专题02 图形的相似（重点+难点，江苏精选）-2024-2025学年九年级数学上学期期中期末挑战满分冲刺卷（苏科版，江苏专用）

专题02 图形的相似（重点+难点） 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，4，5，8 C．1，2，， D．1.1，2.2，3.3，4.4 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，平面直角坐标系中，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（    ） A． B． C． D． 8．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知线段，如果线段b是a、c的比例中项，那么 ． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）若图上距离与实际距离之比是，某两地的在地图上的距离是，实际距离为 ． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）若线段上黄金分割点为，且，又的长为，则的长为 12．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，，则的长为 ． 13．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比是 ． 14．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ．    15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知，D是边上的一点（不与重合），E、F分别是的重心，若的面积为14，则的面积为 ． 16．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形的边长是4，的半径是2，点E是上一动点，连接，．则的最小值= ． 三、解答题 17．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知：，求的值． （2）已知，，求的值． 18．（21-22九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，，AB＝12，AE＝6，EC＝4，求AD的长． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是的中点，点在的延长线上，点在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 20．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 21．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中， (1)尺规作图：在图1中作，使得圆心O在边上，并与、都相切（不写作法，保留画图痕迹）； (2)若，，试求第（1）题中所作的半径，利用图2画出必要的草图． 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点E，F  分别在正方形的边，上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 23．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的边和为腰向外作等腰直角和等腰直角，连接． (1)求证：； (2)直接写出的值． 24．（2024·江苏南京·二模）晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 25．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 26．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在正方形中，点，分别在边，上，连接，交于点，已知． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，以为直径的圆交于H，交于点P，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若求正方形的边长． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． (1)求点A，点B的坐标； (2)如图1，直线与二次函数的图像交于A，D两点，点D的坐标是．点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作轴，交x轴于点E，交直线于点Q，过点P作于点F，直线交x轴于点H．若，设点P的横坐标是点t，求L关于t的函数关系式，并求L的最大值； (3)已知点M的坐标是，过点M作y轴的垂线，垂足为点N，若二次函数的图像与线段只有一个交点，则a的取值范围是________． 28．（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为（  ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是 ． 4．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点M，则的长为 ． 三、解答题 5．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值； (3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积． 6．（2024·江苏盐城·模拟预测）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．    (1)若是“近直角三角形”，，，则　　度； (2)如图1，在中，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点D为边上一点，以为直径的圆交于点E，连接交于点F，若为“近直角三角形”，且，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 图形的相似（重点+难点） 一、单选题 1．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，4，5，8 C．1，2，， D．1.1，2.2，3.3，4.4 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积，逐项分析即可得出答案，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键． 【解析】解：A、∵，∴1，2，3，4不是成比例线段，故不符合题意； B、∵，∴3，4，5，8不是成比例线段，故不符合题意； C、∵，∴1，2，，是成比例线段，故符合题意； D、∵，∴1.1，2.2，3.3，4.4不是成比例线段，故不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南通·阶段练习）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查比例的性质，掌握内项积等于外项积是解题的关键．依据比例的性质内项积等于外项积即可得出结论． 【解析】解：∵， ， ∴， 故选∶A． 3．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【解析】解：A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断，故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得，故D不符合题意． 故选：C． 4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，直线，两直线和与，，分别相交于点A、B、C和点D、E、F．下列各式中，不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例的性质，根据平行线分线段成比例的性质（三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例），逐项分析推出正确的比例式，运用排除法即可找到正确的选项，关键在于认真的逐项分析找到成比例的线段． 【解析】解：如图：∵直线， ∴，，， ∴A、B、D选项中的等式成立，C选项中的等式不一定成立， 故选：C． 5．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）如图，平面直角坐标系中，，以A为位似中心，把在点A同侧按相似比放大，放大后的图形记作，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求位似图形对应点坐标，根据位似比可得，则，据此可得到答案． 【解析】解：∵以A为位似中心，把按相似比放大，放大后的图形记作， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的坐标为， 故选：D． 6．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，小杰从灯杆的底部点B处沿水平直线前进到达点C处，他在灯光下的影长米，然后他转身按原路返回到点B处，返回过程中小杰在灯光下的影长可以是（    ） A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用举例，设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G，根据题意得到，证明，得到，由推出，即可得出结论． 【解析】解：设回过程中小杰身高为，连接并延长交于点G， 根据题意得到， ， ， ， ， ， 米， ， 返回过程中小杰在灯光下的影长可以是2.5米， 故选：D． 7．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，E为上一点，连接，且交于点F，， 则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，关键是利用相似三角形的判定与性质；由平行四边形的性质得，从而易得，利用相似三角形面积的比等于相似比的平方，求得相似比，进而求得结果． 【解析】解：∵在中，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 即； 故选：A． 8．（2024·江苏泰州·模拟预测）如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度． 根据已知证，利用勾股定理求出的长，再证明，得出，然后证明，得出对应边成比例，建立关于a、x的方程，求解即可． 【解析】解：∵平分交于点E，且， ， ∴， 又∵， ∴， 设， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故选：D． 二、填空题 9．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知线段，如果线段b是a、c的比例中项，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查比例线段，根据线段b是a、c的比例中项，得到，进行求解即可． 【解析】解：∵线段b是a、c的比例中项， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）若图上距离与实际距离之比是，某两地的在地图上的距离是，实际距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的定义，根据比例尺图上距离实际距离，计算即可得解，熟练掌握比例尺的定义是解此题的关键． 【解析】解：设实际距离为， 由题意得：， 解得：， ， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）若线段上黄金分割点为，且，又的长为，则的长为 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割点的概念，根据黄金分割的定义，当是较长线段时，得到，把代入计算即可． 【解析】解：∵线段上黄金分割点为，且，又， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，，则的长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，得到，进而得到，进而求出的长即可． 【解析】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：12． 13．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）如图，与位似，点O为位似中心，已知，则与的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是位似变换的性质、相似三角形的性质，根据位似变换的性质得到，证明，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可． 【解析】解：∵与位似， ∴，， ∴， ∵ ∴，， ∴， ， ∴， 故答案为：． 14．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）如图，矩形的边，点E、F分别在边上，且四边形为正方形．若矩形与矩形相似，则的长为 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，正方形的性质，相似图形的性质，先由正方形和矩形的性质得到，再根据相似图形的性质得到，即，解方程即可得到答案． 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵矩形与矩形相似， ∴，即， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：． 15．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）已知，D是边上的一点（不与重合），E、F分别是的重心，若的面积为14，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了重心的性质，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理，连接并延长交于G，连接并延长交于H，连接，由重心的定义得到分别是的中线，则是的中位线，即可得到，证明，可得，再由三角形中线的性质推出，由重心的性质可得，则可证明，得到． 【解析】解：如图所示，连接并延长交于G，连接并延长交于H，连接， ∵E、F分别是的重心， ∴分别是的中线， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵三角形中线平分三角形面积， ∴， ∴， ∴， 由重心的性质可得， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图正方形的边长是4，的半径是2，点E是上一动点，连接，．则的最小值= ． 【答案】5 【分析】如图，在上取一点，使得，连接．证明，推出，推出，由，由此可得结论． 【解析】解：如图，在上取一点，使得，连接． ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴的最小值为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查阿氏圆问题，正方形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 三、解答题 17．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）（1）已知：，求的值． （2）已知，，求的值． 【答案】（1）；（2）54． 【分析】（1）设，，，代入，即可求解， （2）设，，，代入，求出值，代入，即可求解， 本题考查了比例的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键． 【解析】解：（1）设， 则，，， 则； （2）由可设，，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 18．（21-22九年级上·江苏淮安·阶段练习）如图，在△ABC中，，AB＝12，AE＝6，EC＝4，求AD的长． 【答案】AD长为7.2． 【分析】直接利用和比例性质直接计算出AD的长． 【解析】解：∵，AB=12，AE=6，EC=4， ∴DB=AB-AD=12-AD， ∴， 解得AD=7.2， 故AD长为7.2． 【点睛】本题考查了比例的性质，求得DB=12-AD是解题的关键． 19．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）如图，在中，是的中点，点在的延长线上，点在边上，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据等边对等角可得，根据三角形的外角的性质结合已知可得，即可得证； （2）根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解． 【解析】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）∵ ∴， 又∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（22-23九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，在轴右侧，以原点为位似中心画一个，使它与位似，且相似比是．    (1)请画出； (2)请直接写出各顶点的坐标； (3)若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是___________． 【答案】(1)见解析 (2)，， (3) 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握位似的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图即可． （2）由图可得答案． （3）由位似变换可得，点的横纵坐标分别除以，即可得点的横纵坐标． 【解析】（1）解：如图，即为所求．    （2）解：由图可得，，，． （3）解：由题意可得，点的坐标为． 故答案为：． 21．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在中， (1)尺规作图：在图1中作，使得圆心O在边上，并与、都相切（不写作法，保留画图痕迹）； (2)若，，试求第（1）题中所作的半径，利用图2画出必要的草图． 【答案】(1)图见详解 (2) 【分析】本题考查了尺规作图和相似三角形的性质，理解切线的性质，正确作出圆心是关键． （1）的角平分线与的交点就是圆心，即可作出圆； （2）连接圆心和两个切点和，则四边形是正方形，，利用相似三角形的性质即可求解． 【解析】（1）解：如图所示： ； （2）解：连接圆心和两个切点和， 则四边形是正方形，， ∴． ， 设正方形的边长是，则， 解得：． 22．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）如图，点E，F  分别在正方形的边，上，且．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质得，则，又根据，则，从而得出，即可由相似三角形的判定得出结论； （2）根据正方形的性质得，再根据得，然后代入计算即可． 【解析】（1）证明：∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵正方形， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴． 23．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，分别以的边和为腰向外作等腰直角和等腰直角，连接． (1)求证：； (2)直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键熟练掌握相似三角形的判定和性质． （）利用等腰直角三角形的性质证明； （）依据所得条件，证明，通过相似三角形的性质即可求解； 【解析】（1）∵，是等腰直角三角形， ∴ ，， ∴ ； （2）由（）得：， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴． 24．（2024·江苏南京·二模）晚上小凯在广场上散步，如图，在广场两盏路灯的照射下，地面上形成了他的两个影子．已知光源B，D的高均为，小凯的身高为，两盏路灯相距，A，C，E，G，H在同一平面内． (1)当影子长为时，求此时小凯到路灯的距离； (2)连接，判断与的位置关系，并说明理由； (3)小凯向上跳起再落下，该过程中最长达到，直接写出小凯头顶离地面的最大高度． 【答案】(1) (2)，见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质： （1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）证明，可得，可得； （3）由，求出，再由求出即可 【解析】（1）解：∵ ∴， ∴ ∵ ∴， 解得，， 答：此时小凯到路灯的距离； （2）解：如图， 由（1）可得：, ∴ 又 ∴， ∴ ∴； （3）解：如图， 同（2）可得， ∴ ∵ ∴， ∴， 又 ∴， ∴ 解得，， 所以，小凯头顶离地面的最大高度． 25．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，四边形内接于，，是对角线，点在的延长线上，且． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)与的延长线交于点，若，，， ①求的值． ②求的长． 【答案】(1)相切，见解析 (2)①；② 【分析】（1）连接，根据圆内接四边形的性质及圆周角定理推出，据此即可得解； （2）连接，与交于点，根据垂径定理得出，，根据题意得到，根据相似三角形的性质得到，据此即可得解； （3）先证明，根据相似三角形的性质得到，再由在中，求解即可． 【解析】（1）解：相切，理由如下， 证明：连接，如图1， ∵ 四边形内接于，， ∴ 是的直径，即点在上． ∴ ． ∴ ． ∵ ． 又∵ ， ∴ ∴，即． ∴ ∵是的半径 ∴是的切线． （2）解：①如图2，与交于点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴垂直平分 ∴ ，． ∴； ②∵ ，， ∴ ． ∴ ∴设，则，． 在中，， ∴ ． 解得：，（舍）． ∴ ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 26．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）在正方形中，点，分别在边，上，连接，交于点，已知． (1)如图1，若，则 ； (2)如图2，以为直径的圆交于H，交于点P，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若求正方形的边长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）证△≌△，可得，由等腰三角形的性质可得结论； （2）由平行线分线段成比例可得，通过证明△△，可得，即可求解； （3）根据角平分线的判定得出，进而得出设列方程即可求解． 【解析】（1）解：四边形是正方形， ，，， ， ∴△≌△， ， ∵， ， 又， ， ∴，， ∴； 故答案为： （2）证明：如图2，过点作于， ， ， ∵，， ， 由（1）可知， ， 又， △△， ， ； （3）解：∵， ， ∵， ∴ 由（1）可知，， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 设 则即 解得， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 27．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧． (1)求点A，点B的坐标； (2)如图1，直线与二次函数的图像交于A，D两点，点D的坐标是．点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作轴，交x轴于点E，交直线于点Q，过点P作于点F，直线交x轴于点H．若，设点P的横坐标是点t，求L关于t的函数关系式，并求L的最大值； (3)已知点M的坐标是，过点M作y轴的垂线，垂足为点N，若二次函数的图像与线段只有一个交点，则a的取值范围是________． 【答案】(1)， (2)，最大值为 (3)或或 【分析】本题考查二次函数的综合运用，涉及求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数与直线交点问题； （1）令得，解方程即可得到点A，点B的坐标； （2）先求出一次函数和二次函数的解析式，设直线与轴交于点，则， 再证明，得到，，最后根据，，代入计算即可； （3）分三种情况：当时，当时，二次函数与直线唯一交点，分别画出图形，结合图形计算即可． 【解析】（1）解：令得， 整理得， 解得， ∵二次函数的图像与x轴交于A，B两点，点A在点B的左侧， ∴，； （2）解：∵直线与二次函数的图像交于A，D两点，点D的坐标是 ∴把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为：， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 设直线与轴交于点，则， ∴，， ∵点P是x轴上方的抛物线上的一个动点，过点P作轴，交x轴于点E，交直线于点Q，点P的横坐标是点t， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时有最大值，最大值为； （3）解：∵点M的坐标是，过点M作y轴的垂线，垂足为点N， ∴， ∵二次函数的图像与线段只有一个交点， ∴当时， 时，解得； 当时， 时，解得； 当二次函数与直线唯一交点时，只有一个解， ∴，解得（舍去）或， 此时，，即二次函数与直线唯一交点在线段上， 综上所述，a的取值范围是或或． 28．（2024·江苏徐州·模拟预测）某兴趣小组在数学活动中，对四边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究： 【初探猜想】如图1，在正方形中，点，分别是、上的两点，连接，，若，试判断线段与的大小关系，并说明理由； 【类比探究】如图2，在矩形中，，，点、分别是边、上一点，点、分别是边、上一点，连接，，若，则______； 【知识迁移】如图3，，在四边形中，，点、分别在线段、上，且，连接，若为等边三角形，求的值； 【拓展应用】如图4，在正方形中，E是的中点，F、G分别是边上的动点，且交于M，连接和，当时，则的最小值为______． 【答案】初探猜想：，理由见解析 类比探究： 知识迁移： 拓展应用： 【分析】初探猜想：证明，进而结论得证； 类比探究：如图2，过作于，过作于，则四边形均为矩形，，，证明，进而可求结果； 知识迁移：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于，则四边形是矩形，四边形是矩形，，同理类比探究，，则，由为等边三角形，，可得，，由勾股定理得，，然后计算求解即可； 拓展应用：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H，先根据勾股定理求出的长，再证和全等得出，求的最小值转化为求的最小值，当A、G、N在一条直线上时最小，即为的长，在等腰直角中求出的长即可． 【解析】初探猜想：解：，理由如下： ∵正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴； 类比探究：解：如图2，过作于，过作于， ∴， ∵矩形， ∴， ∴四边形均为矩形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； 知识迁移：解：如图3，过作的延长线于，过作于，过作于， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴四边形是矩形，， ∵， 同理类比探究，， ∴， ∵为等边三角形，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴； 拓展应用：解：以、为邻边作平行四边形，连接，过点G作于点H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∵， ∴当A、G、N在一条直线上时最小，即最小，此时最小值是的长，为． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，翻折的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 一、单选题 1．（23-24九年级上·江苏淮安·期中）下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与相似的三角形所在的网格图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题． 【解析】解：根据勾股定理，，，， ∴，， ∴是直角三角形，夹直角的两边的比为， A、不是直角三角形，故A选项不符合题意； B、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故B选项不符合题意； C、是直角三角形，夹直角的两边的比为，故C选项符合题意； D、三边分别为、、4，，故不是直角三角形，故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图已知平面直角坐标系中，的直角顶点在轴的正半轴上，点在第一象限，反比例函数的图象交于点，交于点，连接，若，的面积是8，则的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，反比例函数比例系数的几何意义，利用数形结合思想解答是解题的关键． 过点C作轴于点E，连接，利用反比例函数k的几何意义得到，根据以及可得，，可得结论． 【解析】解：过点C作轴于点E，连接，则，    ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∵的面积是8， ∴， ∵反比例函数的图象交于点，交于点， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故选：A 二、填空题 3．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在上运动时，的最大长度是，则矩形的面积是 ． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，本题中由图像得出为中点是解题的关键． 由题意可知，易证，可得，根据二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，列出二次函数解析式即可解题． 【解析】解：若点在上时，如图   ，， ， 在和中，，， ， 由二次函数图像对称性可得在中点时，有最大值，此时， ， 即， ， 当时，代入得到 解得：，（不合题意舍去）， ， ， ∵， 矩形的面积为； 故答案为：． 4．（23-24九年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在矩形中，，先将沿翻折到处，再将沿翻折到处，延长交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点E，设与交于点G，根据矩形性质和翻折性质，设，利用勾股定理求出的值，证明，求出，然后证明，得，再由，得，求出，证明，对应边成比例即可求出的长． 【解析】解：如图，过点作的延长线于点，设与交于点， ∵四边形是矩形， ， ， 由翻折可知：， ， ， 由翻折可知：， ， ， 设， ， 在中，根据勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形的综合题，难度大，考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是作出辅助线构造相似三角形． 三、解答题 5．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，二次函数的图象与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求这个二次函数的表达式； (2)作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D、E、F三点，连接，若以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，求t的值； (3)点M为y轴负半轴上一点，且，将抛物线沿x轴的负方向平移得到新抛物线，点B的对应点为点，点C的对应点为点，与交于点N．在抛物线平移过程中，当的值最小时，试求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可； （3）设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，证明，，说明当取最小值时，的值最小，作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即取得最小值，求出直线的解析式是：，求出，得出平移的距离是，根据平行四边形面积公式和平行四边形的性质得出结果即可． 【解析】（1）解：∵二次函数的图象与x轴交于、两点， ∴， 解得：， ∴这个二次函数的表达式为； （2）解：以B、D、E为顶点的三角形与以C、E、F为顶点的三角形相似，则存在或为直角， 当时，如图所示： ∵， ∴， ∴， 把代入得：， ∴， ∴点F的纵坐标为2， 把代入得： ， 解得：，， ∴的横坐标为， 此时； 当时，过点F作轴于点G，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 则， 解得：或（舍去）， 此时； 综上，或； （3）解：设抛物线沿x轴的负方向平移m个单位长度得到新抛物线，将点M向右平移m个单位长度得到点，作出图形如下： 由平移的性质可知，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理得：， ∴当取最小值时，的值最小， 显然点在直线上运动， 作出点B关于直线对称的对称点，连接交直线于点，连接， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即取得最小值， ∵点B关于直线对称的对称的点是点，， ∴， 设直线的解析式是：， 将点，代入得， 解得， ∴直线的解析式是：， 令，解得：， ∴， ∴平移的距离是， ∴， 根据平移可知：，， ∴四边形为平行四边形， ∵N是对角线与的交点， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，求一次函数解析式，解题的关键是数形结合，注意分类讨论． 6．（2024·江苏盐城·模拟预测）定义：如果一个三角形中有两个内角满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．    (1)若是“近直角三角形”，，，则　　度； (2)如图1，在中，，．若是的平分线， ①求证：是“近直角三角形”； ②在边上是否存在点E（异于点D），使得也是“近直角三角形”？若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由． (3)如图2，在中，，点D为边上一点，以为直径的圆交于点E，连接交于点F，若为“近直角三角形”，且，求的长． 【答案】(1)20 (2)①详见解析；②存在， (3)或． 【分析】（1）根据题意可得不可能是或，当时，，，不成立；故时，，，由此即可得到答案； （2）①由是的平分线得到，再由在中，，得到，则，由此即可证明； ②当是近直角三角形，得到或，当时，可证得此时D、E重合不符合题意；当时，得到，则，可证明，得到，即，则，； （3）分两种情况：当时，是近直角三角形，当时，是近直角三角形，进行讨论求解即可． 【解析】（1）解：∵，， ∴不可能是或， 当时，， ∴， ∴不成立； 当时，， ∵， ∴， ∴ 故答案为：20； （2）①证明：如图1所示，∵是的平分线， ∴ ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴是“近直角三角形”； ②解：如图所示，假设在边上存在点E（异于点D），使得是“近直角三角形” ∵在中，， ∴， ∵是近直角三角形， ∴或， 当时， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴此时D、E重合不符合题意； 当时，   ， ∴， 又∵， 则， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：如图所示，由（2）①可知，当时，是近直角三角形，    ∴由垂径定理得：， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，由（2）②可知当时，是近直角三角形， 过点A作交于点H，交于点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为线段的垂直平分线， ∵是圆的直径， ∴G为圆心，， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则（圆的半径）， ∵点H是的中点，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中，， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴ 解得：， ∴ 在中，， ∴综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，三角形内角和定理，垂径定理，圆周角定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够正确理解题意和掌握相似三角形的性质与判定． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$