专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

该初中数学讲义以“阿氏圆模型”为核心，通过“模型来源-真题解析-模型提炼-应用拓展”的逻辑框架系统构建知识体系，结合定义阐释、构造步骤图示和对比表格呈现“母子相似转化”的解题脉络，突出重难点如动点轨迹判断、比例系数化归及与胡不归模型的区分。 讲义亮点在于分层例题设计与转化思想渗透，如例1直角三角形内切圆中“1/2PA+PC”最小值问题，引导学生通过构造母子相似将线段和转化为两点间距离，培养推理意识与模型观念。配套不同考法习题（圆内外定点、隐圆问题），基础生可掌握通法，优生能深化思维，助力教师实施精准分层教学。

专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.阿氏圆模型 4 13 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 （2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图，∵，∴，∴， ∵，∴∴．∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵，此时．故答案为：； 模型探究：证明：∵，∴∴， 又，∴，∴，∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值．∴的最小值为13．故答案为：13． 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 模型1.阿氏圆模型 例1（24-25·成都·九年级校考期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：过B作BH⊥AC于H，取BC的中点D，连接PD，PB，AD， ∵AC为切线，∴BH为⊙B的半径， ∵∠B＝90°，AB＝CB＝2，∴AC＝BA＝2，∴BH＝AC＝，∴BP＝， ∴，，∴，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP， ∴，∴PD＝PC，∴PA+PC＝PA+PD， 而PA+PD≥AD（当且仅当A、P、D共线时且P在AD之间时取等号）， 而AD＝＝，∴PA+PD的最小值为，即PA+PC的最小值为， 则PA+PC的最小值．故答案为：． 例2（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 【答案】 【详解】如图，连接，在上取一点，使得， ， 在△PDM中，PD-PM＜DM，当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值， 四边形是正方形；。 在中，故答案为：． 例3（24-25九年级下·山东·阶段练习）如图，的半径为，，，，点为圆上任意一点，连接，则最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，延长到E，使得，过点E作交延长线于F，连接， ∵，∴，∵的半径为，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，∴当三点共线时，最小，即最小，最小值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴的最小值为，故答案为：． 例4（2025九年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：在上取点，连接，使，，， ，，，， 在延长线上取，连接．，则， 又，，，， ， 当为和圆的交点时最小，即最小，且值为， ，的最小值为，故答案为：． 例5（24-25九年级下·成都·专题练习）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，的最小值是 【答案】 【详解】解：如图，连接，，交于点，连接，，， 四边形是正方形，是的中点， ，，，， ，，， ，，，， ，， 当、、在一条直线上且Y在上方时， ，； 延长至点H，使，连接，， ，，，， 由（1）可知，， 当、、在一条直线上且点Y在线段上时，最小，即最小，如下图： 为中点，， ，∴；故答案为：，． 例6（24-25九年级下·安徽·自主招生）如图，正方形中，，E是中点，上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到．连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图所示，在上取，连接，， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵E是的中点，∴，由翻折的性质可知， ∵，，，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为．故答案为：． 例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    【答案】2        ∵正方形ABCD中AB=，M为中点∴CM=BM=，∵∠MPC＝45°∴半径为1 作辅助线：连接OA，在OA上取N使得ON=OP，连接AP，OP，PN，如图2： 根据题意正方形对角线AC=4，所以OA=3=3OP，∴，∠NOP=∠AOP∴△OPN∽△OAP ∴即PN=PA∴3BP＋2EF=3BP+AP=3（BP+AP）=3（BP+PN） 连接BN，交圆弧于P点，此时B、P、N三点共线，即BP+PN取得最小值，过G作NG⊥BC交BC于G，如图所示：∵CN=OC+CN=1+=，∴NG=CG=，∴BG=，根据勾股定理可得，BN=, ∴3BP＋2EF=3（BP+PN）=3BN=．故答案为：． 例8（24-25·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值． （2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值． （3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值 【答案】见详解 【详解】（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1． ∴△PBG∽△CBP， ∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG==5． 当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG=5． 如图，连接BD，在BD上取一点F，使得BF=，作EF⊥BC ∵∴△PBF∽△PBD，∴PF=PD， ∴当C、F、P三点共线时会有FP+CP的最小值即PD+PC， 由图可知，△BEF为等腰直角三角形，∴BF=，BE=EF=， ∴最小值为FC=== ∴的最小值为：． （2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG=4． ∴△PBG∽△CBP， ∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG== ． 当点P在DG的延长线上时，的值最大，最大值为DG=． （3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG=1，作DF⊥BC于F． ∴△PBG∽△CBP， ∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，最小值为DG． 在Rt△CDF中，∠DCF=60°，CD=4，∴DF=CD•sin60°=，CF=2， 在Rt△GDF中，DG== PC=PD-PG≤DG， 当点P在DG的延长线上时，的值最大（如图2中），最大值为DG= 1.（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在扇形中，，，D为的中点，P为弧上一动点（不与C，B重合），则的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 【答案】D 【详解】解：如图，作，使，连接，， ∵,∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 过点作，交的延长线于点， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， ∴，∴的最小值为，故选：D． 2．（2025·安徽芜湖·二模）如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是正方形，∴ 又∴，∴ 又∴∴即， ∴点在以为直径的半圆上移动，如图，连，在上截取，连，      ∵正方形边长为4，∴ 又，∴, ，而的最小值为线段的长度， 如图，作，垂足为，则四边形是正方形， ∴∴∴， ∴的最小值为．故选：C 3．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【详解】解：由折叠可知，，点在以点为圆心，为半径的圆上，如图，作于点， ，当点，，共线时，的值最小， 点到直线距离的最小值为2，选项A正确； 如图，连接，， 当点，，共线时，的值最小，长度的最小值，选项B正确； 当角度最大时，的值最大， 当与相切时，最大，的最大值为，选项C正确； 如图，在上取点，使，连接，，， ，，，，， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为的长，，选项D错误．故选：D． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 【答案】 【详解】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP与BC的延长线交于点P， ∵∠APC=∠BPA， AB 2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP ∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即点P为定点 ∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如下图所示，过点P作BC的垂线，交圆P于点A1，此时A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大 S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面积的最大值为故答案为：． 5．（24-25九年级上·湖北·周测）如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧上移动，连接．的最小值是 ．    【答案】 【详解】如图所示，在x轴正半轴取点E，使，连接，    ∵半径为3，点，∴， ∵，∴∴ ∴∴ ∴当点A，P，E三点在同一条直线上时，的最小值为的长度， ∵∴∴．故答案为：． 6．（24-25九年级上·重庆江津·月考）如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB＋PC的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点，取的中点，延长CO与AB交于G，连接，，，BO，为的内切圆，，是等边三角形，，， ，同理可得 在中，，∴，∴，， ，，，，， ，，， 的最小值为的长度，的最小值为的长度， ，，， 的最小值为．故答案为：． 7．（2025九年级下·广东·专题练习）如图，正方形边长为，内切圆上一动点，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长为， 故正方形的对角线，∴， ∵点在正方形的内切圆上，故， 在上取一点，使得，连接、、，如图：故， ∵，，，∴， ∴，即，故， 当点、、三点共线时，，此时，的值最小， 即点、、三点共线时，有最小值，为．故答案为： ． 8．（25-26·重庆·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：延长到，使得，连接，． ，，，，， ，，，， ，又在中，，，， ，， 的最小值为，故答案为：． 9．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 【答案】 【详解】解：连接CO并延长至点P使，连接DP、CD、BP、CB， ∵C点坐为，∴OC=，∵CD=∴=，∴CP=，∴OP= ∵∠AOP=45°，∴P点坐标为（）∵∠DCO=∠DCP，，∴△CDO∽△CPD， ∴，∴PD=OD，当B、D、P共线时，=BD+DP=BP，此时最小， 设点B的坐标为（0，n），∵C点坐标为，∴ 解得，n1=3，n2=-1，由图可知点B坐标为（0，3） 由P点坐标（），B坐标（0，3）可得；故答案为：． 10．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值 的最小值 【答案】 【详解】①在BC上取点D，使CD=BC=1，连接AD，PD，PC，由题意知：PC=2， ∵，∠PCD=∠BCP，∴，∴， 且，∴， ∴的最小值为，故答案为：； ②在AC上取点E，使CE=，连接PE，BE，PC， ∵，，∴，且∠PCE=∠ACP，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴的最小值为，故答案为：． 11．（25-26九年级·浙江·专题练习）如图的半径是2，是直径．过的中点C作交于D，为的直径，点P为上的动点，则的最小值 【答案】 【详解】如图所示，延长OA到K，使AK=AO=2 ∵C是AO的中点∴OC=OA=1∴ ∵∠COP=∠POK∴，∴ 作EH⊥BC于点H∵在直角△COD中，cos∠DOC= ∴∠DOC=60°∴HE=OE×sin60°==∴即最小值为故答案为 12．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 【答案】 【详解】如图所示，在轴负半轴上取D（，0），则OD= 因为A（-2,0）∴OA=2在上任取一点P’，连接OP’，AP’，P’D ∴OP’=OC=3∴，∴ ∵∠P’OA=∠DOP’∴△P’OA∽△DOP’∴∴P’D=P’A ∴求P’A+P’B的最小值即求P’D+P’B的最小值 连接BD交于点P，此时PD+PB最小，最小值为BD的长 ∴即最小值为故答案为 13．（2025九年级下·上海·专题练习）如图在中，，．P为中一动点，且．在左侧有一角，，．上有一点Q，联结．则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∵点P为中一动点，∴点P的运动轨迹为以点O为圆心，为半径的圆， 如图，作以点O为圆心，为半径的，在上取一点M，使， ∵，，∴，∴， ∴，∴， 当A，，M三点共线时，的值最小，即， 过点A作交于点N，在中，， ∴，∴， ∵，∴，解得， 在中，，∴， 如图，过点Q作交于点D， 在中，，∴，∵点Q是上的一动点，∴点Q的轨迹是直线， ∴，当C，，三点共线时，的值最小，∴， ∵，，∴，, 在中，，∴， ∴，故答案为：． 14．（2025·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．    【答案】 【详解】解：由题意可得：∴点在以为圆心，以为半径的圆上， 在线段上取一点，使得，则 ∵，∴       又∵∴∴∴ ∴ 如下图所示，当且仅当三点共线时，取得最小值 ，∴的最小值为： 15.（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知平面上有两个定点A、B，则平面上满足（k是不为1的常数）的动点P形成一个圆，我们把这样的圆叫做定比圆，如图点、，且满足，设动点P形成的定比圆为圆M． (1)求圆M的圆心坐标和半径；(2)圆M上是否存在P，使为直角三角形，若存在求出点P坐标；(3)若点Q的坐标为，求的最小值． 【答案】(1)的圆心坐标为，半径为3 (2)存在，点的坐标为或或或；(3)15 【详解】（1）解：如图，设与x轴的交点为C、D，且为直径， 、，，由题意得，． ，即点C与原点O重合，由题意，即． 解得，，的圆心坐标为，半径为3； （2）解：存在，理由如下：当时，不符合题意； 当时，如图．，设，则， 由勾股定理，即，解得：，或； 当时，如图，过P作轴于H． ，设，则，由勾股定理，即， 解得：，即， ，，，， ， ，，或． 综上可知，点的坐标为或或或； （3）解：，点Q的坐标为，，， 当A、P、Q三点在一直线上时取到最小值，，的最小值为15． 16．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)(3)5 【详解】（1）解：∵，，∴，∴，∴； （2）作平分，则：，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵平分，∴点到距离相等，设点到距离均为，∴， 又∵（同高三角形的面积比等于底边比）， ∴，∴，∴，即：，∴； （3）在上截取，连接，则：， ∵，∴，∵，∴，∴， ∴，∴，∴当三点共线时，的值最小为的长， 在中，，∴，∴的最小值为5． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点，∴， ∵，，∴， ∴，∴，∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴，故最小值为； （2）∵，，∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得，∴，设， ∵半径为3，∴，解得：（负值舍去）， ∴，∴ ． 18．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图①，抛物线 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），射线交抛物线于点E． (1)求A、B、C三点坐标．(2)求的最大值．(3)如图②，圆O过点A，P是圆O上一动点，S表示面积：①求S的取值范围．②求的最小值． 【答案】(1)，，(2)(3)①，② 【详解】（1）解：令得， ，解方程得，，， ，，令得， ，； （2）解：如图，作交于点M，，， 设的解析式为，解得，， 最大值为； （3）①利用直角三角形的面积公式得中边上的高， 圆O过点A，P是圆O上一动点，圆O的半径为1，到边上的最大距离为，到边上的最小距离为， 的最大值，的最小值， ； ②在上截取，连接，， ，，∴，， ，， 当C，P，M三点共线时，最小，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆中的最值模型之阿氏圆模型 最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 4 模型1.阿氏圆模型 4 13 动点到两定点距离之比为定值（即：平面上两点A、B，动点P满足 PA/PB=k（k为常数，且k≠1）），那么动点的轨迹就是圆，因这个结论最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现的，故称这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称为阿氏圆。 （2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中，，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵，∴ 证明过程缺失 ∴；∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 如图 1 所示，⊙O的半径为 r，点 A、B都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB（即）， 连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？最小值是多少呢？ 如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r（即），∵，∴， ∵∠POC=∠BOP，∴△POC∽△BOP，∴，即k·PB=PC。 故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值。 其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小，如图3所示。 阿氏圆求最值的本质就是通过构造母子相似，化去比例系数，转化为两定一动将军饮马型求最值，难点在于如何构造母子相似。 阿氏圆最值问题常见考法： 两定点在圆外：向内取点（系数小于1）； 两定点在圆内：向外取点（系数大于1）； 两定一内一外：提系数； 隐圆型阿氏圆（即动点轨迹没有直接给出，但可以证明动点轨迹为圆）等。 注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”、“逆等线”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线；而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题。 模型1.阿氏圆模型 例1（24-25·成都·九年级校考期中）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，BA＝BC＝2，以B为圆心作圆B与AC相切，点P是圆B上任一动点，连接PA、PC，则PA+PC的最小值为 ． 例2（2025·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则的最大值为_______． 例3（24-25九年级下·山东·阶段练习）如图，的半径为，，，，点为圆上任意一点，连接，则最小值为 ． 例4（2025九年级下·湖北·专题练习）如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ． 例5（24-25九年级下·成都·专题练习）如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，的最小值是 例6（24-25九年级下·安徽·自主招生）如图，正方形中，，E是中点，上有一动点M，连接、，将沿着翻折得到．连接、，则的最小值为 ． 例7（2025·重庆·模拟预测）正方形ABCD中，AB＝2，点M是BC中点，点P是正方形内一点，连接PC，PM，当点P移动时，始终保持∠MPC＝45°，连接BP，点E，F分别是AB，BP中点，求3BP＋2EF的最小值为 ．    例8（24-25·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最小值，的最大值． （2）如图2，已知正方形的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求的最小值，的最大值，的最小值． （3）如图3，已知菱形的边长为4，，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求的最小值和的最大值．的最小值 1.（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，在扇形中，，，D为的中点，P为弧上一动点（不与C，B重合），则的最小值为（　　） A． B． C．10 D． 2．（2025·安徽芜湖·二模）如图，正方形边长为4，点分别在边上，且满足交于点，分别是的中点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2025·安徽宿州·三模）在矩形中，，．点是上一动点，连接，再将沿翻折，使点落在点处，连接，．下列结论不正确的是（   ） A．点到直线距离的最小值为2 B．长度的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点 A, B ，所有满足 k ( k 为定值)的 P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”， 【问题解决】如图，在△ABC 中，CB 4 ， AB 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____． 5．（24-25九年级上·湖北·周测）如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧上移动，连接．的最小值是 ．    6．（24-25九年级上·重庆江津·月考）如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB＋PC的最小值为 ． 7．（2025九年级下·广东·专题练习）如图，正方形边长为，内切圆上一动点，连接、，则的最小值为 ． 8．（25-26·重庆·九年级专题练习）如图，在中，点A、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ． 9．（24-25·湖北·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆与两坐标轴分别交于A，B两点，D是弧上一动点，则的最小值 ． 10．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在中，∠C=90°，CA=3，CB=4．的半径为2，点P是上一动点，则的最小值 的最小值 11．（25-26九年级·浙江·专题练习）如图的半径是2，是直径．过的中点C作交于D，为的直径，点P为上的动点，则的最小值 12．（24-25九年级·浙江·专题练习）如图，在平面坐标系中，，以O为圆心，为半径画圆，P为上一动点，则的最小值 13．（2025九年级下·上海·专题练习）如图在中，，．P为中一动点，且．在左侧有一角，，．上有一点Q，联结．则的最小值是 ． 14．（2025·福建·校考一模）如图，在边长为6的正方形中，M为上一点，且，N为边上一动点．连接，将沿翻折得到，点P与点B对应，连接，则的最小值为 ．    15.（2025·浙江绍兴·模拟预测）已知平面上有两个定点A、B，则平面上满足（k是不为1的常数）的动点P形成一个圆，我们把这样的圆叫做定比圆，如图点、，且满足，设动点P形成的定比圆为圆M． (1)求圆M的圆心坐标和半径；(2)圆M上是否存在P，使为直角三角形，若存在求出点P坐标；(3)若点Q的坐标为，求的最小值． 16．（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）探究： (1)如图一，若，求证：；(2)如图二，若，，求的长；(3)如图三，在等腰直角中，，P是平面内任意 一点，且，求的最小值． 17．（2025·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？(2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 18．（24-25九年级上·湖南长沙·月考）如图①，抛物线 与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y 轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点（不与B、C重合），射线交抛物线于点E． (1)求A、B、C三点坐标．(2)求的最大值．(3)如图②，圆O过点A，P是圆O上一动点，S表示面积：①求S的取值范围．②求的最小值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $