寒假作业06 幂函数（巩固培优）高一数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 幂函数 1.幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 2.5个常见幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 　 在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 图象 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 幂函数的定义 一、单选题 1．下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【详解】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 二、填空题 2．已知幂函数过点，则 ． 【答案】16 【分析】将点代入幂函数解析式求出，从而确定幂函数的解析式，然后再求函数值即可． 【详解】∵幂函数过点， ∴，故， ∴， ∴， 故答案为：16． 3．已知幂函数，则 ． 【答案】8 【分析】根据幂函数的定义可得，代入运算即可. 【详解】因为函数为幂函数， 则，解得， 可得，所以. 故答案为：8. 题型二 根据幂函数求参 一、单选题 1．已知幂函数在上单调递增，则（    ） A．4 B． C． D．4或 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义结合单调性分析求解即可. 【详解】因为函数是幂函数， 则，解得或， 又因为幂函数在上单调递增，则 所以. 故选：A. 二、填空题 2．已知幂函数的图像不经过原点，则实数 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义及其性质求解. 【详解】由幂函数的定义及其性质可得，解得， 故答案为：. 三、解答题 3．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用幂函数的定义及性质计算即可； （2）将问题化为的值域为函数的值域的子集，利用集合间的基本关系计算参数即可. 【详解】（1）由幂函数定义，知，解得或， 当时，的图象不关于轴对称，舍去， 当时，的图象关于轴对称，符合题意，因此． （2）由上易知， 由于对任意的，总存在，使成立， 设函数在上的值域为集合，函数在的值域为集合， 所以， 易知当时，的值域，则集合， 当时，的值域为，则集合， 又，得，解得. 题型三 幂函数的定义域和值域 一、单选题 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 2．已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件分析求出参数，结合题意分析得出函数的解析式，然后利用函数单调性求值域即可. 【详解】对任意的，都有， 所以函数为奇函数， 又，所以， 当时，满足①不满足②， 当时，满足①和②， 当时，不满足①和②， 所以幂函数为， 又函数在区间上是增函数， 故在上单调递增， 所以， 即函数在上的值域为， 故选：A. 二、多选题 3．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递增 D．无最小值 【答案】AD 【分析】根据待定系数法求解幂函数的表达式，即可由幂函数的性质结合选项逐一判断. 【详解】根据已知，设幂函数，又函数图像过点，解得，即. 对于选项A，因为，所以A正确； 对于选项B，定义域为，B错误； 对于选项，，在上单调递增，在上单调递减，C错误； 对于选项D，值域为，故无最小值，D正确. 故选：AD. 三、填空题 4．函数，的值域为 . 【答案】 【分析】根据基本初等函数性质，判断函数单调性，判断函数值域. 【详解】可知和在上都单调递增， 则在上都单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为，则函数值域为. 故答案为：. 题型四 幂函数的图象和恒过定点问题 一、单选题 1．在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的图象和一次函数的图象求出的取值范围，即可进行判断. 【详解】对于A，结合函数的图象得，结合的图象得，即，可能成立，故A正确； 对于B，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故B错误； 对于C，结合函数的图象得，结合的图象得，即，两者矛盾，故C错误； 对于D，结合函数的图象得，结合的图象得，无解，故D错误； 故选：A. 2．图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 二、填空题 3．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 【答案】3 【分析】根据幂函数过定点得的图象过定点，进而得 【详解】令，则，故的图象过定点， 故，． 故答案为：3． 题型五 幂函数的性质 一、单选题 1．已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件可判断函数是的增函数，且为奇函数；利用函数的奇偶性单调性解不等式即可. 【详解】依题意，函数的定义域为； 因为，所以函数是奇函数； 因为，所以； 根据解析式及幂函数的单调性知函数在上单调递增； 所以，解得；故实数的取值范围是； 故选：A. 2．已知幂函数 则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．的图象过点， C．是单调函数 D．无最值 【答案】D 【分析】根据幂函数的定义求出函数解析式，再根据函数的性质结合函数奇偶性、单调性、最值的定义对选项进行分析判断． 【详解】是幂函数， ，定义域为， 选项A：，是奇函数，不是偶函数，故A错误； 选项B：无意义，的图象不过点，故B错误； 选项C：在和上分别单调递减，但整体不连续，不满足单调函数定义，故C错误； 选项D：的值域是，无最大值、最小值，故D正确． 故选：D． 3．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】B 【详解】根据幂函数的定义和单调性求的值，分析函数的奇偶性，根据为奇函数可得结果． 【分析】∵函数是幂函数，，解得或， 或， ∵对任意的且，满足， 在上为增函数，则， ，为上单调递增的奇函数， ，， ，故． 故选：B 二、解答题 4．已知幂函数. (1)求的解析式； (2)若图象不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间； (3)若图象经过坐标原点，证明函数在上为增函数. 【答案】(1)或 (2)单调递减区间为，，无递增区间 (3)证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义，利用一元二次方程的求解，可得答案； （2）根据反比例函数的性质，可得答案； （3）根据函数单调性的定义，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或2， 由，，则或. （2）若的图象不经过坐标原点，则 此时的单调递减区间为，，无递增区间； （3）证明：若图象经过坐标原点，则， 任取、，且 则 ，又、， 即 在上为增函数. 5．已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1) (2) (3)在上为减函数，证明见解析 【分析】（1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域和单调性结合可得出关于的等式与不等式，即可得出原方程的解集； （3）化简函数的解析式，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义即可得出结论. 【详解】（1）因为函数为幂函数，则，解得，故. （2）因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得，解得， 故方程的解集为. （3）函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， ， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数. 6．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1),. (2) 【分析】（1）根据函数为幂函数可得，求得，结合幂函数的性质即可求得的值； （2）根据（1）的结论，可得，解不等式可得答案. 【详解】（1）解：∵是幂函数， ∴，解得. 由在上单调递增得，解得. ∵， ∴或. 当时，函数，图象关于轴对称，符合题意. 当时，函数，图象关于原点对称，不合题意. 综上，，. （2）解：由（1）得，，∴. 即，可化为， 解此分式不等式，得或， 故的取值范围是. 一、单选题 1．已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义，结合幂函数的奇偶性、二次函数的单调性、函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或. 当时，为偶函数，符合题意； 当时，为非奇非偶函数，不符合题意， 所以. 二次函数的对称轴为， 若函数在上单调递增， 则解得； 若函数在上单调递减， 则解得. 综上，实数的取值范围为. 故选：C 二、填空题 2．若幂函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】由幂函数的定义得，解出，并根据为偶函数，进行检验，得到的值. 【详解】因为为幂函数，则，解得或. 当时，，为奇函数，不符合题意； 当时，，为偶函数，符合题意，所以. 故答案为：. 3．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为 ． 【答案】-1 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或, 当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意； 当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为， 故答案为： 三、解答题 4．已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用幂函数的性质建立方程求解参数，再利用偶函数性质取舍即可. （2）将不等式转化为一元二次不等式，进而对参数分类讨论得到解集即可. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，解得或， 因为为偶函数，所以，可得． （2）由题意得， 所以不等式即为， 令，则，，且是开口向上的二次函数，根据其性质得： 当时，的解集为；当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 综上，不等式的解集如下， 当时，的解集为；当时，的解集为空集；当时，的解集为． 5．已知幂函数，且在上单调递增． (1)求的值． (2)设为偶函数，当时，． （i）求； （ii）当时，求的表达式． 【答案】(1) (2)（i）9；（ii） 【分析】（1）根据幂函数的概念建立关于的方程，解之，验证即可； （2）当时，令计算即可；当时，利用函数的奇偶性求解函数解析式即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或. 当时，在上单调递减，所以不符合题意； 当时，在上单调递增，所以符合题意. 故. （2）（i）当时，，则，解得. （ii）当时，.因为为偶函数， 所以. 6．已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值； (2)求函数在的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义求出的值，结合奇函数确定的值即可； （2）利用二次函数的图象，按照对称轴与区间的不同位置关系，结合单调性分类讨论即得. 【详解】（1）为幂函数，， ，或， 当时，， ，是偶函数，不合题意，舍去； 当时，，，是奇函数，符合题意； 综上可知，. （2），，， 图象的对称轴为，开口向上， 当，在上是单调递增函数， 故在处取得最小值为； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值为； 当，即时，在上是单调递减函数， 故在处取得最小值为； 故函数在的最小值为. 7．已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①0；② 【分析】（1）由幂函数的概念和单调性即可求解； （2）①由内向外代入解析式求解即可；②将问题转换成在上恒成立，分参求最值即可. 【详解】（1）因为是幂函数，所以， 解得或． 因为在上单调递增，所以，即，则． 所以． （2）①，则， 所以． ②由①可知，则要使在上恒成立，则需． 因为，所以， 所以，即． 由题意在上恒成立， 即在上恒成立， 因为，所以， 所以在上恒成立， 所以． 因为当时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为 8．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)设函数在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】(1)利用幂函数的系数特征求，结合偶函数定义筛选得解析式； (2)分析二次函数的对称轴位置，分情况讨论区间内最小值，结合恒成立条件求解参数范围. 【详解】（1）因是幂函数，故系数满足， 即，解得或. 当时，指数为，，是偶函数，符合条件； 当时，指数为，， 定义域不关于原点对称，不是偶函数，舍去. 故. （2），其开口向上，对称轴为， 分三种情况讨论： 情况1：（即） 在上单调递增，最小值为， 由，结合，显然满足. 情况2：（即） 在对称轴处取最小值， 最小值为： 由，化简得，解得， 结合，得. 情况3：（即） 在上单调递减，最小值为， 由得，与矛盾，舍去. 综合得的取值范围为. 9．已知函数． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)奇函数，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和判定方法，即可可证； （2）根据函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，得到函数为定义域上的奇函数，且为单调递增函数，不等式转化为对于任意实数恒成立，分和，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）函数为定义域上的奇函数； 证明：由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由， 所以函数为定义域上的奇函数； （2）证明：当时，， 任取，且， 可得 因为，且，可得，， 所以，即， 所以函数在上是增函数； （3）因为函数为定义域上的奇函数，且在上是增函数， 所以函数在上也是增函数， 又因为，所以函数在上是增函数， 又由，可得， 因为不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 可得不等式对于任意实数恒成立， 即不等式对于任意实数恒成立， 当时，不等式即为恒成立，符合题意； 当时，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围． 10．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，解关于x的不等式的解集. 【答案】(1). (2)实数a的取值范围为. (3)不等式的解集为:当时， ；当时，空集；当时， . 【分析】(1)由幂函数的定义及性质可得； (2)由(1)得到是一个二次函数，在上不是单调函数，所以对称轴在之间； (3) ，比较和的大小分类讨论可得. 【详解】（1）由题意得，所以或， 因为为偶函数，所以，所以. （2）由(1)可得， 在上不是单调函数，所以对称轴，即，所以， 实数a的取值范围为. （3）， 所以不等式即为， 令，则，是开口向上的二次函数，根据其性质得： 当时，的解集为； 当时，的解集为空集； 当时，的解集为； 综上，不等式的解集为当时， ；当时，空集；当时， . 一、多选题 1．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列结论正确的是（    ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以同时是无数个圆的“太极函数” C．函数可以是某个圆的“太极函数” D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 【答案】AB 【分析】选项A，过圆心的直线都可以满足已知条件；选项B，函数关于原点中心对称，是圆心在原点的圆O的“太极函数”； 选项C错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆可以让函数将其的周长和面积同时等分；选项D可以通过举出两个反例分别进行说明. 【详解】选项A正确，过圆心的直线都可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故对于任意一个圆O，其“太极函数”有无数个，故A正确； 选项B正确，函数为奇函数，其图象关于原点对称，它可以将圆的周长和面积同时等分成两部分，故是圆心在原点的圆O的“太极函数”，故B正确； 选项C错误，函数的图象是一三象限的两支曲线，不存在圆让函数的图象将其的周长和面积同时等分成两部分，所以函数不可以是某个圆的“太极函数”, 故C错误； 选项D错误，函数的图像是中心对称图形，但不是 “太极函数”；反之，如图，函数是“太极函数”，但其图象不是中心对称图形，故D错误. 故选：AB． 2．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】根据函数解析式，逐项判断函数的单调性与奇偶性，即可得出结果. 【详解】A选项，定义域为，在上显然单调递增，但，即不是偶函数，其图象不关于轴对称，A排除； B选项，定义域为，在上显然单调递增，且， 所以是偶函数，图象关于轴对称，即B正确； C选项，定义域为，在上显然单调递减，C排除； D选项，的定义域为，在上显然单调递增，且，所以是偶函数，图象关于轴对称，即D正确. 故选：BD. 二、填空题 3．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即，函数为幂函数，则 ． 【答案】 【分析】利用幂函数的定义进行求解即可得． 【详解】解：因为函数为幂函数， 所以可得，解得． 故答案为：1 4．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用幂函数定义和性质求出p，再根据单调性解不等式． 【详解】因为幂函数在上是减函数， 所以，即， 解得．又因为，所以或． 当时，，，为偶函数， 图象关于轴对称，满足题意． 原不等式为，由于在R上单调递增， 则不等式化为，解得． 当时，，，为奇函数， 不满足图象关于轴对称，舍去． 综上，实数的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题 5．中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）．        (1)若图3构成正八边形，求实数m的值； (2)若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②16 【分析】（1）设，，且，则，根据及和的对称性，列方程求解； （2）联立方程组，由及即可求解①；由根与系数关系得出，利用基本不等式即可求得最小值． 【详解】（1）        设，，且，则， 由得，，即， 因为和关于对称， 所以， 所以（*）， 又因为点在图像上， 所以，将（*）代入可得：，解得． （2）①由可得：的两个实数根为， 所以，解得或， 又因为，所以； ②由根与系数关系得，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立，所以的最小值为16． 6．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 【答案】(1)不是，证明见解析； (2)存在，； (3)． 【分析】（1）先由指数函数单调性求出值域，再由“翻倍区间”定义即可得解； （2）先假设存在一个“翻倍区间”，再利用“翻倍区间”定义结合幂函数单调性列等量关系求出参数即可分析求解； （3）由“翻倍区间”定义将题设等价转化为方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根，再利用二次函数性质列不等式组即可求解. 【详解】（1）证明：由函数在上单调增函数知函数在上的值域为， 而“翻倍区间”要求的值域为，二者不符， 故不是函数的一个“翻倍区间”； （2）假设存在一个“翻倍区间”，由函数是上的单调增函数得， 解得，，由知所有“翻倍区间”为； （3）由函数有“翻倍区间”知，为上的单调增函数，而， 所以，解得， 由知，可得是方程的两个根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 等价于方程在上有两个不等实根或者在上有两个不等实根， 则有或， 解得或， 综上，实数的取值范围为． 7．某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数． (1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)试判断在上的凹凸性，并说明理由； (3)设，，且，求的最小值． 【答案】(1)； (2)在上为凹函数，理由见解析； (3) 【分析】（1）利用单调性化简不等式为，再用恒成立并结合最值求解. （2）判断函数的凹凸性，再利用凹函数的定义推理证明. （3）结合（2）判断为凹函数，再利用琴生不等式求的最值. 【详解】（1）函数在上单调递增， 不等式， 依题意，对任意，恒成立，即对任意，恒成立， 而当时，，则； 当，即时，，则， 所以实数的取值范围是. （2）函数在上为凹函数. 证明如下： ，， 则 ， 所以在上为凹函数. （3）令，由（2）知在上为凹函数， 因此在上为凹函数， 由，得， 由琴生不等式得， 即， 因此，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为. 8．若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍区间”，特别地，当时，称为的“特别区间”. (1)若为函数的特别区间，求实数的值； (2)证明：函数存在“3倍区间”. (3)设为实数，函数存在特别区间，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据“特别区间”的定义可得值域，即可求解； （2）根据“倍区间”的定义，结合二次函数的单调性，即可求解； （3）根据题意可将问题转化为，方程在区间上有两不相等的实数根求解. 【详解】（1）因为为函数的特别区间，所以函数的定义域和值域都是， 因为在区间为增函数，故其值域为， ，， 解得或1（舍），所以的值为2. （2）假设函数存在“3倍特别区间”为，则其值域为， 当时，易得在区间上单调递增， 则，即 此时易得a，b为方程的两根， 求解得或，故定义域，则值域为， 所以函数存在“3倍区间”，得证. （3）若函数存在特别区间， 因为为减函数， 故由跟随区间的定义可知， 即， 因为，所以． 易得． 所以， 令代入化简可得， 同理也满足， 即在区间上有两不相等的实数根． 故，解得. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业06 幂函数 1.幂函数的定义 一般地，形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 2.5个常见幂函数的图象与性质 函数 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 函数 奇函数 单调性 在R上单调递增 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增 在R上单调递增 　 在(0，＋∞)上单调递增 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减 图象 过定点 (0,0)，(1,1) (1,1) 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 幂函数的定义 一、单选题 1．下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．已知幂函数过点，则 ． 3．已知幂函数，则 ． 题型二 根据幂函数求参 一、单选题 1．已知幂函数在上单调递增，则（    ） A．4 B． C． D．4或 二、填空题 2．已知幂函数的图像不经过原点，则实数 ． 三、解答题 3．已知幂函数的图象关于轴对称． (1)求的值； (2)设，若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 题型三 幂函数的定义域和值域 一、单选题 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．已知幂函数，其中，满足下列两个条件：①在区间上是增函数；②对任意的，都有.则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知幂函数的图象过点，则（   ） A． B．的定义域是 C．在定义域上单调递增 D．无最小值 三、填空题 4．函数，的值域为 . 题型四 幂函数的图象和恒过定点问题 一、单选题 1．在同一坐标系内，函数（）和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．已知函数（为常数）的图象恒过定点，则 ． 题型五 幂函数的性质 一、单选题 1．已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知幂函数 则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．的图象过点， C．是单调函数 D．无最值 3．已知函数是幂函数，对任意的且，满足，若，，则的值（    ） A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断 二、解答题 4．已知幂函数. (1)求的解析式； (2)若图象不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间； (3)若图象经过坐标原点，证明函数在上为增函数. 5．已知幂函数． (1)求的解析式； (2)求方程的解集； (3)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 6．已知幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增． (1)求和的值； (2)求满足不等式的的取值范围． 一、单选题 1．已知幂函数是偶函数，若函数在上具有单调性，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 2．若幂函数为偶函数，则 . 3．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为 ． 三、解答题 4．已知幂函数为偶函数． (1)求的解析式； (2)若，解关于x的不等式的解集． 5．已知幂函数，且在上单调递增． (1)求的值． (2)设为偶函数，当时，． （i）求； （ii）当时，求的表达式． 6．已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值； (2)求函数在的最小值. 7．已知幂函数在上单调递增． (1)求函数的解析式； (2)已知函数． ①求； ②当时，，求实数的取值范围． 8．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)设函数在区间上恒成立，求实数的取值范围. 9．已知函数． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)用定义证明：函数在上是增函数； (3)若关于的不等式对于任意实数恒成立，求实数的取值范围． 10．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在上不是单调函数，求实数a的取值范围； (3)若，解关于x的不等式的解集. 一、多选题 1．中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美．定义：图象能够将圆的周长和面积同时等分成两部分的函数称为圆的一个“太极函数”，则下列结论正确的是（    ） A．对于任意一个圆，其“太极函数”有无数个 B．函数可以同时是无数个圆的“太极函数” C．函数可以是某个圆的“太极函数” D．函数是“太极函数”的充要条件为函数的图象是中心对称图形 2．我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质.下列函数中，在上单调递增且图象关于轴对称的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．幂函数为什么叫“幂函数”呢？幂，本义为方布.三国时的刘徽为《九章算术·方田》作注：“田幂，凡广（即长）从（即宽）相乘谓之乘.”幂字之义由长方形的布引申成长方形的面积；明代徐光启翻译《几何原本》时，自注曰：“自乘之数曰幂”.幂字之义由长方形的面积再引申成相同的数相乘，即，函数为幂函数，则 ． 4．已知幂函数的图像关于轴对称，且在上是减函数，实数a满足，则a的取值范围是 ． 三、解答题 5．中国文化之美照亮生活，宋代的几何图案（图1）注重理性和逻辑的文化风气，中式美学的另一种浪漫，蕴含着数学对称之美．几何图案由函数，，与函数（）图像（如图2）分别关于轴、轴及原点对称所得（如图3）．        (1)若图3构成正八边形，求实数m的值； (2)若关于的方程有两个不相等实数根，． ①求实数m的取值范围； ②求的最小值． 6．对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调增函数；②当定义域是时，的值域是，则称是该函数的“翻倍区间”． (1)证明：不是函数的一个“翻倍区间”； (2)判断函数是否存在“翻倍区间”？若存在，求出所有“翻倍区间”；若不存在，请说明理由； (3)已知函数有“翻倍区间”，求实数的取值范围． 7．某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异．通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念．定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数．对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）．小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数． (1)设函数，且当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围； (2)试判断在上的凹凸性，并说明理由； (3)设，，且，求的最小值． 8．若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍区间”，特别地，当时，称为的“特别区间”. (1)若为函数的特别区间，求实数的值； (2)证明：函数存在“3倍区间”. (3)设为实数，函数存在特别区间，求实数的取值范围. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $