专题08 圆中的重要模型之圆幂定理模型（几何模型讲义）数学人教版九年级下册

该初中数学讲义以圆幂定理为核心，通过“模型来源-真题提炼-拓展运用”的逻辑框架，用知识结构图系统整合相交弦、切割线等五大模型，清晰呈现定理条件、结论及证明脉络，突出圆与直线位置关系的内在联系。 讲义亮点在于“真题-模型-应用”的三阶训练，如结合2025重庆模拟题探究相交弦定理证明，通过分层例题（基础题与综合题）培养推理能力与模型意识。配套错题分析和方法总结，助力学生自主构建解题思路，教师可据此实施精准分层教学。

专题08 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）．，∴，． ，．，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（2025·浙江·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ． 例2（25-26九年级上·吉林长春·期中）阅读与思考：小刚喜欢看书，他在学习了圆后，看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两条弦，相交于点P．求证：． 证明：如图1，连结，． ∵ ① ， ② ，∴，∴ ③ ∴∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整：①____________，②____________，③____________； (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是AB上的一点，，，，求的半径． 模型2.割线模型 例1（2025·浙江·模拟预测）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）． 例2（24-25九年级下·河南期中）如图，割线交于、两点，且，交于，，，则的长为（        ） A． B． C． D． 例3（2025·河南·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 模型3.切割线模型 例1（24-25·广东·九年级假期作业）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    例2（2024九年级下·山西·期中）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 圆幂定理 圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图1，为外一点，与相切于点A，为上一点（点不与点A重合），线段与相交于点（点不与重合），则． 部分证明过程如下：如图2，连接． ∵与相切于点，∴，∴． ∵，∴（依据1）． ∵，∴， ∴，∴． ∵（依据2），∴． ∵，… 任务：(1)材料中的依据1是指_________，依据2是指_________．(2)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．(3)如图3，与半径为6的相切于点，交交于点，割线交于点和，若，，则_________． 例3（2025·湖北·校考一模）如图，以边的边为直径作圆O，交于D，E在弧上，连接、、，若．(1)求证：为切线；(2)求证：； (3)若点E是弧的中点，与交于点F，当，时，求的长． 模型4.弦切角模型 例1（24-25九年级上·河南安阳·期中）在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空． (1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线；（M在点B 左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） (2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：． 证明：连接．是的直径， ① ． 是过点B的切线， ② ．即， 又和是弧所对的圆周角 ③ ．． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角 ④ 它所夹弧所对的圆周角．（横线上填：“大于”或“等于”或“小于”） 例2（24-25·山西·九年级校考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 例2（24-25·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务： 托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理． 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形内接于． 求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图2，作，交于点E． ∵∴（依据1） ∴（依据2） ∴∴ ∵∴ ∵∴即 ∴ ∴ ∴ ∴ 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：_____________________________． 依据2：_____________________________． （2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长． 例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践：在学习图形的旋转过程中，我们经常会发现对图形旋转变换放大或缩小后形成的图形和原图形可能会构成新的全等或相似图形．请运用该经验进行以下的研究． (1)操作判断：等边三角形绕点逆时针旋转度后各边缩小为原来的一半得到，如图，连接、，延长，交于点，则线段和之间的数量关系为_______，_______． (2)知识拓展：托勒密定理是几何知识中的重要定理．它指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，．在上取点，连接，使得．利用图中出现的相似三角形完成定理的证明． (3)定理应用：有一个形状尚不确定的四边形模具如图所示，现需要研究、两点之间的长度是否符合标准．已知四边形中，，请直接写出的最大值． 1．（24-25九年级上·广东·期中）已知是的切线，为切点，是过点的割线，，，则的半径长为（ ） A．15cm B．10cm C．7.5cm D．5cm 2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25·浙江·九年级期中）如图：、为⊙O的两条割线，若，，则的长为（　　）    A．10 B．7 C． D．3 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 5．（2025·湖南·模拟预测）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 6．（24-25·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点． 证明 情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）： ，∴ ∴，即 情况二点P在⊙O外时（如图2）： 情况三当点A和点B重合时（如图3） 7．（2025·河南平顶山·二模）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：切于点，交于点，，就是的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于所夹弧所对的圆周角．下面给出了上述命题的“已知”和“求证”，请写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）已知，如图①，是的切线，为切点，射线交于，两点，连接，．求证：．（2）如图②，为半的直径，为圆心，，为半上两点，过点作半的切线交的延长线于点，若，且，，则______． 8．（24-25·河北保定·九年级统考期中）阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示．   同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲） 证明：∵AB切⊙O于点A，  ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？请说明理由． 知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．  求证：EF∥BC．    9．（2025·山东枣庄·校考模拟预测）如图，是的直径，是弦，于，是的切线，是的割线，是弧上的一动点，连接、． (1)求证：；(2)若，，则当为何值是，． 10．（24-25·浙江·九年级培优）如图，为的切线，为的割线，于点，的外接圆与的另一个交点为．证明：． 11．（24-25·江西宜春·模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接．∵，．∴，（根据） ∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 12．（24-25·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴ ∴               ∴   即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    13．（2025·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．    14．（24-25·河南驻马店·九年级期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则． 下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径，∴． ∵是的直径，∴（__________），∴，∴__________． ∵，∴__________．∵，∴∽， ∴（__________），∴． 　　　　 任务：(1)请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；(2)如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长． 15．（24-25·江苏·九年级专题练习）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 16．（2025·河南驻马店·校联考三模）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，A是⊙O外一点，　　 ．求证：　　 [提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE． 17．（24-25九年级上·北京·期末）如图，AB为⊙O的直径，割线PCD交⊙O于C、D,∠PAE=∠PDA． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的长. 18．（24-25·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，．求证：． 证明： (2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型拓展 6 模型运用 6 模型1.相交弦模型 6 模型2.双割线模型 8 模型3.切割线模型 10 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 14 19 圆幂定理模型是几何学中关于圆与直线位置关系的核心定理，其来源可追溯至欧几里得《几何原本》中的相关命题。19世纪由德国数学家施泰纳或法国数学家普朗克雷系统归纳，将相交弦定理、割线、切割线定理、弦切角模型等统一为“圆幂定理”。该模型通过点与圆的幂值关系（如切线长与割线线段乘积的恒等性）解决几何问题，现代教材中虽没直接给出，但仍是圆相关证明的重要工具。‌ （2025·重庆·模拟预测）古旧知温习：人教版初中数学第二十七章《相似》中比例线段的证明都是利用三角形相似或平行线得出来的，在三角形相似证明中，利用的条件有角相等，对应边成比例．比例线段还可以写成等积式，如可以写为． 新知探究：如图1，中，是两条相交的弦，交点为P，（不再添加辅助线），求证：； 类比探究：如图2，P是外一点，是的两条割线，与交点分别为A，B，C，D．请写出的等积关系式，并说明理由． 延伸结论：如图2，中，点P是外一点，是的切线，切点为是过圆心O的一条割线，交于A和B点，请直接写出探究之间的数量关系． 【答案】（新知探究）：见详解；（类比探究）：；（延伸结论）： 【详解】（新知探究）：∵， ∴，∴，； （类比探究）：如图所示：连接，       ∵四边形是圆内接四边形，， ，，； （延伸结论）：如图所示：连接， 是的切线，，，， 是的直径，，，， ，，， ，，，． （2025·河南·模拟预测）古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中提出托勒密定理：圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．以下是简单的证明过程． 证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（①）． ，∴，． ，． ，， 即，．∴， ② ． ． 根据以上材料解决下列问题：(1)①的依据是_____，②中所填的关系式为_____； (2)如图，四边形内接于为的中点，依据托勒密定理求的长． 【答案】(1)同弧所对的圆周角相等， (2) 【详解】（1）证明：如图，在线段上取一点，使得，连接． ，（同弧所对的圆周角相等）． ．∴，．，． ，，即． ．∴，． ． 故答案为：同弧所对的圆周角相等，； （2）连接，作于点， ∵为的中点，∴，∴，∴， ∵，∴， ∴，设，则：， 由托勒密定理，得：，∴，∴． 1）相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：如图1，在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 图1 图2 图3 2）割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图2，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 3）切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图3，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 4）弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 5）托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 模型1.相交弦模型 例1（2025·浙江·模拟预测）四边形内接于圆，对角线交点为E，，若、都是整数，则的值为 ． 【答案】3或4 【详解】解：∵AB=AC=4，AE=2，∴∠ADB=∠ADC， ∵∠ABC=∠ADC，∴∠ADB=∠ABC，又∠BAD=∠BAE， ∴△ABD∽△AEB， ∴，即，∴AD=8，∴DE=6， ∵∠CAE=∠DBE，∠ACE=∠BDE，∴△AEC∽△BED， ∴，即，∴BE·CE=12，∵BE，CE都是整数， 则BE和CE可取的值为3，4或2，6或1，12； ∵AB=AC=4，∴BC＜AB+AC=8，∴BC=3+4=7， ∴BE的值为3或4，故答案为：3或4． 例2（25-26九年级上·吉林长春·期中）阅读与思考：小刚喜欢看书，他在学习了圆后，看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两条弦，相交于点P．求证：． 证明：如图1，连结，． ∵ ① ， ② ，∴，∴ ③ ∴∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整：①____________，②____________，③____________； (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是AB上的一点，，，，求的半径． 【答案】(1)B，D，；(2)7 【详解】（1）连接． ∵，．∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．故答案为：B，D，； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为r，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去），的半径为． 模型2.割线模型 例1（2025·浙江·模拟预测）如图，过点引圆的两条割线和，分别交圆于点和，连结，则在下列各比例式中，①；②；③，成立的有 （把你认为成立的比例式的序号都填上）． 【答案】②③ 【详解】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠PAD=∠PCB，∠PDA=∠PBC， ∴△PAD∽△PCB，∴，∴①错误；②正确； ③连接AC，BD，∵∠P=∠P，∠PBD=∠PCA，∴△PAC∽△PDB， ∴，∴，正确；故答案为：②③． 例2（24-25九年级下·河南期中）如图，割线交于、两点，且，交于，，，则的长为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】延长PO交圆于D.∵，∴可设AB=x，PA=2x，则PB=3x. ∵，，∴PO=2+2+3=7. 有切割线定理：PA·PB=PC·PO，∴2x · 3x=3×7,∴x=,∴PA=2x= ，故选B. 例3（2025·河南·统考一模）我们知道，直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．当直线与圆有两个公共点（即直线与圆相交）时，这条直线就叫做圆的割线．割线也有一些相关的定理．比如，割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等．下面给出了不完整的定理“证明一”，请补充完整． 已知：如图①，过外一点作的两条割线，一条交于、点，另一条交于、点． 求证：． 证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴______． 又∵，∴______，∴______．即． 研究后发现，如图②，如果连接、，即可得到学习过的圆内接四边形．那么或许割线定理也可以用圆内接四边形的性质来证明．请根据提示，独立完成证明二． 证明二：连接、， 【答案】证明一：，∽，；证明二见解析 【详解】解：证明一：连接、， ∵和为所对的圆周角，∴． 又∵，∴∽，∴．即． 故答案为：，∽，， 证明二：连接、， ∵四边形为圆内接四边形，∴， 又∵，∴， 又∵，∴∽，∴，即． 模型3.切割线模型 例1（24-25·广东·九年级假期作业）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    【答案】 【详解】解：连接，连接并延长交于点D，连接，    ∵切于点A，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴，∴ 又∵，∴，∴，∴， 而，∴，∴（负值舍去）．故答案：． 例2（2024九年级下·山西·期中）阅读与思考下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 圆幂定理 圆幂定理是平面几何中最重要的定理之一，它包含了相交弦定理、切割线定理、割线定理以及它们的推论，其中切割线定理的内容是从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 如图1，为外一点，与相切于点A，为上一点（点不与点A重合），线段与相交于点（点不与重合），则． 部分证明过程如下：如图2，连接． ∵与相切于点，∴，∴． ∵，∴（依据1）． ∵，∴， ∴，∴． ∵（依据2），∴． ∵，… 任务：(1)材料中的依据1是指_________，依据2是指_________．(2)按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分．(3)如图3，与半径为6的相切于点，交交于点，割线交于点和，若，，则_________． 【答案】(1)等边对等角，圆周角定理(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，∴（等边对等角）． 如图2，（圆周角定理）．故答案为：等边对等角，圆周角定理． （2）证明：如图2：∵与相切于点，∴，∴． ∵，∴（依据1）． ∵，∴， ∴，∴．∵（依据2），∴． ∵，∴，∴，∴． （3）解：如图：连接， ∵与半径为6的相切于点，∴，， 设，则，，∵， ， ∴，解得：，∴， 由圆幂定理可得：，∴．故答案为：． 例3（2025·湖北·校考一模）如图，以边的边为直径作圆O，交于D，E在弧上，连接、、，若．(1)求证：为切线；(2)求证：； (3)若点E是弧的中点，与交于点F，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）证明：为直径，，， ，，，，即， 是直径，为切线． （2）证明：，， ，，， （3）解：，，，，， 在中，， 在中，，过点F作，垂足为点G，如图， 点E是弧的中点，，， ，，，， 又，． 模型4.弦切角模型 例1（24-25九年级上·河南安阳·期中）在学习圆的相关知识后，小帅同学进行了关于弦切角的相关探索（弦切角定义：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角；如图，直线与相切于点I，是的一条弦，则就是弦切角），发现弦切角的大小与它所夹弧所对的圆周角度数相关．请根据这个思路完成以下作图和填空． (1)尺规作图：已知是的直径，延长，过点B作的切线；（M在点B 左侧，N在点B右侧．保留作图痕迹，不写作法） (2)如图C、D是圆上两点，在（1）的条件下，为弦切角，求证：． 证明：连接．是的直径， ① ． 是过点B的切线， ② ．即， 又和是弧所对的圆周角 ③ ．． 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角 ④ 它所夹弧所对的圆周角．（横线上填：“大于”或“等于”或“小于”） 【答案】(1)见解析(2)；；；它所夹的弧所对的圆周角 【详解】（1）解：如图，以为圆心，任意长度为半径画弧，交于点； 以为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点； 作直线；∴即为所求； （2）证明：连接， ∵是的直径，∴； ∵是过点的切线，∴，即，∴， ∵，∴， 又∵和是弧所对的圆周角，∴，∴， 由此，我们可以得到弦切角的结论：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 故答案为：；；；它所夹的弧所对的圆周角． 例2（24-25·山西·九年级校考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)转化思想和类比思想(4) 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴， ∴，∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴； （3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； 故答案为：思想转化思想和类比思想 （4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴， ∴，∴，∵，， ∴．故答案为：． 模型5.托勒密定理模型 例1（2025·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，    ，， 在中，，，， ，，在中，， 在中，，， 在中，，， 四边形是的内接四边形，， ，解得：，故选：B． 例2（24-25·山西晋中·九年级统考期末）阅读以下材料，并完成相应任务： 托勒密（Ptolemy）（公元90年～公元168年），希腊著名的天文学家，他的著作《天文学大成》被后人称为“伟大的数学书”，托勒密有时把它叫作《数学文集》，托勒密从书中摘出并加以完善，得到了著名的托勒密（Ptolemy）定理． 托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和． 已知：如图1，四边形内接于． 求证： 下面是该结论的证明过程： 证明：如图2，作，交于点E． ∵∴（依据1） ∴（依据2） ∴∴ ∵∴ ∵∴即 ∴ ∴ ∴ ∴ 任务：（1）上述证明过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？ 依据1：_____________________________． 依据2：_____________________________． （2）如图3，四边形内接于，为的直径，，，点D为的中点，求的长． 【答案】（1）同弧所对的圆周角相等，两角对应相等的两个三角形相似；（2） 【详解】解：（1）上述证明过程中的“依据1”是同弧所对的圆周角相等． “依据2”是两角对应相等的两个三角形相似． 故答案为：同弧所对的圆周角相等；两角对应相等的两个三角形相似． （2）∵为的直径，∴， ∵点D为的中点，∴，∴， ∴在中， ∵∴在中， ∵ ∴，∴ 例3（2025·河南商丘·二模）综合与实践：在学习图形的旋转过程中，我们经常会发现对图形旋转变换放大或缩小后形成的图形和原图形可能会构成新的全等或相似图形．请运用该经验进行以下的研究． (1)操作判断：等边三角形绕点逆时针旋转度后各边缩小为原来的一半得到，如图，连接、，延长，交于点，则线段和之间的数量关系为_______，_______． (2)知识拓展：托勒密定理是几何知识中的重要定理．它指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．如图，．在上取点，连接，使得．利用图中出现的相似三角形完成定理的证明． (3)定理应用：有一个形状尚不确定的四边形模具如图所示，现需要研究、两点之间的长度是否符合标准．已知四边形中，，请直接写出的最大值． 【答案】(1)，(2)见解析(3) 【详解】（1）解：由旋转可知，，， 为等边三角形，，， 在和中，，，，， 在与中，，， ，，， 故答案为：，； （2）证明：，，，，， ，，， ，，， ，， ，，，， ； （3）解：如图，， ，、、、四点共圆， 连接、，则为圆的直径，，， 延长至，使，连接，，，， ，，，， ，，， ，， ，， 当最大时，最大， 是圆的一条弦，最大为圆的直径，最大为， ，的最大值为． 1．（24-25九年级上·广东·期中）已知是的切线，为切点，是过点的割线，，，则的半径长为（ ） A．15cm B．10cm C．7.5cm D．5cm 【答案】C 【详解】根据切割线定理的PA2=PO⋅PC，所以100=5×PC，PC=20cm，BC=20−5=15cm. 因为PBC是过点O的割线，所以的半径长为 故选:C. 2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，为外一点，过点作的两条割线，分别交于、和、，且为的直径，已知，弧弧，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接OC、OD，如图所示： ∵弧AC=弧CD，∴∠AOC=∠COD=∠AOD； 又∵∠ABD=∠AOD，∴∠ABD=∠AOC，∴OC∥BD， ∴，∴，∴PD=; ∵PD和PB都是⊙O外同一点引出的割线，∴PC•PD=PA•PB， ∴PC•PD=2×6=12，∴PC=2cm．故选D． 3．（24-25·浙江·九年级期中）如图：、为⊙O的两条割线，若，，则的长为（　　）    A．10 B．7 C． D．3 【答案】B 【详解】解：如图，连接，，∵，∴    又∴∴    ∵，，， ∴，∴．故选：B． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，∴，，，    ∵，，∴，， ∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，，，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， 在中，，∴，由托勒密定理得：， ∴，∴， ∴四边形的周长为，故选：． 5．（2025·湖南·模拟预测）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接AD，AC， ∵五边形ABCDE是正五边形，则∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2， ∴AD=AC=BD，设BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x， 解得x1=1+，x2=1−（舍去），∴BD=1+．故答案为：． 6．（24-25·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点． 证明 情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）： ，∴ ∴，即 情况二点P在⊙O外时（如图2）： 情况三当点A和点B重合时（如图3）    【答案】见解析 【详解】 证明 情况一点P在内时，连接（如图1）： ，， ∴， ∴，即． 情况二点P在外时（如图2）： 连接、， ， ，， ∴． 情况三当点A和点B重合时（如图3）： 连接，连接并延长交于，连接． 为的切线，， 即， 是的直径，， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ，即， ∴．    7．（2025·河南平顶山·二模）顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图①所示：切于点，交于点，，就是的一个弦切角．经研究发现：弦切角等于所夹弧所对的圆周角．下面给出了上述命题的“已知”和“求证”，请写出“证明”过程，并回答后面的问题． （1）已知，如图①，是的切线，为切点，射线交于，两点，连接，．求证：．（2）如图②，为半的直径，为圆心，，为半上两点，过点作半的切线交的延长线于点，若，且，，则______． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】（1）如图，连接并延长交于点D，连接.则TD为的直径∴ 又∵PT为的切线∴ 即 ∵ ∴，即 （2）连接AC，OC，∵CE为的切线∴ 又∵∴∴∵∴∴ 又∵∴∴∴∴ 又∵为的切线∴ 又∵∴∴∴∴ 8．（24-25·河北保定·九年级统考期中）阅读资料：我们把顶点在圆上，并且一边和圆相交、另一边和圆相切的角叫做弦切角，如下左图∠ABC所示．   同学们研究发现：P为圆上任意一点，当弦AC经过圆心O时，且AB切⊙O于点A，此时弦切角∠CAB=∠P（图甲） 证明：∵AB切⊙O于点A，  ∴∠CAB=90°， 又∵AC是直径， ∴∠P=90° ∴∠CAB=∠P 问题拓展：若AC不经过圆心O（如图乙），该结论:弦切角∠CAB=∠P还成立吗？ 请说明理由． 知识运用：如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，经过点A的⊙O与BC切于点D，与AB、AC分别相交于E、F．  求证：EF∥BC．    【答案】（1）成立；（2）证明见解析. 【详解】问题拓展：成立． 如图3，连接AO并延长交⊙O于点D，连接CD，则∠D=∠P， ∵AD是直径，∴∠D+∠CAD=90°， 又∵AB切圆于点A，∴∠CAB+∠CAD=90°，∴∠CAB=∠CAD，而∠CAD=∠P，∴∠CAB=∠P； 知识运用：如图4，连接DF， ∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠DAC， ∵⊙O与BC切于点D，∴∠FDC=∠DAC，∴∠FDC=∠EAD， ∵在⊙O中∠EAD=∠EFD，∴∠FDC=∠EFD，∴EF∥BC． 9．（2025·山东枣庄·校考模拟预测）如图，是的直径，是弦，于，是的切线，是的割线，是弧上的一动点，连接、． (1)求证：；(2)若，，则当为何值是，． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图1，连接，，， 是的切线，，∴，， ∵，∴，∴ ∵，∴，∴， 又∵，∴，∴，即， 作交于，连接，， ，，， 是的切线，，， ，，， ，，， ，， ，，，同理可得，， ，，，， ，，，； （2）解：如图2，连接，设，，则，， ，，由（1）知，，， ，，， ，，， ，，． 10．（24-25·浙江·九年级培优）如图，为的切线，为的割线，于点，的外接圆与的另一个交点为．证明：． 【答案】见解析 【详解】证明：连接，，，． ∵，，∴由射影定理可得，． 又由切割线定理可得，∴，∴、、、四点共圆， ∴，，∴， ∴，∴，∴． 又，∴， ∴，∴是的外接圆的切线，∴． 11．（24-25·江西宜春·模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接．∵，．∴，（根据） ∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；；(2) 【详解】（1）连接．∵，． ∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为r，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去），的半径为． 12．（24-25·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴ ∴               ∴   即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    【答案】(1) (2)勾股定理 (3)，证明见解析 【详解】（1）解：   ； （2）解：当圆内接四边形是矩形时， ∴，，∴，∴托勒密定理就是我们非常熟知的勾股定理； （3）解： 证明：∵， ∴ ∴ ；∴是等边三角形∴ 由托勒密定理得： ；∴∴； 13．（2025·广东珠海·统考一模）如图，为正的外接圆，为劣弧上任一点，的延长线和的延长线交于点．(1)求；(2)求证：．    【答案】(1)(2)见解析 【详解】（1）解： 为正三角形，． 四边形为圆内接四边形，∴； （2）证明：由（1）知，，∵， 又∵，∴．∴则又∵，∴． 14．（24-25·河南驻马店·九年级期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则． 下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径，∴． ∵是的直径，∴（__________），∴，∴__________． ∵，∴__________．∵，∴∽， ∴（__________），∴． 　　　　 任务：(1)请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；(2)如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长． 【答案】(1)直径所对的圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例；(2) 【详解】（1）证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径，∴． ∵是的直径，∴（直径所对的圆周角相等）， ∴，∴．∵，∴． ∵，∴∽， ∴（相似三角形的对应边成比例），∴． 　　   故答案为：直径所对的圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例； （2）解：图3中，连接，， ∵，∴设，，，则，∵是的切线，是割线， ∴由割线定理得，则，解得（负值舍去）， ∴，，，则， ∵是的直径，是的切线，∴，∴； ∵，，∴，则， ∴，∴． 15．（24-25·江苏·九年级专题练习）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)，证明见解析(2) 【详解】（1）求证：． 证明：连接AC、BD．如图①．    ∵，．∴．∴．∴． （2）解：∵，，．由（1）可知．∴． ∵，是的直径，，． 连接OD．如图②．∵为切线．∴． ∵．．∴．∴． ∵，∴．∴，．又∵．∴． 16．（2025·河南驻马店·校联考三模）复习巩固 切线：直线和圆只有一个公共点，这时这条直线和圆相切，我们把这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.如图1，直线l1为⊙O的切线 割线：直线和圆有两个公共点，这时这条直线和圆相交，我们把这条直线叫做圆的割线.如图1，直线l2为⊙O的割线 切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长. 阅读材料：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所普的一部数学著作.它是欧州数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书其中第三卷命题36一2圆幂定理（切割线定理）内容如下： 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.为了说明材料中定理的正确性，需要对其进行证明，下面已经写了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程 已知：如图2，A是⊙O外一点，　　 ．求证：　　 [提示]辅助线可先考虑作⊙O的直径DE． 【答案】AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线；；证明见解析． 【详解】解：（已知：如图，A是⊙O外一点，）AD是⊙O的切线，直线ABC为⊙O的割线． 求证：． 故答案为：AB是⊙O的切线，直线ACD为⊙O的割线，． 证明：连接BD，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE， ∵AD是⊙O的切线，∴， ∵DE是圆的直径，∴，∴， 又∵，∴，∵，∴△ABD∽△ADC， ∴，∴． 17．（24-25九年级上·北京·期末）如图，AB为⊙O的直径，割线PCD交⊙O于C、D,∠PAE=∠PDA． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的长. 【答案】（1）详见解析；（2）12 【详解】（1）证明：连结BC ∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90° ∵∠B=∠PDA, ∠PAC=∠PDA∴∠BAC+∠PAC=90°∴AB⊥PA ∴PA是⊙O的切线 （2）∵∠PAC=∠PDA，∠P=∠P∴△PAC∽△PDA ∴36=PC∙4PC ∵CD=3PC,PA=6∴PD=4PC∴36=PC∙4PC∴PC=3(舍负) ∴PD=12 18．（24-25·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，．求证：． 证明： (2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析(2)21 【详解】（1）解：求证：， 证明：如图2，延长交于，连接， 是的直径，，， 为的切线，，， ，，；即； （2）如图3，连接， ，，，为的切线，， ，，，，． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $