第2章 直线与圆的位置关系（知识清单）数学浙教版九年级下册

该初中数学单元知识清单系统梳理“直线与圆的位置关系”核心内容，涵盖位置关系判定、切线性质与判定、切线长定理、内切圆与内心等知识范畴，搭建从概念定义到定理应用再到综合解题的递进式学习支架。 清单通过“易错要点+典型例题+模型总结”三维结构呈现知识体系，如将“切线证明”细化为计算证明和等量代换两种方法，提炼4种切线相关相似三角形模型，培养学生几何直观与推理能力。设计“实际应用转化提示”和“内心求角公式”等实用工具，如Rt△内切圆半径公式直接关联面积与周长，助力学生高效掌握，也为教师提供分层教学素材。

第2章 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的3种位置关系： （1）直线与圆相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交； （2）直线与圆相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，该公共点叫作切点； （3）直线与圆相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离； 直线l与圆O相交 直线l与圆O相切 直线l与圆O相离 2.直线与圆的位置关系定理： 如果圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： 3.直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线； 4.圆的切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线； 5.切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长； 如图，线段PA、PB的长是点P到圆O的切线长 6.切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 如上图，当PA与PB与圆O相切时，PA=PB； 另有性质：①OP垂直平分AB；②OP平分∠AOB、∠APB 7.内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。 8.三角形的内心：三角形的三条角平分线的交点； 9.如图，Rt△ABC中，圆O为其内切圆，r为△ABC的内切圆半径；则有 1.用d与r的大小判断直线与圆的位置关系 易错要点：要判断直线与圆的位置关系，最重要的方式就是先判断圆的半径r和圆心到直线的距离d的大小关系，即： 但仍需注意：也可以考虑其他方式判断直线与圆的位置关系，比如已知直线与圆的交点个数。 例1 （25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，是边上的中点．连接，以点为圆心，为半径作圆．，则直线与的位置关系是 ． 2.根据直线与圆的位置关系求d或r的取值范围 易错要点：若已知直线与圆的位置关系，可以计算出d或r的取值范围，关键是区分是哪种位置关系。常见的考型有： （1）告知直线与圆的位置关系，求圆心到直线的垂线的线段长d的取值范围或值； （2）告知直线与圆的位置关系，求圆的半径r的取值范围或值； （3）已知直线与圆相切，过圆心作直线的垂线，得到直角三角形并求解问题； （4）求动点相关的问题中t的取值范围，使得直线与圆满足某个位置关系； 例2 中，，，，以C为圆心，r为半径作， （1）若线段与相离时，r的取值范围是 ； （2）若线段与只有一个交点时，r的取值范围是 ． 例3 如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 3.直线与圆的位置关系的实际应用 易错要点：在实际应用中，注意数形结合。将实际问题描述的已知条件，转化为数学几何图形中的数量关系和位置关系，然后用几何计算与证明解决问题。切忌脱离实际问题做数学计算和证明，也切忌与实际问题所要解决的问题背道而驰。 例4 如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，先要在B、C两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通，现测得，问此公路是否会穿过该森林公园？并通过计算进行说明．（参考数据：）    4.切线的几何证明：用计算证明 易错要点：要证明一条直线是圆的切线，主要运用“经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线”这个判定定理，因此证明垂直最重要。 （1）一般的，如果已知条件与角度大小有关，比如给定几个角的大小，或给定几个角的数量关系，就可以求目标角是否为90°即可； （2）有些已知条件是给出几个线段长或线段之间的等量关系，我们可以通过构造目标角所在的三角形，用勾股定理证明其为直角三角形（目标角为直角）即可。 5.切线的几何证明：用等量代换证明 易错要点：除了用计算的方式计算出直角（垂直）之外，还可以通过证明来证明垂直。一般也有两种方式： （1）通过同角或等角的余角证明目标角为直角。 （2）证明全等三角形，使得已知为直角的角与目标角为对应角相等，证明目标角也为直角； （3）通过平行线，得到目标角与已知角为同位角、同旁内角或内错角，常与垂径定理综合运用。 例5 （25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 例6 （25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，且，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作的切线交延长线于点A，E为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 6.切线的性质运用 易错要点：在已知“切线”的条件后，最重要的是得到垂直的结论，因此需要先连结圆心与切点，使得连结得到的半径与直线垂直，得到直角（90°），然后再求其他数学问题。这也是切线问题最常见的辅助线作法。 例7 （2025九年级·全国·专题练习）如图，是的直径，E是延长线上的一点，是的切线，C是切点，D是上的一个点，连接． (1)求证：． (2)若，则的长为______． 7.切线相关的相似三角形问题 易错要点：由于圆的基本认识中我们学习到了垂径定理和圆周角的性质，涉及到圆内的直角，结合切线的“垂直”的性质，就产生了4种典型的相似三角形模型。 类型 图示 描述与结论 （1）圆周角+切线=母子型相似模型 如下图所示，在⊙O中，AB是圆的直径，AC切⊙O于点A，D为⊙O上一点，连结BD并延长，交切线AC于点C。此时有△ABD∽△CBA∽△CAD. （2）垂径定理+切线=“A”字型相似模型或母子型模型 如下图所示，OE⊥CD，EF与DH都是⊙O的切线，EF与OD的延长线交于点F，DH与OE的延长线交于点H。此时有△ODG∽△OFE，△ODG∽△OHD （3）切线+切线=反“A”字型相似模型 如下图所示，切线CE和AE交于点E，CE和AB的延长线交于点D。则有△DOC∽△DEA （4）额外垂直+切线=“A”字型相似模型 如下图所示，CE是⊙O的切线，交AB的延长线于点E，过点A再作AD垂直CE于点D，则有△EOC∽△EAD. 例8 （2025·宁夏银川·二模）如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 例9 （24-25九年级下·黑龙江绥化·月考）如图，为的切线，A为切点，过点A作的垂线，垂足为C，交于点B，延长与交于点D，连接交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 8.切线长定理的运用 易错要点：切线长定理的核心性质是“过圆外一点所作的圆的两条切线长相等”，据此得到关键的等量关系。 例10 （2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为 ． 9.内心相关的求角问题 易错要点：内心即三角形三条角平分线的交点。内心与任意两个顶点连结组成的夹角α与第三个顶点的内角β的关系为：2α－β=180° 例11 （25-26九年级上·山东德州·月考）在中，，点为三角形内心，则 ． 10.三角形内切圆相关的面积问题 易错要点：内心到三角形三边的距离相等，因此： 如图将△ABC的内心I分别连结三角形各顶点，将△ABC分为三个小三角形，设△ABC的面积为S，周长为C，内切圆半径为r，则有： S△ABC=S△IAB+S△IAC+S△IBC，即：S=r×c+r×b+r×a=r×（a+b+c）=rC。 例12 （25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 1．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图切于点，交于点，若，，则的半径是（    ） A．4 B．2 C．5 D．10 2．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图，，是的两条切线，切点是，．如果，，那么（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，连接若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，中，内切圆I和边、、分别相切于点D、E、F，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 7．（25-26九年级上·北京·期末）如图，是的直径，分别切于．若，则的长是 ． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ． 9．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，切于点，点为圆上一点，射线交射线于点，交于点．若，则 ， ． 10．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，，，则的内切圆的半径为 ． 11．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，以的边上一点为圆心的圆经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径，，求的长． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点 (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的直径． 13．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 直线与圆的位置关系 1.直线与圆的3种位置关系： （1）直线与圆相交：当直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交； （2）直线与圆相切：当直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，该公共点叫作切点； （3）直线与圆相离：当直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离； 直线l与圆O相交 直线l与圆O相切 直线l与圆O相离 2.直线与圆的位置关系定理： 如果圆O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么： 3.直线与圆相切的判定定理：经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线； 4.圆的切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线； 5.切线长：从圆外一点作圆的切线，通常我们把圆外这一点到切点间的线段的长叫做切线长； 如图，线段PA、PB的长是点P到圆O的切线长 6.切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等 如上图，当PA与PB与圆O相切时，PA=PB； 另有性质：①OP垂直平分AB；②OP平分∠AOB、∠APB 7.内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。 8.三角形的内心：三角形的三条角平分线的交点； 9.如图，Rt△ABC中，圆O为其内切圆，r为△ABC的内切圆半径；则有 1.用d与r的大小判断直线与圆的位置关系 易错要点：要判断直线与圆的位置关系，最重要的方式就是先判断圆的半径r和圆心到直线的距离d的大小关系，即： 但仍需注意：也可以考虑其他方式判断直线与圆的位置关系，比如已知直线与圆的交点个数。 例1 （25-26九年级上·甘肃武威·期末）如图，在中，，，是边上的中点．连接，以点为圆心，为半径作圆．，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，等腰三角形三线合一． 根据三线合一得到，根据勾股定理求出，作交于，根据等面积法求出，即可判断． 【详解】解：∵，，是边上的中点， ∴， ∴， 作交于， ∴， 解得：， 即直线与的位置关系是相离． 故答案为：相离． 2.根据直线与圆的位置关系求d或r的取值范围 易错要点：若已知直线与圆的位置关系，可以计算出d或r的取值范围，关键是区分是哪种位置关系。