提升模型迁移能力，配套错题集锦标注易错点，既支持学生自主梳理知识，也为教师实施分层教学提供精准素材。

专题08 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． 【答案】（新知探究）：见详解；（类比探究）：；（延伸结论）： 【详解】（新知探究）：∵， ∴，∴，； （类比探究）：如图所示：连接，       ∵四边形是圆内接四边形，， ，，； （延伸结论）：如图所示：连接， 是的切线，，，， 是的直径，，，， ，，， ，，，． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等， (2) 【详解】（1）证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（同弧所对的圆周角相等）． ．∴，．，． ，，即． ．∴，． ． 故答案为：同弧所对的圆周角相等，； （2）连接，作于点， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，设，则：， 由托勒密定理，得：，∴，∴． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（24-25·山东菏泽·九年级校考期中）如图，已知、、、在同一个圆上，，与交于，若，，且线段、为正整数，则 ．    【答案】7 【详解】解：，∠BAC=∠DAC，∠DBC=∠DAC，∠BAC=∠DBC， 又∠BCE=∠ACB，△ABC∽△BEC，，，，EC=2，AE=6， ，，，即， 又由线段、为正整数，且在△BCD中，， BE=3、DE=4或BE=4、DE=3，BD=BE+DE=7；故答案为7． 例2（2025·河南信阳·二模）阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点．求证：． 证明：如图，连接， ∵，，∴①___________，___________∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整；(2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，，∴，，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等，故答案为：，； （2）解：延长交于点，延长交于点， 设的半径为，则，， 由（）可得，，∴，解得，∴的半径为． 模型2.割线模型 例1（24-25九年级下·江苏·期中）如图，、是的割线，，，，则 ． 【答案】9 【详解】解：根据割线定理得：PA•PB=PC•PD． ∵PA=3，PB=6，PC=2，∴PD==9． 例2（24-25·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ． 【答案】 【详解】如图，延长交圆于点D，连接、， 四边形为圆内接四边形，∴． ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，， ∵，∴，∴半径为，故答案为：． 例3（2025·河南·校考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 【答案】证明一：，∽，；证明二见解析 【详解】解：证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴． 又∵，∴∽，∴．即． 故答案为：，∽，， 证明二：连接、， ∵四边形为圆内接四边形，∴， 又∵，∴， 又∵，∴∽，∴，即． 模型3.切割线模型 例1（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为 . 【答案】 【详解】解：∵PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是⊙O的割线，∴PA2=PB•PC， ∵PB=BC=2，∴PC=4，∴PA2=4×2，∴ 故答案为 例2（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径，，（__________）…… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务：任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程；任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；任务二：见解析；任务三：3 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径，，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点，，，， 又和是弧所对的圆周角，，． 任务三：∵是直径，∴， ∵，∴垂直平分，∴，∴， ∵是切线，∴由任务二可知：， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即：， ∴，∴，∴的半径为3． 例3（2025·湖北·校考一模）如图，以边的边为直径作圆O，交于D，E在弧上，连接、、，若．(1)求证：为切线；(2)求证：； (3)若点E是弧的中点，与交于点F，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：为直径，，， ，，，，即， 是直径，为切线． （2）证明：，， ，，， （3）解：，，，，， 在中，， 在中，，过点F作，垂足为点G，如图， 点E是弧的中点，，， ，，，， 又，． 模型4.弦切角模型 例1（2025·河南周口·二模）弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ．求证： ． 【答案】直线与相切于点C；；证明见解析 【详解】解：如图，内接于⊙O，直线与相切于点C，求证：．连接， ∵直线与相切于点C，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，即． 故答案为：直线与相切于点C，． 例2（24-25九年级上·山西大同·期中）阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A（依据1） 是的直径 （依据2）      任务：(1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________依据2：________________________ (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 【答案】(1)依据1：圆的切线垂直于过切点的半径；依据2：直径所对的圆周角是直角 (2)，，，(3)2 【详解】（1）解：与相切于点A， （圆的切线垂直于过切点的半径），， 是的直径，，（直径所对的圆周角是直角） 故答案为：圆的切线垂直于过切点的半径；直径所对的圆周角是直角； （2）证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A，（圆的切线垂直于过切点的半径），， 是的直径，，（直径所对的圆周角是直角）， ，，； （3）解：弦切角，由（2）可知：，， 为直径，，在中，，． 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，    ，， 在中，，，， ，，在中，， 在中，，， 在中，，， 四边形是的内接四边形，， ，解得：，故选：B． 例2（24-25·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务： 托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理． 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形内接于． 求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图2，作，交于点E． ∵∴（依据1） ∴（依据2） ∴∴ ∵∴ ∵∴即 ∴ ∴ ∴ ∴ 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：_____________________________． 依据2：_____________________________． （2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形相似；（2） 【详解】解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等． “依据2”是两角对应相等的两个三角形相似． 故答案为：同弧所对的圆周角相等；两角对应相等的两个三角形相似． （2）∵为的直径，∴， ∵点D为的中点，∴，∴，∴在中， ∵∴在中， ∵∴，∴ 例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践：在学习图形的旋转过程中，我们经常会发现对图形旋转变换放大或缩小后形成的图形和原图形可能会构成新的全等或相似图形．请运用该经验进行以下的研究． (1)操作判断：等边三角形绕点逆时针旋转度后各边缩小为原来的一半得到，如图，连接、，延长，交于点，则线段和之间的数量关系为_______，_______． (2)知识拓展：托勒密定理是几何知识中的重要定理．它指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，．在上取点，连接，使得．利用图中出现的相似三角形完成定理的证明． (3)定理应用：有一个形状尚不确定的四边形模具如图所示，现需要研究、两点之间的长度是否符合标准．已知四边形中，，请直接写出的最大值． 【答案】(1)，(2)见解析(3) 【详解】（1）解：由旋转可知，，， 为等边三角形，，， 在和中，，，，， 在与中，，， ，，，故答案为：，； （2）证明：，，，，， ，，， ，，，，， ，，，， ； （3）解：如图，， ，、、、四点共圆， 连接、，则为圆的直径，，， 延长至，使，连接，，，， ，，，， ，，，，， ，，当最大时，最大， 是圆的一条弦，最大为圆的直径，最大为， ，的最大值为． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，∴，，，    ∵，，∴，， ∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，，，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， 在中，，∴，由托勒密定理得：， ∴，∴， ∴四边形的周长为，故选：． 2.（24-25九年级下·成都·期中）是外一点，切于，割线交于点、，若，则的长是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵PB=BC=3，∴PC=6，∵PA2=PB⋅PC=18，∴ 故选:C. 3．（24-25·广西·九年级期中）如图：若弦经过圆O的半径的中点P，且，则圆O的直径为（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】解：延长交于点D，连接，    设，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，解得或（舍去），经检验是原方程的解， ∴．∴圆O的直径为8．故选：B． 4．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为 ． 【答案】/15度 【详解】解：如图，连接，，，，作于F， ∵是圆的切线，E为切点，∴，∵，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∵是的直径，∴，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，设，则， ∵，∴，∵，， ∴，∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，在中，， ∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 5．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）从圆外一点向圆引切线和最长割线，如果切线长，割线长为，则切点到割线的距离为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，依题意，，是直径 ∵，，∴ 又∵，∴∴ 设的半径为，则，∴解得：， 则，设，则，∴解得： ∴即切点到割线的距离为，故答案为：． 6．（2025·湖南·模拟预测）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接AD，AC， ∵五边形ABCDE是正五边形，则∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2， ∴AD=AC=BD，设BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x， 解得x1=1+，x2=1−（舍去），∴BD=1+．故答案为：． 7．（2023·山西吕梁·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项． 证明过程如下：如图1：已知：点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证： 证明：连接并延长交于C，连接， ∵是的切线，（依据________________________________) ∵是的直径，（依据_______________________________)    又∵（依据_____________________________________). . . . . . 任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．(2)把证明过程补充完整． (3)定理应用：已知为的切线，T是切点，是的割线，交于D，为的直径，，求的长． 【答案】(1)切线的性质定理；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：连接并延长交与C，连接， ∵是的切线，（依据：切线的性质定理) ∵是的直径，（依据：直径所对的圆周角是直角)   又∵（依据：同弧所对的圆周角相等)………… 故答案为：切线的性质定理；直径所对的圆周角是直角；同弧所对的圆周角相等． （2）证明：连接并延长交与C，连接， ∵是的切线，（依据：切线的性质定理) ∵是的直径，（依据：直径所对的圆周角是直角)    又∵（依据：同弧所对的圆周角相等) 又∵∴     ． （3）解：设，如图：连接， ∵∴， ∴，即，解得：或（舍去） 由切割线定理，由勾股定理可得： ，解得，∴. 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径，． 是的直径，（____________）．．∴____________， （____________），∴____________， ，，．． 任务：(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； (2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）如图②，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径，． 是的直径，（直径所对的圆周角相等）， ，．，． ，， （相似三角形的对应边成比例），． 故答案为：直径所对的圆周角相等；；圆周角定理；； （2）图3中，连接，， ，设，，，则， 是的切线，是割线，由割线定理得，则， 解得（负值舍去），，，，则， 是的直径，是的切线， ，； ，，∴，则， ，． 10．（2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．(1)求证：；    (2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上） (3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示． 【答案】(1)见解析(2)0，1，0(3)①等腰三角形，理由见解析，② 【详解】（1）证明：，，即， 又，； （2），，，， ∵∴，∴， ∵，，， ，， ，，，， ，，，故答案为：0，1，0 （3）①记的面积为，则， ，① ，即，② 由①②可得，即，， ，即， ∴点D和点C到的距离相等，，， ，，都为等腰三角形； ②，，，，， ，， ，，又，，， ，， 则，，． 11.（24-25·广东九年级期中）如图，为外接圆⊙O的直径，交于点F，且． (1)求证：是⊙O的切线；(2)求证：；(3)若，，，求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5 【详解】（1）证明：连接，交于G，如图所示．    ∵，，∴， ∵为⊙O的直径，∴，∴， ∵，为半径，∴， ∴， ∴，即 ，∵是半径，∴与⊙O相切于点A． （2）证明：∵，，∴，∴，∴． （3）解：设⊙O的半径为r，∵是⊙O的切线，∴于A， ∵，∴于G，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，解得，∴⊙O的半径为5． 12．（24-25九年级上·河南新乡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题：    (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)． 【详解】（1）证明：∵是的直径,∴，∴， ∵所在的直线是的切线，点恰好在所在的直线上， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴． （2）证明：∵，,∴.∴，即． （3）解：由（2）可知，∵， ∴，． 13．（2025·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．    【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解： 为正三角形，． 四边形为圆内接四边形，∴； （2）证明：由（1）知，，∵， 又∵，∴．∴则又∵，∴． 14．（2025·广东汕头·校考一模）如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线；(2)求证：(3)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）如图，连接．∵平分，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， ∵∴∴∴半径，∴是的切线； （2）如图，连接．∵∴ ∵为的直径，∴，∴， ∵，  ∴，∴∵∴， ∵四点共圆，∴，∴，∴， ∵，∴，  ∴， ∵，∴∴，∴， 在中，，∴，∴． （3）如图，连接，交于点H．∵是的直径，∴， ∵，∴， ∵，∴，  ∴，∵，∴， ∵∴∴， ∴，∴，∴． 15．（2025·湖北·校联考二模）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连接，与直线交于点． (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是直径，，， ，，，，， ，∽； （2）解：设cm，由上可知 解得，（舍去），． 16．（2025·陕西宝鸡·三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接，与互余，． (1)求证：是圆的直径；(2)若圆的半径为，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，与互余，， ，，是圆的直径． ，，，是圆的直径． （2）解：是圆的直径，点为圆心，，， 是圆的切线，，即，， ，，， ，，，． 17．（24-25·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)转化思想和类比思想(4) 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴， ∴，∴，∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴； （3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； 故答案为：思想转化思想和类比思想 （4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴．故答案为：． 18．（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 托勒密定理:希腊著名天文学家托勒密（Ptolemy）重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，书中提出了著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和（图1），即． 证明如下：如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：___▲___），，， ①．……，②． 由①②，得，即． 启发：如图3，内接正五边形的边长为1，求对角线的长． 任务：(1)研究报告中，“▲”处空缺的内容：_____；(2)将“……”处的证明过程补充完整； (3)材料“启发”中，对角线的长为_____． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等(2)见解析(3) 【详解】（1）解：根据题意可知，研究报告中，“▲”处空缺的内容为同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等． （2）解：证明如下：如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：同弧所对的圆周角相等），，，①． （理由：同弧所对的圆周角相等）， 又，即，， ，②． 由①②，得，即． （3）解：连接，，内接正五边形的边长为1，，，，同理可得，，， 解得或（不合题意，舍去），故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（24-25·山东菏泽·九年级校考期中）如图，已知、、、在同一个圆上，，与交于，若，，且线段、为正整数，则 ．    例2（2025·河南信阳·二模）阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点．求证：． 证明：如图，连接， ∵，，∴①___________，___________∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整；(2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 模型2.割线模型 例1（24-25九年级下·江苏·期中）如图，、是的割线，，，，则 ． 例2（24-25·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ． 例3（2025·河南·校考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 模型3.切割线模型 例1（24-25·江苏盐城·九年级统考期中）如图，与切于点，是的割线，如果，那么的长为 . 例2（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径，，（__________）…… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务：任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程；任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 例3（2025·湖北·校考一模）如图，以边的边为直径作圆O，交于D，E在弧上，连接、、，若．(1)求证：为切线；(2)求证：； (3)若点E是弧的中点，与交于点F，当，时，求的长． 模型4.弦切角模型 例1（2025·河南周口·二模）弦切角定理是指弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 举例来说，假设有一个圆，一条切线与圆相切于点C，一条弦，那么由切线和弦构成的弦切角 与弦AC和切线所夹的弧 对应的圆周角相等． 为了说明这一说法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知： 如图， 内接于， ．求证： ． 例2（24-25九年级上·山西大同·期中）阅读以下材料，并完成相应的任务： 定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角．弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 下面是该定理的部分证明过程： 已知：如图，与相切于点A，点，在上，连接，，． 求证：． 证明：连接并延长，交于点，连接． 与相切于点A（依据1） 是的直径 （依据2）      任务：(1)上述证明过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：________________________依据2：________________________ (2)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分． (3)已知图中的半径2，弦切角，直接写出的长． 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 例2（24-25·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务： 托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理． 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形内接于． 求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图2，作，交于点E． ∵∴（依据1） ∴（依据2） ∴∴ ∵∴ ∵∴即 ∴ ∴ ∴ ∴ 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：_____________________________． 依据2：_____________________________． （2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长． 例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践：在学习图形的旋转过程中，我们经常会发现对图形旋转变换放大或缩小后形成的图形和原图形可能会构成新的全等或相似图形．请运用该经验进行以下的研究． (1)操作判断：等边三角形绕点逆时针旋转度后各边缩小为原来的一半得到，如图，连接、，延长，交于点，则线段和之间的数量关系为_______，_______． (2)知识拓展：托勒密定理是几何知识中的重要定理．它指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，．在上取点，连接，使得．利用图中出现的相似三角形完成定理的证明． (3)定理应用：有一个形状尚不确定的四边形模具如图所示，现需要研究、两点之间的长度是否符合标准．已知四边形中，，请直接写出的最大值． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 2.（24-25九年级下·成都·期中）是外一点，切于，割线交于点、，若，则的长是（       ） A． B． C． D． 3．（24-25·广西·九年级期中）如图：若弦经过圆O的半径的中点P，且，则圆O的直径为（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 4．（24-25九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为 ． 5．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）从圆外一点向圆引切线和最长割线，如果切线长，割线长为，则切点到割线的距离为 ． 6．（2025·湖南·模拟预测）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 7．（2023·山西吕梁·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到与圆交点的两条线段长的比例中项． 证明过程如下：如图1：已知：点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证： 证明：连接并延长交于C，连接， ∵是的切线，（依据________________________________) ∵是的直径，（依据_______________________________)    又∵（依据_____________________________________). . . . . . 任务：(1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格．(2)把证明过程补充完整． (3)定理应用：已知为的切线，T是切点，是的割线，交于D，为的直径，，求的长． 9．（2025·湖北武汉·模拟预测）阅读：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．即，如图1，，是的切线，直线为的割线，则．下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图1所示，连接，连接并延长交于点，连接、． 是的切线，是的半径，． 是的直径，（____________）．．∴____________， （____________），∴____________， ，，．． 任务：(1)请在上面横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据； (2)如图2，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足，，求的长． 10．（2023·湖南长沙·统考中考真题）如图，四边形内接于，对角线，相交于点E，点F在边上，连接．(1)求证：；    (2)当时，则___________；___________；___________．（直接将结果填写在相应的横线上） (3)①记四边形，的面积依次为，若满足，试判断，的形状，并说明理由．②当，时，试用含m，n，p的式子表示． 11.（24-25·广东九年级期中）如图，为外接圆⊙O的直径，交于点F，且． (1)求证：是⊙O的切线；(2)求证：；(3)若，，，求⊙O的半径． 12．（24-25九年级上·河南新乡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题：    (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，，求的长． 13．（2025·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．    14．（2025·广东汕头·校考一模）如图，是的直径，点C，D在上，平分，过点D作的垂线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接． (1)求证：是的切线；(2)求证：(3)若，求的长． 15．（2025·湖北·校联考二模）如图，已知是的直径，点是上一点，连接，，过点作直线于点，点是上一点，直线交于点，连接，与直线交于点． (1)求证：；(2)若，，求的长． 16．（2025·陕西宝鸡·三模）如图，是圆的弦，过点作圆的切线，点是上一点，连接交圆于点，延长交圆于点，连接，与互余，． (1)求证：是圆的直径；(2)若圆的半径为，，求的长． 17．（24-25·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 18．（24-25九年级上·山西朔州·期末）阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应任务． 托勒密定理:希腊著名天文学家托勒密（Ptolemy）重要著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，书中提出了著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和（图1），即． 证明如下：如图2，在上取一点，连接，使． 又（理由：___▲___），，， ①．……，②． 由①②，得，即． 启发：如图3，内接正五边形的边长为1，求对角线的长． 任务：(1)研究报告中，“▲”处空缺的内容：_____；(2)将“……”处的证明过程补充完整； (3)材料“启发”中，对角线的长为_____． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $