1 平均变化率和瞬时变化率（教学课件）数学北师大版选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦平均变化率与瞬时变化率，通过汽车行驶速度、商品价格变化等生活实例导入，从物体运动路程、体温变化等实例分析抽象出平均变化率定义，再通过缩短时间间隔逼近瞬时变化率，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以小球下落、合金棒线密度等物理情境为载体，通过“观察实例—抽象概括—题型应用”流程，发展数学抽象、数学运算核心素养。课堂小结清晰总结定义及联系，帮助学生理解概念本质，教师可直接使用结构化内容提升教学效率。

1 平均变化率与瞬时变化率 第二章 导数及其应用 北师大版选择性必修第二册·高二 本章导读 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值(最值) 利用导数解决最值问题 认识实际问题中的导数的意义 导数的概念及其几何意义     导数应用 导数在研究函数性质中的应用 导数在解决实际问题中的应用 导数的计算 导数的加法与减法法则 导数的乘法与除法的计算 简单复合函数的求导法则 变化的快慢与变化率 平均变化率 瞬时变化率 本章导读 在日常生活中，我们有时会得到这样的信息：中国研发的歼 20 战斗机的最大飞行速度是3 060 km/h. 据某气象台报道，某市在 20 日凌晨1:00~2:00时降雨强度达72 mm/h；局部地区瞬间降雨强度达99mm/h. "飞行速度""降雨强度"刻画的都是瞬时变化的情况，也是数学中导数概念的原型．导数是数学中最重要、最基本的概念之一，在日常生活和科学研究中有广泛的应用． 本章将讨论导数概念及其几何意义，学习导数的运算，解决相关的应用问题，发展数学抽象、直观想象、数学运算等核心素养． 学 习 目 标 1 2 3 理解平均变化率的定义，能结合实例说明其实际意义.  掌握平均变化率的计算公式，会求函数在给定区间上的平均变化率. 理解瞬时变化率的概念，感悟从平均变化率逼近瞬时变化率的思想（重点、难点）. 读教材 阅读课本P50-P55，5分钟后完成下列问题： 1.什么是平均变化率？它的计算公式是怎样的？ 2.什么是瞬时变化率？它的计算公式又是怎样的？ 3.瞬时变化率与平均变化率有什么联系与区别？ 我们一起来探究“平均变化率与瞬时变化率”吧！ 新课引入 在生活中，我们常常会关心“变化快慢”的问题： 这些问题都涉及“变化率”，有的是“平均”的变化快慢，有的是“某一时刻”的变化快慢。今天，我们就从最基础的平均变化率开始，逐步探索瞬时变化率的奥秘. ①汽车在1小时内行驶了60公里，它的行驶速度是多少？ ②某商品3个月内价格从100元涨到130元，价格平均每月涨多少？ ③火箭发射瞬间的速度，与它在上升过程中1分钟内的平均速度有什么不同？ 学习过程 01 02 目录 1 平均变化率 2 瞬时变化率 03 3 题型训练 实例分析 【实例1】物体从某一时刻开始运动，设表示此物体经过时间走过的路程，显然是时间的函数，表示为. 在运动的过程中测得了一些数据，见下表. 物体在到和到这两段时间内，哪一段时间运动得快？如何刻画物体运动的快慢？ 0 2 5 10 13 15 0 6 9 20 32 44 实例分析 解：通常用平均速度(即路程相对于时间的平均变化率)来比较运动的快慢. 在这段时间内，物体的平均速度为； 在这段时间内，物体的平均速度为. 显然，物体在后一段时间比前一段时间运动得快. 实例1中，用一段时间内物体的平均速度刻画了物体运动的快慢，当时间从变为时，物体所走的路程从变为,这段时间内物体的 平均速度=. 实例分析 【实例2】某病人吃完退烧药，他的体温变化如右图. 比较时间从0min到20min和从20 min到30 min体温的变化情况，哪段时间体温变化较快？如何刻画体温变化的快慢？ 解：根据图象可以看出：当时间从0min到20min时，体温从39℃变为38.5℃，下降了0.5℃; 当时间从20min到30 min时，体温从38.5℃变为38℃，下降了0.5℃. 两段时间下降了相同的体温，而后一段时间比前一段短，所以体温从20 min到30 min这段时间下降得比从0min到20min这段时间快． 实例分析 也可以比较在这两段时间内，体温的平均变化率（单位时间内体温的平均变化量），于是当时间从 0 min变到20min时，体温相对于时间r的平均变化率为 实例2中，用一段时间内体温的平均变化率刻画了体温变化的快慢，当时间从变为时，体温从变为，这段时间内体温的 平均变化率=. 当时间从20 min变到30min时，体温相对于时间的平均变化率为 这里出现了负号，它表示体温下降了．显然，绝对值越大，下降得越快．因此，体温从20min到30 min这段时间下降得比0min到20min这段时间要快． 抽象概况 对一般的函数说，当自变量变为时，函数值从变为它在区间的 平均变化率 通常我们把自变量的变化称作自变量的改变量,记作,函数值的变化函数值的改变量，记作.这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 平均变化率 既可以大于0，也可以小于0. 定义式 平均变化率的实质 牛刀小试 练1 若函数,则函数从到的平均变化率为（ ） A.0 B.2 C.3 D.6 解析：故选. 练2 已知函数,求在区间上的平均变化率. 解析： 函数在区间的平均变化率为 学习过程 01 02 目录 1 平均变化率 2 瞬时变化率 03 3 题型训练 实例分析 上面用平均速度刻画了物体在一段时间内运动的快慢. 在实际中，还常常要考虑物体在某一瞬间的速度.比如，我们看到汽车在行驶过程中不断变化的速度表，每个时刻指针指向的数字就是汽车在该时刻的瞬时速度. 如何理解瞬时速度？它与平均速度有何关系呢？ 实例分析 【实例1】一个小球从高空自由下落，其下落的高度(单位:)与时间(单位:)的函数关系为,其中，为重力加速度(取9. 8 m/s2).估算小球在这个时刻的瞬时速度. 分析 根据平均速度公式可以求出从5 s到6 s这段时间内小球的平均速度 . 有时用它来近似表示小球在s这个时刻的瞬时速度. 为了提高精度，可以缩短时间间隔，如求出5s到5.1s这段时间内的平均速度 , 用它来近似表示小球在这个时刻的瞬时速度，这样更接近实际情况.如果时间间隔进一步缩短,那么可以想象，平均速度就更接近小球在这个时刻的瞬时速度. 实例分析 解：记计算出从到的平均速度，得到以下表格. 时间的改变量 高度的改变量 平均速度 5 5.1 0.1 4.949 49.49 5 5.01 0.01 0.49049 49.049 5 5.001 0.001 0.0490049 49.0049 5 5.0001 0.0001 0.004900049 49.00049 5 … … … … 从表可以看出，当s时，平均速度趋于49. 实例分析 时间的改变量 高度的改变量 平均速度 5 4.9 4.851 48.51 5 4.99 0.01 0.48951 48.951 5 4.999 0.001 0.0489951 48.9951 5 4.9999 0.0001 0.004899951 48.99951 5 … … … … 从表可以看出，当s时，平均速度趋于49. 因此，我们可以认为小球在这个时刻的瞬时速度为49 m/s.小球的瞬时速度为49 m/s的物理意义是:如果小球保持这一时刻的速度进行运动,每秒将要运动49 m. 实例分析 【实例2】如右图, 一根质量分布不均匀的合金棒，长为10 m.设(单位:m)表示OX这段棒的长,(单位:kg)表示OX这段棒的质量，它们满足以下函数关系： 估计该合金棒在处的线密度(物理学的“线密度”定义为单位长度的质量). 分析 我们还是从一段合金棒的平均密度开始考虑.一段合金棒的质量除以这段合金棒的长度，就是这段合金棒的平均线密度. 求出2 m到3 m这段合金棒的平均线密度 它可以近似表示处合金棒的线密度. 实例分析 与实例1类似，为了提高精度，可以缩短计算线密度所需距离间隔，如取原长度的，即求出2m到2.1m这段合金棒的平均线密度 用它来近似表示合金棒在处的线密度． 如果合金棒的长度进一步缩小，那么可以想象，平均线密度就会更接近合金棒在处的线密度． 实例分析 m 长度的改变量 质量的改变量 平均线密度 2 2.1 0.0700 0.700 2 2.01 0.01 0.007062 0.706 2 2.001 0.001 0.0007070 0.707 2 2.0001 0.0001 0.00007071 0.707 2 … … … … 解:记，计算出从到的平均线密度，得到下表. 可以看出，当从"右侧"趋于时，平均线密度趋于0.707 kg/m. 与实例1类似，同学们可以动手计算当从"左侧"趋于时的平均线密度，会发现平均线密度也趋于0.707 kg/m. 据此，可以认为合金棒在处的线密度为0.707 kg/m. 抽象概况 对于一般的函数，在自变量从变到的过程中，若设,,则该函数的平均变化率为 . 如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在的瞬时变化率.瞬时变化率刻画的是函数在某一点处变化的快慢. 瞬时变化率 定义式 学习过程 01 02 目录 1 平均变化率 2 瞬时变化率 03 3 题型训练 题型训练 题型一 平均变化率 【练习1】在附近，取，在四个函数①、②、③、④中，平均变化率最大的是( ) A.④ B.③ C.② D.① 解时，①在附近的平均变化率 ；②在附近的平均变化率；③在附近的平均变化率；④在附近的平均变化率，,故应选. 题型训练 题型一 平均变化率 1.求函数平均变化率的三个步骤 第一步,求自变量的增量. 第二步,求函数值的增量. 第三步,求平均变化率 2.求平均变化率的一个关注点 求点附近的平均变化率,可用的形式. 题型训练 题型一 平均变化率 【练习2】某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等.在各时段内平均增长速度分别为，，，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( ) A. B. C. D. 解设三个连续时段为，，，各时段的增长量相等， 设为M，则， 整个时段内的平均增长速度为. 故选：. 题型训练 题型一 平均变化率 【练习3】水以匀速注入如图容器中，试找出与容器对应的水的 高度与时间的函数关系图象（　　） A. B. C. D. 解始阶段高度增加的慢，以后高度增加的越来越快，因此与图象越来越陡峭，越来越大，选. 题型训练 题型二 瞬时变化率 【练习4】有一机器人的运动方程为，是时间，是位移)，则该机器人在时刻时的瞬时速度为( ) A.7 B.14 C.21 D.28 解:该机器人在时刻时的瞬时速度为 . 故选：. 题型训练 题型二 瞬时变化率 1.求物体运动的瞬时速度 （1）求位移增量Δ. （2）求平均速度 （3）求趋于0时， 题型训练 题型二 瞬时变化率 【练习5】若函数在处的瞬时变化率是，则( ) A. B. C.1 D.3 解: 当时， 故选：. 课堂小结   1.函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 2.函数的平均变化率为 . 如果当趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是在的瞬时变化率. 3.平均变化率反映某一区间上变化的快慢， 瞬时变化率反映某一点处的变化快慢. 感谢聆听! $