专题06 期末真题百练通关（期末复习专项训练）八年级数学上学期新教材湘教版

专题06 期末真题百练通关（150题11大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期末真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 根据分式方程解的情况求值问题 题型7 与因式分解有关的新定义问题 题型2 三角形性质的综合问题 题型8 与分式有关的新定义问题 题型3 全等三角形综合问题 题型9 分母有理化问题 题型4 等腰三角形的性质与判定综合问题 题型10 全等三角形的辅助线0.问题 题型5 直角三角形的性质定理综合问题 题型11 角平分线性质和判定综合问题 题型6 与角平分线性质和判定有关的多结论问题 题型一 根据分式方程解的情况求值问题（共6小题） 1．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（   ）． A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了含参分式方程的解法．熟练掌握分式的解法，增根的概念，是解题的关键． 先解分式方程，得到解，再根据解为正数且分母不为零，得到且． 【详解】解： ，且 ， ， 两边同乘 ，得：， 化简得：， ， ， 方程的解是正数， ，即 ， ， 又 ， ， ， 且． 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为 ． 【答案】2 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解求参数， 首先解不等式组，得到解集为，由解集非空且至多有3个整数解，可得的取值范围为，再解分式方程，得到，由解为整数且，求出满足条件的整数的值，求和即可． 【详解】解：解不等式组 ，得， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴不等式组的解集为，且至多有3个整数解， ∴， ∴， 解，得， ∵关于y的分式方程的解为整数， ∴能被3整除，且，即， ∵，且为整数， ∴， 即符合题意的整数的值为2， 因此所有满足条件的整数的和为； 故答案为：2． 3．（25-26八年级上·湖南·期末）若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为 ． 【答案】 【详解】解：分式方程去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验，分母不为0，即，即 由分式方程的解为非负整数，得到或2或6或8或…， 解得：或5或1或或…， 解不等式组整理得：，即， 由不等式组至少有2个整数解，得到， 综上，，5，7，其和为13． 故答案为：． 4．（23-24八年级上·全国·期末）关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】，且 【分析】此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，解答此类问题的关键是“转化思想”的应用，并要明确：在解方程的过程中因为把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 先求得方程的解，再解，求出a的取值范围． 【详解】解：两边都乘以，得：， 解得：， ∵方程的解是正数， ∴，且， 解得：且和， 故答案为：，且． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有整数的值的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解以及分式方程的求解与应用． 分别求出不等式组有解时的取值范围和分式方程的解为正数时的取值范围，再取交集确定满足条件的的整数值． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得， 因为不等式组有解，所以（根据“大小小大中间找”，且有解，则要大于）， 解分式方程， 解得， 因为分式方程的解为正数，所以，解得． 又因为分母不能为0，即，解得． 结合不等式组得到的和分式方程得到的且，满足条件的整数为， 将这些整数相加：， 综上，满足条件的所有整数的值的和为． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解集求参数，根据分式方程的解的情况求参数，有理数的乘法运算，先解不等式组，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正整数求出整数的值，最后把所有满足条件的整数的值相乘即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组的解集为， ∴， ∴， 解方程，得， ∵方程的解为正整数，， ∴或或， 又∵， ∴， ∴， ∴满足条件的整数的值为和， ∴所有满足条件的整数的积为， 故答案为：． 题型二 三角形性质的综合问题（共9小题） 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，，点B、C分别在上运动（不与点A重合），连接，将沿折叠，点A落在点的位置，则下列结论： ①当点落在的一边上时，为直角三角形； ②当点落在AN边上时，； ③当点落在内部时，； ④当点落在外部时，． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，几何中角度的计算，根据题意利用折叠的性质构造平行线，逐一判断即可． 【详解】如图，当点落在的边上时， ，，．， ， 即为是直角三角形， 当点落在的边上时， ， 同理，， 是直角三角形，故①正确； 当点落在的边上时， ，， ， ，不一定成立，故②错误； 当点落在内部时， 过点作，点作，则， ①当在和之间时， ，， ， ，， ， ， ②当与重合时， ， ， ，， ， ③当在的上方时， ， ，，， ，，， ， 综上，， 故③正确； 当点落在的边下方时，过点作，点作， ， 则， ， ，， ， ， ； 当点落在的边上方时，过点作，点作， ， 则， ，， ， ， ， ， ， ，即； ，故④正确； 故选：D． 8．（22-23八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 【答案】B 【分析】如图所示，作点A关于的对称点，连接，，，则，,故，由此推出当、D、E三点共线时，，最小值即为的长，当最小时，即满足，故根据三角形的面积即可求得的最小值． 【详解】解：作点A关于的对称点，作点，交于点D，连接，如图：      则， ∴． 即的最小值为． ∵，，，， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为9.6． 故选：B． 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，垂线段的性质，根据三角形的面积求高等，熟练掌握以上性质是解本题的关键． 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义得到，由可得，利用平行线的判定得到，可判断①；根据角平分线的定义得到，由可得，再根据平行线的判定可判断②；利用三角形内角和定理推出，再利用角平分线的定义求出，可判定③；延长交于点，利用角平分线的定义求出，利用三角形外角的性质得到，，进而得到，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①是真命题； ∵平分， ∴， ∵， ∴， 由无法证明，故②是假命题； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∴，故③是真命题； 如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴ ， ∵，， ∴， ∴，故④是真命题； ∴真命题的个数是3． 故选：C． 【点睛】本题考查了判断命题真假、平行线的判定、三角形内角和定理、三角形外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 【答案】43 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，掌握三角形的内角和为180度是解题的关键． 如图：连接，由三角形内角和定理可得出，根据角的和差关系即可得出，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：连接， 由题意可知，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：43． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是 ． 【答案】6 【分析】本题考查三角形的面积，中线的性质．掌握“中线把一个三角形分成面积相等的两个三角形”是解题的关键．根据中线的性质计算即可． 【详解】解：∵是的边上的中线， ， ∵是的边上的中线， ， ， ∵是的边上的中线， ， ， ， 故答案为：6． 12．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，将等边的三条边向外延长一倍，得到第一个新的，第二次将等边的三边向外延长一倍，得到第二个新的，依此规律继续延长下去，若的面积，则第个新的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查图形类规律探究，三角形的中线的性质；连接，根据等底等高的三角形的面积相等求出的面积即可；根据等底等高的三角形的面积相等得到向外扩展了一次得到的的面积，向外扩展了二次得到的的面积，，找出规律即可． 【详解】解：如图，连接，   ， ， ， 用同样的方法得到，，， ； 向外扩展了一次得到的的面积为； 向外扩展了二次得到的，可以看作是向外扩展了一次得到， 的面积为7倍的面积； 向外扩展了二次得到的的面积，， 同理：向外扩展了次得到的的面积为， 第2024个新的三角形的面积为， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·四川乐山·期末）1．设的面积为，如图1将边、分别2等分，、相交于点，的面积记为；如图2将边、分别3等分，、相交于点，的面积记为；……，以此类推． (1) (用含有a的代数式进行表示)； (2)若将边、分别等分，、相交于点，记的面积为，则 (用含有和的代数式进行表示)． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的面积公式，关键通过列方程组求得各个图形的面积，即可解答． （1）连接，先求出，推导出，继而得到，则，即可解答； (2)连接，先推导出，得到，则，得到，即可解答． 【详解】解：(1)连接如图 ∵点将、分别2等分， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． (2)如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为． 14．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，一个长方形被分成四个部分的面积分别为．若，则长方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，长方形的面积将两个三角形的面积和转化为长方形面积的一半，从而求出了长方形的面积． 【详解】解：如图，设长方形的宽为：, ， ∵， ∴， ∴， ∴由图可得：． 故答案为：20． 15．（25-26八年级上·河南新乡·期末）将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，对顶角相等． 根据对顶角相等得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 题型三 全等三角形综合问题（共15小题） 16．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． 利用三角形的角平分线、三角形的内角和定理及其外角性质可判断①；推导出可证明，进而可判断②；延长交于，分别证明和，利用全等三角形的对应边相等可判断③，进而可得答案． 【详解】解：的角平分线、相交于点， ，， 在中，，， ． ， ，故正确； ，， ． ， ， ， ， 在和中， ，故正确； 如图所示，延长交于， ， 又，， ， ，， ， ， 又，， ， ，， ，即，故正确； 综上所述，其中正确的结论是． 故选：D． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，，根据对应边相等，解一元一次方程求得值即可选出结果． 【详解】解：①当点在延长线上时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ， ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． ②当点在之间时：设秒时，、分别运动到如图位置，． ∵，， ∴当时，， ∵，， ∴， 解得． 综上，或， 故选：D． 18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法；分类讨论各种情况下的三角形全等是解决问题的关键． 分类讨论：①当在线段上，时，，②当在上，时，，③当在上，时，，根据全等的性质分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当在线段上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ②当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）； ③当在上，时，， ， ， ， 点的运动时间为（秒）， 综上所述的值为：4，12，16． 故选：D． 19．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键．在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 20．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④.其中错误的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题综合考查角平分线的性质与判定、平行线的性质及三角形内角和定理．解题关键是灵活运用角平分线上的点到角两边距离相等的性质，结合平行线的内错角关系推导角度与线段的等量关系． 通过角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）、平行线的性质（内错角相等）以及三角形内角和定理，逐一分析四个结论的正确性，统计错误结论的个数． 【详解】解：过点P作于点G，连接， ∵平分平分于点N，于点M， ∴， ∴，故①正确； ∵，于点N，于点M， ∴点P在的平分线上，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴，由图可知，故③错误； ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选：A． 21．（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形全等的判定和性质，根据两点之间线段最短，列出路程和比较解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握原理是解题的关键． 【详解】解：在上截取， ∵， ∴， ∴， A. OABCO的线段表示为：,     B. OACBO的线段表示为：,     C. OBACO的线段表示为：,     D. OBCAO的线段表示为：, ∴ ， ∵， ∴， 故B不符合题意； 在上截取， ∵， ∴， ∴， 又 ， ∵， ∴， 故C不符合题意； ． ， ∵， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 22．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，中 平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等积法求线段的长，在上截取，连接，作于点，证明，得到，进而得到，根据垂线段最短，得到当点与点重合时，最小，此时最小，进行求解即可． 【详解】解：在上截取，连接，作于点， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴当，即点与点重合时，最小， ∵ ∴，即：， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为； 故答案为：． 23．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 s时，． 【答案】6或2 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点．根据点的位置分情况讨论，证明，得到，最后结合速度求时间即可． 【详解】解：设点运动的时间为，如图1， 点从点出发沿射线方向运动， 为边上的高， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得； 如图2，点从点出发沿射线方向运动，则， ， 在和中， ， ， ， ，且， ， 解得， 综上所述，当点运动或时，， 故答案为：6或2． 24．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，角平分线的性质，三角形的面积，关键是掌握三角形三边关系定理，构造全等三角形．由三角形三边关系定理可得到 的取值范围；延长、交于点，由证明，推出，，从而可得，当时，的面积取最大值，根据三角形面积公式求解即可，进而得到的面积的最大值． 【详解】解：在中，， ，解得， 如图所示，延长、交于点， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 当时，的面积取最大值，最大值为， 的面积的最大值为， 故答案为：，． 25．（22-23八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 【答案】4或或16 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，分情况讨论是解题的关键．分类讨论，分四种情况分析，①点P在上，点Q在上；②点P、Q都在上；③点P到上，点Q在上；④当点Q到A点，点P在上，根据全等三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：∵与全等， ∴斜边=斜边， 分四种情况： 当点P在上，点Q在上，如图： ∵， ∴, ∴， 当点P、Q都在上时，此时P、Q重合，如图： ∵， ∴， ∴， 当点P到上，点Q在上时，如图： ∵， ∴， ∴，不符合题意， 当点Q到A点，点P在上时，如图： ∵， ∴， ∴， 综上所述：点P的运动时间等于4或或16秒时，与全等， 故答案为：4或或16． 26．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 【答案】1或或 【分析】本题考查了全等三角形的性质．分四种情况讨论，由与全等，，①当点在上，点第一次从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点从上时，则；当点在上，点第二次从上时，则，分别解方程并检验即可． 【详解】解：由题意得， ∴， 当点在上，点第一次从上时， ∵与全等， ， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等， ， ， 当点在上，点从上时， ∵与全等，， ， ， （舍）； 当点在上，点第二次从上时， ∵与全等，， ， ， 综上所述：t的值为1或或； 故答案为：1或或． 27．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么 ． 【答案】8或2 【分析】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，分两种情况讨论，一是点B、点C在直线l同侧，由于点D，于点E，得，而，，由，，推导出，可根据证明，则，，求得；二是点B、点C在直线l异侧，同理可证明，则，，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点B、点C在直线l同侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； 如图2，点B、点C在直线l异侧， ∵于点D，于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 综上所述，的长为8或2． 故答案为：8或2． 28．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在等腰中，，于点，是上一动点，是射线上一点，且 ，．当取得最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及轴对称-最短路径问题，合理构造全等三角形是本题解题的关键．作，且，连接，，根据和全等，将转化为，根据两点之间线段最短得出此时E点位置，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作，且，连接，，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴当G，E，C共线时，最小， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 29．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，若，平分，，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若为中点，则．其中正确的有 ．（只填序号）    【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等，由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义得，即可得，即可判定①；进而可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，又由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即得，可得，即可判定③；由平行线的性质和三角形内角和定理可得，即可判定④；延长交于，可证，得到，，可得，进而得到，即可判定⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，故③正确； ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 故④)错误； 如图，延长交于，    ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确结论是①②③⑤， 故答案为：①②③⑤． 30．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论． 由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵点在延长线上， ∴， 若，则， ∴运动时间， 若，则， ∴运动时间， 故答案为：或． 题型四 等腰三角形的性质与判定综合问题（共29小题） 31．（2025·广西梧州·一模）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点P； ③作射线，即为所求． 丙①在上取点M，利用圆规截取； ②过点M，N作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 【答案】A 【分析】方案一，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，即可判断； 方案二，通过证明，，，即可判断； 方案三，举反例，设，并按方案三的操作，推理出点P可以不在的平分线上，从而判断方案的正误． 【详解】解：方案一： 是的平分线 故方案一正确； 方案二： ，，， ， ， ，， ， 又， ， ， ，， ， ， 是的平分线， 故方案二正确； 方案三： 举反例：如图，设， 按题中的操作步骤可知，， ， ， 过点N作，交于点P， ， ， 显然，点P不在的平分线上， 故方案三错误； 只有方案一和方案二正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，判断命题的真假，熟练掌握全等三角形的判定与性质及举反例判断假命题是解题的关键． 32．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为10，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，中线的性质和三角形面积的计算，利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系是解题的关键． 首先利用等边三角形的性质，中线的性质得到对应角度和，再利用等边三角形的性质找出和面积之间的关系即可得到的面积． 【详解】解：∵为等边三角形，是边上的中线， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴C为线段的中点， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故选B 33．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，，点D在边上（不与B、C点重合），点P、点Q分别是、边上的动点，当的周长最小时（提示：四边形的各个内角之和为），则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，等腰三角形的性质，三角形的内角和，正确的作出图形是解题的关键．作D关于的对称点E，作D关于的对称点F，连接交于P，交于Q，则此时的周长最小，根据四边形的内角和得到，求得，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：作D关于的对称点E，作D关于的对称点F，连接交于P，交于Q，如图所示： 根据轴对称可得：，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小， ∴此时的周长最小， 根据轴对称可得：， ∵， ， ， ， ，均为等腰三角形． ， ， ． 故选：C． 34．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 35．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形（）的判定与性质及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等，结合相关定理逐步推导各结论的正确性． 根据旋转性质得、，用三角形内角和求，判断②正确，再由求，得，判断①正确；连接，由、证为等边三角形，得，用证，判断③正确；连接，由、证为等边三角形，得，结合及三角形三边关系（），判断④错误，最终确定正确结论有3个． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴②正确； ∴， ∵， ∴， ∴； ∴①正确； ，如图，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴③正确； 连接，如图， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④错误； 综上所述，正确的为①②③，共3个； 故选：C． 36．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据成轴对称图形的特征进行求解，等边三角形的判定和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 通过作轴对称，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，得到的周长最小，根据垂直平分线的性质得到，，，同理，可得，，，再说明，然后证明是等边三角形，从而可求得． 【详解】解：如图，作点P关于的对称点C，关于的对称点D，连接，交于E，于F．此时，的周长最小． 连接，，，． ∵点P与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴，，， 同理，可得，，． ∴，， ∴． 又∵的周长， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 故选：A． 37．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（    ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 根据等腰直角三角形的性质和证明，得到，，从而得到，可推出，再根据线段的和差即可判断①；由可推出，由，，可得，可判断②；可证明，得到，由，可判断③；由，得，根据，可判断④． 【详解】解： ，，是的角平分线， ，，， ，，且， ， ， ，，， ， ，，， ， ， 又 ， ，是确定的， 是定值，故①正确； ， ， 又 ， ， ，， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故②错误； ，，， ， ，且， 是定值， 四边形的面积是定值，故③正确； ， ， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故④错误； 保持定值的有①③， 故选：B． 38．（24-25八年级上·全国·期末）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定等，证明，得到，，即可判定；由三角形的外角性质及全等三角形的性质可得，即可判定；证明是等边三角形，得到，即可判定；若，可得，即得，又由等边三角形的性质可得，显然与矛盾，即可判定，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，，故选项正确，不合题意； ∵， ∴，故选项正确，不合题意； 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，故选项正确，不合题意； ∵，若，则， 则， ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴一定不等于， ∴和不相等，故选项错误，符合题意； 故选：． 39．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 本题由，于点D，于点M，得，则，所以，推导出，进而证明，得，可判断①正确；由，得，推导出，进而证明，得，可判断②正确；作于点F，则，所以，再证明，得，，则，所以，则，可判断③正确，然后即可求解． 【详解】解：∵，于点D，于点M， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故②正确； 作于点F，如图： ， 则，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故选：A； 40．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 41．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接，证明点G是点D关于的对称点，当F与H重合时，取得最小值，此时，解答即可． 本题考查了等边三角形的判定和性质，将军饮马河原理的应用，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，过点D作于点I，交的延长线于点G，连接， ∵等边， ∴， 点D，E分别是边的中点，的中点H， ∴， ∴都是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点G是点D关于的对称点， ∴当F与H重合时，取得最小值，此时， 故选：C． 42．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点，的平分线分别交于点为的中点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、角平分线的定义，由等腰直角三角形的性质得出，证明得出，证明得出垂直平分，从而得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：在中，，，于点， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，即， ∴ ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴ 故答案为：． 43．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，于点D，E是上一动点，F是射线上一点，且，，当取得最小值时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，证明，故，，当G、E、C三点共线时，的值最小，即点与重合，点F与重合，证明是等腰直角三角形，则，故，即可作答． 【详解】解：过点A作，且，连接， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∴， 当G、E、C三点共线时，的值最小，即点与重合，点F与重合， ∵， ∴， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 44．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，得到，则，当、、三点共线时，有最小值等于的长，最后判定是等边三角形即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， ，， 平分， ， ． 在和中， ， ， ， ， 当、、三点共线时，有最小值等于的长， 又 ，，， ， 是等边三角形， ，即的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短和等边三角形的判定，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 45．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线l对称，且的边长为3，D为线段上一动点（可与端点重合），连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【分析】此题考查了等边三角形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定及性质，最短路径问题，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据等边三角形的性质及轴对称的性质得到，，证明，得到，推出当A、D、三点共线时，最小，此时． 【详解】解∶如图，连接， 由对称性质可知，． ． ． ． ．， ∴当A、D、三点共线时，最小，此时． 故答案为∶6． 46．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，D为边上一点，延长至点E，连接， ，，有以下几个结论：①为等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】①作平分，交于点F，证明，即可判断，②证明，即可得出，③先求出，则，，再证明，得到，④由，得到与不一定相等，即可判断． 【详解】解：①作平分，交于点F，如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①符合题意； ②∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③符合题意； ④如①图，， 由③可知，， ∴与不一定相等， ∴不一定平分，故④不符合题意； 综上所述，正确的结论是①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义，角平分线的定义等知识，熟练掌握以上性质是解题的关键． 47．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，D为上方一点，且，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形面积计算公式可得，设，则；延长到F，使得，连接，设交于E，由等边对等角和三角形外角的性质可推出；再证明，则可证明，得到则． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴可设， ∵， ∴； 如图所示，延长到F，使得，连接，设交于E， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 48．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，，，，以为边，作等边，过点D作于E，则的长为 ． 【答案】7或 【分析】此题重点考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 分两种情况讨论，一是顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接，因为，所以是等边三角形，则，，所以，由是等边三角形，得，，可证明≌，得，，求得，因为，所以，则，求得；二是顶点D与顶点C在直线异侧，在BC上截取，连接，可证明≌，得，，推导出，因为，所以，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，顶点D与顶点C在直线同侧，在上截取，连接、， ，， 是等边三角形，， ，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 于E， ， ， ， ； 如图2，顶点D与顶点C在直线异侧，在上截取，连接， 和都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 于E， ， ， ， ， 综上所述，的长为7或， 故答案为：7或． 49．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，连接，，点、分别在线段、上，满足，，若 ：，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解决本题的关键是根据三角形的外角的性质得． 根据 ，设，则，根据，和三角形内角和定理列式计算可得，然后证明 ，可得，再根据三角形的外角定义可得，进而可得的度数． 【详解】解： ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得， ，， 是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 50．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在等边中，是边上一点，连接．将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】19 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，掌握等边三角形的性质是解题的关键。 由旋转的性质可得可得是等边三角形，可得，再根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：∵在等边中，， ∴, ∵将绕点逆时针旋转得到， ， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长． 故答案为：． 51．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形中，，垂直于的角平分线于点D，点E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，二次根式的乘法运算，三角形中线等分面积等知识点，正确的作出辅助线是解题的关键．延长交于点，设交于点O，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，推出当时，的面积最大，即可求解． 【详解】解：延长交于点H，设交于点．   ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 图中两个阴影部分面积之差的最大值为4， 故答案为：4． 52．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，且，．若，，，则 ． 【答案】 【分析】在上截取，由可判定，由全等三角形的性质得，，由四边形的内角和及补角的性质、角的和差得，由等腰三角形的判定得，由，结合线段和差，即可求解． 【详解】解：在上截取， ， ， ， ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在四边形中， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质等，掌握等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能添加恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 53．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，，，，于点，交于点，若，，求 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，合理构造全等三角形是本题解题的关键． 延长交于点，在上截取，连接，先根据三角形内角和得出，然后根据三角形全等得出，从而得到，所以，然后证明和全等，从而求得，最后根据面积的差补求出两个三角形的面积差即可． 【详解】解：延长交于点，在上截取，连接，如图： ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， 故答案为：10． 54．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，且，四边形的面积为12．点F为四边形内部一点，连接，且，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质；过作于，连接交于，连接，，，得到，，再由四边形的面积，求出，然后根据旋转得到，，证明，得到，确定点运动轨迹为固定直线，当时最小，再证明得到当与重合时，最小，此时． 【详解】解：过作于，连接交于，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， ∵四边形的面积为12． ∴四边形的面积， ∴， 解得， ∵将绕点C逆时针旋转得到， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， ∵固定不变， ∴点运动轨迹为固定直线， 当时最小，即当与重合时，最小，此时， 故答案为：． 55．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过作于点，点为边上一点，点为边中点，连接，，若，，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点P作交于点D，过点P作交于点E，连接，得到是等腰直角三角形，设，得到，，证明出，得到，，然后证明出，得到，，然后证明出，得到，，求出，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点P作交于点D，过点P作交于点E，连接 ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴设 ∵， ∴四边形是长方形 ∴， ∴ ∵点为边中点 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 56．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，中，，，点D在内部，且使得．则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形的综合问题，涉及等腰三角形的等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，有一定难度，根据题意做出适当的辅助线是解题的关键． 如图，在内作，且使得，连，证明，得到为等腰三角形，再证明为等边三角形，推出为等腰三角形，由三角形外角的性质得出即可． 【详解】如图，在内作，且使得，连， 在和中， ， ， ∴， ， 为等腰三角形，， 为等腰三角形，， ，，， 为等边三角形， 为等腰三角形， 延长CE交AD于F点， 故答案为：． 57．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，，．延长到点，使得．过点在直线上方作射线，射线．点在射线上，连接，，． 现给出以下结论： ①当点与点重合时，是等腰三角形； ②当时，； ③当时，； ④当周长最小时，的面积是． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查全等三角形判定和性质、等腰三角形判定、轴对称最短路径． ①通过计算与重合时点B与点D关于直线对称，判断等腰三角形； ②利用判定得到两三角形全等； ③连接，证明，根据对应边相等解答即可； ④用轴对称找周长最小时的位置，根据等腰三角形的判定和性质求出长解答即可． 【详解】解： 当与重合时： ，， ∴点B与点D关于直线对称， ， 是等腰三角形，①正确． 当时： ，， 在和中： ，②正确． 连接， ，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ，③错误． 作关于直线 的对称点，连接交 于H，当点E与H重合时，的周长最小，连接交于点F． 则，， ∴， ∴， ∴， ∴, 面积，④正确． 故答案为：①②④ 58．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，P为线段的中点，且，M是上方一点，将线段绕点P顺时针旋转 后得到线段， 连接． 当最小时，周长的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，垂线段最短等知识点． 将绕点顺时针旋转得到，连接，得到为等边三角形，，则，那么当点落在上，最小，则当时，取得最小值，则周长取得最小值，再根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转得到， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点落在上，最小， ∴当时，取得最小值，则周长取得最小值，如图： ∵， ∴ ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点，且， ∴， ∴， ∴周长的最小值是， 故答案为：． 59．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了图形旋转，等腰三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． 由图形旋转可得两个等腰三角形底角对应相等，分类讨论，根据三角形的内角和定理，分别可得每种情况下的度数，从而可得的度数． 【详解】解：∵将绕点旋转得，， ∴，，， ∴， ∵是等腰三角形， ∴或， 当时，设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，设，则， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：或． 题型五 直角三角形的性质定理综合问题（共14小题） 60．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长到点，使得，连接，由，可得：，证明是等边三角形，得到，结合是等边三角形，可证明，得到，推出，得到点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则，得到，由可得，即可求解． 【详解】解：延长到点，使得，连接， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∴点在经过点且与垂直的射线上运动，作交射线于点，则， ， ， ， 的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质“角所对的直角边是斜边的一半”、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短的几何原理，合理添加辅助线，熟练掌握垂线段最短的几何原理是解题的关键． 61．（25-26八年级上·全国·期末）如图，为等腰的斜边的中点，为边上一点，连接，过点作交于点，交的延长线于点，则以下结论：①，②，③，④四边形的面积等于面积的一半．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的外角，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据题意及三角形的外角以及角的和差即可判断①；连接，根据等腰直角三角形的性质得出，，利用可证明，再根据全等三角形的性质即可判断②；根据三角形外角的性质分别表示出，，再根据的关系得出，从而得出结论即可判断③；根据得出，再表示出四边形的面积等于三角形的面积，即可判断④，从而得出答案． 【详解】解：根据题意得， ， ，故①正确； 连接 为等腰的斜边的中点， ， 由①知， 在和中 ，故②正确； ， 又 ，故③错误； 由②知， 四边形的面积， 为等腰的斜边的中点， 四边形的面积等于面积的一半,故④正确； 故选B． 62．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称求最短距离、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键． 如图：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，、P、F三点共线，时，的值最小，利用所对直角边等于斜边一半求出，易得，最后求得以及等边三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P， ∴， ∴， 连接，、P、F三点共线，时，的值最小， ∵是正三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵ ∴，解得：． ∴，即． 故选：B． 63．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由旋转可得 ，进而证明，，可判断①；由，，可判断②；证明中，可判断③；取中点Q，连接，，证明 ，可判断④． 【详解】解： 是等边三角形， ， ， 将绕点逆时针旋转一定角度后得到， ， ，，，， ， 为等边三角形； 故①正确； ， ， ； 故②正确； ， ， 在中，， ， ，， ； 故③正确； 如图，取中点Q，连接，， 则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，点Q是中点， ，， ， 故④正确； 综上可知，正确的结论有4个， 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形中线的性质等，能够综合应用上述知识点是解题的关键． 64．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将含有角的直角三角尺（，）绕顶点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在边上，连接、，则下列结论：①；②；③为的垂直平分线；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定. 由旋转的性质可判断①；由旋转的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质及等腰三角形的判定可判断②；由旋转的性质得是等边三角形，得，结合②可判断③；由含30度直角三角形的性质及①可判断④． 【详解】解：由旋转的性质知，； 故①正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； 故②正确； 由旋转的性质得， ∴是等边三角形， ∴； 由②知， ∴垂直平分线段； 故③正确； ∵是等边三角形， ∴； ∵垂直平分线段, ∴； ∵， ∴； ∵， ∴； 故④正确； 故选：A 65．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．① 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．根据，可得出，可判断①；连接，根据垂直平分线的性质与判定得到，再利用的斜边大于直角边得到，可判断②；利用判定，从而得出，．则，即，可判断③；再利用判定，得出，又因为，所以，可判断④，即可得出结论． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形． ． 故①正确； 连接． 是等腰直角三角形， 又， 垂直平分， ， 在中，是斜边，是直角边， ， ， ．故②错误． 在和中， ，，且， ． 又，， ． ；． ， ；故③正确； 平分， ． 又，， ． ． 又， ；故④正确； 综上所述，其中正确的是①③④． 故选：A． 66．（25-26九年级上·湖北·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ． 【答案】 2.5 6.5 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，，由为的中点，知，求出，即可得当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，当在延长线上时，取最大值． 【详解】解：连接，如图： 将绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ，为中点， ， 在中，， 当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时， 如图： 的最小值为， 同理，当在延长线上时，取最大值，此时， 的最大值为， 故答案为：2.5；6.5 67．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 根据题意，得到，由折叠的性质，得到，，利用直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半，得到，由此得到答案． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， 由折叠可知， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 68．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，是等边内一点，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】将绕着C点顺时针旋转至，连接，则可得是等边三角形，则可得，进而可得，，由此得，进而可得，求出的面积即可知的面积． 本题主要考查等边三角形的判定和性质，旋转构造法，三角形的面积计算．通过旋转构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 如图，将绕着C点顺时针旋转至，连接， 则，，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵又， ∴， 作于F点， 则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 69．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过原点与x轴正方向所夹锐角为．在x轴上有两个动点A，B，坐标平面内一点P，将沿直线l翻折得到，点Q落在x轴上方，连接，，已知点，，为等边三角形． ①当，，时，则 ； ②当，，时，则 ． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点关于直线对称的问题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，含30度直角三角形的性质等知识，通过辅助线构造特殊三角形是解题的关键． ①过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，延长交直线于点C，连接，交直线于点G，过Q作于F，交直线于点H；则可得都是等边三角形，求出，由轴对称图形的性质得，有，求出，由平行线的性质得，建立关于m的方程，解方程即可． ②由题意得P，B，Q三点共线，由的长度，利用直角三角形的知识求出的长度，进而得到关于a的表达式，由建立关于a的方程，即可求解． 【详解】解：①如图，过点P作轴于点D，过点Q作轴于点E，延长交直线于点C，连接，交直线于点G，过Q作于F，交直线于点H； ∵， ∴是等边三角形； ∵轴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； 当时，， ∴； ∵， ∴，； 由轴对称图形的性质得， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴； ∵， ∴由勾股定理得：， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：6． ②过点P作轴于D； 由题意知，， ∴直线； 由对称性质知，，则P、B、Q三点共线； 由题意知，，； 在中，， ∴， 同理：； ∴； 由轴对称的性质知：， ∴； ∵， ∴， 解得：； 故答案为：3． 70．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在 中，，，的平分线交于点E，点D为上一点，且，与交于点M （1） ． （2）若于点，，则的长为 ． 【答案】 45 4 【分析】本题考查了直角三角形的性质（含角）、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识．解题的关键是利用角度关系推导角的度数，结合角直角三角形的特殊性质及勾股定理计算线段长度． （1）通过直角三角形角度关系、角平分线性质及等腰三角形性质，推导角度间的数量关系，得出的度数． （2）通过角平分线和直角三角形性质推导出，结合 判定 为等腰直角三角形，得 ；再利用 角所对直角边等于斜边一半，在 中得 ，在 中得 ，进而得 ． 【详解】（1）在中，，，则． ∵ 是的平分线， ∴． 由于为等腰三角形，，故． ，则． 在中，． 又因为与互补，所以． 故答案为：． （2）∵平分，， ∴，又， ∴，又得， ∴，又由（1）知 ∴， 结合知，是等腰直角三角形， ∴． 在中， ，则， 在中，，则， 因，则． 故答案为： 71．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知等边三角形边长为6，点为上的一点，连接，将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得，连接，若，则点到直线的距离为 ；若点在边上运动，则的最小值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．延长交于点，连接，易证为等边三角形，得到，进而得到当时，则，作，求出的长，即为点到直线的距离，作点关于的对称点，连接，则：，得到当三点共线时，最小，此时，推出为等边三角形，求出的值即可． 【详解】解：延长交于点，连接， ∵等边三角形边长为6， ∴， ∵将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 当时，则：， ∴， 作，在中，， ∴， ∴，， ∴点到直线的距离为； 作点关于的对称点，连接，则：， ∴当三点共线时，最小，如图，当时， 此时，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵三点共线， ∴此时三点共线， ∴此时最小，为3； 故答案为：． 72．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，点在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，． 有以下结论： ①当，时，能得到形状唯一的． ②当，时，不能得到形状唯一的． ③当，时，不能得到形状唯一的． ④当，时，能得到形状唯一的． 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查全等三角形的判定方法、直角三角形的性质等知识点，关键是确定以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线的交点个数是解题的关键． 分别在以上四种情况下以P为圆心，的长度为半径画弧，观察弧与直线的交点即为Q点，作出进行判断即可． 【详解】解：如图，当，时，由垂线段最短可知：以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有一个交点，作出，故唯一，故①正确，符合题意； 如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，故不唯一，故②正确，符合题意； 如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现两个位置的Q都符合题意，但是此时两个三角形全等，故形状相同，故唯一，故③错误，不符合题意； 如图，当，时，以P为圆心，的长度为半径画弧，弧与直线有两个交点，作出，发现左边位置的Q不符合题意，故唯一，故④正确，符合题意； 综上所述，结论正确的是①②④． 故答案为①②④． 73．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ． ①的面积等于的面积；②；③． 【答案】①②③ 【分析】根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可． 【详解】解：∵是中线， ∴的面积等于的面积； 故①正确； ∵，是高， ∴， ∴， 故②正确； ∵，是高， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故③正确； 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键． 题型六 与角平分线性质和判定有关的多结论问题（共15小题） 74．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点作于，由角平分线的性质定理可得，即可判断①；证明（），得出，同理可得（），从而得出，进而可得，即可判断②；由角平分线的定义可以判断③；由全等三角形的性质可以判断④； 【详解】解：①过点作于， ∵平分，平分， ，，， ∴，， ∴， ∴平分，故①正确； ②∵，， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴， 同理可得：（）， ∴， ∴， ∴， ∵不一定等于， 故②错误； ③∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴，③正确； ④由②可知（）， （）， ∴，， ∴，④正确， 故选：C． 75．（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、交于点F，、的平分线交边上的点G，与交于点H，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】根据可证明，则可判断①；证明，再根据三角形外角的性质和角平分线的定义可证明，据此可判断②；证明，即可判断③；过点作于，于，于，证明，得到，再证明即可判断④；可证明，，据此可判断⑤． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在和中， ， ，故①正确； ，， ， ， ， ， 、的平分线交于边上的点， ，， ， ，故②正确； ∵、的平分线交于边上的点， ∴点到、、的距离相等， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ， ，故③正确； 过点作于点，于点，于点， 平分，平分， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，故④正确， ，， ， ， ，故⑤正确， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，角平分线的定义和三角形外角的性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 76．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， A．若，则， ∴， ∴，故A正确； B．若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故B正确； C．∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；故C正确； D．在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故D错误； 故选：D． 77．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，余角定理，角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． ①利用等腰直角三角形的判定和性质进行求解即可； ②根据等角的余角相等得出，利用证明即可； ③利用角平分线的性质得出相等角，利用①②的结论得出相等角，然后利用等角对等边即可； ④延长交于点，证明，得出，然后利用三角形边和角的关系即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴； 故①正确，符合题意； ②∵，是的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 故②正确，符合题意； ③∵平分， ∴， 由②得， ∴， 由①得， ∴， 即， ∴， 由②得， ∴， ∵， ∴， ∴； 故③正确，符合题意； ④如图所示，延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为钝角， ∴在中，， ∴； 故④正确，符合题意； 综上，正确选项为①②③④； 故选：D． 78．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是（    ） ①；②是等边三角形；③；④． A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】先求出，再根据角平分线的定义得，根据三角形内角和定理解答①；先说明平分，可得，再根据“角边角”证明，得出，解答②；根据含直角三角形的性质解答③；先说明，在根据解答④即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵的角平分线交于点O， ∴， ∴， ∴． 则①正确； ∵的角平分线交于点O，， ∴平分， ∴． ∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 则②正确； ∵， ∴． 在中，． 则③正确； 由上述可知， ∵平分， ∴， ∴． 则④不正确． 所以正确的有①②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． 79．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（   ） ① ②的值不变 ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变 ④长度不变 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，过点E作于M，于N，根据角平分线的性质得出，根据证明，得出，，即可判断①；根据证明，得出，即可判断②；根据全等三角形的性质得出，，即可判断③；根据勾股定理即可判断④． 【详解】解：过点E作于M，于N， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴，，故①正确； ∵平分， ∴， 又，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴的值不变，故②正确； ∵，， ∴，， ∴， ∴以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变，故③正确； 根据勾股定理，得 ， ∵随点F的位置变化而变化， ∴长度改变，故④错误， 故选：D． 80．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论正确的是（  ） ； ； 是等腰三角形； ； A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题需结合三角形全等、等腰三角形性质、角平分线性质及三角形面积公式，对每个结论逐一分析判断，通过条件推导边角关系来验证结论． 【详解】解：，， 是等腰直角三角形，． ，， ，， ． 在和中， ， ， ，故①正确． 平分，， ． 又，即， 在和中， ， ， ． 由①知， ，故②正确． 是等腰直角三角形，是中点， ，． ，， ， （等量代换）， （等角对等边）， 是等腰三角形，故③正确． 由①，得（全等三角形对应边相等）． ． 又由②，得（全等三角形对应边相等）． ，故④正确． 平分，， ∴等于中边上的高h， （高相同，约去），故⑤正确． 综上，①②③④⑤均正确， 故：． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质、等腰三角形判定与性质、角平分线性质定理及三角形面积公式的综合应用，熟练掌握全等三角形判定与性质、等腰三角形及角平分线相关定理是解题关键． 81．（24-25七年级下·重庆江北·期末）由三角板我们可以知道，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角也相等，如图：中，，平分交于点 D；过点 D作交于点 F，过点 D 作交于点 E． 下列结论：①； ②是的高； ③； ④；⑤的周长与的长度相等，上述结论正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质． ①根据交于点E，得，根据平行线的判定可对结论①进行判断； ②根据三角形高的定义可对结论②进行判断； ③根据得，再根据平分得，，由此可对结论③进行判断； ④进而依据判定得，再根据即可对结论④进行判断； ⑤证明和是等腰直角三角形得，，根据得，由此得，据此可对结论⑤进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵交于点E，， ∴， ∴； 故结论①正确； ②∴交于点E， 根据三角形高的定义得：是的高， 故结论②正确； ③∵， ∴， ∵平分交于点D， ∴， ∴， 故结论③正确； ④∵平分，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故结论④不正确； ⑤在中，，， ∴， ∵，， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长与的长度相等， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：C． 82．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，角平分线的判定．根据对称得到，，则，，，，，，据此逐个判断即可． 【详解】解：∵以边，所在直线为对称轴作的对称图形和， ∴，， ∵， ①若，则， ∴， ∴，故①正确； ②若，设，则， ∵， ∴， 解得， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∵， ∴的边与的边上的高相等，即点到和的距离相等， ∴平分；，故③正确； 在上截取，连接， 由，，不能证明，故无法证得， ∴不能确定，故④错误； 故选：D． 83．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，中，平分，线段垂直平分，交于点M，交于点O．若，，则点O到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点O作于点N，得，， 继而得到，利用勾股定理，角的平分线性质定理是解题的关键． 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，角的平分线性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：过点O作于点N， ∵线段垂直平分，交于点M，交于点O，， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴． ∴， ∴， ∴， 故选：D． 84．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，的外角的平分线，交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容，解题的关键是掌握以上性质，并且巧妙构造辅助线． 利用角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定等内容逐项进行判断即可． 【详解】解：①如图所示，过点作，交于于点， 平分，， ， 又∵， ∴， 同理，，， 综上，， ∴， 平分， ∵，，，， ∴， ∴， ∴周长为:， 故①正确，符合题意； ②由和得， ， ∴， 故②正确，符合题意； ③如图所示，连接， 由和得， 垂直平分线段，而非垂直平分线段， 故③错误，不符合题意； ④由和得， 的面积为与的面积和， 故④正确，符合题意； ⑤如图，在上靠近点侧，截取，交于点， ， ∴， ， ， 又， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， 又 ∴， ∵和， ， ∴， ∴， 即， 故⑤正确，符合题意； 综上，①②④⑤正确，符合题意， 故选：B． 85．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，平分交于点F，平分交于点E，、相交于点G，交的延长线于点D，连接．当时，下列结论中正确的有（　　） ①若，则；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、角平分线的性质定理、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． ① 先利用角平分线的定义求出，再由三角形内角和定理求出，然后在直角三角形中，求； ② 利用角平分线的定义，三角形内角和定理，推出，接着由三角形外角知识可得，然后在直角三角形中求解； ③在上截取，先后证明，，推出， 又由可得，从而得出结论； ④ 在③的解答基础上，过点作于，作于，利用角平分线的性质得，进一步可得，再利用全等三角形的面积相等进行等量代换． 【详解】解：平分，， ， 又， ， ， ，故①正确； 在中，，， 平分，平分， ，， ， ， ， ，， ，故②正确； 在上截取，如图1所示： 又，， ， ， ，， ， 又，， ， ， ， 又， ，故③不正确； 在③的解答基础上，过点作于，作于，如图2所示： 又， ， ， 又，， ，， ，故④正确； 综上可知，①②④正确． 故选：C． 86．（23-24七年级下·山东·期末）如图所示，在中，和的平分线，相交于点O，于点D，连接．下列结论：①平分；②；③若，则；④若的周长为24，，则．其中正确的是 ．（请填写序号） 【答案】①③ 【分析】①过点O作于H，于K，根据角平分线性质得，，则，由此得点O在的平分线上，据此可对结论①进行判断； ②由三角形内角和定理得，根据角平分线定义得，，则，进而得，据此可对结论②进行判断； ③在上截取，连接，由结合②得，则，先证明得，则，进而可证明，得，据此可对结论③进行判断； ④由①可知：，而，据此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①过点O作于H，于K，如图1所示： ∵和的角平分线，相交于点O，， ∴，， ∴， ∴点O在的平分线上， ∴平分， 故结论①正确； ②∵在中，， ∴， ∵和的角平分线，相交于点O， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 故结论②不正确； ③在上截取，连接，如图2所示： ∵， ∴， ∴， ∵和的角平分线，相交于点O， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论③正确； ④如图1所示： 由①可知：， ∵，，， ∴， ∵的周长为24，， ∴， ∴， 故结论④不正确． 综上所述：正确的结论是①③． 故答案为：①③． 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 题型七 与因式分解有关的新定义问题（共6小题） 87．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式的零点为，多项式的零点为和1． (1)多项式的零点为_____； (2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； (3)小元继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求多项式M． 【答案】(1) (2)多项式B的另一个零点为 (3) 【分析】本题主要考查了新定义、多项式的零点、因式分解，理解题意，利用多项式对应系数相等构建方程解决问题是解题的关键． （1）根据多项式的零点的定义即可求解； （2）根据多项式的零点的定义将代入求得a，再将a的值代入因式分解后解一元一次方程即可； （3）通过因式分解求得的一个零点为3，根据“2系多项式”的定义求得M的另一个零点为，即，再利用多项式对应系数相等建立方程组即可求解． 【详解】（1）解：令， 解得， 故答案为：； （2）根据题意，把代入B得， 解得， 把代入B得， 令， 解得， ∴多项式B的另一个零点为； （3）∵， ∴多项式M的一个零点为3， 则另一个零点为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 88．（25-26八年级上·山东东营·期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图2中所表示的数学等式____________． (2)根据图4，分解因式：____________． (3)已知，求的值． (4)如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】解题思路是通过“几何面积的两种表示方法”推导代数公式，结合“换元法”和“完全平方公式变形”求解代数式或图形面积，核心是利用“几何与代数的对应关系”和“公式变形技巧”． 【详解】（1）图2是边长为的正方形，面积为；同时可拆分为个小图形的面积和（、、各个，、、各个），即．因此等式为： （2）图4是长为、宽为的长方形，面积为； 同时该长方形面积可拆分为（1个、3个、2个）． 因此：． （3）设，，则，． 根据完全平方公式变形：． （4）由题意：，， 设，，则，且长方形的面积． 阴影部分是两个正方形的面积和（）， 根据完全平方公式：． 【点睛】本题考查完全平方公式的几何意义与代数变形，涉及知识点包括完全平方公式、因式分解、代数式求值．解题关键是熟练掌握完全平方公式的变形（如），并准确将几何图形的边长、面积与代数表达式对应． 89．（24-25七年级下·重庆·期末）对于任意实数，，我们规定：，，例如：，． (1)填空： ；若，则 ； (2)若，且，求与的值； (3)若正整数，满足，，求的值． 【答案】(1)；3； (2)的值为3，的值为1； (3)的值为3或6． 【分析】（1）由题意知，， ，计算求解即可； （2）由题意知，，整理得，，根据，，计算求解即可； （3）由题意知，，则，，，整理得，，即，分当时，当时，当时，当时，当时，当时；计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 解得，， 故答案为：；3； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴， ∴； ∴的值为3，的值为1； （3）解：∵，， ∴， ∴，即， ∵正整数，， ∴，即， ∴，即， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴当时，，（舍去）； 当时，，（舍去）； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，的值为3或6． 【点睛】本题考查了完全平方公式的变形，一元一次方程，二元一次方程，代数式求值．熟练掌握完全平方公式的变形是解题的关键． 90．（23-24八年级上·四川资阳·期末）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 【答案】(1)7 (2) (3)或 【分析】本题考查了平方差公式的应用，完全平方公式的应用，因式分解的应用，二元一次方程组的解法，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解． （1）根据风月同天数的定义进行判断． （2）由题意可得 ，结合概念可得，进一步可得答案． （3）根据题意得：或，然后分情况分别计算即可． 【详解】（1）解：7是风月同天数，2不是风月同天数，理由如下： 设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则，即7是风月同天数； 设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， ∴，， 解得，， 因为a，b的值不是正整数，所以2不是“风月同天数”； （2）解：∵ ， ∵M是“风月同天数”， ∴， 解得：． （3）解：根据题意得：或， 当时，设，a，b均为正整数，且 ， 所以， 则， ∴，， 解得，， 则； 当时，设，a，b均为正整数，且， 所以， 则， 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，这种情况不存在； 当，， 解得，， a，b是正整数，符合题意，故； 当，， 解得，， a，b不是正整数，不符合题意，故这种情况不存在； 综上所述：N的所有平方差分解为：或． 91．（24-25七年级下·广东佛山·期末）材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数； 材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数． (1)请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数． (2)证明：任何一个和谐数一定是的倍数． (3)已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数． 【答案】(1)是和谐数，平方差为的连续的两个奇数是、； (2)见解析 (3)，，，，， 【分析】此题考查了约数与倍数，因式分解和平方差公式的内容，理解连续平方差数的特点是解题的关键． 根据和谐数的定义即可判断； 设连续的两个奇数分别为，，利用平方差公式展开，即可得出结论； 设这个三位数为均为小于的自然数，且，根据两个新定义及的结论，运用数的整除性得出满足条件的字母值，从而得到满足条件的所有三位数． 【详解】（1）是和谐数，理由如下： ， 是和谐数． 平方差为的连续的两个奇数是、； （2）证明：设连续的两个奇数分别为，， 则， 任何一个和谐数一定是的倍数； （3）设这个三位数为均为小于的自然数，且， 则是整数，且是整数，， 满足条件的，，有： ，，此时三位数为； ，或，此时三位数为或； ，，此时三位数为； ，，，此时三位数为； ，，，此时三位数为． 综上所述，满足条件的所有三位数有，，，，，． 92．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 【答案】(1) (2) (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解以及因式分解的应用，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得由线段，，，围成的图形的面积为，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解： ； ∵， ∴ ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知：，，，围成的图形的面积 ， 将，代入可得，． 题型八 与分式有关的新定义问题（共11小题） 93．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查了异分母分式加减法，分式化简求值，分式方程无解问题等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先求，再得出“和整值”； （2）①先求得，再根据与互为“和整分式”，且“和整值”，求得所代表的代数式； ②先求得，再根据题意求出的值； （3）先由（2）求出代入，得到分式方程，再分与两种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴与互为“和整分式”， ∴“和整值”； （2）①∵，， ∴， ∵与互为“和整分式”，且 “和整值”， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵，， ∴，且， ∴，且， ∵分式的值为正整数， ∴，且，正整数， ∴可以取1，2， 当时，， 当时，， 又为正整数， ∴不符合， 故； （3）由（2）得， ∴ ∵，，， ∴， 情况1：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 当时，方程无解， 此时； 情况2：当时，方程有增根， 则增根为， 将代入， 得， 解得：； 综上所述，或． 94．（25-26八年级上·重庆·期末）已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： (1)关于x的方程的解为 ； (2)关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； (3)关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查分式方程的解，掌握题干中方程的特征和方程的解是解题的关键： （1）根据题干方法求方程的解即可； （2）由题意可知：，利用完全平方公式变形计算即可； （3）将方程变形为，得到，进而得到，再根据是正整数，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴关于x的方程的解为，； （2）由题意可知：， ∴； （3）， ， ∵关于x的方程的两个解是， ∴， ∴， ∴， ∵是正整数， ∴是正整数， ∴或，是5的约数， ∴或， ∵为整数， ∴或． 95．（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 【答案】(1)是， (2)①，② 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，理解新定义是解本题的关键． （1）先计算，再求出结果即可； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式D的值为正整数．x为正整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解：（1）A与B是互为“关联分式”，理由如下： ∵， ∴ ． ∴A与B是互为“关联分式”， “关联值”； （2）①∵，， ∴， ∵C与D互为“关联分式”，且“关联值”， ∴， ∴； ②∵，且分式D的值为正整数，x为正整数， ∴或， ∴（舍去）． 96．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； (2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； (3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 【答案】(1)是，2 (2)①；②1 (3)或 【分析】本题考查分式的计算，掌握分式计算的通分以及解分式方程的方法是解题的关键． （1）直接计算，根据其化简结果判断是否为“一中分式”，并求出“一中值”； （2）①根据“一中分式”以及 “一中值”，计算，求出代表的代数式；②将代入后，根据化简结果，结合分式的值为正整数．为正整数，得出的值； （3）列出的方程，根据方程无解以及增根情况求出的取值； 【详解】（1）解：， 与是互为“一中分式”，“一中值”． （2）解：①，， 与互为“一中分式”，且“一中值”， ， ； ②， 且分式的值为正整数．为正整数， 或， （舍去）． （3）解：∵，， ∴， 整理得， 化简得， ∵方程无解， ∴，且， 解得，且，即， 当时，方程有增根， 代入，解得， 综上，的取值范围为或． 97．（25-26七年级上·广东潮州·期中）数学活动：进位制的认识和探究 【阅读材料】如图，第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为原本，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，记为．八进制数是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是．（规定当时，）． 【任务探究】在现实生活中，我们用得最多的是十进制记数法，满十进一．但在计算机领域中，用到的更多的是二进制记数法．一个二进制数的各数位上的数字为0和1，满二进一．在计算机中输入一个十进制数89，经过计算机处理将其转换成一个二进制数： ． （1）任务1：将十进制数45转换成二进制数是__________．将二进制数转换成十进制数是__________． （2）任务2：二进制数的数位有两个数字0和1，满二进一．二进制数的加法法则如下： ，，，（读作“壹零”，意思是结果为0，并向高位进1）．这四条规则是二进制所有计算的基础． 根据二进制数加法法则，计算__________． 【拓展应用】任务3：如图1，是小明的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），每一行都代表一个二进制的数字，将每一行的二进制数字转换成十进制数，依次组合到一起就是小明的十进制的十位准考证号2412072813． 图2是小辉的准考证号的二维码的简易编码，请通过计算求出小辉的十进制的十位准考证号． 【答案】（1），41；（2）；（3）小辉的十进制的十位准考证号是2410272108 【分析】本题主要考查新定义下的有理数的乘方运算及加法运算，根据题目所给定义和规律对题目提供的特殊问题进行讨论和解决是解决此类问题的主要思路． （1）按照题目所给方法计算即可； （2）由题意，先将转化为十进制，再转化为二进制即可求解； （3）将图形中的二进制转化为十进制，进而可得答案． 【详解】解：（1）由题意，， ， 故答案为：，41； （2）由题意，， ， ∴， ∵， ∴； （3）解：第一行：， 第二行：， 第三行：， 第四行：， 第五行：， 所以小辉的十进制的十位准考证号是2410272108． 98．（21-22八年级上·广东广州·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 【答案】(1)3； (2) (3)12 【分析】（1）根据题意可得或； （2）由题意可得，再由完全平方公式可得； （3）方程变形为，则方程的解为或，则有，整理得，再将所求代数式化为 ． 【详解】（1）解：∵关于x的方程 的解为 ， ∴的解为或， 故答案为：3，； （2）解：∵， ∴， ∴； （3）解：可化为， ∵方程的解为， 则有或， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握题干知识，求分式方程的解，完全平方公式变形求值，整体代入法求代数式求值，是解题的关键． 99．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 【答案】(1)C是D的“雅中式”，，关于的“雅中值”为2； (2)，5 (3)7或1． 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，分式的值，解分式方程，因式分解的应用，方程的整数解问题，代数式的值，掌握以上知识是解题的关键． （1）先化简，再计算，再根据“雅中值”的定义可得答案； （2）由定义可得：，整理可得：的表达式，再化简 根据为整数，且“雅中式”的值也为整数，得到：是的因数，从而可得答案； （3）由定义可得：，整理可得：，从而可得：，再消去，结合因式分解可得，结合、、为整数，分类讨论后可得答案． 【详解】（1）解：C是D的“雅中式”，理由如下： ，， 是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2； （2）解： 关于的“雅中值”是， ， ， ， 为整数，且“雅中式”的值也为整数， 是2的因数， 可能是：，， 的值为：，0，2，3， 的值为：0，2，3， ； （3）解： 是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1， ， 整理得：， 由上式恒成立： ， 消去可得：，即， ， 、、为整数， 为整数， 当时， ， 此时：， ； 当时， ， 此时：， ， 综上：的值为：7或1． 100．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 【答案】(1)①②③ (2) (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，分式有意义的条件，理解新定义是解题的关键． （）根据互动分式的定义进行判断； （）仿照题目中给到的方法进行求解； （）根据（）找规律求解；由①推出的结论，类比形式求解即可． 【详解】（1）解：①， ， ∴ ∴是分式的“互动分式” ②∵ ∴ ∴不是分式的“互动分式” ③∵， ∴ ∴不是分式的“互动分式” 故答案为：①②③ （2）设的“互动分式”为， 则， ， 即， ． 所以分式的“互动分式”为； （3）∵设的“互动分式”为， ∴， 解得：， ∵是的“互动分式”， ∴， ∴， 解得， ∵关于的方程， 整理得：， ∵解为正整数，为正整数， ∴， 经检验时，， ∴符合意义 ∴， ∴当时的最大值是7． 101．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）阅读材料；对于未知数为的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”． (1)判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数． 【答案】(1)具有“单位差”，理由见解析 (2)或 (3)或或或 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，分式的约分． （1）先解方程组得到，，再根据，得到方程组的解具有“单位差”； （2）先求出∴，再由可得，根据二元一次方程组的解具有“单位差”，列方程求解即可； （3）先消元得到， ，再根据解距是整数得到或，解方程即可． （3） 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 102．（24-25八年级下·四川乐山·期末）对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)存在，时，题中等式成立． 【分析】本题主要考查了求代数式的值，分式的计算以及解分式方程； （1）根据题意，将和分别代入代数式，即可求解； （2）根据题意得出，进而根据平方差公式展开结合新定义，即可求解； （3）根据，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得； （2）解：由（1）可知，则 ； （3）解：由（1）可知，得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得， 解得， 经检验，是方程的解， 由上可得，时，题中等式成立． 103．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②或0 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，找出关联分式中分子、分母的规律分子不变，父母是原分式分子与分母的和是解题的关键． （1）根据“关联分式”的定义进行判断即可； （2）仿照小聪的方法进行求解即可； （3）①根据解析（2）找规律求出的关联分式即可；②a.根据关联分式分子，分母规律可知，，然后整理求出结果即可；b.当当 也符合题意，即，再求解即可。 【详解】（1）解：∵， ， ∴是的关联分式． （2）解：设的关联分式是，则：， ∴， ∴， ∴． （3）解：①根据解析（2）可知，的关联分式为： ； 故答案为：； ②a.∵是的“关联分式”， ∴， 由①得， 由②得：， 即， 把代入得：， 解得：． b. ∵是的“关联分式”， ∴当 也符合题意， ∴，解得：，即。 综上，的值为或0. 故答案为：或0． 题型九 分母有理化问题（共4小题） 104．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读材料：像，、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；．解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)比大小______；（直接填，，，或中的一种） (3)求式子的值； (4)已知是正整数，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3)2018 (4) 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）根据分母有理化，进行求解即可； （2）逆用分母有理化，进行判断即可； （3）先进行分母有理化，再进行计算即可； （4）求出的值，整体代入法，进行求解即可． 【详解】（1）解：，； 故与互为有理化因式，分母有理化得， 故答案为：， （2）解：∵， ， ， ∴ ， 故答案为：； （3）解：∵， ∴ ； （4）解：， ， ∴，， ∵， ∴， 解得． 105．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 【答案】(1)4，8 (2)真分式，，4 (3)当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米 (4)当时，分式取到最大值，最大值为 【分析】（1）根据材料1可得，即可求解； （2）根据新定义分式是真分式，根据题意得出为整数，进而求得满足条件的整数x的值有4个； （3）设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米，结合材料1，即可求解； （4）根据材料2的方法，进行化简即可求解． 【详解】（1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ∵x为整数，的值为整数， ∴为整数， ∴或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴ 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ∵， ∴， ∴ 当且仅当时，即时，式子有最小值为4， ∴当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 106．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： (1)_____； (2)利用上面结论，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质、二次根式的乘法法则、平方差公式等知识点，熟练掌握分母有理化的方法是解本题的关键． （1）分子分母同时乘以，然后根据平方差进行计算即可； （2）先根据例2化简，再进行计算即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由例2可得：， ． 107．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了分母有理化、比较二次根式的大小、求代数式的值，理解题意是解题的关键． （1）根据分母有理化即可求解； （2）利用二次根式的性质得到，，再比较两者的大小即可得出结论； （3）根据分母有理化将每个式子化简，再利用裂项相消法进行求和即可； （4）仿照题目的方法进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：， ∴ ； （4）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 题型十 全等三角形的辅助线问题（共23小题） 108．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2)或5或6.5 【分析】本题属于三角形综合题，考查的是全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）①根据同角的余角相等得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②由对称及可知，，，结合即可证明结论； （2）分点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动、点沿路径运动四种情况计算即可． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵直线， ∴， ∴， 在和中，， ∴； ②，理由如下： 证明：点与点关于直线对称， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）解：由题意得， 由（1）可得，， ∵对称， ∴， ∴， ∴当时，， 当点沿路径运动时，， 解得，，不合题意， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 当点沿路径运动时，， 解得，， 综上所述，当或5或6.5时，． 109．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 【答案】（1），2（或3或4）；（2）；（3） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键． （1）先证，推出，再利用三角形三边关系得出，即可求解； （2）延长到F使，连接，先证，推出，，进而可得，，再证，即可得出． （3）延长到G使，连接，则，由（2）得，推出，，再证，最后根据即可求解． 【详解】解：（1）∵是的中线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 可得， 即， ∴，的可能取值为2，3，4， 故答案为：，2（或3或4）； （2）延长到F使，连接， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ． （3）延长到G使，连接，则， 由（2）得， ，， ，， ， ， ， ， ． 110．（25-26八年级上·全国·期末）如图1，在四边形中，，，点，分别在四边形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． (1)思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点，，三点共线，易证，故，，之间的数量关系为 ； (2)类比引申 如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到四边形的边，延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）将绕点逆时针旋转至，使与重合，首先证明，，三点共线，求出，然后证明，根据全等三角形的性质解答； （2）将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，首先证明，，三点共线，求出，然后证明，根据全等三角形的性质解答； 【详解】（1）解：将绕点逆时针旋转至，使与重合， ∵， ∴，即点，，三点共线， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴； （2）； 证明将绕点逆时针旋转，使与重合，得到，则， ∴，，，， ∵，， ∴，即，，三点共线， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴（）， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 111．（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 【答案】（1）；（2）①，或，；②． 【分析】本题考查了全等三角形的性质． 根据全等三角形的性质可知，所以，根据即可求出运动的时间； ①当与全等时，有两种情况，一种情况是，即；另一种情况是，即时．根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路程求出即可； ②根据三角形的面积公式，可得：，可以求出的长度，即点的运动路程，根据点的运动路程和速度求出运动时间，根据运动的时间和点运动的路程的长度求出值即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）①解：若， ，， ， ， ， ， ， ， 若， ，， ， ， ， ； 综上所述：，或，； ②解：如下图所示，连接，过点作于，过点作于， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 112．（24-25七年级下·广东河源·期末） 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为 ． (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得 与 全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在， 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质． （1）证明，可得； （2）证明 即可求解； （3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值． 【详解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，，， ∴是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：存在点使得与全等，理由如下： 连接，    ∵， ∴， ∵是钝角， ∴当与全等时，在中必有一个钝角， ∵点在线段上， ∴只能是是钝角， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 113．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点，于点．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，，连接、，且于点，与交于点， ①求证：； ②若，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）50（3）①证明见解析；②63 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题目条件构造或识别全等三角形，利用全等三角形的对应边、对应角相等关系解决线段证明和面积计算问题． （1）先根据垂直条件得出两个直角，再结合平角和已知角的关系推导一组对应角相等，再证明，进而证明目标线段相等； （2）过两点作垂直构造：“一线三垂直”模型，得到，将实线围成图形的面积转化为规则图形（如梯形、矩形）的面积，代入数据计算； （3）①过两点作垂直构造“一线三垂直”模型，得到， 再证明，从而； ②由（1）的全等结论，推导图形中线段的长度关系，确定目标图形（如）的底和高，代入面积公式计算． 【详解】（1）证明： ∵， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， 同理可得， ∴， ∴实线所围成的图形的面积； （3）①如图，过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由①可知，， ， ， ， ， 由（1）得： ， ， ， ， ． 114．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 【答案】（1），理由见解析；（2）（1）中的结论仍成立，理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）根据可判定，进而得出，，再根据判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点，使，连接，先根据判定，进而得出，，再根据判定，可得出； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先根据判定，再根据判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）．理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ∵， ∴， 又， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）（1）中的结论仍成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）． 证明：如图，延长到点，使，连接， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 115．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键； （1）由“”可证； （2）由全等三角形的性质和平行线的性质可得，由外角的性质可得，可得； （3）由直角三角形的性质可证，可得结论． 【详解】（1）证明：平分， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ，， ， ； （3）证明：， ， ， ． 116．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）证明见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形内角和定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据题意得出，利用全等三角形的判定即可证明三角形全等； （2）根据等量代换及三角形内角和定理得出，由全等三角形的判定和性质即可证明； （3）过E作于M，的延长线于N．利用全等三角形的判定和性质得出，，由此可得，再根据即可求解． 【详解】解：（1）证明：在中， ． 又 在和中， ， ∴ （2）， 证明： 在和中， ∴， ∴， ； （3）如图，过点作于点，作，交的延长线于点， ． 与（1）同理可得，， ，， ， ∵ ∴ 117．（24-25七年级下·河南郑州·期末）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)选择条件②，见解析 (2)①②④ (3)或 【分析】本题考查选择合适的条件证明三角形全等，全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）选择条件②，利用证明即可； （2）根据轴对称的性质，得到，，证明，进而得到，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出，推出，再证明，进而推出，根据全等三角形的面积相等，推出即可； （3）作于点，于点，证明，得到，分分别与重合以及与不重合，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：选择条件②，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：过点作的对称点， 则：，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∴；故②正确； ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，， ∴，， ∴；故④正确； 无法得到，故③错误； 综上：正确的是①②④； （3）作于点，于点，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 当分别与重合时，满足， 则：， 当与不重合时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 118．（24-25七年级下·山西长治·期末）【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容： 如图1，、都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形．    【操作发现】 在图1中画出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后与其对应线段的数量关系和位置关系：_____； 【探究理由】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，设、分别与交于点、，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，与交于点．若与关于直线对称，且，，则 ①_____°； ②线段的长是_____． 【答案】[操作发现]见详解，，；[探究理由]，，理由见解析；[问题解决]①80；②6 【分析】本题考查了旋转变换的性质，全等三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转的性质和轴对称的性质解决问题． [操作发现]根据要求作出图形，然后根据旋转的性质得出，利用全等三角形的性质解决问题即可； [探究理由]由旋转的性质得出，利用全等三角形的性质解决问题即可； [问题解决]①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案； ②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题． 【详解】解：[操作发现]如图，即为所求，，，    证明：设、分别与交于点、， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：，； [探究理由]，； 理由：∵绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴，，， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：，； [问题解决]①∵与关于对称， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， 故答案为：； ②由旋转的性质可知，， ∵与关于对称， ∴， ∴， 故答案为：． 119．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）中，，，点从点以的速度沿着射线方向平移，到点停止平移，同时，点也以的速度从点沿着射线平移，到点停止平移． (1)如图，求证： ； (2)在直线上一定存在一个点，使和的面积始终相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点； (3)将沿着翻折至． 若，，则 ______（2）中所作的点填“经过”或“不经过”，此时，的度数为______； 探索、、之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)经过，； 或，理由见解答过程． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，点的平移，图形的翻折变换及其性质，熟练掌握点的平移，全等三角形，图形的翻折变换及其性质是解决问题的关键． （1）由点，点的平移得，进而可依据“”判定和全等 （2）利用尺规作图，作的平分线交于点即可； （3）先求出，由翻折的性质得，，则，由此得经过点；先求出，再由三角形外角性质得，进而可得出的度数； 依题意有以下两种情况：（Ⅰ）当点在上时，点在的下方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系；（Ⅱ）当点在上时，点在的上方，由三角形的外角性质得，由翻折的性质得，再根据即可得出、、之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图所示： 由点，点的平移得：， 在和中， ， ； （2）解：以点为圆心，以适当的长为半径画弧交于点， 分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点， 作射线交于点，则点为所求，如图2①所示： 理由如下： 由作图可知：， 在和中， ， ， ， 由（1）可知：， ， 当点在上，点在上时，如图2②所示： 此时， ； 当点在上，点在上时，如图2③所示： 此时， ， 综上所述：点为所求作的点； （3）①解：经过（2）中所作的点，此时的度数为，理由如下： 如图3所示： 由（2）可知：，， ， ， ， 在中，， 由翻折的性质得：，， ， 经过点； 在中，， ， ， 是的外角， ， ， 故答案为：经过；； ②、、之间的数量关系是：或，理由如下： 依题意有以下两种情况： （Ⅰ）当点在上时，点在的下方，如图所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得： ， ， ， 即； （Ⅱ）当点在上时，点在的上方，如图所示： 由三角形的外角性质得：， 由翻折的性质得：， ， ， ． 120．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 【答案】（1）；（2）不成立，；（3）或或 【分析】本题围绕“一线三等角”模型，考查全等三角形的判定与性质． （1）先根据等角的余角相等推出，再由证明，得，，进而可得结论； （2）由证明，得，，进而可得结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分：①当E在上，D在上时；②当E在上，D在上时；③当E在上，D在上时；④当E到达A，D在上时，分别讨论． 【详解】解：（1）∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， 故答案为：； （2）结论不成立，理由如下： ∵，，， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴； （3）∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， 分情况讨论： ①当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴（不符合，舍去）； ④当E到达A，D在上时，即， ，， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 121．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【思路梳理】 （1）如图1，在中，，点E在上，连接，以为边作等腰三角形，连接，，且．则和全等吗？为什么？ 【问题解决】 （2）如图2，某景区内有一处大道，大道两侧均为花卉种植区，区域为月季种植区，且，区域为牡丹种植区，区域为菊花种植区，，均为观赏小道，点A在线段上，点E在线段上，，为等腰直角三角形，，，点F恰好在的延长线上，求之间的数量关系，请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理成为解题的关键． （1）先说明，再运用即可证得； （2）先证明可得，再证明可得，然后根据线段的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴． （2），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵，点F恰好在的延长线上， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 122．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】(1)AD (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】（1）解：如图1，延长到点，使， ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接． ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 123．（24-25七年级下·广东梅州·期末）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3），，证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据中线的定义得，进而可依据“”判定和全等，由此即可得出答案； （2）延长到F，使，连接，则，同（1）证明和全等得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出线段与的数量关系； （3）过点C作于点H，证明和全等得，，则，证明，进而依据“”判定和全等得，，据此即可得出线段与的数量关系和位置关系． 【详解】解：（1）∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）线段与的数量关系是：，理由如下： 延长到F，使，连接，如图所示： 则， 同（1）证明：， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）线段与的数量关系是：，位置关系是：，理由如下： 过点C作于点H，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 124．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 【答案】（1）同角的余角相等；；（2）①见解析；②8；③8或16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，分类讨论和设参数求解是解答的关键． （1）根据等角的余角性质和“”求解即可； （2）①先根据余角性质证明，进而利用“”证明结论即可； ②证明得到，，进而求解即可； ③分当点D在线段上时，当点D在线段的延长线上时，当点D中线段的延长线上时，三种情况，分别利用全等三角形的性质和等高的三角形面积之间的关系求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 所以（同角的余角相等） 又因为 所以； （2）①∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴； ②∵，， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴， ∴，， ∴； ③当点D在线段上时，如图2，连接， ∵，的面积为4， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如图3， ∵， ∴不满足，故不符合题意，舍去； 当点D中线段的延长线上时，如图4，连接， 同理可证， ∴， 设，， ∵， ∴，，， ∴，则， ∴， 综上，的面积为8或16． 125．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)当的面积为时，的值为或 (3)或时，与全等 【分析】（1）根据原理证明即可； （2）由题意，，当点在线段上时，， 当点在延长线上时，，根据三角形的面积列式解答即可． （3）分类解答即可． 本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形面积计算，分类证明全等，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：是高， ， 是高， ， ，， ， 在和中， ， ． （2）解：由知， ， ， ， 由题意，， 当点在线段上时，， ， 解得：； 当点在延长线上时，， ， 解得：； 综上，当的面积为时，的值为或． （3）解：存在．理由如下： 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 如图中，当时， ，， ． ， ， 解得， 综上所述，或时，与全等． 126．（24-25八年级下·海南三亚·期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1可以得到，等式变形可得，基于此，请解答下列问题： (1)直接应用：若，直接写出的值为______； (2)类比应用：若，则_______；（直接写结果） (3)知识迁移：两个全等的直角三角形，，其中．如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，设，求四边形的面积的大小． 【答案】(1)3 (2) (3)28 【分析】本题考查了全等三角形的性质、完全平方公式与图形面积，熟练掌握完全平方公式是解题关键． （1）根据代入计算即可得； （2）根据和代入计算即可得； （3）先根据全等三角形的性质可得，，设，，从而可得，，再根据四边形的面积，利用完全平方公式变形运算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ ， 故答案为：． （3）解：∵， ∴，， 设，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，即， ∴四边形的面积 ， 所以四边形的面积的大小为． 127．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 【答案】(1)当点在上时，；当点在上时， (2) (3)或或 (4)的值为或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的实际应用，全等三角形的判定与性质，正确理解题意，运用分类讨论思想求解是解题的关键． （1）分两种情况讨论，列代数式即可； （2）相遇时，则走的路程和为，据此列方程求解； （3）分三种情况讨论，当点在上，点在上时，可证明，则时，；当点在上，点在上时，当点，重合时，，则；当点在上时，点到终点与点A重合，，分别列出关于的一元一次方程求解； （4）由于当、两点的连线将的周长分成两部分时，即其中一部分周长是另一部分周长的或，点运动到点用时，点运动到点用时，当点分别在上时， 则，或；当点重合，点在上时，则或，再得到关于t的一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由题意得，当点在上时，；当点在上时，； （2）解：由题意，得， 解得． ∴当，两点相遇时，的值为； （3）解：当点运动到点时，；当点运动到点时，． 当点在上，点在上时，如图： ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． 当时，． ∴， 解得． 当点在上，点在上时，当点，重合时，． ∴． 即， 解得． 当点在上时，点到终点与点A重合，． ∴． 即， 解得． 综上，当与全等时，的值为或或； （4）解：∵当、两点的连线将的周长分成两部分时， ∴其中一部分周长是另一部分周长的或， 点运动到点用时，点运动到点用时， 当点分别在上时，如图： 则，或 ∴，或 解得：（舍），或； 当点重合，点在上时，如图： 则或 ∴或 解得：（舍）或， 综上：当、两点的连线将的周长分成两部分时，的值为或． 128．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，点、在边上，连接、，满足，且，点在上，连接交于点． (1)①线段与的位置关系是______； ②若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，过点作交于点．证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点，点，在边上，且，连接，，已知，，，，请直接写出的最小值． 【答案】(1)①② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由，根据三角形内角和定理，得到，即可得出 ②由，在中，根据三角形内角和定理，求出，，由平分，在中，根据三角形内角和定理，即可求解， （2）， 由，，根据平行线的性质，得到，，结合，得到，，结合，，得到，，在和根据三角形内角和定理，得到，，即可求解， （3）作，，作，由，，得到，结合，，得到，，根据，，，，得到，由（2）得，，，由，得到，由，得到，在中，根据三边关系得到，即可求解， 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． ②∵， ∴设，则， ∴， 即：， 解得：， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， （2）解：作，交于点，    ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, （3）解：作，，连接，作 交延长线于点，    ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， 由（2）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了，角平分线，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 129．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）【问题情境】在数学课上，同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动 点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，．，直线与交于点F． 【探索发现】如图1，若，则_______ 【深入探究】如图2，若，则的度数为多少？ 【拓展提升】将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度，的延长线与交于点F，如图3，试探究与a的数量关系，并加以说明理由． 【答案】[初步思考]；[深入探究]；[拓展提升]； 【分析】（1）根据 证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （2）根据证明，得出，根据三角形的内角和定理即可得到，进而可得答案； （3）当交点F在线段上，结合图形，仿照（2）小题的证明解答即可． 【详解】解：【探索发现】∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：； 【深入探究】∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：； 【拓展提升】①当交点F在线段上时，如图， ∵ ∴ 在和 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 综上，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、旋转的性质、三角形的内角和定理等知识，正确分类、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 130．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点交于点，连接． (1)求的度数； (2)判断与的大小关系，并证明； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）求解，结合角平分线的定义可得，进一步可得答案； （2）如图，作，连接，，证明，，可得，可得，从而可得答案； （3）如图，过作于，过作于，证明，，，可得，，结合，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，理由见解析： 如图，作，连接，， ∵平分交于点，平分交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过作于，过作于， ∴， 由（1）得：， ∴， 由（2）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴. 【点睛】本题考查的是三角形的角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 题型十一 角平分线性质和判定综合问题（共20小题） 131．（22-23八年级上·全国·单元测试）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质进行证明即可； （2）证明，推出，再利用角平分线的性质定理解决问题即可． （3）如图3中，过点作于，过点作于，过点作于，于．利用面积法证明，求出，，可得结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴垂直平分， ∴； （2）证明：如图，过点作于， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ． （3）解：如图，过点作于，过点作于，过点作于，于． ， ，， 在和中， ， ， ， ， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理和性质定理，三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 132．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)18 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形面积． （1）先根据三角形外角性质计算出，然后计算即可； （2）过E点作于M点，于N点，如图，先计算出得到平分，根据角平分线的性质得到，，所以，根据角平分线的性质定理的逆定理得到结论； （3）根据三角形面积公式得到，则可计算出，所以，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过E点作于M点，于N点，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴点E在的平分线上， 即平分； （3）解：∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∵，， ∴的面积． 133．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 【答案】(1)①，；② (2)证明见解析 【分析】（）①根据等腰三角形的三线合一的性质解答即可；②由等腰三角形的三线合一的性质得，设，，，则，再根据三角形的周长公式解答即可； （）分别证明和，得到，，进而即可求证； 此题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①，平分， ，， 故答案为：，； ②∵，， ∴， 设，，，则， ∵的周长， ， 的周长， ∴， ， 即的长为； （2）证明：平分，，， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， 即． 134．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于点，证明，，再证明，，由此即可求解； （3）延长，过点作于点，作，由判定，，结合全等三角形的性质及三角形的面积得，设，则，可得，，作交于，结合角平分线的性质及 可判定，（），由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长，过点作于点，作， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴，且， ∴， ， ∴， ， ， ∵与面积之和为5， ， ， ， 设，则， ， ， 如图，作交于， ∵是角平分线， ，， ， 平分， ， ， （）， ， ， ，， （）， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的内角和，全等三角形的判定及性质，角平分线的性质定理等，能根据题意添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 135．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是它的角平分线，求证：； (1)在图中完成上面的证明过程． (2)在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的面积，关键是由三角形的面积来解决问题． （1）过作于，于，由角平分线性质得到，由三角形面积公式即可证明； （2）过作于，于，由三角形面积公式可得到，再代入数据计算即可求解． 【详解】（1）证明：过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， ； （2）解：如图，过作于，于， 平分， ， 的面积，的面积， ， 过作于， ， ，即． 解得． 136．（22-23七年级下·广西梧州·期末）如图，于点B，于点D，，当平分时，是否为的角平分线?请说明理由． 【答案】是的角平分线，理由见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，垂直的定义等知识点，． 根据垂直得出直角，根据角平分线得出相等角，证明，得出，证明为等腰三角形，根据三线合一即可得出结论． 【详解】解：是的角平分线，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴是的角平分线． 137．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和．熟练掌握角平分线的性质和三角形内角和是解题的关键． （1）先由三角形内角和求出，再根据角平分线的性质得到； （2）由点是中点，得到，结合面积为，根据三角形面积公式求出即可． 【详解】（1）解：， ， 是的角平分线． ∴； （2）解：是的中点， ， ∵， ∴， ． 138．（24-25七年级下·江西抚州·期末）如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 【答案】(1)是的角平分线，理由见解析 (2)的面积为54 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定定理． （1）由全等三角形的判定定理判定和全等，由全等三角形的对应角相等证明即可； （2）过P作于点H，得出的长度，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的角平分线，理由如下： 在和中， 是的角平分线． （2）解：过P作于点H， 于点Q，平分 的面积的面积+的面积， 的面积 答：的面积为． 139．（24-25七年级下·河南郑州·期末）（1）观察发现 如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______． （2）性质探究 如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． （3）问题拓展 如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）4或2 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，正确作辅助线、构造全等三角形成为解题的关键． （1）由角平分线的性质可解答； （2）如图：作交延长线于点E，于点F，证明，再根据全等三角形的性质即可解答； （3）如图3，在上截取，连接，证明得出，由直角三角形的性质可即可解答；如图3：取的中点F，易证为等边三角形，，即点E与点F重合时也满足题意，即． 【详解】解：（1）∵平分，， ∴， ∴． 故答案为：． （2）；理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）如图3，在上截取，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图3：取的中点F， ∵， ∴为等边三角形， ∴，即点E与点F重合时也满足题意， ∴． 综上所述，的长为4或2． 140．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积． (2)t为何值时，线段是的平分线？ (3)请利用备用图2继续探索：当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 【答案】(1) (2) (3)或或6 【分析】本题考查了等腰三角形的定义与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线的性质，分类讨论是解题的关键． （1）把代入得出，利用三角形的面积进行解答即可； （2）过作，设，根据角平分线的性质和勾股定理进行解答即可； （3）分三种情况讨论，当点P在上时，时，；当点P在上时，时，过作于，由面积法得到，求出，再由勾股定理结合三线合一求解；当时，则，故． 【详解】（1）解：当时，则， 所以的面积 ； （2）解：过作，如图1： ∵， ， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中，， ， 解得：； （3）解：如图： 因为是以为腰的等腰三角形， 当点P在上时，时，； 当点P在上时，时，过作于， ， 即， 解得：， ，， ， ， ； 当时， ， 故答案为：或或． 141．（23-24七年级下·重庆·期末）已知，A﹣B﹣E﹣C﹣D是一条折线段，且，点E为平行线间一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线交直线于点F，过点B作于点H，过点E作交的角平分线于点G．若点E是位于线段右侧的一动点，试判断是否为定值，如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)如图3，点F仍满足（2）问中的条件，射线交直线于点M，若为，点P为射线上一动点，连接，的角平分线交直线于点Q．设，，请直接写出α与β的数量关系． 【答案】(1)； (2)为定值，； (3)或． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，三角形内角和，角平分线的计算，外角的性质，熟练画出图形，添加正确的辅助线是解题的关键． （1）过点E作的平行线，根据平行线的性质即可求解； （2）设，利用平行线的性质和角平分线的计算，得到和，即可利用三角形内角和进行解答； （3）分类讨论：分点在点左边或右边，画出图形，分别进行解答即可． 【详解】（1）解：过点E作的平行线，如图： ， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：为定值，． 设， ∵的角平分线交直线于点F， ∴， ∵， ∴， ∵BH⊥CD，， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （3）解：当点P在点M左边时，如图所示： ， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， 即； 当点P在点M右边时，如图所示： ， 同上可得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 综上所述，α与β的数量关系为或． 142．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，平分交于点，且． (1)求证：； (2)点是射线上一点，连接交射线于点． 若，当时，与之间有何数量关系？请说明理由； 若，，当时，求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2) ，理由见解析 线段BP的长为或 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到； （2）由（1）知，过点作于，如图所示：推出、是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，，，求得，于是得到结论； 当点在点的左侧时，如图2所示：由（1）知，，根据等腰三角形的性质得到，求得，推出，根据三角形的面积公式得到，根据勾股定理得到，求得，得到，求得，作于，则，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，设，则，根据勾股定理得到；当点在点的右侧时，则，推出，，于是得到． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， （）， ； （2）解： ；理由如下： 由（1）知， 过点作于，如图所示： ，， 、是等腰直角三角形， ，，， ， ， ； 当点在点的左侧时，如图所示： 由（1）知，， ， ， ，， ， ， ， 则， ， ， ， ， ， ， 作于，则， 在和中， （）， ， ， ，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ， ， ； 当点在点的右侧时， 则， ， ， ，， ； 综上所述，线段的长为或． 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等腰直角三角形的判定与性质、平行线的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形全等的判定与性质是解题的关键． 143．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知在四边形中，是对角线，于E． (1)如图（1）若平分，，求证： (2)如图（2）若，，，比长度多6，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1) 如图1，过C作于F，根据角平分线的性质定理得到，再然后证明，再证明，则，再由线段和差证明即可； (2) 在上截取，连接，先证明，过点F作，交于点M，过点C作，交的延长线于点N，则有，导角证明，证明，则，那么． 【详解】（1）证明：如图1，过C作于F， ∵平分，于E， ∴，， 在与中，， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在上截取，连接， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点F作，交于点M，过点C作，交的延长线于点N，则有， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的长度比的长度多6， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角定理，角平分线的性质定理，线段垂直平分线的性质，角直角三角形的性质等知识点，难度较大，解题的关键在于正确添加辅助线构造全等三角形． 144．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)线段与相等，详见解析 (2)8 (3)，详见解析 【分析】先证明，进而可依据判定和全等，再根据全等三角形的性质即可得出答案； 过点D作于点H，根据角平分线性质得，依据判定和全等得，则，再证明和全等得，则，由此即可得出的长； 在的延长线上截取，连接，证明和全等得，，由此根据已知条件得，进而依据判定和全等得，然后根据即可得出这三者之间的数量关系． 【详解】（1）解：线段与相等，理由如下： ， ， 在中，， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ； （2）过点D作于点H，如图2所示： ，， ， 平分，， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3），，这三者之间的数量关系是：，理由如下： 在的延长线上截取，连接，如图3所示： 平分，， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 【点睛】此题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 145．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 146．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)线段的长度为______； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点的运动过程中，直接写出为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)3 (2)或 (3)或或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的综合运用．画出图形，利用分类讨论的思想是解第题的关键． （1）根据勾股定理即可求出答案； （2）过作于，得出，，设，则，在中，依据，列方程求解即可得到的值； （3）分四种情况：当在上且时，当在上且时，当在上且时，当在上且时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）解：在中，，，， ． 故答案为：； （2）解：如图，当点恰好在的角平分线上且在边上时， 过作于， 平分，， ，， 又∵， ∴， ∴， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ， ， 当点与点重合时，点也在的角平分线上， 此时，． 综上所述，点恰好在的角平分线上，的值为或； （3）解：分四种情况： 如图，当在上且时， ∴， 而，， ， ， 是的中点，即， ； 如图，当在上且时， ； 如图，当在上且时，过作于， 则， 中，， ， ； 如图，当在上且时，， ． 综上所述，当或或或时，为等腰三角形． 147．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，求出是等腰三角形时t的值． 【答案】(1)见解析 (2)2.5 (3)或或8 【分析】（1）直接运用角平分线的画法作图即可； （2）如图，过点P作于点M，先利用勾股定理求出，证明得到：，则，设则，由勾股定理得，然后解方程以及并计算时间即可； （3）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：如图，是的角平分线； （2）解：如图，过点P作于点M， ，，， ， ， ， 点P在的角平分线上，， ， 又， ， ， ， ，则， 在中，， ， 解得：， 即若点P在的角平分线上，则t的值为； （3）解：当作为底边时，如图所示： 则，设，则， 在中，， ， 解得：， 当作为腰时，如图所示： ，此时， 时， ， ， 此时， 综上分析可知，t的值为或或． 【点睛】本题主要考查了基本作图——角平分线的画法、角平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，灵活运用相关判定定理成为解题的关键． 148．（24-25八年级下·山西晋中·期末）阅读下列材料并完成任务． 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心． 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交的延长线于点E，交的延长线于点F，则．下面是部分证明过程： ∵平分，，， ∴．（依据1） 同理可得，． ∵，∴（依据2）∴ …… 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”是______；“依据2”是______； (2)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (3)如图，在中，，点是的一个旁心且在边的下方． ①利用尺规作出旁心；（保留作图痕迹，不写作法） ②若，，则=_______． 【答案】(1)角平分线上的点到这个角两边的距离相等；； (2)见解析； (3)①见解析；②． 【分析】（1）根据角平分线的性质定理和作答即可； （2）根据角平分线的性质定理同理可得，根据角的和差计算即可； （3）①利用尺规作出的平分线，外角的平分线，交点即是旁心I； ②作交延长线于F，由30度角的性质得到，证明是等腰直角三角形，可知，根据角平分线的定义求出，设，求出，可知，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：上述证明过程中的“依据1”是角平分线上的点到这个角两边的距离相等；依据2是：， 故答案为：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；； （2）解：同理可得， ∴ ； （3）①解：如图：旁心I即为所求； ②解：如图所示，作交延长线于F， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 设，则， ∴，即， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 149．（24-25七年级下·广东深圳·期末）几何探究： 已知：利都是等边三角形，连接，交于点． (1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________： ②连接与的数量关系是：______________； (2)如图2，H，G分别是，的中点， ①当时，______________； ②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由： (3)连接，求的值． 【答案】(1)①；60；② (2)①60；②不变；理由见解析 (3) 【分析】（1）①证明，得出，，，根据，得出； ②过点A作于点M，于点N，根据，，得出，证明，即可得出答案； （2）①连接，证明，得出，，证明为等边三角形，得出； ②连接，当发生变化时，同理可证明，得出，，证明为等边三角形，得出； （3）过点A作于点M，作于点N，证明，得出，求出，，根据，即可得出． 【详解】（1）解：①∵利都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴； ②过点A作于点M，于点N，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴点A在的角平分线上， ∴； （2）解：①连接，如图所示： ∵H，G分别是，的中点， ∴，， ∴， 根据解析（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； ②当发生变化时，的度数不变；理由如下： 连接，如图所示： 当发生改变时，同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：过点A作于点M，作于点N，如图所示： 根据解析（1）可知：，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 150．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在学习等腰三角形的性质时，同学们展开多维度探索： (1)基础应用：在中，的周长为的周长比的周长少12，则的长为______． (2)逆向探究：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成证明． 已知：在中，平分，且点是的中点． 求证：． 方法一：如图2，延长到点，使，连接． 方法二：如图3，过点分别作的垂线，垂足分别为E，F． (3)拓展综合：如图4，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，连接，设的面积分别为，试求的最大值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，三角形中线的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）由，平分，得出设，，，由的周长为40，得出，由的周长比的周长少12，得出，即可求解； （2）方法一，延长到点E，使， 连接，可证明，得出，，再由角平分线的性质得到，进而得到，得出，即可求证；方法二，过点D分别作的垂线， 垂足分别为E，F，通过分别证明，，从而得到，，即可求证； （3）延长交的延长线为点，可证明，进而得到，根据题意得到，由于点H到的距离小于等于的长，则当时，有最大值，最大值为． 【详解】（1）解：∵， ∴； 设，，， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵的周长比的周长少12， ∴， ∴． （2）证明：方法一： 如图2， 延长到点E，使， 连接，    ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二： 如图3，过点D分别作的垂线，垂足分别为E，F， ∵平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：延长交的延长线为点，如图：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； ∵的面积分别为， ∴， ∵点E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点H到的距离小于等于的长， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 1．已知关于x的分式方程．若分式方程无解，则（   ） A．0 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程无解问题，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 分式方程无解有两种情况：一是化简后方程矛盾，无解；二是解出的根使分母为零，为增根．先化简方程，利用分母关系简化，再求解关于x的方程，讨论m的值． 【详解】解：∵， ∴原方程可化为： 两边同乘，得： 去括号，得：， 移项，得：， ， ， 当，即时， 方程变为，矛盾，无解； 当时，， 若，则， 解得：，此时为增根，无解． ∴或时，方程无解， 故选：D． 2．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，分组分解法因式分解，配方法的运用，掌握以上知识，正确配方是关键． 由已知条件得到，代入整式中，通过配方法将转化为完全平方式与常数的和，进而利用非负性求最小值． 【详解】解：由，得， 代入，得： ， 对和分别配方：，， 代入得： ， 由于， 且，故， 当时，满足，且， 因此，整式的最小值为， 故答案为：． 3．若是整数，且是自然数，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次根式的性质以及一元二次方程根的判别式．设（为自然数），则，整理得关于的二次方程，其判别式，需为完全平方数．令，得，因式分解后根据整数解条件求解和，再代入求根公式得的值即可解答． 【详解】解：设自然数满足（为自然数）， 则，整理得， 将方程看作关于的二次方程， 其判别式需为完全平方数：， 设（为整数）， 则， 因式分解得， 由于为质数，其整数因式分解为或， 故有：①， ，解得，， ②，，解得，， ③， ，解得（舍去，因为为自然数）， ④，，解得（舍去，因为为自然数）， 将代入原方程，解得，即或， 验证这两个解均满足原方程， 故答案为：或． 4．如图，在中，，，，点为延长线上一点，连接，若，点和点分别是边和边上的动点，当最小时，的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，角直角三角形性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 先证明，则，可求，作点P关于对称的点，连接，过点作于点，连接，则，此时，那么，由于，故的最小值为，当点三点共线，且点重合时，取得最小值，此时点为与的交点，可得为等腰直角三角形，此时，故取得最小值时，的长度为4． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 作点P关于对称的点，连接，过点作于点，则，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，当点三点共线，且点重合时，取得最小值，此时点为与的交点， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴此时 ∴取得最小值时，的长度为4， 故答案为：． 5．如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 【答案】(1)，见解析 (2) (3)16或 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质，三角形的周长，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质. （1）延长至点， 使得， 连接，证明，得出， ， 证明， 得出； （2）在上截取， 连接， 证明，得出， ， 证明， 得出； （3）分两种情况，由（1）（2）的结论可得出答案． 【详解】（1）解： 理由：延长至点，使得，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：在上截取，连接， ∵将沿着斜边翻折得到， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴； 故答案为： ； （3）当点在线段上时， 如图， 的周长为： ； 当点在线段的延长线上时，如图， ∵，， ∴， 由（2）得， ∴， 的周长为：， 故答案为：或 ． 6．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 【答案】(1)①；；②结论仍然成立，理由见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，进而可得；②结论仍然成立，方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，再同（1）中方法证明得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，过点A作于G，则都是等腰直角三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论仍然成立； （2）解：∵，且， ∴； 如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于G，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 7．如图，在中，，，为的中线，为上一点，连结，交于点，作，垂足为点，交于点，连结． (1)求证：； (2)若平分，求的值； (3)若是中点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得，，证明为等腰直角三角形，得出，再证明，即可得证； （2）作于，由等腰直角三角形的性质可得，，，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，证明出，结合角平分线的性质定理可得，证明为等腰直角三角形，得出，进而可得，即可得解； （3）连接，由等腰直角三角形的性质可得，，，由（1）可得，证明出，结合题意可得，，，证明，得出，从而可得，再由勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：∵在中，，，为的中线， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵作，垂足为点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图：作于， ， ∵在中，，，为的中线， ∴，，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接， ， ∵在中，，，为的中线， ∴，，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 8 / 66 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 期末真题百练通关（150题11大压轴题型） 说明：真题集训性质，选用期末真题/中高考真题，加题源。 选填小压轴 解答压轴 题型1 根据分式方程解的情况求值问题 题型7 与因式分解有关的新定义问题 题型2 三角形性质的综合问题 题型8 与分式有关的新定义问题 题型3 全等三角形综合问题 题型9 分母有理化问题 题型4 等腰三角形的性质与判定综合问题 题型10 全等三角形的辅助线0.问题 题型5 直角三角形的性质定理综合问题 题型11 角平分线性质和判定综合问题 题型6 与角平分线性质和判定有关的多结论问题 题型一 根据分式方程解的情况求值问题（共6小题） 1．（25-26八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知关于的方程的解是正数，那么的取值范围为（   ）． A．且 B． C．且 D．且 2．（25-26八年级上·重庆·期末）若关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，关于y的分式方程的解为整数，则所有满足条件的整数m的和为 ． 3．（25-26八年级上·湖南·期末）若整数a使得关于x的方程的解为非负整数，且关于y的不等式组至少有2个整数解，则所有符合条件的整数a的和为 ． 4．（23-24八年级上·全国·期末）关于x的方程 的解是正数，则实数a的取值范围是 ． 5．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为正数，则满足条件的所有整数的值的和为 ． 6．（24-25七年级下·安徽池州·期末）已知关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的积为 ． 题型二 三角形性质的综合问题（共9小题） 7．（23-24七年级下·江苏无锡·期末）如图，，点B、C分别在上运动（不与点A重合），连接，将沿折叠，点A落在点的位置，则下列结论： ①当点落在的一边上时，为直角三角形； ②当点落在AN边上时，； ③当点落在内部时，； ④当点落在外部时，． 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．①③④ 8．（22-23八年级上·江苏无锡·期末）如图，在中，，，，，如果点D，E分别为，上的动点，那么的最小值是（　　）    A．8.4 B．9.6 C．10 D．10.8 9．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，线段相交于点，连接，并延长至点，的平分线与的平分线相交于点．①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．以上命题中真命题的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）将一个三角板和圆规按如图方式摆放在同一水平桌面上，圆规的两脚恰好接触三角板的一组邻直角边．已知，，则 度． 11．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如图，是的边上的中线，是的边上的中线，是的边上的中线， 连接，．若的面积是16，则阴影部分的面积是 ． 12．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，将等边的三条边向外延长一倍，得到第一个新的，第二次将等边的三边向外延长一倍，得到第二个新的，依此规律继续延长下去，若的面积，则第个新的三角形的面积为 ． 13．（24-25七年级下·四川乐山·期末）1．设的面积为，如图1将边、分别2等分，、相交于点，的面积记为；如图2将边、分别3等分，、相交于点，的面积记为；……，以此类推． (1) (用含有a的代数式进行表示)； (2)若将边、分别等分，、相交于点，记的面积为，则 (用含有和的代数式进行表示)． 14．（24-25八年级上·广东肇庆·期末）如图，一个长方形被分成四个部分的面积分别为．若，则长方形的面积为 ． 15．（25-26八年级上·河南新乡·期末）将一副标准三角板按如图位置放置．其中A，E，F，B四点在一直线上，则的度数是 ． 题型三 全等三角形综合问题（共15小题） 16．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）如图，在中，，的角平分线，相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，下列结论：；；．其中正确的结论是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25八年级上·江苏南通·期中）如图，的两条高与交于点，，．点在射线上，且，动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动，当点到达点时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，则的值为（    ） A．秒 B．秒 C．秒或秒 D．秒或秒 18．（25-26八年级上·全国·期末）如图，，垂足为点，，，射线，垂足为点，一动点从点出发以沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持，当点经过（　　）秒时，与全等．（注：点与不重合） A． B．、 C．、、 D．、、 19．（25-26八年级上·福建·期末）如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（    ） A． B． C． D．4 20．（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，两个外角的平分线与相交于点，于点，于点，且，小明同学得出了下列结论：①；②点在的平分线上；③；④.其中错误的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 21．（24-25七年级下·广东深圳·期末）三所学校分别记作A、B、C，体育场记作O，它是的三条角平分线的交点，O，A，B，C每两地之间有直线道路相连，一支长跑队伍从体育场O出发，跑遍各校后返回O点，则所跑路线距离最短的是（已知）（   ） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，中 平分，点D、E分别是上不与端点重合的动点，连接，则的最小值为 ． 23．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，，为边上的高，点从点出发，在直线上以的速度移动，过点作的垂线交直线于点，当点运动 s时，． 24．（23-24八年级上·北京西城·期末）如图，动点与线段构成，其边长满足，，．点在的平分线上，且，则的取值范围是 ，的面积的最大值为 ． 25．（22-23八年级上·贵州遵义·期末）如图，在中，，，，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作于点E，于点F，则点P的运动时间等于 秒时，与全等． 26．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，中，，，，顶点在直线上，点以的速度沿向终点运动，同时点以的速度从点开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点到达终点时，同时停止运动．过分别作直线的垂线段，垂足分别为．设运动时间为，当与全等时， s． 27．（24-25七年级下·上海松江·期末）在中，，，直线经过点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为、．如果，，那么 ． 28．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在等腰中，，于点，是上一动点，是射线上一点，且 ，．当取得最小值时， ．（用含的代数式表示） 29．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，若，平分，，平分，下列结论： ①；②；③；④；⑤若为中点，则．其中正确的有 ．（只填序号）    30．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为 秒时，和全等． 题型四 等腰三角形的性质与判定综合问题（共29小题） 31．（2025·广西梧州·一模）已知，求作：的平分线，甲、乙、丙三位同学的方案如图所示，则正确的方案是（   ） 甲①利用直尺和三角板画； ②在上截取； ③作射线，即为所求． 乙①利用圆规截取，； ②连接，，相交于点P； ③作射线，即为所求． 丙①在上取点M，利用圆规截取； ②过点M，N作； ③作射线，即为所求． A．只有甲、乙正确 B．只有甲、丙正确 C．只有乙、丙正确 D．甲、乙、丙都正确 32．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等边中，是边上的中线，延长至点E，使得，连接，过点E作交的延长线于点F，若的面积为10，则的面积为（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 33．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）在中，，点D在边上（不与B、C点重合），点P、点Q分别是、边上的动点，当的周长最小时（提示：四边形的各个内角之和为），则的度数（   ） A． B． C． D． 34．（22-23八年级上·河南周口·期末）如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·山东威海·期末）如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 36．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）如图，已知的大小为α，P是内部的一个定点，且，点E、F分别是、上的动点，若周长的最小值等于5，则（   ） A． B． C． D． 37．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（    ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A． B． C． D． 38．（24-25八年级上·全国·期末）如图，为线段上一动点（不与点重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 39．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 40．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 41．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边的中点，点F是边上一动点，连接．当取得最小值时，的度数为（   ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，于点，的平分线分别交于点为的中点，连接并延长交于点，连接．若，则的度数为 ． 43．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在等腰中，，于点D，E是上一动点，F是射线上一点，且，，当取得最小值时， ．（用含的代数式表示） 44．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，，平分，，分别为边，上一点，且，当的长为时，则的最小值为 ． 45．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，等边与关于直线l对称，且的边长为3，D为线段上一动点（可与端点重合），连接，则的最小值是 ． 46．（23-24八年级上·贵州铜仁·期末）如图，在中，D为边上一点，延长至点E，连接， ，，有以下几个结论：①为等腰三角形；②；③；④平分．其中正确的结论是 （填序号）． 47．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，D为上方一点，且，若，则的长度为 ． 48．（24-25八年级上·河南信阳·期末）在中，，，，以为边，作等边，过点D作于E，则的长为 ． 49．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在等边中，点、分别在边、上，，连接，，点、分别在线段、上，满足，，若 ：，则的度数为 ． 50．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，在等边中，是边上一点，连接．将绕点逆时针旋转，得到，连接．若，，则的周长为 ． 51．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，四边形中，，垂直于的角平分线于点D，点E为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ． 52．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，点D，E，F分别在，，上，且，．若，，，则 ． 53．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，，，，于点，交于点，若，，求 ． 54．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，且，四边形的面积为12．点F为四边形内部一点，连接，且，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，的面积为 ． 55．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过作于点，点为边上一点，点为边中点，连接，，若，，则 ． 56．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，中，，，点D在内部，且使得．则的度数为 ． 57．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，，．延长到点，使得．过点在直线上方作射线，射线．点在射线上，连接，，． 现给出以下结论： ①当点与点重合时，是等腰三角形； ②当时，； ③当时，； ④当周长最小时，的面积是． 其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号） 58．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，P为线段的中点，且，M是上方一点，将线段绕点P顺时针旋转 后得到线段， 连接． 当最小时，周长的最小值是 ． 59．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是 ． 题型五 直角三角形的性质定理综合问题（共14小题） 60．（25-26八年级上·江苏南通·期末）如图，在中，，点是直角边上的一个动点，连接，以为边向外作等边，连接，在点运动的过程中，线段的最小值为（   ）． A． B． C． D． 61．（25-26八年级上·全国·期末）如图，为等腰的斜边的中点，为边上一点，连接，过点作交于点，交的延长线于点，则以下结论：①，②，③，④四边形的面积等于面积的一半．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 62．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为点C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 63．（24-25八年级下·江西抚州·期末）如图所示，点是等边内一点，，将绕点逆时针旋转一定角度后得到，下列四个结论中：①为等边三角形；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 64．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将含有角的直角三角尺（，）绕顶点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在边上，连接、，则下列结论：①；②；③为的垂直平分线；④．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 65．（24-25八年级上·辽宁盘锦·期末）如图，在中，，于，平分，且于，与相交于点，于，交于，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（    ） A．①③④ B．①②③④ C．①③ D．① 66．（25-26九年级上·湖北·期末）如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为 ，线段的最大值为 ． 67．（23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，在中，，，点D，E分别在边，上，若沿直线折叠，点A恰好与点B重合，且，则 ． 68．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，是等边内一点，，，则的面积为 ． 69．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l过原点与x轴正方向所夹锐角为．在x轴上有两个动点A，B，坐标平面内一点P，将沿直线l翻折得到，点Q落在x轴上方，连接，，已知点，，为等边三角形． ①当，，时，则 ； ②当，，时，则 ． 70．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在 中，，，的平分线交于点E，点D为上一点，且，与交于点M （1） ． （2）若于点，，则的长为 ． 71．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知等边三角形边长为6，点为上的一点，连接，将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得，连接，若，则点到直线的距离为 ；若点在边上运动，则的最小值为 ． 72．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，点在以点A为圆心，半径长为8的半圆上运动，点在直线上运动，连接，． 有以下结论： ①当，时，能得到形状唯一的． ②当，时，不能得到形状唯一的． ③当，时，不能得到形状唯一的． ④当，时，能得到形状唯一的． 其中正确结论的序号是 ． 73．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是 ． ①的面积等于的面积；②；③． 题型六 与角平分线性质和判定有关的多结论问题（共15小题） 74．（25-26八年级上·全国·期末）如图，中，、的角平分线、交于点，延长、，，，则下列结论中正确的个数（    ） ①平分；②；③；④． A．个 B．个 C．个 D．个 75．（23-24八年级上·内蒙古乌海·期末）如图，等边中，D、E分别为、边上的点，，连接、交于点F，、的平分线交边上的点G，与交于点H，连接，下列说法：①；②；③；④；⑤，其中正确的说法有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 76．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，已知中，为钝角，分别以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于点G，交于点H，连接．下列说法不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．CF平分 D． 77．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·期末）如图，是的高，平分交于点E，过点B作，垂足为点F，并交于点G．若，则下列结论中：①；②；③；④．所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 78．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和、交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的结论是（    ） ①；②是等边三角形；③；④． A．①④ B．①②③ C．②③ D．①②③④ 79．（25-26八年级上·上海嘉定·期中）如图，已知，平分，点F、G分别在直线、直线上运动，那么在运动过程中，下列说法正确的有（   ） ① ②的值不变 ③以E、F、O、G为顶点围成的四边形的面积不变 ④长度不变 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 80．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，中，，于，平分，且于，与相交于点，是边的中点，连接与相交于点．下列结论正确的是（  ） ； ； 是等腰三角形； ； A． B． C． D． 81．（24-25七年级下·重庆江北·期末）由三角板我们可以知道，等腰直角三角形的两条直角边相等，两个锐角也相等，如图：中，，平分交于点 D；过点 D作交于点 F，过点 D 作交于点 E． 下列结论：①； ②是的高； ③； ④；⑤的周长与的长度相等，上述结论正确的个数是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 82．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知中为钝角，以边，所在直线为对称轴作的对称图形和，线段与相交于点F，交于G，交于H，连接．有如下结论：①若，则；②若，则；③平分；④．其中错误的结论是（   ）． A．① B．② C．③ D．④ 83．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，中，平分，线段垂直平分，交于点M，交于点O．若，，则点O到的距离为（    ） A． B． C． D． 84．（24-25七年级下·山东威海·期末）如图，的外角的平分线，交于点于点于点，下列结论中：①周长为；②；③连接，则垂直平分线段；④的面积为与的面积和；⑤．其中正确的是（   ） A．②③④⑤ B．①②④⑤ C．①③④⑤ D．①②③④⑤ 85．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，平分交于点F，平分交于点E，、相交于点G，交的延长线于点D，连接．当时，下列结论中正确的有（　　） ①若，则；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 86．（23-24七年级下·山东·期末）如图所示，在中，和的平分线，相交于点O，于点D，连接．下列结论：①平分；②；③若，则；④若的周长为24，，则．其中正确的是 ．（请填写序号） 题型七 与因式分解有关的新定义问题（共6小题） 87．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）小元学习多项式时研究了多项式的值为0的问题，发现当或时，多项式的值为0，并把使得A的值为0的x的值称为多项式A的零点．如：多项式的零点为，多项式的零点为和1． (1)多项式的零点为_____； (2)已知多项式有一个零点为1，求多项式B的另一个零点； (3)小元继续研究，及等，发现这些多项式有两个零点，且两个零点的和为2，他把这些多项式称为“2系多项式”．若多项式是“2系多项式”，求多项式M． 88．（25-26八年级上·山东东营·期中）材料一：对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，如图1，可以得到． 材料二：已知，求的值． 解：． 请你根据上述信息解答下面问题： (1)写出图2中所表示的数学等式____________． (2)根据图4，分解因式：____________． (3)已知，求的值． (4)如图，在长方形中，，点、是、上的点，且，分别以、为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为，则图中阴影部分的面积． 89．（24-25七年级下·重庆·期末）对于任意实数，，我们规定：，，例如：，． (1)填空： ；若，则 ； (2)若，且，求与的值； (3)若正整数，满足，，求的值． 90．（23-24八年级上·四川资阳·期末）阅读材料1：若一个正整数x能表示成（a、b是正整数，且）的形式，则称这个数为“风月同天数”，a与b是x的一个平方差分解．例如：因为，所以5 是“风月同天数”，叫做5的平方差分解． 阅读材料2：如果一个自然数各位上的数字从最高位到个位仅有两个数交替排列组成，那么我们把这样的自然数叫做“摆动数”．例如：自然数12121212从最高位到个位是由1和2交替出现组成，所以12121212是“摆动数”；再如：656，9898，37373，171717，…，都是“摆动数”． (1)在7和2中是“风月同天数”的是 ； (2)已知（x、y是正整数，k是常数，且），要使M是“风月同天数”，试求出符合条件的一个k，并说明理由； (3)对于一个三位数N，N的十位数字是9，个位数字与百位数字相等且小于或等于2，N既是“摆动数”又是“风月同天数”，请求出N的所有平方差分解． 91．（24-25七年级下·广东佛山·期末）材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数； 材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数． (1)请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数． (2)证明：任何一个和谐数一定是的倍数． (3)已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数． 92．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）定义：对于任意四个有理数，，，，定义一种新运算：． (1)求的值； (2)若，则______； (3)若有理数，满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点，，，分别在边，，，上，连接，交于点，且，将长方形分割成四个小长方形．若，，，，在①的条件下，请直接写出由线段，，，围成的图形的面积． 题型八 与分式有关的新定义问题（共11小题） 93．（25-26八年级上·湖南永州·期中）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整值”．如分式，，，则与互为“和整分式”，“和整值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和整分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和整值”； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整值”，若为正整数，分式的值为正整数． ①求所代表的代数式； ②求的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，且，若该关于的方程无解，求实数的值． 94．（25-26八年级上·重庆·期末）已知关于x的方程的两个解是；又已知关于x的方程的两个解是，，又已知关于x的方程的两个解是．小晰认真分析和研究上述方程的特征，提出了如下的猜想：关于x的方程的两个解是．并且小晰在老师的帮助下完成了严谨的证明（证明过程略）．小晰非常高兴，向其他同学提出了以下几个问题： (1)关于x的方程的解为 ； (2)关于x的方程的两个解分别为m，n，求的值； (3)关于x的方程的两个解是，若是正整数，求满足条件的整数k的值． 95．（25-26七年级上·上海·期末）阅读：如果两个分式A与B的和为常数k，且k为正整数，则称A与B互为“关联分式”，常数k称为“关联值”．如分式，，，则A与B互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，，判断A与B是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”； (2)已知分式，，C与D互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含x的式子表示）； ②若x为正整数，且分式D的值为正整数，则x的值等于_______； 96．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”； (2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数． ①求所代表的代数式；②求的值； (3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）． 97．（25-26七年级上·广东潮州·期中）数学活动：进位制的认识和探究 【阅读材料】如图，第十四届国际数学教育大会（简称ICME-14）于2021年在上海举办．会徽以中国文化中的“洛书”与“河图”为原本，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745，记为．八进制数是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是．（规定当时，）． 【任务探究】在现实生活中，我们用得最多的是十进制记数法，满十进一．但在计算机领域中，用到的更多的是二进制记数法．一个二进制数的各数位上的数字为0和1，满二进一．在计算机中输入一个十进制数89，经过计算机处理将其转换成一个二进制数： ． （1）任务1：将十进制数45转换成二进制数是__________．将二进制数转换成十进制数是__________． （2）任务2：二进制数的数位有两个数字0和1，满二进一．二进制数的加法法则如下： ，，，（读作“壹零”，意思是结果为0，并向高位进1）．这四条规则是二进制所有计算的基础． 根据二进制数加法法则，计算__________． 【拓展应用】任务3：如图1，是小明的准考证号的二维码的简易编码（黑色代表1，白色代表0），每一行都代表一个二进制的数字，将每一行的二进制数字转换成十进制数，依次组合到一起就是小明的十进制的十位准考证号2412072813． 图2是小辉的准考证号的二维码的简易编码，请通过计算求出小辉的十进制的十位准考证号． 98．（21-22八年级上·广东广州·期末）阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式 的值为零，则解得 又因为 所以关于x的方程 的解为 (1)理解应用：方程 的解为： (2)知识迁移：若关于x的方程 的解为 求 的值； (3)拓展提升：若关于x 的方程 的解为 求 的值． 99．（24-25八年级上·福建福州·期末）我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”，若不是，请说明理由；若是，请证明并求出关于的“雅中值”； (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是2，为整数，且“雅中式”的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值之和； (3)已知分式，（，，为整数），是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是1，求的值． 100．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“互动分式”． (1)判断下列分式是否为分式的“互动分式”（若“是”，填“”；若“不是”，填“”． ①，（   ）②，（   ）③，（   ） (2)小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为，则，，．请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”： (3)若是是“互动分式”，且关于的方程的解为正整数，为正整数，求代数式的最大值． 101．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）阅读材料；对于未知数为的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差”．例如：方程组的解为，由于，所以其解距为2；方程组的解为，由于，所以其解具有“单位差”． (1)判断方程组的解是否具有“单位差”并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组的解距是整数，写出所有满足条件的整数． 102．（24-25八年级下·四川乐山·期末）对于正数，规定．请解答下列问题． (1)计算：； (2)计算：； (3)探究是否存在正数使得成立，若存在，请求出的值． 103．（22-23八年级上·辽宁大连·期末）定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”． (1)已知分式，试说明是的“关联分式”； (2)小聪在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为，则， ∴，∴． 请你仿照小聪的方法求分式的“关联分式”． (3)①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______． ②若是的“关联分式”，则的值为______． 题型九 分母有理化问题（共4小题） 104．（24-25八年级上·四川成都·期末）阅读材料：像，、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；．解答下列问题： (1)与______互为有理化因式，将分母有理化得_____； (2)比大小______；（直接填，，，或中的一种） (3)求式子的值； (4)已知是正整数，，，，求． 105．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则，即， ∴，当且仅当时取等号，此时有最小值为； 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解：，当且仅当，∵，即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大；或者分子．分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：，这样的分式就是假分式；如，这样的分式就是真分式，假分数可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如 ， ． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当 时，式子取得最小值，最小值为 ； (2)分式是 （填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为 ；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有 个； (3)用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ (4)已知，当x取何值时，分式取得最大值，最大值是多少？ 106．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）观察下列一组式子的变形过程，然后回答问题： 例1：； 例2：，，； 利用以上结论解答以下问题： (1)_____； (2)利用上面结论，求的值． 107．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）已知，求的值． 小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： (1)化简：________； (2)比较大小：________（填“”，“”或“”） (3)计算：； (4)若，求的值． 题型十 全等三角形的辅助线问题（共23小题） 108．（24-25八年级上·吉林·期末）在直角三角形中，，直线经过点． (1)当时， ①如图1，分别过点，作直线于点，直线于点．求证：； ②如图2，过点作直线于点，点与点关于直线对称，连接交直线于点，连接．请写出线段，，三者之间的数量关系，并说明理由． (2)如图3，当，时，点与点关于直线对称，连接，．点从点出发，以每秒的速度沿路径运动到终点；点以每秒的速度沿路径运动到终点．分别过点，作直线于点，直线于点．点，同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为秒．当与全等时，直接写出的值． 109．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·期末）八年级（2）班同学在数学活动课上，张老师提出了如下问题： （1）如图1，是的中线，，，写出一个符合条件的的整数值． 【探究方法】 第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法： ①延长到E，使得； ②连接．通过三角形全等把转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为．从而得到的取值范围是______，所以的可能取值为______； 【方法总结】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形． 【问题解决】 （2）如图2，，，，连接，E是的中点，连接，若，求的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点F，，，求的面积． 110．（25-26八年级上·全国·期末）如图1，在四边形中，，，点，分别在四边形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系． (1)思路梳理 将绕点逆时针旋转至，使与重合，由，得，即点，，三点共线，易证，故，，之间的数量关系为 ； (2)类比引申 如图2，在图1的条件下，若点，由原来的位置分别变到四边形的边，延长线上，，连接，试猜想，，之间的数量关系，并给出证明． 111．（25-26七年级上·山西长治·期中）综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形中，，，，．动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，连接，．设运动时间为（单位；）． 【初步探究】 （1）如图①，若，求的值． 【拓展延伸】 （2）如图②，当点开始运动时，另一动点同时从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动． ①在，运动的过程中，若与全等，请求出此时和的值． ②如图③，当点开始运动时，动点同时从点出发，以的速度沿方向向点运动，连接，交于点．连接，当时，，请直接写出此时的值． 112．（24-25七年级下·广东河源·期末） 是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为 ． (1)当时，求的长； (2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)如图，连接，上是否存在点，使得 与 全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 113．（23-24七年级下·山东济南·期末）（1）如图1，C、A、E在一条直线上，，，于点，于点．求证：． （2）如图2，且，且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，，，连接、，且于点，与交于点， ①求证：； ②若，，求的面积． 114．（22-23八年级上·贵州黔东南·期末）【初步探索】（1）如图，在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小芮同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接，先证明：，再证明；可得出结论，他的结论应是 ； 【灵活运用】（2）如图，若在四边形中，，，，E、F分别是、上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立，说明理由． 【拓展延伸】（3）如图，在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，满足，请判断与的数量关系．请直接写出你的结论． 115．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如图所示，在中，，在上，且，平分交 于点，过点作的平行线交于点，连接并延长交于点． 求证： (1)； (2)； (3)． 116．（24-25七年级下·广东清远·期末）【问题提出】 （1）如图1，直线l经过点A， ，，分别过点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：； 【变式探究】 （2）如图2，点A、D、E分别在直线l上，如果，，求证：； 【拓展应用】 （3）如图3所示，在和中，，，，连接，，作边上的高，延长交DE于点．若，，求的面积． 117．（24-25七年级下·河南郑州·期末）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题： (1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明． (2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． (3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系． 118．（24-25七年级下·山西长治·期末）【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容： 如图1，、都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形．    【操作发现】 在图1中画出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后与其对应线段的数量关系和位置关系：_____； 【探究理由】 如图2，将绕点逆时针旋转得到，设、分别与交于点、，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由； 【问题解决】 如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，与交于点．若与关于直线对称，且，，则 ①_____°； ②线段的长是_____． 119．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）中，，，点从点以的速度沿着射线方向平移，到点停止平移，同时，点也以的速度从点沿着射线平移，到点停止平移． (1)如图，求证： ； (2)在直线上一定存在一个点，使和的面积始终相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点； (3)将沿着翻折至． 若，，则 ______（2）中所作的点填“经过”或“不经过”，此时，的度数为______； 探索、、之间的数量关系． 120．（24-25七年级下·四川达州·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2、图3），即“一线三等角”模型． 【探究问题】 （1）如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，则线段、、之间的数量关系为________． （2）如图3，将（1）中的直线绕点转动到与相交，其余条件不变．请问（1）中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【解决问题】 （3）如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值． 121．（24-25七年级下·陕西渭南·期末）【思路梳理】 （1）如图1，在中，，点E在上，连接，以为边作等腰三角形，连接，，且．则和全等吗？为什么？ 【问题解决】 （2）如图2，某景区内有一处大道，大道两侧均为花卉种植区，区域为月季种植区，且，区域为牡丹种植区，区域为菊花种植区，，均为观赏小道，点A在线段上，点E在线段上，，为等腰直角三角形，，，点F恰好在的延长线上，求之间的数量关系，请说明理由． 122．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是 (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； (3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 123．（24-25七年级下·广东梅州·期末）在通过构造全等三角形解决问题的过程中，有一种方法叫做倍长中线法． 【问题解决】 （1）如图1，是的中线，且，延长至点E，使，连接，可证得，其中判定全等的依据为： ． 【问题应用】 （2）如图2，是的中线，点E在的延长线上，平分，，试探究线段与的数量关系． 【拓展延伸】 （3）如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系和位置关系，并加以说明． 124．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）（1）如图1，和都是直角三角形，直角顶点都在直线l上，，其中，则有：． 阅读下面的解答过程并将①，②处补充完整． 理由：因为 所以， 所以（①______） 又因为 所以（②______） （2）在中，．点D是直线上一动点，分别过点A，B作直线的垂线，垂足分别为点E，F． ①如图2，点D在线段上，试说明：； ②如图3，点D在线段延长线上，若，则______； ③连接，若，的面积为4，直接写出的面积． 125．（24-25七年级下·云南临沧·期末）如图，在中，，高、相交于点，，且． (1)请说明的理由； (2)动点从点出发，沿线段以每秒个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动设点的运动时间为秒，当的面积为时，求的值； (3)在（2）的条件下，点是直线上的一点，且当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求的值． 126．（24-25八年级下·海南三亚·期末）知识生成：我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式，如图1可以得到，等式变形可得，基于此，请解答下列问题： (1)直接应用：若，直接写出的值为______； (2)类比应用：若，则_______；（直接写结果） (3)知识迁移：两个全等的直角三角形，，其中．如图2所示放置，其中，，在一直线上，连接，，若，，设，求四边形的面积的大小． 127．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，，.点从点出发沿折线以每秒1个单位长度的速度向终点运动；在点出发的同时，点从点出发沿折线以每秒3个单位长度的速度向终点运动.直线经过点，且、两点在直线的上方，分别过、两点作于点，于点.设点的运动时间为秒. (1)用含的代数式表示的长； (2)当、两点相遇时，求的值； (3)当与全等时，求的值； (4)当、两点的连线将的周长分成两部分时，直接写出的值. 128．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图1，在中，点、在边上，连接、，满足，且，点在上，连接交于点． (1)①线段与的位置关系是______； ②若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，过点作交于点．证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点，点，在边上，且，连接，，已知，，，，请直接写出的最小值． 129．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）【问题情境】在数学课上，同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动 点C为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且，．，直线与交于点F． 【探索发现】如图1，若，则_______ 【深入探究】如图2，若，则的度数为多少？ 【拓展提升】将图2中的绕点C顺时针旋转任意角度，的延长线与交于点F，如图3，试探究与a的数量关系，并加以说明理由． 130．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，在中，平分交于点，平分交于点交于点，连接． (1)求的度数； (2)判断与的大小关系，并证明； (3)若，求的值． 题型十一 角平分线性质和判定综合问题（共20小题） 131．（22-23八年级上·全国·单元测试）在中，点D、E分别在、边上，连接、，于F，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，于G，连接交于H，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长． 132．（25-26八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，点D在边上，，的平分线交于点E，过点E作，交的延长线于点F，已知，连接． (1)求的度数； (2)求证：平分∠ADC； (3)若，，，且，求的面积． 133．（25-26八年级上·江苏南京·期末）在学习“三线合一”时罗老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】定理：等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合． ①如图，在中，，平分，根据图用几何语言写出该定理： ∵，平分， ∴______，______． ②如图，在中，，，的周长为，的周长为，求的长； (2)【问题提出】罗老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后罗老师发现乐乐同学有以下解题思路，请完成命题的证明． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点，过点分别作的垂线，垂足分别为．求证：． 134．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______． 135．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，在中，是它的角平分线，求证：； (1)在图中完成上面的证明过程． (2)在图中，是的外角平分线，延长交于D，如果，，，求的长． 136．（22-23七年级下·广西梧州·期末）如图，于点B，于点D，，当平分时，是否为的角平分线?请说明理由． 137．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为，，求的长． 138．（24-25七年级下·江西抚州·期末）如图①是一个平分角的仪器，其中，． (1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由． (2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积． 139．（24-25七年级下·河南郑州·期末）（1）观察发现 如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______． （2）性质探究 如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由． （3）问题拓展 如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值． 140．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，动点P从点C出发，按的路径，以每秒的速度运动，设运动时间为t秒． (1)当时，求的面积． (2)t为何值时，线段是的平分线？ (3)请利用备用图2继续探索：当t为何值时，是以为腰的等腰三角形？（直接写出结论） 141．（23-24七年级下·重庆·期末）已知，A﹣B﹣E﹣C﹣D是一条折线段，且，点E为平行线间一点． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，的角平分线交直线于点F，过点B作于点H，过点E作交的角平分线于点G．若点E是位于线段右侧的一动点，试判断是否为定值，如果是定值，请求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)如图3，点F仍满足（2）问中的条件，射线交直线于点M，若为，点P为射线上一动点，连接，的角平分线交直线于点Q．设，，请直接写出α与β的数量关系． 142．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，中，平分交于点，且． (1)求证：； (2)点是射线上一点，连接交射线于点． 若，当时，与之间有何数量关系？请说明理由； 若，，当时，求线段的长． 143．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，已知在四边形中，是对角线，于E． (1)如图（1）若平分，，求证： (2)如图（2）若，，，比长度多6，求的长度． 144．（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图1，，点A，D在上，点B，C在上，平分，与交于点 (1)若，线段与相等吗？请说明理由． (2)如图2，在的条件下，，E为上一点，且，求的长． (3)如图3，过点D作于点F，H为上一动点，G为上一动点．当点H在上移动，点G在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，并说明理由． 145．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 146．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，，若点从点A出发，以每秒速度沿折线运动，设运动时间为秒． (1)线段的长度为______； (2)若点恰好在的角平分线上，求此时的值； (3)在点的运动过程中，直接写出为何值时，为等腰三角形． 147．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿射线以每秒2个单位长度的速度运动．设点P的运动时间为t秒（）． (1)尺规作图：作的角平分线；（不写作法，保留作图痕迹） (2)若点P在的角平分线上，求t的值； (3)在整个运动中，求出是等腰三角形时t的值． 148．（24-25八年级下·山西晋中·期末）阅读下列材料并完成任务． 三角形的旁心 三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点O，则点O是的一个旁心． 旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心O分别作于点D，交的延长线于点E，交的延长线于点F，则．下面是部分证明过程： ∵平分，，， ∴．（依据1） 同理可得，． ∵，∴（依据2）∴ …… 任务： (1)上述证明过程中的“依据1”是______；“依据2”是______； (2)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； (3)如图，在中，，点是的一个旁心且在边的下方． ①利用尺规作出旁心；（保留作图痕迹，不写作法） ②若，，则=_______． 149．（24-25七年级下·广东深圳·期末）几何探究： 已知：利都是等边三角形，连接，交于点． (1)如图1，①判断与的数量关系：_______________．______________： ②连接与的数量关系是：______________； (2)如图2，H，G分别是，的中点， ①当时，______________； ②当发生变化时，请探究的度数是否发生变化，并说明理由： (3)连接，求的值． 150．（24-25七年级下·陕西西安·期末）在学习等腰三角形的性质时，同学们展开多维度探索： (1)基础应用：在中，的周长为的周长比的周长少12，则的长为______． (2)逆向探究：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们有以下两种解题思路，请任选其中一种，完成证明． 已知：在中，平分，且点是的中点． 求证：． 方法一：如图2，延长到点，使，连接． 方法二：如图3，过点分别作的垂线，垂足分别为E，F． (3)拓展综合：如图4，在中，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，连接，设的面积分别为，试求的最大值． 1．已知关于x的分式方程．若分式方程无解，则（   ） A．0 B． C． D．或 2．将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：．若a，b为实数且满足，整式，求整式M的最小值为 ． 3．若是整数，且是自然数，则的值是 ． 4．如图，在中，，，，点为延长线上一点，连接，若，点和点分别是边和边上的动点，当最小时，的长度为 ． 5．如图，在中，．将沿斜边翻折得到，点、分别是射线、射线上的点，且． (1)初步探索：如图1，点在线段上，试探究线段、、之间的数量关系． 小华同学探究此问题的思路是：延长至点，使得，连接， 先证明，再证明，请你根据该思路探究、、之间的数量关系，并说明理由； (2)探索延伸：如图2，点在线段的延长线上，、、之间的数量关系是__________ (3)灵活运用：在中，若，，，，则的周长为__________． 6．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 7．如图，在中，，，为的中线，为上一点，连结，交于点，作，垂足为点，交于点，连结． (1)求证：； (2)若平分，求的值； (3)若是中点，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 / 57 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $