2.2 导数的概念及其几何意义 课件-2025-2026学年高二下学期数学北师大版选择性必修第二册

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 选择性必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第二章 导数及其应用 第2节 导数的概念及其几何意义 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解导数概念的实际背景． 2、会用导数的定义求简单函数在某点处的导数． 3、理解导数的几何意义并会求曲线的切线方程. 1、掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数． 2、理解导数的几何意义． 3、会求曲线的切线方程. 1、掌握导数的概念，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数． 2、理解导数的几何意义． 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 1、平均变化率：对一般的函数y=f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2), 它在区间［x1,x2]的 平均变化率 =________________ 把自变量的变化x2-x1称作自变量x的改变量，记作△x, 把函数值的变f(x2)-f(x1)称作函数值y的改变量,记作△y. 这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即 =_________________ 平均变化率刻画的是函数值在区间［x1,x2]上变化的快慢. 3 新 知 引 入 韦 达 2、瞬时变化率：对于一般的函数y=f（x），在自变量x从x0变到x1的过程中，若设△x=x1-x0,△y=f(x1)-f(x0),则该函数的平均变化率为 . 如果当△x趋于0时，平均变化率趋于某个值，那么这个值就是f（x）在点x0的瞬时变化率. 瞬时变化率刻画的是函数在____________处变化的快慢. 某一点 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x）在点x0处的导数,通常用符号f＇(x0)表示,记作 这个值称为：当x1趋于x0时，平均变化率的极限. 注意：1、 2、 3、 f＇(x)中，右上角的符号是“＇”，不是“1”. f＇(x)不能写成f(x)＇. 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、一条水管中流过的水量y（单位:m3）与时间x（单位:s）的函数关系为y = f(x)= 3x.求函数y = f(x)在x=2处的导数f＇(2)，并解释它的实际意义. 解：当x从2变到2+△x时，函数值从3×2变到3(2+△x), 函数值y关于x的平均变化率为： = = =3(m3/s). 当x趋于2,即△x趋于0时，平均变化率总是3,所以f＇(2)=3 m3/s. 导数f＇(2)表示当x=2s时水量的瞬时变化率，即水流的瞬时速度. 也就是说,如果水管中的水保持以x=2 s时的瞬时速度流动的话,每经过1 s,水管中流过的水量为3 m3. 6 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、一个小球沿着某一个斜面自由滚下，测得滚落的垂直距离h(m)与时间t(s)之间的函数关系为h=2t2-1，求函数在t=4时的导数h＇(4)，并解释它的实际意义。 解：根据导数的定义，得 h＇(4) = = = (16+2△t) = 16 导数h＇(4)表示当t=4s时小球滚落的垂直距离的瞬时变化率，即小球的瞬时速度. 也就是说,如果小球保持以t=4s时的瞬时速度滚落的话,每经过1 s,滚落的垂直距离16 m. 7 典 例 引 路 柯 西 例2、一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作，生产的食品量y(单位:kg)与其工作时间x(单位:h)的函数关系为y=f(x).假设函数y=f(x)在x=l和x=3处的导数分别为f'(1)=4和f'(3) =3.5,试解释它们的实际意义. 解：f'(1)=4表示该工人上班后工作1h的时候，其生产速度（即工作效率）为4 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度,那么他每时可以生产4 kg的食品. f'(3) =3.5表示该工人上班后工作3 h的时候，其生产速度为3.5 kg/h.也就是说，如果保持这一生产速度，那么他每时可以生产3.5 kg的食品. 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 练2、服药后，人体血液中药物的质量浓度c(单位:μg/mL)是时间t(单位:min)的函数 c=c(t).假设函数c=c(t)在t=10和t=100处的导数分别为c'(10) = l.5和c'(100) = -0.6,试解释它们的实际意义. 解：c'(10) = l.5表示服药后10 min时，血液中药物的质量浓度上升的速度为1.5 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中药物的质量浓度将上升 1.5 μg/mL. c'(100)= -0.6表示服药后100 min时，血液中药物的质量浓度下降的速度为 0.6 μg/(mL·min).也就是说，如果保持这一速度，每经过1 min,血液中药物的质量浓度将下降 0.6 μg/mL. 9 典 例 引 路 牛 顿 例3、（1）若f＇(x0)=-3,则 =_______ 解：根据导数的定义得 =f＇(x0) = -3 （2）若f＇(1)=1，则=_______ 解： = = f＇(1) = （3）若f＇(x0)=a，则 = _________ 解：由题意得a=f'(x0)= = ∴ = 2a 10 同 步 练 习 黎 曼 练3、(1)设函数f(x)在x=1处的导数为3，则=_____ 解：根据导数的定义得 = f＇(1) = 3 （2）已知函数y=f(x),若f＇(1)=1，则=_______ 解：= = f＇(1) = （3）已知f＇(2)=3，则=_________ 解： = = f'(2) = 4 11 学 习 新 知 阿基米德 （公元前287年—公元前212年） 《阿基米德全集》 导数的几何意义 设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线, 且函数y=f(x)在区间[x0,x0+△x]的平均变 化率为 = = ， 它是经过A(x0,f(x0))和B(x0+△x,f(x0+△x)) 两点的直线的______.这条直线称为曲线y=f(x) 在点A处的一条________. 斜率 割线 12 学 习 新 知 阿波罗尼奥斯 （约公元前200年） 《圆锥曲线论》 导数的几何意义 如图,设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线。从图象上可以看出：当△x取不同的值时，可以得到不同的割线。 当△x趋于0时，点B将沿着曲线y=f(x)趋于点A,割线AB将绕点A转动趋于直线l.称直线l为曲线y=f（x）在点A处的切线，或称直线l和曲线 y=f(x）在点A处相切.该切线的斜率就是函数 y=f(x)在点x0处的导数f＇(x0). 13 学 习 新 知 拉格朗日 导数的几何意义 函数y=f(x)在x0处的导数f＇(x0),是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. 函数y=f(x）在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义. 注意：1、 f＇(x0)是函数图象上的点（x0,f(x0))处的切线的斜率。 14 典 例 引 路 狄利克雷 例4、已知函数y=x2及自变量x0=-2. （1）分别对△x=l，0.5，0.1，求y=x2在区间[x0,x0+△x]上的平均变化率，并画出过点(x0,f(x0))的相应割线； （2）求函数y=x2在x0处的导数，并画岀曲线y=x2在点(x0,f(x0))处的切线. 解：（1）当△x=l,0.5,0.1时， 区间[xo,xo+△x]相应为［-2,-1]， ［-2,-1.5]，［-2,-1.9]， y=x2在这些区间上的平均变化率分别为 , , . 如图,其相应割线分别是经过点 （-2,4）和点（-1,1）的直线l1,经过点（-2,4）和点（-1.5,2.25）的直线l2,经过点（-2,4）和点 （-1.9,3.61）的直线l3. 15 典 例 引 路 贝叶斯 例4、已知函数y=x2及自变量x0=-2. （1）分别对△x=l，0.5，0.1，求y=x2在区间[x0,x0+△x]上的平均变化率，并画出过点(x0,f(x0))的相应割线； （2）求函数y=x2在x0处的切线方程，并画岀曲线y=x2在点(x0,f(x0))处的切线. 解：（2）y=x2在区间［-2,-2+△x］ 上的平均变化率为 . 令△x趋于0，知函数y=x2在x0= -2处的导数为-4. 因此，曲线y=x2在点（-2,4）处的切线 为经过点（-2,4）,斜率为-4的直线l,方程为y-4=-4(x+2)即y=-4x-4.如图. 16 同 步 练 习 庞加莱 练4、求函数y=f(x)=2x3在x=l处的切线的方程.并画出相应的切线。 解： 6+6△x+2. 令△x趋于0,可知y=2x3在x=l处的导数为f＇⑴=6. ∴函数y=2x3在点（1,f（1））即（1,2）处的切线斜率为6, ∴函数y=f(x)=2x3在x=l处的切线方程为y-2=6(x-1),即y=6x-4.切线如图. 17 典 例 引 路 皮 亚 诺 例5、过点P(1,-3)且与曲线f(x)=x2相切的直线的方程为_______． 解：设切点坐标为(x0,y0)，则有y0=x02． f＇(x0)= = =(2x0+△x)=2x0 ∴过（x0,y0)的切线方程为y-y0=2x0(x-x0)即y-x02=2x0(x-x0) 又∵切线过P(1,-3) ∴把P(1,-3)代入切线方程得-3-x02=2x0(1-x0) 解得x0=-1或x0=3 ∴当x0=-1时，切线方程为 y-1=2×(-1)(1+1)即y=-2x-1 当x0=3时，切线方程为 y-9 =2×3×(x-3)即y=6x-9 已知点不在曲线上的切线问题 18 同 步 练 习 莱布尼兹 练5、已知曲线f(x)=2x2-7，则曲线过点P(3,9)的切线方程为_____. 解：设切点坐标为(x0,y0)，则有y0=2x02 -7． f＇(x0)= = =(4x0+△x)=4x0 ∴过（x0,y0)的切线方程为y-y0=4x0(x-x0)即y-(2x02 -7)=4x0(x-x0) 又∵切线过P(3,9) ∴把P(3,9)代入切线方程得9-(2x02 -7)=4x0(3-x0) 解得x0=2或x0=4 ∴当x0=2时，切线方程为 y=8x-15 当x0=4时，切线方程为 y=16x-39 19 典 例 引 路 华罗庚 例6、（1）已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y=-2x+1，则f(1)+f＇(1)=________． 解：∵函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程是y=-2x+1 ∴f＇(1) = -2 , f(1) = -2×1+1 = -1 ∴ f(1)+f＇(1)=-3 （2）如图，直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线，则f(4)+f＇(4)的值等于______ ． 解：由函数的图像可得f(4)=5，直线l过点(0,3)和(4,5)，则直线的斜率k= 又由直线l是曲线y=f(x)在点(4,f(4))处的切线，则f＇(4)= ∴f(4)+f＇(4) = 20 同 步 练 习 陈景润 练6、（1）已知函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-2x+8，则f(5)+f＇(5)=___． 解：∵函数y=f(x)的图像在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-2x+8 ∴f＇(5) = -2 , f(5) = -2×5+8 = -2 ∴ f(1)+f＇(1) = -4 (2)如图，直线l是曲线y=f(x)在x=5处的切线，则f(5)+f＇(5)=___． 解:∵直线l过点(0,-5)，(5,5)， ∴直线l斜率 k=2 又∵直线l是y=f(x)在x=5处的切线 ∴f＇(5)=2 又∵f(5)=5 ∴f(5)+f＇(5)=7 21 全 课 总 结 一、导数的概念 二、导数的几何意义 22 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 23 $