第二十七章 圆（举一反三讲义）数学华东师大版九年级下册

该初中数学圆章节复习讲义通过表格对比、关系口诀等工具系统梳理知识体系，涵盖圆的定义、性质、定理及计算等18个知识点，用“知二推三”“知一推二”等口诀串联垂径定理、圆心角弧弦关系等核心内容，清晰呈现重难点内在联系。 讲义按“培优-拔尖”分层设计20类题型，基础题型如垂径定理应用配例題与变式，拔尖题型含圆与函数综合、隐圆问题等，培养推理意识与创新意识，支持不同层次学生提升，助力教师实施精准分层教学。

第二十七章 圆（举一反三讲义）全章题型归纳 【华东师大版】 【培优篇】 10 【题型1 圆的相关概念及性质】 10 【题型2 垂径定理及其应用】 12 【题型3 圆心角、弧、弦的关系】 18 【题型4 圆周角定理】 23 【题型5 圆内接四边形的性质】 27 【题型6 点和圆的位置关系】 33 【题型7 直线和圆的位置关系】 35 【题型8 切线的判定与性质】 40 【题型9 切线长定理】 49 【题型10 三角形的内切圆和内心】 53 【题型11 正多边形与圆】 59 【题型12 弧长的计算】 64 【题型13 扇形面积的计算】 71 【题型14 圆锥的侧面积】 74 【拔尖篇】 78 【题型15 圆与函数的综合】 78 【题型16 圆与格点作图】 86 【题型17 圆中的最值问题】 90 【题型18 圆中的定值问题】 96 【题型19 隐圆问题】 106 【题型20 圆中的多结论问题】 114 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 3. 等圆与等弧 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等. 知识点3 垂直于弦的直径 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 2. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 3. 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 知识点4 弧、弦、圆心角 1. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角． 2. 圆的旋转对称性 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心． 3. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2） 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 知识点5 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=． 3. 圆周角定理的推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （2）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． （3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 知识点6 圆内接多边形 1. 圆内接多边形的定义 （1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 知识点7 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点8 三角形的外接圆 1. 圆的确定 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 2. 三角形的外接圆 （1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． （3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． （4）三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 知识点9 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点10 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 知识点11 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点12 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 知识点13 正多边形及有关概念 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 知识点14 正多边形的有关计算 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 知识点15 正多边形的画法 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 知识点16 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点17 扇形及扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 知识点18 圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【培优篇】 【题型1 圆的相关概念及性质】 【例1】如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形内角和定理，等边对等角等知识，由平行线的性质得出的度数，由等边对等角得出的度数，由角的和差得出的度数，然后由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式1-1】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，根据弦的定义进行判断．掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 【详解】解：弦为、、． 故选：B． 【变式1-2】如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键．连接，，得到，，可以证明，根据全等三角形的对应边相等，可得到． 【详解】证明：连接，， ，是的半径， ， ， 又 ， ， ． 【变式1-3】（2025·河南·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在上，则与数轴正半轴的交点E表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，实数与数轴．连接，根据正方形的性质可得，，再由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合， ∴，， ∴， ∵点C在上， ∴的半径为， ∴与数轴正半轴的交点E表示的数为． 故答案为： 【题型2 垂径定理及其应用】 【例2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，是的弦，交于点，交于点，点是上一点，连接，．若，，则的半径为 ． 【答案】4 【分析】本题考查圆周角定理、含角的直角三角形、垂径定理，根据圆周角定理求出的度数，由垂径定理求出，从而求出即可． 【详解】解：如图，设交于点E． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， ∴的半径长为4． 故答案为：4． 【变式2-1】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 【点睛】此题考查了垂径定理的推论，角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式2-2】（2025·江西九江·三模）如图，是的直径，四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，点与点重合，请作出的中点． (2)在图2中，请作出的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了复杂作图，涉及到平行四边形的性质、垂径定理，熟练掌握相关知识的性质是作图的关键． （1）连接并延长交于，连接交于M，则根据平行四边形的对角线互相平分可得到，根据平分弦（不是直径）的直径且垂直于弦,平分弦所对的两条弧可得平分； （2）由（1）可作的中点，由中位线定理的圆周角定理定理得到，同（1）理． 【详解】（1）解：如图1，点即为的中点； （2）解：如图2，点即的中点． 【变式2-3】（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【答案】(1) (2)需要提前增加货物，至少需要增加120吨 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键． （1）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，利用垂径定理可得，设，在中利用勾股定理列出方程，解出的值即可解答； （2）设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点，由题意得四边形是矩形，则有，利用垂径定理得到，进而利用勾股定理求出的长，计算可得货轮露出水面部分的高度应不超过，再结合货轮露出水面部分的实际高度，比较大小得出需要提前增加货物的结论，再结合题意计算增加货物的重量即可． 【详解】（1）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、， 由题意得，，，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 桥拱圆弧所在圆的半径为． （2）解：如图，设桥拱圆弧所在圆的圆心为点，连接、，连接交于点， 由题意得，四边形是矩形， ， ， ， 由（1）得，， ， ， 要保证该货轮安全通过大桥，则货轮露出水面部分的高度应不超过， ， 需要提前增加货物， 由题意得，至少需要增加吨， 答：要保证该货轮安全通过大桥，需要提前增加货物，至少需要增加120吨． 【题型3 圆心角、弧、弦的关系】 【例3】（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了翻折的性质，圆周角定理，等边三角形的判定及性质，连接，，由等边三角形的判定方法得为等边三角形，结合圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接，， ， ， 由翻折得：， ， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ， 故选：C． 【变式3-1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据直径所对的圆周角是直角可得：，再根据已知易得：，然后证明，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，再根据垂径定理可得：，从而可得，然后利用等弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-2】（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证； （2）先证明四边形为平行四边形，等积法推出，即可得证； （3）垂径定理结合勾股定理求出的长，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵半径分别与弦垂直， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形； （3）∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 由（2）知：四边形为菱形， ∴设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得； ∴． 【变式3-3】如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为 ．    【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，圆周定理，等边三角形的性质，连接，，延长交于点，连接，由折叠性质可知：，则，从而有，通过弧度和差可得，所以，再由周长即可求解．在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角、弦相等，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． 【详解】如图，连接，，延长交于点，连接，    由折叠性质可知：， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴的周长， 的周长， ∴， 故答案为：． 【题型4 圆周角定理】 【例4】（2025·山东青岛·二模）如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，先利用圆周角定理可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得，从而可得，进而可得，最后根据圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． 故选：A． 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，连接，且平分，D是上一点，连接，．