常见的考型有： （1）告知直线与圆的位置关系，求圆心到直线的垂线的线段长d的取值范围或值； （2）告知直线与圆的位置关系，求圆的半径r的取值范围或值； （3）已知直线与圆相切，过圆心作直线的垂线，得到直角三角形并求解问题； （4）求动点相关的问题中t的取值范围，使得直线与圆满足某个位置关系； 例2 中，，，，以C为圆心，r为半径作， （1）若线段与相离时，r的取值范围是 ； （2）若线段与只有一个交点时，r的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，勾股定理，解直角三角形等知识．利用正弦函数先求得，作于．利用勾股定理求出，再利用直角三角形的性质求出即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 如图，作于． 在中，∵，，， ∴， ∴， （1）以点为圆心，为半径的圆与线段所在直线相离， ∴的取值范围为， （2）与线段只有一个公共点， ∴的取值范围为或， 故答案为：，或． 例3 如图，直线、相交于点，半径为1cm的⊙的圆心在直线上，且与点的距离为8cm，如果⊙以2cm/s的速度，由向的方向运动，那么 秒后⊙与直线相切. 【答案】3或5 【分析】分类讨论：当点P在当点P在射线OA时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与E，根据切线的性质得到PE=1cm，再利用含30°的直角三角形三边的关系得到OP=2PE=2cm，则⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切，即可得到⊙P移动所用的时间；当点P在射线OB时⊙P与CD相切，过P作PE⊥CD与F，同前面一样易得到此时⊙P移动所用的时间． 【详解】当点P在射线OA时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与E， ∴PE=1cm， ∵∠AOC=30°， ∴OP=2PE=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8-2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==3（秒）； 当点P在射线OB时⊙P与CD相切，如图，过P作PE⊥CD与F， ∴PF=1cm， ∵∠AOC=∠DOB=30°， ∴OP=2PF=2cm， ∴⊙P的圆心在直线AB上向右移动了（8+2）cm后与CD相切， ∴⊙P移动所用的时间==5（秒）． 故答案为3或5． 3.直线与圆的位置关系的实际应用 易错要点：在实际应用中，注意数形结合。将实际问题描述的已知条件，转化为数学几何图形中的数量关系和位置关系，然后用几何计算与证明解决问题。切忌脱离实际问题做数学计算和证明，也切忌与实际问题所要解决的问题背道而驰。 例4 如图，点A是一个半径为的圆形森林公园的中心，在森林公园附近有B、C两个村庄，先要在B、C两村庄之间修一条长为的笔直公路将两村连通，现测得，问此公路是否会穿过该森林公园？并通过计算进行说明．（参考数据：）    【答案】大于圆A的半径，所以不会穿过森林公园，见解析 【分析】过A作于D，根据三角函数求出的长，与圆的半径作比较．若半径，则公路不会穿过森林公园，若半径，则公路会穿过森林公园． 【详解】解：过点作与，   ， ， ， ， 又， ， 在中，， ， ， ， 答：大于圆的半径，所以不会穿过森林公园． 4.切线的几何证明：用计算证明 易错要点：要证明一条直线是圆的切线，主要运用“经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线”这个判定定理，因此证明垂直最重要。 （1）一般的，如果已知条件与角度大小有关，比如给定几个角的大小，或给定几个角的数量关系，就可以求目标角是否为90°即可； （2）有些已知条件是给出几个线段长或线段之间的等量关系，我们可以通过构造目标角所在的三角形，用勾股定理证明其为直角三角形（目标角为直角）即可。 5.切线的几何证明：用等量代换证明 易错要点：除了用计算的方式计算出直角（垂直）之外，还可以通过证明来证明垂直。一般也有两种方式： （1）通过同角或等角的余角证明目标角为直角。 （2）证明全等三角形，使得已知为直角的角与目标角为对应角相等，证明目标角也为直角； （3）通过平行线，得到目标角与已知角为同位角、同旁内角或内错角，常与垂径定理综合运用。 例5 （25-26九年级上·江苏镇江·月考）如图，已知是边上的一点，以为圆心、为半径的圆与边相切于点，且，连接，交于点，连接并延长，交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、切线的判定、切线长定理、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识与方法．在解圆的相关题型中，连接常用的辅助线是解题关键． （1）连接，由与相切于点，得，可证明，得，即可证明是的切线； （2）由，得，由勾股定理得，则，即可求得，，由，且，得，可求得． 【详解】（1）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ． 在和中， ， ． ． 是的半径，且， 是的切线． （2）解：， ． ． ． ． ， ，解得． 的长是． 例6 （25-26九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，且，D为上一动点（不与点B、C重合）过点C作的切线交延长线于点A，E为中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由等边对等角得到，由直径所对的圆周角是直角推出，则由直角三角形的性质和等边对等角推出，根据切线的性质得到，则，据此可证明结论； （2）可证明是的中位线，推出，则，进而求出，可证明根据求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴， ∵E为中点， ∴， ∴； ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：如图所示，连接， ∵点O和点E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 6.切线的性质运用 易错要点：在已知“切线”的条件后，最重要的是得到垂直的结论，因此需要先连结圆心与切点，使得连结得到的半径与直线垂直，得到直角（90°），然后再求其他数学问题。这也是切线问题最常见的辅助线作法。 例7 （2025九年级·全国·专题练习）如图，是的直径，E是延长线上的一点，是的切线，C是切点，D是上的一个点，连接． (1)求证：． (2)若，则的长为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质得到，根据圆周角定理得到，进而证明结论； （2）先证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，进而求出，再根据直角三角形的性质、勾股定理计算即可． 【详解】（1）证明：连接，如图． 是的切线，则， ． ， ． （2）解：．   ， 四边形是平行四边形， ． 由（1）可知，，则， ． 在中，，则， ． 7.切线相关的相似三角形问题 易错要点：由于圆的基本认识中我们学习到了垂径定理和圆周角的性质，涉及到圆内的直角，结合切线的“垂直”的性质，就产生了4种典型的相似三角形模型。 类型 图示 描述与结论 （1）圆周角+切线=母子型相似模型 如下图所示，在⊙O中，AB是圆的直径，AC切⊙O于点A，D为⊙O上一点，连结BD并延长，交切线AC于点C。此时有△ABD∽△CBA∽△CAD. （2）垂径定理+切线=“A”字型相似模型或母子型模型 如下图所示，OE⊥CD，EF与DH都是⊙O的切线，EF与OD的延长线交于点F，DH与OE的延长线交于点H。此时有△ODG∽△OFE，△ODG∽△OHD （3）切线+切线=反“A”字型相似模型 如下图所示，切线CE和AE交于点E，CE和AB的延长线交于点D。则有△DOC∽△DEA （4）额外垂直+切线=“A”字型相似模型 如下图所示，CE是⊙O的切线，交AB的延长线于点E，过点A再作AD垂直CE于点D，则有△EOC∽△EAD. 例8 （2025·宁夏银川·二模）如图，为的直径，C为 上一点，连接，，过点C的直线与相切，与延长线交于点D，点F为上一点，且，，连接并延长交射线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，连接，可证，根据为的切线，，即可求证； （2）根据（1）中，设的半径为，可证，可算出的半径，再根据三角形相似即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， 为的切线， ， ． （2）解：∵， 设，则， ， 设的半径为，则， 由（1）可知，， ， ， ， ， ∴的半径为 3 ， ， ， ， ． 例9 （24-25九年级下·黑龙江绥化·月考）如图，为的切线，A为切点，过点A作的垂线，垂足为C，交于点B，延长与交于点D，连接交于点E． (1)求证：为的切线； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，可推出，是的垂直平分线，从而，进而推出，从而，进一步得出是的切线； （2）可证明，进而推出； （3）可推出，，从而，，，进而推出，，，从而，设，则..，，根据列出方程，求得的值，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：如图，连接， 为的切线， ， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， ， 是的切线； （2）证明：由（1）得， ，， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 由（1）知：， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， 由（2）知：， ， ，，， ，， ， ， ， 设，则，， 由（2）得：， ， ，（舍去）， ， ． 8.切线长定理的运用 易错要点：切线长定理的核心性质是“过圆外一点所作的圆的两条切线长相等”，据此得到关键的等量关系。 例10 （2025九年级上·山东济南·专题练习）如图，P为外一点，分别切于点A、B，切于点E，分别交于点C、D，若，则的周长为 ． 【答案】16 【分析】本题考查的是切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等．根据切线长定理得到，再根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵分别切于点A、B，切于点E，， ∴， ∴的周长 ， 故答案为：16． 9.内心相关的求角问题 易错要点：内心即三角形三条角平分线的交点。内心与任意两个顶点连结组成的夹角α与第三个顶点的内角β的关系为：2α－β=180° 例11 （25-26九年级上·山东德州·月考）在中，，点为三角形内心，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内心，三角形内角和定理，掌握三角形内心即三角形角平分线的交点是解题的关键．根据内心的定义得到，，在和中，分别根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：点为三角形内心， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 10.三角形内切圆相关的面积问题 易错要点：内心到三角形三边的距离相等，因此： 如图将△ABC的内心I分别连结三角形各顶点，将△ABC分为三个小三角形，设△ABC的面积为S，周长为C，内切圆半径为r，则有： S△ABC=S△IAB+S△IAC+S△IBC，即：S=r×c+r×b+r×a=r×（a+b+c）=rC。 例12 （25-26九年级上·北京·课后作业）如图，已知，是的内切圆，切点分别为，，． （）若，，，则的半径为 ； （）若的半径为，的面积为，且，则 ． 【答案】 【分析】（）连接，由，利用等面积法即可求解； （）利用等面积法求出三角形的周长，再根据切线长定理进行转换即可求解； 本题考查了三角形的内切圆与内心，解直角三角形，切线长定理，解题的关键是作出辅助线，利用三角形等面积法进行求解． 【详解】解：（）连接， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，， ∴，， 设的半径为，则， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：； （）∵的面积为， ∴， ∴即， ∴， ∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴， ， ， ， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图切于点，交于点，若，，则的半径是（    ） A．4 B．2 C．5 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据切线的性质得到，然后利用勾股定理计算得到的半径即可． 【详解】解：如图切于点， ． ，， ． 故选：C． 2．（25-26九年级上·广东湛江·月考）如图，，是的两条切线，切点是，．如果，，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，含的直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据切线长定理可得，，，由，，可得，由直角三角形两锐角互余即可得出结论． 【详解】解： ，是的两条切线，切点是，， ，，． ，， ． ，， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·月考）如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，连接若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，结合切线的性质和可求的度数，然后根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵是⊙的切线， ∴， 又， ∴， ∴， 故选：B． 4．（25-26九年级上·天津西青·月考）如图，中，内切圆I和边、、分别相切于点D、E、F，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，多边形的内角和定理， 连接，根据切线的性质得，再根据三角形内角和定理求出，进而得出，然后根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵内切圆I和边分别相切于点D，E，F， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．（25-26九年级上·山东济南·月考）如图，是的直径，点在上，直线与相切于点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，连接，由切线的性质得到，求出，由等腰三角形的性质推出，由圆周角定理即可得到． 【详解】解：连接， ∵直线与相切于点A， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 6．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果． 【详解】解：连接，则：，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小， 设直线与轴，轴分别交于两点， ∵动点P在直线上， ∴当时，的值最小， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 当时，，即， 解得， ∴的最小值为，的最小值为， ∴的最小值为． 故选B． 7．（25-26九年级上·北京·期末）如图，是的直径，分别切于．若，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角，切线长定理的应用，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，连接，根据是的直径，得出，结合已知得出，进而根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，根据切线的性质以及切线长定理得出，，进而证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵分别切于． ∴， ∴ ∴是等边三角形， ∴ 故答案为：． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长； 故答案为：12． 9．（25-26九年级上·重庆渝北·月考）如图，切于点，点为圆上一点，射线交射线于点，交于点．若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查结合圆的性质与勾股定理计算． ①利用已知角度关系和三角形内角 和定理，推导出，根据等角对等边得出，结合，直接求出； ②先连接直径所对的圆周角， 利用切线性质和直径的圆周角定理推出角相等，得到，再在中用勾股定理求出，进而得到 的长度． 【详解】解：①∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ②连接，则， ∵切于点， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 根据勾股定理， ∴． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·山西朔州·月考）如图，正方形的四个顶点分别在正方形的四条边上，，，则的内切圆的半径为 ． 【答案】1 【分析】先利用正方形的性质、证明，从而可得，再利用勾股定理求得，然后根据直角三角形周长与内切圆半径的关系求解．直角三角形的内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴(负值舍去)， ∴的内切圆的半径为， 故答案为：1． 11．（25-26九年级上·湖北襄阳·月考）如图，以的边上一点为圆心的圆经过，两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于点，． (1)求证：是的切线； (2)已知的半径，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的长为 【分析】本题考查了圆的切线判定、勾股定理的应用，利用弧中点性质与等腰三角形角的关系推导垂直是解题的关键． （1）连接，，由为的下半圆弧的中点得，可得，由得，由得，结合对顶角可得即，得出，结合是的半径即可证明是的切线； （2）由的半径，，得，，利用勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵为的下半圆弧的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵的半径，， ∴，， ∴． 12．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点为圆心，长为半径画． 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，以点 (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定、三角函数等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，则，所以，则，即可证明直线是的切线； （2）由，，，求得，则，所以的直径为8． 【详解】（1）证明：点在上，且， ， 平分交于点， ， ， ， ， 是的半径， 直线是的切线； （2）解：，，， ， ， 的半径， ， 的直径为8． 13．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $