三角函数专项突破寒假作业01——与单调性有关的ω的范围与最值问题-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版01 ——与单调性有关的ω的范围与最值问题 一、利用三角函数的单调性求ω的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 二、典例讲解、 例1、已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 例2、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3、已知，函数.若在区间上单调，则的取值范围为 . 小结：基本步骤：①明确原函数的单调区间要求（如“在上单调递增”）；②令，求内层函数的单调性（时增，时减）；③根据“同增异减”原则，匹配外层三角函数的单调区间，列出不等式组：（，需结合ω符号调整不等号方向）；④解不等式组，结合确定ω的初步范围；⑤若求最值，根据题目约束（如）筛选最优k值，得出ω最值 核心技巧： （1）优先假设（多数题目隐含），若未说明需分情况；单调区间的“包含关系”是关键（如函数在单调，则的范围需完全包含在外层函数的某一单调区间内） （2）若函数在区间(a,b)上单调，则区间长度≤（即），可快速锁定ω的上限. 【跟踪练习01】 一、选择题：每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．已知函数在是增函数，则的范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则的值为 （ ） A． B． C． D． 5．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 6. 已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 7．已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 9．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．，函数在上单调递增，则的范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11、若函数在区间上单调递增，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 12．函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是（ ） A． B． C． D 13、已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 三、填空题：每小题5分. 14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 15．已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 . 16．已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 17、已知函数，若，且函数在区间上单调递增，则的值为 ． 18．若函数在上单调递增，则的取值范围是 . 19．已知函数的图象向左平移后得到的图象关于对称，在上具有单调性，则的最大值为 20．若函数与在区间单调性一致，则的最大值为 ． 21．已知函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的值为 ． 22．已知函数，若对任意的实数m，在的值域均为，且在上单调递减，则ω的范围为 . 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教A版高一数学必修一寒假作业——三角函数专项突破版01 ——与单调性有关的ω的范围与最值问题 一、利用三角函数的单调性求ω的解题思路 对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷. 二、典例讲解、 例1、已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据正弦型函数的单调性即可求解. 【详解】，又函数在单调递增， 所以，解得.故答案为：. 例2、若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】正体代入利用正弦函数的单调性结合题意计算可得. 【详解】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 例3、已知，函数.若在区间上单调，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】由题意在上单调，讨论分别为递减区间、递增区间求的取值范围. 【解答过程】由，则，所以在上单调， 又，若，，则，， 所以，，故时，满足题设； 若，，则，， 所以，，此时没有满足题设的k值；综上，. 小结：基本步骤：①明确原函数的单调区间要求（如“在上单调递增”）；②令，求内层函数的单调性（时增，时减）；③根据“同增异减”原则，匹配外层三角函数的单调区间，列出不等式组：（，需结合ω符号调整不等号方向）；④解不等式组，结合确定ω的初步范围；⑤若求最值，根据题目约束（如）筛选最优k值，得出ω最值 核心技巧： （1）优先假设（多数题目隐含），若未说明需分情况；单调区间的“包含关系”是关键（如函数在单调，则的范围需完全包含在外层函数的某一单调区间内） （2）若函数在区间(a,b)上单调，则区间长度≤（即），可快速锁定ω的上限. 【跟踪练习01】 一、选择题：每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1、设函数在区间上单调递增，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】求出的范围，结合正弦函数的图象与性质可得. 【详解】因为，所以，又函数在区间上单调递增，结合正弦函数的图象与性质可知，得，则的最大值为. 故选：C. 2．已知函数在是增函数，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求得的取值范围，根据题意得出有关的不等式组，解出即可. 【详解】当时，且，则，由于函数在是增函数，则，可得，解得.故选：B. 3．已知函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求得，由题意结合正弦函数的图象得到，解不等式即可求出答案. 【详解】当时，因为，所以，由于函数在上单调递减，所以，解得，故的取值范围为. 故选：A. 4．设函数是常数，，若在区间上具有单调性，且，则的值为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在区间具有单调性，且，则，且函数的图像关于直线对称，且一个对称点为．可得且，求得，故选D． 5．若函数在上单调，则实数的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单调区间求得，然后分，和，结合正弦函数单调性讨论即可得解. 【详解】由函数在上单调可知，得，所以，所以， 当 时，，函数 在该区间不单调，故舍去，因此只需考虑 的情况， 因为，所以，当时，由正弦函数性质可知，要使在上单调，则，所以即；当时，要使在上单调，则， 所以即.综上，的最大值为.故选：C 6. 已知点在函数的图象上，若恒成立，且在区间上单调，则（    ） A．3 B．6 C．12 D． 【答案】A 【详解】因为点在函数的图象上，所以，由，则，且在上单调递减，所以在上单调递增，由余弦型函数的对称性易知，所以，即，故.故选：A. 7．已知函数（其中）在区间上单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可得，，解得且，， 又，则，，则，故且，故.故选：A. 8．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若函数在区间上单调递减，则的最大值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题意求得，根据求得，结合余弦函数的单调性列不等式，即可求出答案. 【详解】由题意得，因为，所以，因为函数在区间上单调递减，所以，所以， 所以的最大值.故选：D. 9．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的单调递增区间，根据是函数增区间的子集，可求的取值范围. 【详解】由于，则, 由，，. 由，，.所以得：. 故选：B 10．，函数在上单调递增，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据诱导公式和二倍角的正弦公式可得，再求出的增区间，，，根据列式可解得结果. 【详解】由题得， 由，，得，， 所以的单调递增区间为，， 因为函数在上单调递增，所以， 所以，又＞0，所以. 故选：B. 二、选择题：每小题6分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 11、若函数在区间上单调递增，则实数的可能取值为（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】由，可得， 由题意可得，解得， 因为，所以，所以实数的取值范围是. 故选：A. 12．函数的图像是由函数（大于零）的图像向左平移个单位所得，若函数在范围内单调，则的范围是（ ） A． B． C． D 【答案】BC 【分析】由函数图象平移可得，根据在给定区间上单调，结合余弦函数的性质求参数的范围. 【详解】是由（大于零）向左平移个单位所得，故， 又在即上单调，∴， ,，由或， 或，综上，的范围为. 13、已知函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先利用余弦函数的递减区间求得，依题需使，求得，再由确定，通过对进行赋值检验，即可求得的取值范围. 【详解】令，解得， 依题意，需满足，解得. 因为在上单调递减，所以，解得. 当时，，不符合题意；当时，，符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意. 综上，的取值范围是. 三、填空题：每小题5分. 14．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】，又函数在单调递增，所以，解得.故答案为：. 15．已知函数在上是增函数，则符合条件的整数的值为 . 【答案】1 【详解】在上是增函数，需，时，，故，解得，又为整数，所以.故答案为：1 16．已知函数在单调递增，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，又因为在上单调递增，结合正切函数的单调性得，解得，的取值范围为．故答案为：. 17、已知函数，若，且函数在区间上单调递增，则的值为 ． 【答案】4 【详解】因为，所以，显然，即， 当时，，若要符合题意需，解不等式得，易知，则，此时. 18．若函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以，因为的单调递增区间为，所以，所以，解得，， 因为且存在，所以，解得，由，得， 所以，即的取值范围是. 19．已知函数的图象向左平移后得到的图象关于对称，在上具有单调性，则的最大值为 【答案】16 【分析】由函数的图象向左平移后得到，然后由函数的图象关于对称，确定的关系，再根据在上具有单调性，由即可求解. 【详解】把函数的图象向左平移后得到， 因为的图象关于对称，所以，即， 因为在上具有单调性，， 所以该区间的长度不能超过从对称中心到最近最值点所构成的单调区间的长度，即， 所以，且，解得，结合可知的最大值为， 20．若函数与在区间单调性一致，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】要考虑的最大值，只需考虑，当时，求出、的取值范围，利用正弦型函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的最大值. 【详解】要考虑的最大值，只需考虑， 当时，则，， 所以，函数与在区间上同时单调递增， 则，解得，故的最大值为. 21．已知函数（，，是常数，，）．若在区间上具有单调性，且，则的值为 ． 【答案】/1.5 【分析】由在区间上具有单调性，得函数最小正周期，从而可由得出其一条对称轴方程和一个对称中心，然后可求得周期，再由周期公式求的值． 【详解】因为在区间上具有单调性，则，所以，又，，故， 由可知函数的一条对称轴为， 又，则有对称中心，从而，即，所以. 22．已知函数，若对任意的实数m，在的值域均为，且在上单调递减，则ω的范围为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式化简得到，将对任意的实数，在的值域均为转化为对任意的实数m，在内都满足，即可得到，然后根据在上单调递减得到，且在的递减区间里，最后根据的递减区间列不等式求解即可. 【详解】易得，由，有， 即对任意的实数m，在内都满足，故，则， 由在上单调递减，则，即， 当ω>0时，由于f（x）在R上的单调递减区间为， 令k=0.有，则；令k=1，有，则； 令k=2，有，无解，故， 同理，当ω<0时，有，综上，. 故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司 $