若，则的度数为 ． 【答案】/35度 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握圆周角定理是解题的关键． 如图：连接，根据圆周角定理求出，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，再根据圆周角定理解答即可． 【详解】解：如图，连接，由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（2025·湖北孝感·三模）如图，为的直径，点C在上，过点O作交于点D，延长，交于点F，过点C作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，勾股定理，等边对等角，熟练进行等量代换是解题的关键． （1）由切线的性质得，即，由得，再结合，通过等量代换得出，即可证明； （2）由为的直径，得，结合（1）中，通过导角证明，推出，再用勾股定理依次解和即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ； （2）解： 为的直径， ， ，， 由（1）得， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，． 【变式4-3】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂径定理的推论证明即可； （2）连接，首先得到，然后得到，推出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴是的直径， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：如图2，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的半径是5． 【点睛】此题考查了垂径定理的推论，角所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【题型5 圆内接四边形的性质】 【例5】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，连接，由是的直径得到，根据圆周角定理得到，得到，再由圆内接四边形对角互补得到答案. 【详解】解：如图，连接，    ∵是的直径， ∴， ∵， ∴ ∴ ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：B 【变式5-1】如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ． 【答案】/72度 【分析】根据圆内接四边形的对角互补以及外角的性质可求出，再根据平角的定义求解． 【详解】解：如图，延长到H， 四边形内接于， ， ， ，，的度数之比为， ，，，的度数之比为， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆内接四边形，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，外角和是360度． 【变式5-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，，交的延长线于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义和性质，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆内接四边形对角互补和平角的定义可证明，由角平分线的定义和同弧所对的圆周角相等得到，即可证明； （2）过点C作于H，设，则，由角平分线的性质得到，证明，得到，证明，得到，则，再由弧与弦之间的关系得到，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解；如图所示，过点C作于H，， 设，则， ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证明， ∴， ∴， ∵点B为的中点， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【变式5-3】（2025·安徽六安·三模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，连接并延长交于点，连接并延长交延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角，角平分线定义，圆内接四边形性质判断相关角度关系，由得到，再由两个三角形全等的判定与性质即可得证； （2）连接，如图所示，由（1）知，，进而确定，得到，再由直径所对的圆周角是直角，在Rt中，由勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：是的直径， ， 又平分， ， ， ， 是的直径， ， ， 四边形内接于， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）知，， ，则， 是的直径， ， 在Rt中，由勾股定理得． 【点睛】本题考查圆综合，涉及直径所对的圆周角是直角、圆周角定理、弦与弧的关系、角平分线定义、圆内接四边形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握相关几何性质与判定，熟记圆的相关性质是解决问题的关键． 【题型6 点和圆的位置关系】 【例6】矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）． A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内； C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内． 【答案】C 【详解】∵AB=8，点P在边AB上，且BP=3AP ∴AP=2， ∴根据勾股定理得出，r=PD==7， PC==9， ∵PB=6＜r，PC=9＞r ∴点B在圆P内、点C在圆P外,故选C． 【点睛】点与圆的位置关系的判定，难度系数中等，此题应根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断 【变式6-1】（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在中，弦的长为，点在上，．若所在的平面内有一点，且，则点与的位置关系是（   ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】设与交于点，圆周角定理得到，勾股定理求出的长，进而判断与的大小关系，即可得出结论． 【详解】解：设与交于点， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点在上． 故选A． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，判断点与圆的位置关系，解题的关键是求出半径的长． 【变式6-2】点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ． 【答案】或 【分析】分点在外和内两种情况分析；设的半径为，根据圆的性质列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】设的半径为 当点在外时，根据题意得： ∴ 当点在内时，根据题意得： ∴ 故答案为：或． 【点睛】本题考查了圆、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握圆的性质，从而完成求解． 【变式6-3】在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理，点与圆的位置关系． 由勾股定理可求得的长，进而得到的长．再根据题意画出简单示意图，由图形可知当r的长度为和长度之间时，B、C、D三点中只有点D在内，据此即可解答． 【详解】∵在中，，， ∴， ∵D为的中点， ∴．    由上图可知，当的半径时，点D在上， 当的半径时，点C在上，点D在圆内， 当的半径时，点B在上，点C、D在圆内， 当的半径满足时，点D在内， 当的半径满足时，点C、D在内， 当的半径满足时，点B、C、D在内， ∴若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是． 故选：A 【题型7 直线和圆的位置关系】 【例7】（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理、直线与圆的位置关系、含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直线与圆的位置关系是关键．过点D作于点H，求出，由即可得到结论． 【详解】解：过点D作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴则圆与直线的关系是相离． 故选：B． 【变式7-1】已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理、圆的基本性质．首先根据勾股定理可求，利用三角形的面积公式可求，当圆的半径为时，开始与边有交点，当时，圆与边有交点，当时，圆与边没有交点，从而确定的取值范围． 【详解】解：如下图所示，过点作， 中，，，， ， ， ， 解得：， 当以点为圆心的圆的半径时，圆经过点， 当时，圆与边没有交点， ．      故选：D ． 【变式7-2】在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【变式7-3】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 【题型8 切线的判定与性质】 【例8】（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明 ，推出，即可证明与相切； （2）由 可推出垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得，最后用勾股定理解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 与相切； （2）解：如图，连接交于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式8-1】（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【答案】(1)在线段上；； (2)补图见解析，为等腰三角形 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理与弧，弦，圆心角定理可得答案； （2）补图如下， 连接，证明，，结合，可得，进一步可得结论； （3）如图，过作于，求解，，，，可得，从而可得答案. 【详解】（1）解：∵是直角， ∴为直径， ∵为圆心， ∴在线段上； ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下： 连接， ∵为的切线交的延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：如图，过作于， ∵的半径为，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，圆周角定理的应用，弦，弧，圆心角之间的关系，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 【变式8-2】（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)的半径 【分析】（1）根据垂直，切线的性质得到，可得是等腰直角三角形，由此即可求解； （2）根据垂径定理得到，是等腰直角三角形，由（1）得到，则，如图所示，连接，设，则，由此勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的切线，即， ∴， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， ∴， 如图所示，连接，设，则， ∴在中，， ∴， 解得，， ∴， ∴的半径． 【点睛】本题主要考查圆内接三角形的综合，掌握垂径定理，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，切线的性质等周四，数形结合分析是关键． 【变式8-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形为矩形，点，在上，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在上，，求证：平分； (3)如图，在的条件下，与相切，交于点，点在上，，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】连接，，根据圆的性质可知，根据矩形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 过点作于点，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用平行线的性质可知、，等量代换可证结论成立； 连接，，，，，设与交于点，连接，根据切线的性质可证，因为为弦切角，可证，根据圆周角定理可证，利用勾股定理可以求出圆的半径为，在中利用勾股定理求出，，在矩形中可以求出，在中，可以求出. 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，， ， ． 四边形是矩形， ，， ，， ． 在和中，， ， ； （2）证明：如下图所示，过点作于点， ，， ． ，， ， ． ， ． ． 即平分； （3）解：如下图所示，连接，，，，，设与交于点，连接， 是圆的切线， ， ， ， ， ， 为弦切角， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 由可知平分，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 即圆的半径为， ， ， ， 过点作于点， 则四边形为矩形． ，． ， ， 在中，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、切线的性质、平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造相等的角，利用角之间的关系找边之间的关系． 【题型9 切线长定理】 【例9】如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】连接，由切线长定理得，则，由为的直径，得，则，再证明是等边三角形，得，求得，则，可证明是等边三角形，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 分别与相切于点， ， ， 为的直径，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∴是等边三角形， ， 故选：B． 【点睛】此题重点考查切线的性质定理、切线长定理、等腰三角形的“三线合一”、直径所对的圆周角是直角、三角形的中位线定理、等边三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式9-1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，如图，连接，．求出，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，． ，，分别是，，与的切点， ，， ， 正五边形中 ， ， ， 故选：A． 【变式9-2】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得， ，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 【变式9-3】（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线长定理，正方形的性质，勾股定理；由于与圆切于点，根据切线长定理有，；设．则，， 然后在三角形中由勾股定理可以列出关于的方程，即可求出． 【详解】解：与圆切于点， ∴根据切线长定理有，， 设， 则，， 在三角形中由勾股定理得：， ， ． 故答案为：． 【题型10 三角形的内切圆和内心】 【例10】如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求三角形内切圆半径，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的判定定理，等边三角形的性质，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接，由切线的性质可得，再由可得平分，则，同理可得，则可证明，可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设等边的内切圆圆心为O，与分别相切于D、E，连接， 由切线的性质可得， ∵， ∴平分， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴边长为a的正三角形的内切圆半径是， 故选：A． 【变式10-1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了外心和内心的概念，圆周角定理，三角形内角和定理，由点为的外心，，则，故有，然后通过角平分线定义和三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵点为的外心，， ∴， ∴， ∵点为的内心， ∴， ∴， 故选：． 【变式10-2】（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形，三角形的内心，等角对等边等知识点，熟练掌握相关定理，性质，是解题的关键． （1）圆内接四边形的性质，得到的度数，圆周角定理，得到，再利用三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）同法（1）求出的度数，等弧所对的圆周角相等，得到，根据三角形的内角和定理，得到与的数量关系； （3）连接，根据三角形的内心是角平分线的交点，结合三角形的外角和圆周角定理，得到，等角对等边，得到，圆周角定理得到，进而得到，得到． 【详解】（1）解：∵内接于，是上任意一点， ∴四边形为圆内接四边形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴； （2）同（1）法可得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3），证明如下： 连接， ∵点是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式10-3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】根据等腰三角形性质及三角形内角和定理得，再根据平分得，进而可求出，则，由此得平分，然后根据三角形内心的定义可得出结论； 连接，，，，，依题意得，，在同一条直线上，且，，，由此得，则，在中由勾股定理可求出，则；根据三角形内心性质得，再根据可求出，由此可得的内心与外心的距离． 【详解】（1）证明：中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， 点是的内心； （2）解：连接，，，，，如图所示： 是等腰三角形，点是内心，点是外心 ，，在同一条直线上，且，， ， 在中，，， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， 点为的内心，，，为切点， ， ， ， ， 解得：， ， ， 外接圆的半径；的内心与外心的距离． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点，理解等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的内心和外心的定义及性质是解决问题的关键． 【题型11 正多边形与圆】 【例11】内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，切线的性质， 先求出中心角的度数，即可求出，再根据切线的性质可求，然后根据正多边形的外角和定理求出，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式11-1】（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 如图，正五边形 【变式11-2】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： (1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【答案】(1)理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了复杂作图以及圆的性质的运用，垂径定理，圆周角定理，矩形与正方形的判定； （1）根据直径所对的圆周角是直角得出，即可得证； （2）根据对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，画出圆的一条直径，使其与互相垂直，即可得到的内接 【详解】（1）解：∵是直径， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图所示，连接，并延长交于点，连接，交于点，连接并延长交于，，连接，，，，则四边形即为所求． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即在的垂直平分线上， ∵， ∴， ∴，即点在的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴，，经过的中点， ∴是的直径， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形． 【变式11-3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了正多边形与圆，等腰直角三角形的性质与判定； （1）设的延长线与圆交于点D，根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即，故在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F,同理∶在图中找到的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接，如图，正六边形即为所求； （2）圆的内接八边形的中心角为，而正方形的对角线与边的夹角也为，根据正方形对角线能形成角，以此确定，同理即可确定另外4个点位置，再顺次连接即可． （3）根据网格，先计算，进而即可求解． 【详解】（1）解：如图所示， 如图①，正六边形即为所求； （2）如图所示， 如图②，正八边形即为所求． （3）解：如图所示，过点作， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴图②中正八边形的面积为， 故答案为：． 【题型12 弧长的计算】 【例12】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了弧长计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．连接，先根据平行线的性质求出，，，根据平行线的性质得出，根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， 根据作图可知：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴的长为． 故选：C． 【变式12-1】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，弧长公式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）连接，先证明，得到，由等腰三角形性质得到，设，在四边形中，由四边形内角和等于计算即可； （2） 根据直角三角形斜边中线的性质先证明为等边三角形，则可求度数，再由弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设， 在四边形中，∵ ∴， ∴； （2）解：连接， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 【变式12-2】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上， ，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意证明出四边形是正方形，得到，然后利用圆周角定理求解即可； （2）首先证明出是等边三角形，如图所示，连接交于点G，求出，，然后得到是等腰直角三角形，进而求解即可； （3）分两种情况，根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）∵正方形的边长为5． ∴ ∵当时 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是菱形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ ∴； （2）∵四边形为菱形 ∴ ∵扇形所在圆的圆心在对角线上， ∴ ∴是等边三角形 如图所示，连接交于点G ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； （3）如图所示，当是劣弧时， ∵，半径 ∴； 如图所示，当是优弧时， ∵，半径 ∴ ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，圆周角定理，求弧长，勾股定理，菱形的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式12-3】（2025·四川凉山·中考真题）如图，内接于，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接，根据三角形的内角和定理，求出的度数，圆周角定理求出的度数，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接，则：， 在中，， ∴， ∵内接于， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 【题型13 扇形面积的计算】 【例13】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 【变式13-1】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不规则图形面积的计算．首先求出，，然后根据结合三角形面积公式和扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵，，， ，， ， 故选：A． 【变式13-2】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题考查扇形面积公式，平行四边形性质，含三角形的性质，正确将阴影面积进行组合是解决问题的关键．由题意，利用计算即可． 【详解】解：过A作， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， 设长度为，则，在中，由勾股定理得： 解得：， ， ， 则，， ， ． 故答案为：． 【变式13-3】（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，点O､B的坐标分别为､，将绕点O按逆时针方向旋转得． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)求旋转过程中点B所经过路径的长度； (3)求线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积 【答案】(1)图见详解， (2) (3) 【分析】本题主要考查旋转的性质，网格的性质，弧长公式和扇形面积公式，解题的关键是掌握旋转的性质， （1）根据旋转的性质画出旋转后的图形，结合网格的性质写出点坐标即可； （2）根据旋转的性质得到角度，结合网格得到半径，利用弧长公式求解即可； （3）根据旋转的性质得到角度，结合网格得到半径，利用扇形公式求解即可． 【详解】（1）解：如图， 则； （2）解：由图可知， 则旋转过程中点B所经过路径的长度； （3）解：由图可知， 则线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积． 【题型14 圆锥的侧面积】 【例14】综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数，勾股定理求最值问题，掌握以上知识是解题的关键．根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∴圆锥的侧面展开后得到的扇形圆心角为，如图所示． ∴． ∵， ∴． ∴在中，由勾股定理得． ∴彩带长度的最小值为． 【变式14-1】（2025·浙江温州·二模）如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积计算它的侧面积即可． 【详解】解：圆锥的母线的长， 这个圆锥的侧面积， 故选：C． 【变式14-2】（2025·江苏徐州·二模）圆锥的底面圆半径为2，将该圆锥沿其某条母线剪开后，其侧面展开图是扇形，若扇形的半径为5，则该扇形的圆心角是 °． 【答案】144 【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角，掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．设其侧面展开扇形的圆心角为度，则，代入数据即可求解． 【详解】解：设其侧面展开扇形的圆心角为度， 由题知，， 解得， ∴其侧面展开扇形的圆心角为． 故答案为：144． 【变式14-3】在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【答案】(1)能，见解析 (2) 【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用． （1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论； （2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积． 【详解】（1）解：如图所示： ∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形， ∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等． 由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系． 将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆， 则围成的圆锥形的侧面积． ∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度， 如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：， 该侧面展开图的圆心角为． 由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等． ∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁． （2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为， 圆心角为， 滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为， 又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半， ∴滤纸重叠部分每层面积． 【拔尖篇】 【题型15 圆与函数的综合】 【例15】如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，交轴于A、B两点，交轴于、两点，且为弧的中点，交轴于点，点A的坐标为，． (1)求点的坐标． (2)过点作的切线交轴于点，求直线的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，且为直径，得到，，求得，即可得到，即可求得点的坐标 （2）连接，则，用勾股定理分别求得，，，求得，即可求得直线的解析式 【详解】（1）∵，且为直径， ∴， ∵C为弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点C的坐标为 （2）由（1）知点的坐标为，则， ∴设直线的解析式为：，则点F的坐标为：， 在中，， 设的半径为r，连接，则， 点A的坐标为，则， 在中，，即， 解得：， ∴ 在中，， 由得：， 解得：， ∴直线的解析式为： 【点睛】本题考查了圆与函数的综合(圆的综合问题)和几何问题(一次函数的实际应用)，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键. 【变式15-1】如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 【答案】A 【分析】作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r，根据切线的性质得PM＝PN＝r，再利用面积法求出r＝，接着证明△OBC为等腰直角三角形得到NC＝NB＝，于是得到P点坐标为（，），然后把P（，）代入y＝可求出k的值． 【详解】解：作PM⊥AB于M，PN⊥x轴于N，如图，设⊙P的半径为r， ∵⊙P与边AB，AO都相切， ∴PM＝PN＝r， ∵OA＝4，OB＝3，AC＝1， ∴AB＝5， ∵S△PAB+S△PAC＝S△ABC， ∴•5r+•r•1＝•3•1，解得r＝， ∴BN＝， ∵OB＝OC， ∴△OBC为等腰直角三角形， ∴∠OCB＝45°， ∴NC＝NB＝， ∴ON＝3﹣＝， ∴P点坐标为（，﹣）， 把P（，﹣）代入y＝得k＝×（﹣）＝﹣． 故选A．      【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 【变式15-2】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，如图所示，，，则．请用所学知识解决问题： 已知道半径为3， （1）如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； （2）如图2，已知，QA为切线，，且，求b关于a的函数关系式； （3）如图3，M点坐标，在x轴上是否存在点N（不同于点M），满足对于上任意一点P，都有为一常数，若存在求出N点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在点对于圆C上任一点P，都有为常数 【分析】（1）根据两点间距离公式可得答案； （2）连OA、OQ，根据切线的性质得方程，求解即可得到答案； （3）假设存在这样的点，当P为圆O与x轴左交点时，；当P为圆O与x轴右交点时，，通过解方程得N的坐标，设，则，然后根据比值即可确定问题的答案． 【详解】解：（1）由题可得， 即； （2）连OA、OQ， 是的切线， ， ，， 又， ， ， 整理得：． （3）假设存在这样的点，当P为圆O与x轴左交点时，； 当P为圆O与x轴右交点时，，依题意，， 解得，（舍去），或， 下面证明点对于圆O上任一点P，都有为一常数． 设，则， ， 从而为常数． 【点睛】本题为圆的综合题目，能够根据圆的性质、切线的性质及勾股定理得到方程，从而求解可得问题的答案，是中考压轴题目． 【变式15-3】如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）先求出点A的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）由题意得平移后的直线解析式为，如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E，先证明O、C、D三点共线，求出OD=DH，OH的长即为m的值，据此求解即可； （2）如图所示，连接PB，PC，BC，证明OQ是△PAB的中位线，把求OQ的最大值转化成求PB的最大值，即转化成求圆外一点到圆上一点距离的最大值，由此求解即可． 【详解】（1）解：∵点A（1，a）在直线y=x上， ∴a=1， ∴点A的坐标为（1，1）， ∴把点A坐标代入到反比例函数解析式得， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：由题意得平移后的直线解析式为， 如图所示，设直线与圆C的切点为D，与y轴的交点为H，连接OC，过点C作CE⊥x轴于E， ∴点H的坐标为（0，m） ∴OH=m， ∵点C（-2，2）， ∴CE=OE=2， ∴∠COE=45°， ∴∠DOH=45°， 同理可证∠BOE=45°， ∴∠BOC=90° ，即OC⊥AB， ∵直线与直线AB平行， ∴OC与直线垂直， 又∵直线与圆C相切于点C， ∴CD与直线垂直， ∴C、O、D三点共线， ∵圆C的半径为1， ∴， ∵∠ODH=90°，∠DOH=45°， ∴∠DHO=45°， ∴， ∴， ∴ 同理当切点D在圆O上方时可以求得， 综上所述，若平移后的直线与⊙C相切，或； （3）解：如图所示，连接PB，PC，BC， 由对称性可知A、B关于原点对称，即O是AB的中点， ∴点B的坐标为（-1，-1）， ∵Q是AP的中点， ∴OQ是△APB的中位线， ∴， ∴要想OQ最大，则PB最大， ∵， ∴当P、B、C三点共线，且P在C点上方时，PB有最大值，即PB=PC+BC=1+BC， ∵点C（-2，2），点B（-1，-1）， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆与函数综合，待定系数法求函数解析式，勾股定理，三角形中位线定理，熟知相关知识，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【题型16 圆与格点作图】 【例16】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了圆心角和圆周角，熟练掌握圆心角和圆周角的定义并准确作图是关键． （1）连接即可； （2）根据圆周角的定义和圆周角的顶点在格点上进行作图即可． 【详解】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， 【变式16-1】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 【答案】(1)见解析（答案不唯一） (2)见解析（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了圆周角定理以及圆的内接四边形对角互补的性质． （1）取格点，连接，根据得到； （2）取格点，连接，根据圆内接四边形对角互补即可得到． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，即为所求： 【变式16-2】（2025·天津·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点B，C，中，点M在边上，点N在边上，点P在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 如图，根据题意，切点为M；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点D和格点H，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点N，P，则点M，N，P即为所求 【分析】本题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）根据题意，与圆的交点为点M；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点D和格点H，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 【详解】解：（1）AG； （2）如图，点M，N，P即为所求． 方法：如图，根据题意，与圆的交点为点M；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点D和格点H，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 故答案为：（1）（2）根据题意，与圆的交点为点M；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点D和格点H，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点N，P，则点M，N，P即为所求． 【变式16-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，垂径定理，三角形中位线的性质，等弧对等角，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键； （1）连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，根据垂径定理即可得出； （2）根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则，即可求解． 【详解】（1）如图，连接交于点，则即为圆心，取的格点，连接，则，连接，则； （2）如图，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 连接并延长交网格线于点，则，连接交网格线于点，则，连接交于点，则； 理由如下，根据网格的特点取的中点，连接并延长交于点，连接交于点，根据垂径定理可得，则； 根据，则是的中位线，则； 【题型17 圆中的最值问题】 【例17】如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】连接，取的中点K，连接，利用勾股定理求出，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 【变式17-1】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，得，即得，即可得，进而由垂径定理得，再根据勾股定理得，最后根据解答即可求解． 【详解】解：把弧的圆补全为，可知点与点关于对称，半径为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：．    【点睛】本题考查了轴对称的性质，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式17-2】如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，根据，，用勾股定理计算得到；延长与⊙O相交于点G，推导得当点P在直线上时，取最小值；过G作于点H，经证明四边形是矩形，并经勾股定理计算即可得到的值，即可完成求解． 【详解】解：如图，连接， ∵过A作于点C，过B作于点D， ∴，， ∵，A、B是上的两点， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴ ， 延长与⊙O相交于点G， ∵MN为的直径，， ∴，， ∴ ， 当点P在直线上时，取最小值，且最小值， 过G作于点H， 又∵， ∴，， ， ∴四边形是矩形， ∴， ， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理、垂径定理、矩形、两点之间线段最短的性质，从而完成求解． 【变式17-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知的半径为2，是外一点，，点、在上，且满足，则线段的最大值是 ，最小值是 ． 【答案】 7 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、切线性质等知识．先根据中垂线的性质得到点B为的中垂线与的交点，再结合图形，当点A在的延长线上时，有最大值，当的中垂线与相切于点B时，最小，进而结合勾股定理和正方形的判定与性质、圆的切线性质分别求得的最大值和最小值即可． 【详解】解：∵， ∴点B在的中垂线上， ∵点A、B在上， ∴点B为的中垂线与的交点， 如图，当点A在的延长线上时，存在点B，此时有最大值，最大值为； 如图，当的中垂线与相切于点B时，最小，设中垂线交于C，连接，，过O作于D， 则，又， ∴四边形是正方形， ∴， 设，则，， 在中，， 在中，, ∴， 解得，则的最小值为， 故答案为：7，． 【题型18 圆中的定值问题】 【例18】（24-25九年级上·全国·期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)是定值4 【分析】本题主要考查坐标与图形，旋转的性质，圆的综合知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）求出旋转角的度数为，进而求出的度数，再利用三角函数求出G点坐标； （2）由切线长定理证得，由切线长定理或其他方法证得，平分； （3）在上取点V，使，构造出全等三角形，判断出为等腰直角三角形，求得为定值． 【详解】（1）解：连接， ∵A点的坐标为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ 又∴， ∵， ∴； （2）证明：设与、、边相切于点、、，连接，，，如图， 则, ∵是的切线， ∴， 在和中， ∴， ∴∴, 同理可证：，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴，即， ∴， ∴ ∴平分． （3）解：的值是定值为， 在上取点V，使，即， ∵， ∴， ∵，， ∴，，即； 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 又， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 【变式18-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D两点，过C作的切线，过A作于F，交于N，当的半径从小变大时，的长度（   ） A．不变 B．逐渐变大 C．不规则变化 D．逐渐趋近一个定值 【答案】A 【分析】本题考查的是切线的性质，坐标与图形性质，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 连接，过点作于，根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，得到，证明，根据全等三角形的性质得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于，则， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ， 在和中， ， ， ， ， 则当的半径从小变大时，的长度不变， 故选：A． 【变式18-2】如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 【答案】(1)见解析； (2)①直线是的切线；②见解析． 【分析】（1）如图1，延长交于点，连接，由是等边三角形，是重心，点为边的中点，得⟂，，进而证明四边形是平行四边形，于是即可得四边形为菱形； （2）①延长交于点，连接，先证为的角平分线，进而求得，又由菱形的性质得，从而有，于是根据切线的判定即可得出结论；②在优弧上取一点，连接、，由①得，进而求得 ，再由圆内接四边形的性质求得，从而根据角的和差关系求得，于是证明得，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：如图，延长交于点，连接，    ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，， ∴⟂，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵⟂， ∴四边形为菱形； （2）①解：直线是的切线，理由如下：延长交于点，连接，      ∵是等边三角形，是重心，点为边的中点， ∴中线过点，即、、三点共线，，，， ∴为的角平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴直线是的切线； ②证明：在优弧上取一点，连接、，    由①得， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴，即为定值． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的定义，切线的判定以及菱形的判定，熟练掌握菱形的判定，全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，重心的性质以及切线的判定定理是解题的关键． 【变式18-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，的半径为2，A、B是上的两点，，C是的中点． (1)_______________度；并求阴影部分的面积； (2)若点P在上，且是直角三角形，请在图1中画出点P的所有位置； (3)如图2，弦的端点在优弧上滑动（不与A、B重合），且，连接、分别交、于点E、F．当弦的端点在优弧上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出四边形面积的取值范围； (4)如图3，过点A作射线，交于点G，D是平面内的一个动点，且，Q为的中点．直接写出线段长度的最大值与最小值的差． 【答案】(1)120； (2)见解析 (3)不变，定值 (4)1 【分析】（1）连接，过点作，根据等弧所对的圆周角相等，证明和是等边三角形，进而得出，，即可求出的度数，再利用扇形面积公式求解即可； （2）根据直径所对的圆周角是直角，延长交于点，延长交于点，即可作图； （3）连接，过点O作，连接、，利用垂径定理得到，则，再根据圆周角定理得到，由（1）知，为等边三角形，面积为，证明，得到，则四边形的面积的面积，即可求解； （4）连接、，根据直角确定是直径，进而得出为的中位线，则，再根据三角形的三边关系可知，即，可求出线段长度的最大值与最小值的差． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作， C是的中点， ， ， ， ， ， 和是等边三角形， ，，， ，， ，， 阴影部分的面积为； （2）解：如图，点与点即为所求； （3）解：不变，定值为，理由如下： 如图，连接，过点O作，连接、， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，为等边三角形，面积为， ，． ，， ． C是弧的中点， ， ． 在和中， ， ， ， 四边形的面积的面积， 四边形的面积为定值； （4）解：如图，连接、， ， 是直径， G、O、B共线，． 又为的中点， 为的中位线， ， ，即， 线段长度的最大值与最小值的差为1． 【点睛】本题靠考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，求不规则图形面积，垂径定理，解直角三角形的应用，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，三角形的三边关系等知识，掌握圆的相关知识点是解题关键． 【题型19 隐圆问题】 【例19】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】连接，，如图， ，且为中点，   ，  ， ， 为中点， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ，   ，  在中，，， ， ，  由勾股定理得  ，   ，   ，故选A． 【变式19-1】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【答案】A  【详解】连接，，如图， ，且为中点，   ，  ， ， 为中点， ， ， ，，，四点共圆， ，， ， ， ，   ，  在中，，， ， ，  由勾股定理得  ，   ，   ，故选A． 【变式19-2】辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3)存在，144 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可． （2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题． （3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求． （2）存在，理由如下， 如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设． ，，， ，， ，， ， ， ， 的最小值为， ， 的最小值为． （3）存在，理由如下， 如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大， 设，则， ， ， ， 四边形的面积的最大值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 【变式19-3】已知，点A，B分别在射线上运动，． (1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论： (2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离： (3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)当时，的面积最大；理由见解析，面积的最大值为 【分析】（1）根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”可得OD=AB，OD′=A′B′，进而得出结论； （2）作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D，当O运动到O′时，OC最大，求出CD和等边三角形AO′B上的高O′D，进而求得结果； （3）以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE，由(2）可知∶当OC⊥AB时，OC最大，BT=3，当OA=OB时，∠ BOC=22.5°，此时OT最大，根据等腰三角形的性质可得∠OBE=∠BOC=22.5°，由外角的性质可得∠BET=45°，则ET=BT=3，利用勾股定理可得OE，由OT=OE+ET可得OT，然后根据三角形的面积公式进行计算． 【详解】（1）解：，证明如下： ，AB中点为D， ， 为的中点，， ， ， ； （2）解：如图1， 作△AOB的外接圆I，连接CI并延长，分别交⊙I于O′和D， 当O运动到O′时，OC最大， 此时△AOB是等边三角形， ∴BO′=AB=6， OC最大=CO′=CD+DO′=AB+BO′=3+3； （3）解∶如图，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，证明如下∶ 以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，连接OC交AB于点T，在OT上取点E，使OE=BE，连接BE， 由（2）可知，当OC⊥AB时，OC最大， ∵等腰直角三角形ABC，AC=BC，∠ACB=90°， 又OC⊥AB于T， ∴TC=AT=BT=AB=3， ∵OC=OT+CT=OT+3， ∴当OA=OB时，此时OT最大，即OC最大， ∴△AOB的面积最大， ∴∠BOT=∠AOB=22.5°， ∵OE= BE ， ∴∠OBE=∠BOC = 22.5° ， 综上，当点A，B运动到OA=OB时，△AOB的面积最大，△AOB面积的最大值为 ． 【点睛】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握“定弦对定角”的模型． 【题型20 圆中的多结论问题】 【例20】如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，且交⊙O于点E，交⊙O于点F，与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ．（只填写序号）①AE＝4；②；③；④． 【答案】①②③④ 【分析】连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N，可得四边形OMD′N是矩形，证明OM=ND′=4，根据OA=OE，ON⊥AD′，可得AN=EN=2，进而可以判断①正确；证明△OAE是等边三角形，可得∠EOM=60°，∠BOM=60°，进而可以判断②正确；连接BF，根据AB是⊙O的直径，可得∠AFB=90°，利用含30度角的直角三角形即可判断③正确；根据∠DAB=90°，∠D′AO=60°，即可判断④正确． 【详解】解：如图，连接OE，OM，过点O作ON⊥AD′于点N， ∵D′C'与⊙O相切于点M， ∴OM⊥C′D′， ∴四边形OMD′N是矩形， ∴OM=ND′， ∵AB=8，AB是⊙O的直径， ∴OM=ND′=4， 在矩形ABCD中，由旋转可知：AD′=AD=6， ∴AN=AD′-ND′=6-4=2， ∵OA=OE，ON⊥AD′， ∴AN=EN=2， ∴AE=4，故①正确； ∵AE=AO=OE=4， ∴△OAE是等边三角形， ∴∠AOE=∠OEA=60°， ∴∠OED′=120°， ∵∠D′=∠OMD′=90°， ∴∠EOM=60°， ∴∠BOM=60°， ∴，故②正确； 如图，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB=90°， ∵∠EAO=60°，∠D′AB′=90°， ∴∠BAF=30°， ∴BF=AB=4， ∴AF=，故③正确； ∵∠DAB=90°，∠D′AO=60°， ∠DAD′=30°，故④正确． 综上所述：正确的有①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，垂径定理，矩形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，解决本题的关键是得到△OAE是等边三角形． 【变式20-1】（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、弦与弧的关系、三角形全等的判定与性质、等腰三角形的三线合一等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．先求出，再根据即可判断A正确；连接，，，先证出，再根据三角形的三边关系可得，由此即可判断B错误；在上截取点，使得，连接，，，，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可判断C正确；先求出，再根据圆周角定理可得，由此即可判断D正确． 【详解】解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴，则选项A正确； 如图，连接，，， ∵， ∴， ∵， ∴，则选项B错误； 如图，在上截取点，使得，连接，，，， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则选项C正确； 由题意，画出图形如下： ∵是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平分，则选项D正确； 故选：B． 【变式20-2】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义： ①等边三角形一定是奇异三角形；②在中，，，，，且，若是奇异三角形，则；③如图，是的直径，是上一点（不与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，.则是奇异三角形；④在③的条件下，当是直角三角形时，.其中，说法正确的有 .    【答案】①③/③① 【分析】①设等边三角形的边长为，代入检验即可；②在中，由勾股定理可得，因为是奇异三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；③要证明是奇异三角形，只需证即可；④由③可得是奇异三角形，所以，当是直角三角形时，由②可得或，然后分两种情况讨论． 【详解】解：设等边三角形的边长为， 则，满足奇异三角形的定义， 等边三角形一定是奇异三角形， 故①正确； 在中，， ， ，， 若是奇异三角形，一定有， ， ，得． ， ， ， 故②错误； 在中，， 是的直径， ， 在中，； 在中，． 是半圆的中点， ， ，   ， 又 ，， ． 是奇异三角形， 故③正确； 由③可得是奇异三角形， ． 当是直角三角形时， 由②可得或， （）当时， ，即， ， ， ∴． （）当时， ，即， ， ， ， 的度数为或， 故④错误； 故答案为：①③． 【点睛】本题主要考查了勾股定理；圆周角定理及推论；直角三角形的性质．能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键． 【变式20-3】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（  ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】①设等边三角形的边长为a，代入检验即可；②在中，由勾股定理可得，因为是奇异三角形，且，所以，然后可得，，代入可求；③要证明△ACE是奇异三角形，只需证即可；④由③可得ΔACE是奇异三角形，所以，当ΔACE是直角三角形时，由②可得或，然后分两种情况讨论． 【详解】解：设等边三角形的边长为a， 则，满足奇异三角形的定义， 等边三角形一定是奇异三角形， 故①正确； 在中，， ∵， ∴，， 若是奇异三角形，一定有， ∴， ∴，得． ∵， ∴， ∴， 故②错误； 在中，， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠ADB=90°， 在中，； 在中，． ∵D是半圆的中点， ∴， ∴AD=BD，   ∴， 又∵，， ∴． ∴ΔACE是奇异三角形， 故③正确； 由③可得ΔACE是奇异三角形， ∴． 当ΔACE是直角三角形时， 由②可得或， （Ⅰ）当时， ，即， ∵， ∴， ∴． （Ⅱ）当时， ，即， ∵∠ACB=90°， ∴∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠ABC=120°， ∴∠AOC的度数为60°或120°， 故④错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了：1．命题；2．勾股定理；3．圆周角定理及推论；4．直角三角形的性质．能牢固掌握以上知识点并综合运用是做出本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十七章 圆（举一反三讲义）全章题型归纳 【华东师大版】 【培优篇】 10 【题型1 圆的相关概念及性质】 10 【题型2 垂径定理及其应用】 11 【题型3 圆心角、弧、弦的关系】 12 【题型4 圆周角定理】 13 【题型5 圆内接四边形的性质】 14 【题型6 点和圆的位置关系】 15 【题型7 直线和圆的位置关系】 16 【题型8 切线的判定与性质】 17 【题型9 切线长定理】 18 【题型10 三角形的内切圆和内心】 20 【题型11 正多边形与圆】 21 【题型12 弧长的计算】 22 【题型13 扇形面积的计算】 23 【题型14 圆锥的侧面积】 25 【拔尖篇】 26 【题型15 圆与函数的综合】 26 【题型16 圆与格点作图】 28 【题型17 圆中的最值问题】 29 【题型18 圆中的定值问题】 30 【题型19 隐圆问题】 32 【题型20 圆中的多结论问题】 33 知识点1 圆的定义及表示方法 1. 定义： （1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径． “圆”是指“圆周”（一条封闭曲线)而不是“圆面”． （2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 确定一个圆需要两个要素 2. 圆的表示方法 以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”． 3. 圆的特性 （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上； （3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形． 知识点2 圆的有关概念 1. 弦与直径 连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）． 2. 弧、半圆、劣弧、优弧 （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧． （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆． （3）弧 3. 等圆与等弧 能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． 同圆或等圆的半径相等. 知识点3 垂直于弦的直径 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴． 2. 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． ③AMBM ⑤ ①CD是直径 ②CDAB 如图， ④ ⇒ 3. 垂径定理的推论 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． ①CD是直径 如上图，②AMBM （AB不是直径） ③CDAB ⑤ ④ ⇒ 由垂径定理以及推论可知，如果一条直线具备①经过圆心（直径）；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中任意两条性质，就具备其他三条性质，简称“知二推三”． 知识点4 弧、弦、圆心角 1. 圆心角 顶点在圆心的角叫做圆心角． 2. 圆的旋转对称性 将圆绕圆心旋转任意一个角度，所得的图形都能与原来的图形重合，所以圆是特殊的中心对称图形，圆心是对称中心． 3. 圆心角及其所对的弧、弦的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 如图，①= ⇒ ② ③ABCD 推论：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．如上图，② ⇒ ①= ③ABCD （2） 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等．如上图，③ABCD ⇒ ①= 和 由圆心角、弦、弧的关系及推论可知，在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧（同为优弧或劣弧）、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余两组量都分别相等，简称“知一推二”． 知识点5 圆周角 1. 圆周角的定义 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 2. 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图，=． 3. 圆周角定理的推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角相等．如图，⇒=． （2）半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 如图，AB是直径⇒= =90°；=90°⇒AB是直径． （3）如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 4. 圆周角与圆心角的区别 圆心角 圆周角 区别 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆心角有无数个 联系 两边都与圆相交 知识点6 圆内接多边形 1. 圆内接多边形的定义 （1）如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆． 2. 圆内接四边形的性质 （1）圆内接四边形的对角互补； （2）圆内接四边形的每一个外角都等于它的内对角． 知识点7 点与圆的位置关系 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为 知识点8 三角形的外接圆 1. 圆的确定 经过不在同一条直线上的三个点（A，B，C）作圆的一般步骤： 如图，（1）连接AB，BC； （2）分别作AB，BC的垂直平分线EF，HG，交于点O； （3）以交点O为圆心，以交点到三点中任意一点的距离为半径作圆，⊙O即为所求． 2. 三角形的外接圆 （1）经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． （2）三角形的外心，是外接圆的圆心，是三角形三条边的垂直平分线的交点． （3）三角形的外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径． （4）三角形的外心的位置 类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 图示 位置 外心在三角形内部 外心是斜边的中点 外心在三角形外部 知识点9 直线与圆的位置关系 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 2 1 0 d与r关系 d＜r d＝r d＞r 公共点名称 割点 切点 直线名称 割线 切线 知识点10 切线的判定定理和性质定理 1. 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 2. 切线的判定定理的推论 （1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． （2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 3. 切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径． 4. 证明直线是圆的切线的方法 一看 利用交点个数：直线与圆有唯一的公共点 二算 利用数量关系：圆心到直线的距离等于圆的半径 三说明 利用切线的判定定理：直线经过半径的外端并且垂直于这条半径 知识点11 切线长及切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 知识点12 三角形的内切圆 1. 三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形． 2. 三角形的内心：三角形的内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点． 3. 三角形的内心与外心的区别 内心 外心 内心到三角形三边的距离相等 外心到三角形的三个顶点的距离相等 过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角 过三角形三边中点和外心的直线垂直平分三角形的边 所有三角形的内心均在三角形内部 三角形的外心不一定在三角形内部 知识点13 正多边形及有关概念 1. 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形． 2. 圆内接正多边形：把圆分成n（n≥3)等份，依次连接各等分点得到的多边形就是这个圆的内接正n边形，这个圆就是这个正n边形的外接圆． 3. 与正多边形有关的概念 （1）中心，即正多边形的外接圆的圆心； （2）半径，即正多边形的外接圆的半径； （3）中心角，即正多边形每一边所对的圆心角； （4）边心距，即中心到正多边形的一边的距离． 知识点14 正多边形的有关计算 设正n边形的半径为R，边长为a，边心距为r，则 （1）每个内角为；每个中心角为；每个外角为； （2）半径、边长、边心距的关系为 （3）周长；面积 以正六边形为例： 知识点15 正多边形的画法 画正多边形的关键是等分圆周，等分圆周有两种方法： 1. 用量角器等分 特点：（1）可以画出任意正多边形； （2）边数很大时，容易产生较大误差． 步骤：（1）用量角器画一个等于的圆心角，这个角所对的弧就是圆周长的； （2）在圆上依次截取与这条弧相等的弧，就得到圆的n等分点； （3）顺次连接各等分点，即得到圆的内接正n边形． 2. 用尺规等分 特点：（1）不能将圆任意等分，只限一些特殊的正多边形，如正四、八、十六边形，正三、六、十二边形等；（2）作图比较准确． 画正六边形的步骤：（1）作直径AD； （2）分别以A，D为圆心，OA长为半径画弧，分别交⊙O于点B，F，C，E； （3）顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA，得正六边形ABCDEF． 知识点16 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 知识点17 扇形及扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 知识点18 圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【培优篇】 【题型1 圆的相关概念及性质】 【例1】如图，在中，弦与半径平行，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，在中，点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【变式1-2】如图，是的弦，半径，分别交于点，，且，求证：． 【变式1-3】（2025·河南·模拟预测）如图，正方形的顶点A，B分别与数轴上表示数0，2的点重合，点C在上，则与数轴正半轴的交点E表示的数为 ． 【题型2 垂径定理及其应用】 【例2】（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，是的弦，交于点，交于点，点是上一点，连接，．若，，则的半径为 ． 【变式2-1】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【变式2-2】（2025·江西九江·三模）如图，是的直径，四边形是平行四边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)在图1中，点与点重合，请作出的中点． (2)在图2中，请作出的中点． 【变式2-3】（2025·江苏无锡·二模）如图，某大桥的拱桥线均为相等的圆弧，其中两拱脚之间的水平距离，弓形的高度． (1)计算桥拱圆弧所在圆的半径； (2)图中阴影部分为货轮通过此桥时的横截面示意图，为船身宽，为保证安全，点、与其正上方拱桥线上的对应点、的距离均应不小于．某日，测得拱顶点高出水面．现有一艘货轮露出水面部分的高度为，．该货轮每增加货物10吨，船身就会下降，请问要保证该货轮安全通过大桥，是否需要提前增加货物？如果需要，至少需要增加多少吨？ 【题型3 圆心角、弧、弦的关系】 【例3】（2025·陕西西安·二模）如图，为的直径，为圆上一点，为劣弧上一点，将劣弧沿弦所在的直线翻折，翻折后点恰好与圆心重合，则的大小等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·广东东莞·模拟预测）如图，为的直径，点C和点D为上位于直径同侧的两点，且，连接． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【变式3-2】（2025·青海西宁·中考真题）如图，是的弦，，半径分别与弦垂直，垂足分别为G，H，交于点M，交于点N，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，则_______． 【变式3-3】如图，等边内接于，D为边上一动点（不与A、C重合），连接并延长交边于E，将沿翻折为，边交于点，若的周长记为，的周长记为，则的值为 ．    【题型4 圆周角定理】 【例4】（2025·山东青岛·二模）如图，，是的直径，是的中点，连接，，，，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·陕西西安·模拟预测）如图，内接于，连接，且平分，D是上一点，连接，．若，则的度数为 ． 【变式4-2】（2025·湖北孝感·三模）如图，为的直径，点C在上，过点O作交于点D，延长，交于点F，过点C作的切线，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【变式4-3】（2025·内蒙古包头·模拟预测）在圆内接四边形中，，垂足为E． (1)如图1，若，求证：平分； (2)如图2，若，，是圆的直径，连接，求的半径． 【题型5 圆内接四边形的性质】 【例5】如图，四边形是的内接四边形，是的直径，若，则的度数为（    ）      A． B． C． D． 【变式5-1】如图，四边形内接于，它的3个外角，，的度数之比为，则 ． 【变式5-2】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，四边形内接于，，交的延长线于点E，连接，平分． (1)求证：； (2)若点B为的中点，时，求的长． 【变式5-3】（2025·安徽六安·三模）如图，四边形内接于，对角线是的直径，平分，连接并延长交于点，连接并延长交延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的长． 【题型6 点和圆的位置关系】 【例6】矩形ABCD中，AB＝8，，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P 为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ）． A．点B、C均在圆P外； B．点B在圆P外、点C在圆P内； C．点B在圆P内、点C在圆P外； D．点B、C均在圆P内． 【变式6-1】（24-25九年级上·广东江门·期末）如图，在中，弦的长为，点在上，．若所在的平面内有一点，且，则点与的位置关系是（   ） A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定 【变式6-2】点是非圆上一点，若点到上的点的最小距离是，最大距离是，则的半径是 ． 【变式6-3】在中，，，，D为的中点．以A为圆心，r为半径作⊙A，若B、C、D三点中只有一点在内，则的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型7 直线和圆的位置关系】 【例7】（2025·广东广州·二模）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（　　） A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定 【变式7-1】已知在中，，，，若以为圆心，长为半径的圆与边有交点，那么的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【变式7-2】在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【变式7-3】如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【题型8 切线的判定与性质】 【例8】（2025·山东济南·中考真题）如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 【变式8-1】（2025·贵州·中考真题）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，． (1)点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ； (2)过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若的半径为，求的长． 【变式8-2】（2025·湖北·中考真题）如图，是的外接圆，．过点作，垂足为，交于点，交于点．过点作的切线，交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【变式8-3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）四边形为矩形，点，在上，连接，． (1)如图，求证：； (2)如图，点在上，，求证：平分； (3)如图，在的条件下，与相切，交于点，点在上，，连接，若，，求的长． 【题型9 切线长定理】 【例9】如图，过外一点P作的两条切线，，切点分别为A，B，与交于点D，与弧交于点E，为的直径．若，，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式9-1】（2025·山东德州·二模）如图，是正五边形的内切圆，点，，分别是边，，与的切点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【变式9-3】（2025·广东广州·二模）如图，正方形的边长为6，以边为直径在正方形内部作半圆，圆心为O，过点A作半圆的切线，与半圆相切于点F，与相交于点E，则 ． 【题型10 三角形的内切圆和内心】 【例10】如图，边长为a的正三角形的内切圆半径是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】（25-26九年级上·黑龙江绥化·开学考试）如图点为的外心，点为的内心，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25九年级上·四川自贡·期末）如图，是的直径，内接于，点是的内心，的延长线与交于点是上任意一点，连接． (1)若，求的度数： (2)若，，，请直接写出与的数量关系； (3)找出图中所有与相等的线段，并证明． 【变式10-3】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知中，，，点是内一点，若且平分． (1)求证：点是的内心； (2)如图：直接写出答案：外接圆的半径 ___________ ；的内心与外心的距离 ___________． 【题型11 正多边形与圆】 【例11】内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【变式11-1】（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25九年级上·宁夏吴忠·期末）仅用无刻度的直尺作图，是一种考查灵活运用图形性质和判定的绘图方式，按要求完成下面仅用无刻度的直尺作图的题目： (1)如图①，在内，作任意两条直径、，顺次连接、、、，则画出了的一个内接矩形，请说明理由； (2)如图②，是的直径，是弦，且，画出的内接正方形．（保留画图痕迹，不写作法） 【变式11-3】（24-25九年级上·江苏镇江·期中）如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，网格中，都是格点，以为圆心，为半径作圆，仅用无刻度的直尺完成以下画图； (1)在图①中画的一个内接正六边形． (2)在图②中画的一个内接正八边形． (3)图②中正八边形的面积为______． 【题型12 弧长的计算】 【例12】（2025·江苏镇江·中考真题）如图，直线，直线分别交于点，以为圆心，长为半径画弧，分别交于直线同侧的点，，，则的长等于（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】（2025·辽宁·中考真题）如图，在中，，以为直径作，与相交于点．连接，与相交于点． (1)如图1，连接，求的度数； (2)如图2，若点为的中点，且，求的长． 【变式12-2】（2025·河北·中考真题）如图1，图2，正方形的边长为5．扇形所在圆的圆心在对角线上，且不与点重合，半径，点，分别在边，上， ，扇形的弧交线段于点，记为． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，当四边形为菱形时，求的长； (3)当时，求的长． 【变式12-3】（2025·四川凉山·中考真题）如图，内接于，若，则的长为 ． 【题型13 扇形面积的计算】 【例13】（2025·江苏南通·二模）如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25九年级上·广东韶关·期末）如图，在中，，，，把以点B为中心，逆时针旋转使点C旋转到边的延长线上点处，则边扫过的图形（图中阴影部分）的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】（2025·山东青岛·中考真题）如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为 （结果保留）． 【变式13-3】（24-25九年级上·湖北荆门·阶段练习）如图，点O､B的坐标分别为､，将绕点O按逆时针方向旋转得． (1)画出，并直接写出点的坐标； (2)求旋转过程中点B所经过路径的长度； (3)求线段在旋转过程中扫过的平面图形的面积 【题型14 圆锥的侧面积】 【例14】综合与实践 主题：制作圆锥形生日帽． 素材：一张圆形纸板、装饰彩带． 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 在制作好的生日帽中，，，C是的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【变式14-1】（2025·浙江温州·二模）如图，圆锥的底面半径，高，该圆锥的侧面积是（    ） A． B． C． D． 【变式14-2】（2025·江苏徐州·二模）圆锥的底面圆半径为2，将该圆锥沿其某条母线剪开后，其侧面展开图是扇形，若扇形的半径为5，则该扇形的圆心角是 °． 【变式14-3】在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形． (1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明； (2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？ 【拔尖篇】 【题型15 圆与函数的综合】 【例15】如图，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，交轴于A、B两点，交轴于、两点，且为弧的中点，交轴于点，点A的坐标为，． (1)求点的坐标． (2)过点作的切线交轴于点，求直线的解析式． 【变式15-1】如图，OA在x轴上，OB在y轴上，OA＝4，OB＝3，点C在边OA上，AC＝1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切．若反比例函数y＝（k≠0）的图象经过圆心P，则k的值是（　　）    A． B． C． D．﹣2 【变式15-2】平面上两点间距离公式是解析几何中重要的公式之一，如图所示，，，则．请用所学知识解决问题： 已知道半径为3， （1）如图1，为圆上任意一点，请探究x，y的关系式； （2）如图2，已知，QA为切线，，且，求b关于a的函数关系式； （3）如图3，M点坐标，在x轴上是否存在点N（不同于点M），满足对于上任意一点P，都有为一常数，若存在求出N点坐标，若不存在请说明理由． 【变式15-3】如图，在平面直角坐标系中，直线y= x与双曲线交于A，B两点，其中A的坐标为（1，a），P是以点C（ - 2，2）为圆心，半径长为1的圆上一动点，连接AP，Q为AP的中点. (1)求双曲线的解析式： (2)将直线y = x向上平移m（m > 0）个单位长度，若平移后的直线与⊙C相切，求m的值 (3)求线段OQ长度的最大值. 【题型16 圆与格点作图】 【例16】（2025九年级下·江西南昌·学业考试）如图1、图2是4×4的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中作弦AB的圆心角． (2)在图2中作弦AB的圆周角，使圆周角的顶点在格点上． 【变式16-1】（2025·吉林·中考真题）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． (1)在图①中找一个格点D（点D不与点C重合），画出，使． (2)在图②中找一个格点E，画出，使． 【变式16-2】（2025·天津·三模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，F，G均在格点上． （1）线段的长为 ； （2）点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与的延长线相交于点B，C，中，点M在边上，点N在边上，点P在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使的周长最短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【变式16-3】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图． (1)在图①中，、、三点是格点，请你画出经过、、三点的圆的圆心，并在上作点，使； (2)在图②中，经过格点、格点和格点，圆心也在格点上，点是和网格线的交点，连接，，请在上作点，使平分，并在上作点，使得． 【题型17 圆中的最值问题】 【例17】如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接，作，垂足为F，连接．则长的最小值为（   ） A． B．1 C． D． 【变式17-1】（24-25九年级下·甘肃嘉峪关·开学考试）如图，在直径为的半圆中，为半圆弧上的一点，连接，将劣弧沿弦折叠交直径于点，取劣弧的中点为，连接．已知，则点与圆心距离的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【变式17-2】如图，为的直径，A、B是上的两点，过A作于点C，过B作于点D， P为上的任意一点，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式17-3】（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，已知的半径为2，是外一点，，点、在上，且满足，则线段的最大值是 ，最小值是 ． 【题型18 圆中的定值问题】 【例18】（24-25九年级上·全国·期末）在直角坐标系中，正方形的两边分别在x轴、y轴上，A点的坐标为． (1)将正方形绕点O顺时针旋转，得到正方形，边交于G．求G点的坐标； (2)如图，与正方形四边都相切，直线切于点P，分别交y轴、x轴、线段于点M、N、Q．求证：平分． (3)若，T为延长线上一动点，过T、H、A三点作，交于S．当T运动时（不包括A点），是否为定值？若是，求其值；若不是，说明理由． 【变式18-1】（24-25九年级上·福建福州·期中）如图直角坐标系中，以为圆心的交x轴负半轴于A，交x轴正半轴于B，交y轴于C、D两点，过C作的切线，过A作于F，交于N，当的半径从小变大时，的长度（   ） A．不变 B．逐渐变大 C．不规则变化 D．逐渐趋近一个定值 【变式18-2】如图1，点为等边的重心，点为边的中点，连接并延长至点，使得，连接，，，    (1)求证：四边形为菱形． (2)如图2，以点为圆心，为半径作 ①判断直线与的位置关系，并予以证明． ②点为劣弧上一动点（与点、点不重合），连接并延长交于点，连接并延长交于点，求证：为定值． 【变式18-3】（2025·河北沧州·模拟预测）如图1，的半径为2，A、B是上的两点，，C是的中点． (1)_______________度；并求阴影部分的面积； (2)若点P在上，且是直角三角形，请在图1中画出点P的所有位置； (3)如图2，弦的端点在优弧上滑动（不与A、B重合），且，连接、分别交、于点E、F．当弦的端点在优弧上滑动时，探讨四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出四边形面积的取值范围； (4)如图3，过点A作射线，交于点G，D是平面内的一个动点，且，Q为的中点．直接写出线段长度的最大值与最小值的差． 【题型19 隐圆问题】 【例19】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【变式19-1】如图，在四边形中，，是的中点，是的中点，若，，，则的长为  (    ) A. B. C. D. 【变式19-2】辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【变式19-3】已知，点A，B分别在射线上运动，． (1)如图①，若，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为，连接．判断OD与有什么数量关系?证明你的结论： (2)如图②，若，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离： (3)如图③，若，当点A，B运动到什么位置时，的面积最大?请说明理由，并求出面积的最大值． 【题型20 圆中的多结论问题】 【例20】如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8，AB是⊙O的直径．将矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形，且交⊙O于点E，交⊙O于点F，与⊙O相切于点M．下列说法正确的有 ．（只填写序号）①AE＝4；②；③；④． 【变式20-1】（2025·江西赣州·二模）阿基米德不仅是物理学家，还是伟大的数学家，阿基米德折弦定理就是圆中关于弦的一个定理，其条件大致如下：如图，，为的两条弦，点是的中点，过点作于点，根据以上条件，下列说法错误的是（    ） A． B．连接、，则 C． D．作射线交于点，则平分 【变式20-2】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形．根据定义： ①等边三角形一定是奇异三角形；②在中，，，，，且，若是奇异三角形，则；③如图，是的直径，是上一点（不与点、重合），是半圆的中点，、在直径的两侧，若在内存在点，使，.则是奇异三角形；④在③的条件下，当是直角三角形时，.其中，说法正确的有 .    【变式20-3】我们定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形，根据定义：①等边三角形一定是奇异三角形；②在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，则a：b：c＝1：：2；③如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使AE＝AD，CB＝CE．则△ACE是奇异三角形；④在③的条件下，当△ACE是直角三角形时，∠AOC＝120°，其中，说法正确的有（  ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $