寒假作业05 函数的性质（巩固培优）高一数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 函数的性质 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 4.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 注意： （1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. （2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. （4）函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 5.对称性的三个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 定义法判断函数单调性 一、解答题 1．已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，的值． (2)证明：；并判断在上的单调性，并给出证明； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，=1 (2)证明见解析，在上单调递减 (3) 【分析】（1）利用赋值法，令，，由求；再令求； （2）由（1）得到，再设，结合证明；利用函数的单调性定义，任取，且，令，，得到判断； （3）设函数，由，转化为，利用单调性求解. 【详解】（1）令，，得． 由题意得，所以，得． 令，得，得． （2）证明：由（1）得． 当时，，，得． 又，当时，，所以． 在上单调递减． 证明：任取，且，令，，由题设可得： ，即． 因为，所以，得． 由（2）可知，由，得，所以在上单调递减． （3）设函数，因为在上单调递减，所以在上单调递减， 由，得． 由，得， 则等价于， 所以，得． 故不等式的解集为． 2．定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)用定义证明在上是个增函数； (3)当方程有两个解时，求取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据条件，通过赋值，即可求解； （2）根据条件，利用函数单调性的定义，即可求解； （3）令，根据条件，将问题转化成有两个解，从而得，再利用（2）中结论及题设条件，即可求解. 【详解】（1）因为，令，得到， 所以. （2）任取，且， 则， 因为，则，又当时，， 所以，即，所以在上是个增函数. （3）令，则，由， 得到， 又因为，令，得到，所以， 则，即， 令，则， 由（2）知在上是个增函数，又方程有两个解， 所以，即，所以或， 由题及（1）知，则，， 所以或，则或， 所以取值范围为. 3．已知函数． (1)求； (2)判断在上的单调性并用定义法证明； (3)求函数的值域． 【答案】(1)； (2)在上单调递减，证明见解析 (3). 【分析】（1）通过换元法将转化为的表达式； （2）利用单调性定义作差比较，判断在上的单调性； （3）结合的取值范围推导的取值范围，得到值域. 【详解】（1）将化为，令，则，故. （2）在上单调递减，证明如下： 取任意且， . 因，故,，且， 得，即，故在上单调递减. （3）由，得，故，则的值域为. 题型二 利用函数单调性求最值 一、单选题 1．已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数的最值计算求参. 【详解】因为函数的最小值为0，且当时，， 所以当时，的最小值为0． 在上单调递增，所以． 故选：A. 二、解答题 2．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）应用分类讨论解含参一元二次不等式即可； （2）由题设，结合二次函数的性质，讨论对称轴与已知区间的位置关系求最小值. 【详解】（1）由题设， 当时，，则解集为， 当时，无解，则解集为， 当时，，则解集为； （2）由题设，其图象开口向上且对称轴为， 当，即时，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则最小值 当，即时，在上单调递减，则最小值. 综上，. 3．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点. (1)若点，求该一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求出实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)本题主要利用待定系数法求解一次函数解析式与反比例函数解析式，直接代入点坐标就可求出相应解析式. (2)令函数，结合题意，建立不等式求解即可. 【详解】（1）因为一次函数过点和点， 代入得方程组：，解得， 所以一次函数解析式为：. 因为反比例函数过点， 代入得：， 所以反比例函数解析式为：. （2）由（1）可知反比例函数为， 一次函数过点，得()， 设函数， 由题意可知，，有恒成立，即成立， 当时，一次函数在区间上单调递增，反比例函数在区间上单调递减， 所以函数在区间上单调递减， 所以时，函数有最小值，即， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型三 分段函数 一、多选题 1．已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据二次函数和一次函数的性质，结合最值的定义、单调递减函数的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为，正确； B：二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递减，此时， 当时，一次函数单调递减，此时， 所以在上不是单调递减的，不正确； C：由上可知：当时，一次函数单调递减，此时，此时函数没有最值； 当二次函数的对称轴为，且开口向下， 当时，二次函数单调递增， 当时，二次函数单调递减， 当时，函数有最大值，所以的最大值为2，正确； D：当时，（舍）或， 当时，， 综上所述：的解集为，正确， 故选：ACD 二、填空题 2．设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对的范围分类讨论，结合分段函数的最小值求解. 【详解】因为, 当且时， 在上单调递减，在上单调递增， 所以在上的最小值为，而不是，这与矛盾，不符合题意，所以. 因为二次函数的图象的对称轴为直线， 当，即时，则函数在上单调递增， 根据题意，有，此时，； 当，即时，当时，， 由题意可得，整理可得，解得，此时不存在. 综上所述，实数的取值范围是． 故答案为：. 3．设则函数的最大值为 . 【答案】2 【分析】把表示为分段函数，结合函数的单调性求出的最大值. 【详解】，则或， 即或，解得或， 所以， 所以当时，单调递增，所以的最大值为; 当时，在上单调递减， 在上单调递增，又，， 所以此时，无最大值； 当时，单调递减，所以的最大值为. 综上可知：的最大值为2，当时取“”. 故答案为：2 题型四 函数奇偶性的定义与判断 一、单选题 1．已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】由题意可得，，则，从而可判断函数的周期性，再应用赋值法计算求解. 【详解】因为为奇函数， 所以，即， 因为为偶函数， 所以，所以， 所以， 所以4为的一个周期， 因为，且，所以， 所以， 又因为，且4为的一个周期，令，则，所以， 所以， 故选：C. 2．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数定义域，进而得到为奇函数，结合特殊点函数值，得到答案. 【详解】的定义域为， ，所以为奇函数，排除A； ，，，显然，故， 故BC错误，D正确. 故选：D 二、解答题 3．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)为偶函数. (3) 【分析】（1）代入两函数值计算，即得答案； （2）根据偶函数的定义判断即可； （3）判断函数的单调性，结合偶函数性质可得不等式，求解即得. 【详解】（1）由题意得，则 ，解得. （2）由（1）可得， 其定义域为，关于原点对称， 且， 故为偶函数. （3）当时，且在上单调递增， 由复合函数单调性可知在上单调递减， 又因为偶函数，故在上单调递增， 故等价于， 两边平方可得，即， 解得. 题型五 函数奇偶性的应用 一、单选题 1．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 【答案】B 【分析】首先根据偶函数的定义可得：，进而根据已知条件求得函数的周期，最后借助函数周期性求解函数值即可. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以.又因为， 所以，所以，所以的周期为. 因为时，，所以. 故选：B. 2．已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】根据奇函数与偶函数的性质，可得函数的对称性，可得答案. 【详解】由函数为偶函数，则轴为该函数图像的一条对称轴； 由函数为奇函数，则原点为该函数图象的一个对称中心. 由函数的图象先向右平移一个单位，再向上平移一个单位， 可得到函数的图象，则是函数的一个对称中心. 所以直线是函数图象的对称轴，是函数图象的对称中心， 因为是函数图象的对称中心，所以，则， 将代入中得到，解得， 所以. 故选：D. 3．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】解法一：根据关于对称即可求解； 解法二：特值法，令即可求解. 【详解】解法一：由于,可得关于点对称，故， 解法二：特殊值法：可令，， 当时，由基本不等式（当且仅当时取等号），可得， 同理可得当时，的最小值为。故当时，的最大值，最小值， 故 故选：B. 题型六 对称性和周期性 一、单选题 1．已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．1 B．3 C．5 D． 【答案】A 【分析】先令得，再令得，从而，即的图象关于对称，进而利用对称性及的最小值求解的最大值即可. 【详解】令，得，所以， 令，得，所以， 所以， 所以函数的图象关于对称， 故由的最小值为，得的最大值为. 故选：A 2．若对，有，若有最大值和最小值，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】令，由可得为奇函数，再给赋值可得，从而可得，设在上的最大值为，最小值为，进而分别证得和，从而，所以得到的最大值与最小值之和为6. 【详解】函数的定义域由决定，为. 令，则，，即为奇函数， 令，可得，令，则，可得， 因此，. 设在上的最大值为，最小值为，则存在使得. 由，及，可得，即. 又存在使得，由，及，可得，即. 综上，函数的最大值与最小值之和为6. 故选：B． 二、多选题 3．已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．以6为周期 D． 【答案】ACD 【分析】通过赋值法求出及多个函数值，判断函数的奇偶性；通过计算周期内的函数值确定周期；利用周期性计算求和结果，进而判断各选项的正确性. 【详解】令，得（），得，选项A正确. 令，得，即，是偶函数，选项B错误. 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得； 令，得，得， 以此类推，可知在整数点上是以6为周期的周期函数， 下面严格说明周期为6，由题设可得， 进而可得， 所以， 所以是以为周期的函数，选项C正确. 一个周期内和为； 余3， 故，选项D正确. 故选：ACD 三、填空题 4．已知函数是定义域为的奇函数，函数是偶函数，,则 ． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性，即可求得函数的周期，利用函数的周期性，即可求得函数值． 【详解】 为偶函数，, 又 是定义域为的奇函数， ,且 , , , , , 是一个周期为20的周期函数, , . 故答案为：. 一、单选题 1．已知定义域为的函数，，，对任意的实数a，b均有，且，不恒为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】假设特定值可以求出为奇函数，再根据，可求出，代入到，再对进行赋值继而可以求出为周期函数，则可得出答案. 【详解】根据题意可令，则， 令，由， 可得，则， 所以可知为奇函数， 由，令，可得， 将其代入中， 可得， 令，代入到， 可得， 令，代入，即 若，因，可得， 令，代入到，可得 令代入, 可得，即，又因不恒为0， 所以可知，则， 令，代入到 可得，因为， 代入可知， 令代入可得 又因为奇函数进而可得， 令，代入到，可得， 所以可得， 则是周期为奇函数，所以. 故选： 2．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换主元法，化为关于的一元一次不等式，结合对应一次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】由题意知，，恒成立， 设函数，即，恒成立. 则，即，解得，或. 故选：C 3．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，根据条件判断出的奇偶性和单调性，然后将问题转化为“”，结合的函数性质列出不等式组求解出结果. 【详解】由题意知， 令， 且的定义域为关于原点对称，所以是奇函数， 因为为上的减函数，为上的减函数， 所以函数在上单调递减，故函数在上单调递减， 又由，得， 所以， 所以任意恒成立，即对任意恒成立， 若，可得，此时恒成立，满足要求； 若，则需，解得， 综上所述，的取值范围是， 故选：B. 4．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用中心对称的性质列式求出，进而求出目标值. 【详解】函数， 则， 由函数的图象关于点对称，得恒成立， 即恒成立， 因此，解得，所以. 故选：C 二、填空题 5．已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，可得函数的图象关于对称，再利用复合函数单调性求出函数在上的单调性，再借助性质解不等式. 【详解】因为，所以的图象关于对称， 当时，，且单调递增，又在上单调递减. 由复合函数单调性知在上单调递减， 又因为的图象关于点对称，所以在上单调递减. 又，则， 所以由，可得， 即，所以，即， 解得，所以该不等式的解集为. 故答案为: 6．函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，将函数式两边取平方得，利用换元成，， 利用函数的单调性求得函数的最值即得函数值域. 【详解】由题意可得，解得，即函数定义域为， 则， 设，则，显然在上为减函数， 故当时，即时，取到最大值4，则函数的最大值为2； 当时，即时，取得最小值2，则函数的最小值为. 故函数的值域为. 故答案为：. 7．已知函数的定义域为，若，，则 . 【答案】3 【分析】先得到的一个周期为4，所以，又，，从而求出，得到答案. 【详解】，则，故， 所以的一个周期为4，所以， 又中，令得， 故，则. 故答案为：3 三、解答题 8．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)已知奇函数在上单调递增，证明在上单调递增． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由奇函数的性质，即可得出在时的解析式； （2），由已知可得，根据奇函数的性质可得，又，根据函数的单调性即可证明在上单调递增． 【详解】（1）设，则，. 因为函数是定义域为R的奇函数，所以有， 所以当时，， 所以函数的解析式为. （2）证明：设. 因为在上单调递增，所以有. 又，所以. 因为是奇函数，所以，， 又，所以，所以. 即，有成立， 所以在上单调递增． 9．已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）赋值得出，再取得出判断； （2）用函数的定义先判断其在上单调递减，然后赋值结合函数奇偶性得到最大值是； （3）先求不等式左边的最大值，然后变换主元，把不等式看成关于的一次函数，结合一次函数性质处理. 【详解】（1）取，则，则； 取，则， 又定义域为，则是奇函数. （2）任取，则， ， 由时，可知， 即，即， 故在上单调递减. 取，则， 取，则， 又是奇函数，则，解得， 结合单调性可知，在区间上的最大值是 （3）由题知，若对所有的，恒成立， 只需， 结合函数的单调性，时，， 则，即， 将不等式左边视作关于的一次函数， 而时恒成立， 故只需，即， 解得或 10．已知二次函数，． (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次函数单调性可得答案； （2）分离变量，再利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】（1）函数 的对称轴为 ， 要使 在区间 上单调， 需满足对称轴不在区间内部， 即 或 ，解得 或 . 因此，实数 的取值范围为 （2）由 得 ， 因为 ，所以 ， 令 ，则 对任意 恒成立等价于 ， 由基本不等式得， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 的最小值为 ，故 ， 因此实数 的取值范围是 . 一、单选题 1．形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 【答案】D 【分析】应用待定系数法求函数解析式和定义域，再由奇偶性的定义判断，根据解析式判断区间单调性，进而确定最值情况，最后代入自变量求函数值判断各项正误. 【详解】由题意得，解得，则且， 因为，所以是奇函数，①错． 因为均在内单调递减，所以在内单调递减，没有最小值，②对③错， 由得，，④对. 故选：D 2．‌莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念，‌‌已知在上为减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出每段函数单调递减时的取值范围，再根据分段点处的函数值关系求出的取值范围，最后取交集得到的最终取值范围. 【详解】因为在上为减函数，所以一次函数的斜率，即.   二次函数的二次项系数，图象开口向下， 要使在时单调递减，则对称轴，即.   在处，需要满足，解得.   综合以上三个条件，取交集可得，所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、多选题 3．设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（   ） A． B．对任意的，都有 C．对任意的，都有 D．当时，的最大值为1 【答案】ABD 【分析】画出函数图象，结合图象分析可得的解析式，根据奇偶性的定义及图象对选项逐一分析即可. 【详解】 画出函数的图象， 对于：，所以，故正确； 对于：由图可知，函数的图象关于轴对称， 所以任意的，都有，故正确；错误； 对于：设与的交点横坐标为，则， 在和上单调递增，在上单调递减， 由的对称性可知. 所以当时，的最大值为1，故正确. 故选：ABD. 4．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下面描述正确的有（    ） A．为偶函数 B． C． D．不等式在区间上恒成立 【答案】ABD 【分析】根据给定的函数，结合偶函数的意义、一元二次不等式分段探讨逐项判断. 【详解】对于A，当时，，则；当时，， 则，即，，因此为偶函数，A正确； 对于B，当时，，当时，，B正确； 对于C，取，，C错误； 对于D，当时，，不等式， 对且，恒成立；当时，，不等式， ，对且，恒成立，D正确. 故选：ABD 三、填空题 5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】利用高斯函数的定义得到的解析式，作出函数图象，进而得到值域即可. 【详解】由高斯函数的定义可得： 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则， 当时，，且每段函数都是单调递减的，每段的左端点的函数值都为1； 当时，，且每段函数都是单调递增的，每段的左端点的函数值都为1. 绘制的图象，如图所示，    由图可知，的值域为. 故答案为： 6．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下:若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有;当时，有；则 . 【答案】/－0.2 【分析】利用为奇函数和满足可得的周期﹒利用周期可将)化为，结合可求；利用周期和奇函数性质可将化到内利用解析式求解． 【详解】因为，则 又是奇函数，则 所以，所以的周期为4 又， 令，可得 当时，，且， 所以. 故答案为：. 7．雅各布·伯努利（Jakob Bemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是 【答案】1 【分析】由题意得当且时，，并得到当时，，当时，，从而得到最小值. 【详解】由题意得，当且时，，故， 当时，，当时，， 综上，在上的最小值为1，此时. 故答案为：1 四、解答题 8．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”． (1)如图，若为坐标原点，两点坐标分别为和，求； (2)若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积； (3)已知函数是图象上一个动点，求的最值，并求出此时点的坐标． 【答案】(1)5；5；4； (2)答案见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据题中的定义直接计算可得； （2）由题中定义得轨迹方程，进而可得面积值； （3）设，得转化为二次函数的在闭区间上的最值. 【详解】（1）因两点坐标分别为和，根据， 得，，. （2）设，由，得. 当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以其轨迹是一个以为顶点的正方形. 正方形的边长为，其面积为.如图： （3）因M点在的图象上，设， 所以， 所以在上单调递减，在上单调递增，当时，， 当时，，当时，. 所以当时，，当时，. 故的最小值为，此时，的最大值为，此时. 9．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)，“偏差”的最小值为. 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为； （2），，利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值求得的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可. 【详解】（1） 因为，所以， 则，. 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴， 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，均不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍）， 所以. （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， . 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 10．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. (1)若定义在上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式； (2)若对任意的实数，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点的横坐标是函数的不动点； ②点关于函数的图象对称. 试求的取值范围.（注：两个点的中点的坐标公式为） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设函数的唯一不动点为，即，由条件推出，解出，进而可得的解析式； （2）利用不动点定义求出的范围，再利用中点坐标公式及韦达定理求出与的函数关系，利用二次函数的性质求出答案． 【详解】（1）设函数的唯一不动点为，即， ∵， ∴， ∴，得，解得或， 当时，， 由，得，解得或， 此时有两个不动点，不合题意； 当时，， 由，得，解得， 此时只有一个不动点，符合题意， 综上，函数的解析式为． （2）由，得， ∵对任意的实数，函数恒有两个不动点， ∴对任意的实数，恒成立， 于是，即，又，解得， 设函数的两个不动点为，则，又， 于是线段的中点，即， 由题意，点在函数的图象上，得，整理得， ∴， ∵，∴，， ∴，，， ∴． 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业05 函数的性质 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值 前提 设函数f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 对于任意x∈I，都有f(x)≤M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M； 存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 3.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 关于y轴对称 奇函数 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 关于原点对称 4.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 注意： （1）如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. （2）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). （3）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. （4）函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： ①若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). ②若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). ③若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 5.对称性的三个常用结论 ①若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ②若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. ③若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 定义法判断函数单调性 一、解答题 1．已知函数的定义域为，且，当时，． (1)求，的值． (2)证明：；并判断在上的单调性，并给出证明； (3)求不等式的解集． 2．定义在上的函数满足，当时，. (1)求的值； (2)用定义证明在上是个增函数； (3)当方程有两个解时，求取值范围. 3．已知函数． (1)求； (2)判断在上的单调性并用定义法证明； (3)求函数的值域． 题型二 利用函数单调性求最值 一、单选题 1．已知函数的最小值为0，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 二、解答题 2．已知函数. (1)求关于的不等式的解集； (2)设函数，求在上的最小值. 3．在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点. (1)若点，求该一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于一次函数的值，求出实数的取值范围. 题型三 分段函数 一、多选题 1．已知函数，则（　　） A． B．在上单调递减 C．的最大值为2 D．的解集为 二、填空题 2．设函数，若是函数的最小值，则实数的取值范围是 ． 3．设则函数的最大值为 . 题型四 函数奇偶性的定义与判断 一、单选题 1．已知函数的定义域为R，是偶函数，是奇函数，且，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．函数的图象为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 3．已知函数满足，. (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)求不等式的解集. 题型五 函数奇偶性的应用 一、单选题 1．已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则（    ） A． B．1 C．3 D．7 2．已知是定义域为的偶函数，且为奇函数，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型六 对称性和周期性 一、单选题 1．已知函数，对于任意的实数，恒有，若函数的最小值为，则的最大值为（　　） A．1 B．3 C．5 D． 2．若对，有，若有最大值和最小值，则的最大值与最小值之和是（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 二、多选题 3．已知函数的定义域为，且，则下列说法正确的有（    ） A． B．是奇函数 C．以6为周期 D． 三、填空题 4．已知函数是定义域为的奇函数，函数是偶函数，,则 ． 一、单选题 1．已知定义域为的函数，，，对任意的实数a，b均有，且，不恒为0，则（   ） A． B． C． D． 2．若，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，若恒成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数的图象关于点对称，则（    ） A． B．10 C．2 D． 二、填空题 5．已知定义在上的函数满足，且当时，，则不等式的解集为 . 6．函数的值域为 ． 7．已知函数的定义域为，若，，则 . 三、解答题 8．已知函数是定义域为R的奇函数，当时，． (1)求出函数的解析式； (2)已知奇函数在上单调递增，证明在上单调递增． 9．已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数的取值范围. 10．已知二次函数，． (1)若函数在区间上单调，求实数的取值范围； (2)若对，不等式恒成立，求实数的取值范围． 一、单选题 1．形如的函数一般称为飘带函数．若飘带函数的图象经过两点和．则以下四个判断中①是定义域上的偶函数；②在内单调递减；③有最小值；④，正确的有（   ） A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．②④ 2．‌莱布尼茨是17世纪的德国数学家，他与牛顿在函数研究上的贡献都是跨时代的，他在1673年首先使用了“函数”这个词并且提出了单调性的概念，‌‌已知在上为减函数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．设函数，其中表示中的最小者，下列说法正确的有（   ） A． B．对任意的，都有 C．对任意的，都有 D．当时，的最大值为1 4．德国著名数学家狄利克雷是解析数学的创始人，以其名字命名的函数称为狄利克雷函数，其解析式为，则下面描述正确的有（    ） A．为偶函数 B． C． D．不等式在区间上恒成立 三、填空题 5．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用他的名字命名了“高斯函数”.设，用表示不超过的最大整数，则标为高斯函数.例如，已知函数，则的值域为 . 6．黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下:若函数是定义在上的奇函数，且对任意都有;当时，有；则 . 7．雅各布·伯努利（Jakob Bemoulli）是17世纪著名的数学家，他在概率论、数学分析及无穷级数等多个领域作出了重大的贡献，对后世数学的发展产生了深远的影响．1689年，他提出了一个著名的不等式称为伯努利不等式，其内容如下：设，且，n为大于1的正整数，则．由此可知，函数在区间上的最小值是 四、解答题 8．“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼•闵可夫斯基提出来的．在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，如图，对于一个具有正南､正北､正东和正西方向规则布局的城镇街道，从一点到另一点的距离等于在南北方向上行进的距离加上在东西方向上行进的距离，这种距离即“曼哈顿距离”，也叫“出租车距离”．对于平面直角坐标系中的点和，两点间的“曼哈顿距离”． (1)如图，若为坐标原点，两点坐标分别为和，求； (2)若点满足，试在图中画出点的轨迹，并求该轨迹所围成图形的面积； (3)已知函数是图象上一个动点，求的最值，并求出此时点的坐标． 9．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 10．在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹•布劳威尔（），简单的讲就是对于满足一定条件的图象不间断的函数，存在点，使，那么我们称该函数为“不动点函数”，为函数的不动点. (1)若定义在上仅有一个不动点的函数满足，试求函数的解析式； (2)若对任意的实数，若函数恒有两个不动点，且满足如下条件： ①图象上两个不同点的横坐标是函数的不动点； ②点关于函数的图象对称. 试求的取值范围.（注：两个点的中点的坐标公式为） 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $