2026年高一数学人教A版必修一寒假作业 幂函数及其性质

高中数学人教A版必修一寒假作业——函数概念及性质篇 03测试范围：幂函数及其基本性质 知识梳理 1．幂函数的概念：一般地，函数 叫作幂函数.其中是自变量，是常数.幂函数的特征： (1)以幂的底为自变量，指数为 ；(2)的系数为 且只有一项. 2．常见幂函数的性质． 定义域 值域 奇偶性 单调性 3．幂函数的性质 （1）所有幂函数图像都过定点 ； （2）在第一象限，当时，函数图像随着的（严格）增大而（严格）增大．此时称幂函数在区间上是严格增函数； 当时，函数图像随着的（严格）增大而（严格）减小．此时称幂函数在区间上是严格减函数． （3）幂函数是指形如 的函数.其中为奇数时，幂函数为 （填奇偶性），为偶数时，幂函数为 （填奇偶性）.在第一象限中， （用与0的比较填空），则函数单调递增； （用与0的比较填空），则函数单调递减.幂函数必过定点 . 03 幂函数及其基本性质的寒假作业 一、单选题 1．幂函数为偶函数，则（   ） A．1 B． C． D．2 2．幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 3．已知幂函数的图象过点，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D．-2 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 5．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 7．已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 8．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．当时，幂函数的图象不可能经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数的图象经过点，则下列结论正确的有（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．当时，恒成立 三、填空题 12．为R上的奇函数，周期为3，已知，则 ． 13．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为 ． 14．已知，函数在上严格递增，其图像不过坐标原点，则 ． 四、解答题 15．已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 16．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求m的值； (2)设，判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 17．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)设函数在区间上恒成立，求实数的取值范围. 18．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 19．已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学人教A版必修一寒假作业——函数概念及性质篇 03测试范围：幂函数及其基本性质 知识梳理 1．幂函数的概念：一般地，函数 叫作幂函数.其中是自变量，是常数.幂函数的特征： (1)以幂的底为自变量，指数为 ；(2)的系数为 且只有一项. 【答案】 常数 1 2．常见幂函数的性质． 定义域 值域 奇偶性 单调性 【答案】 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上递增，在上递减 增函数 在上 递增 在上递减，在上递减 3．幂函数的性质 （1）所有幂函数图像都过定点 ； （2）在第一象限，当时，函数图像随着的（严格）增大而（严格）增大．此时称幂函数在区间上是严格增函数； 当时，函数图像随着的（严格）增大而（严格）减小．此时称幂函数在区间上是严格减函数． 【答案】 （3）幂函数是指形如 的函数.其中为奇数时，幂函数为 （填奇偶性），为偶数时，幂函数为 （填奇偶性）.在第一象限中， （用与0的比较填空），则函数单调递增； （用与0的比较填空），则函数单调递减.幂函数必过定点 . 【答案】 奇函数 偶函数 03 幂函数及其基本性质的寒假作业 一、单选题 1．幂函数为偶函数，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出，再代入检验其是否为偶函数即可. 【详解】由题意可知，，得或，若，则，是偶函数，符合题意，若，则，是奇函数，不符合题意，故. 故选：C 2．幂函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析给定幂函数的性质，再结合图象特征判断即可. 【详解】幂函数的定义域为，图象不过原点，排除AB；函数是偶函数，图象关于轴对称，在上单调递减，排除D，C符合.故选：C 3．已知幂函数的图象过点，则的值为（   ） A．2 B．4 C．0 D．-2 【答案】B 【分析】由幂函数定义求得，由图像上的点求得，从而求得结果. 【详解】由幂函数的图象过点，知，，所以，故. 故选：B. 4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性及在上的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是；对于B，函数的定义域为，不具有奇偶性，B不是；对于C，函数的定义域为R，是偶函数，在上单调递增，C是； 对于D，函数是R上的奇函数，不是偶函数，D不是.故选：C 5．已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【详解】∵幂函数的图象经过点，，解得，故，. 因为，故在定义域上单调递增，故由，可得解得.故选：C. 6．已知幂函数，满足，且，都有 成立，若关于的不等式恰有4个整数解，则实数的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义及单调性求得，然后利用二次函数的对称性确定整数解，进而列不等式求解的范围即可. 【详解】依题意，，解得或，又在区间上单调递增，所以，所以. 关于的不等式恰有4个整数解，因为抛物线的对称轴是，则4个整数解分别为，于是可得 解得. 故选：B 7．已知幂函数的图象经过点，则以下说法正确的是（   ） A．函数为偶函数 B．若，则 C．设，则 D． 【答案】C 【分析】先求得，然后根据奇偶性定义判断A；根据单调性判断B，作差法判断C，求出函数值域判断D. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点，所以，所以，所以，因为的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，故A错误；因为在上单调递增， 所以当时， ，故B错误； 设，则， 所以，故C正确；因为任意，都有，故D错误． 故选：C 8．已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数，，， ，，当时，，，故是偶函数，不符合题意；当时，，，故是奇函数，符合题意；综上可知，，转化为，的定义域为，且在上为单调递增函数，转化为，，. 故选：D. 二、多选题 9．当时，幂函数的图象不可能经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】BD 【分析】根据幂函数性质确定选项. 【详解】因为经过一，三象限，经过第一象限，经过一，三象限， 故幂函数的图象不可能经过二，四象限.故选：BD 10．幂函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图象三等分，即，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据条件求得点的坐标，代入函数中，再根据运算公式计算判断各个选项. 【详解】，点，，，，将两点坐标分别代入，，得，，对于A，，A正确； 对于B，，B正确；对于C，，C正确； 对于D，，D错误； 故选：ABC. 11．已知函数的图象经过点，则下列结论正确的有（   ） A．的图象经过点 B．的图象关于轴对称 C．在上单调递减 D．当时，恒成立 【答案】ACD 【分析】由可求出的值，可得出函数的解析式，计算的值，可判断A选项；利用反比例函数的奇偶性可判断B选项；利用反比例函数的单调性可判断C选项；利用作差法可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，解得，所以，所以，即的图象经过点，A对；对于B选项，函数为奇函数，该函数的图象关于原点对称，B错； 对于C选项，函数在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，当且仅当时，等号成立，故当时，恒成立，D对.故选：ACD. 三、填空题 12．为R上的奇函数，周期为3，已知，则 ． 【答案】-3 【分析】根据奇函数的性质及周期函数的定义，分别求出和，进而求得. 【详解】由题可知，， 因为，所以，所以， 所以.所以. 13．已知实数为常数，对于幂函数，甲说：是奇函数；乙说：在上单调递增；丙说：的定义域是．甲、乙、丙三人关于幂函数的论述只有一人是正确的，则的取值为 ． 【答案】-1 【分析】利用幂函数的定义可求得的值，根据的值分类讨论即可. 【详解】由是幂函数，得，解得或,当时，，此时函数是奇函数，在上单调递减，定义域为，此时乙和丙的论述是错误的，甲的论述是正确的，符合题意；当时，，此时函数是偶函数，在上单调递增，定义域为R，此时乙和丙的论述是正确的，甲的论述是错误的，故不符合题意； 综上所述，的取值为。 14．已知，函数在上严格递增，其图像不过坐标原点，则 ． 【答案】 【分析】利用图像不过坐标原点排除掉非负数，根据所给值结合幂函数单调性和奇偶性可得答案. 【详解】当 时，函数的图像过坐标原点，不合题意；当 时， 在上是常函数，不满足严格递增，不合题意.故 .当时，定义域为，不合题意；当时，定义域为，因为，所以在为减函数，因为为奇函数，所以在也为减函数，不合题意；当时，定义域为，因为，所以在为减函数，因为为偶函数，所以在为增函数，符合题意。 四、解答题 15．已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和奇偶性，可求得参数； （2）利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是幂函数， 所以，解得或，又因为是奇函数，所以. （2）由（1）知，所以在上单调递增，所以由可得， 所以，即，解得，所以不等式解集为. 16．已知幂函数在区间上单调递增． (1)求m的值； (2)设，判断函数在区间上的单调性，并用单调性的定义证明你的结论． 【答案】(1)1 (2)单调递减，证明见解析 【分析】（1）利用幂函数的定义以及幂函数的单调性可得答案； （2）利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）因为 是幂函数，所以 ，解得 ，即 . 当 时，，在 上单调递增，满足题意； 当 时，，在 上单调递减，不满足题意，舍去；因此， . （2）由（1）知 ，则 ，函数 在区间 上单调递减. 证明：任取 ，且 ，则 ， 因为 ，所以 ，且 ，故 ，于是 ， 因此，，即 ，故函数 在 上单调递减. 17．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)设函数在区间上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；(2). 【分析】(1)利用幂函数的系数特征求，结合偶函数定义筛选得解析式； (2)分析二次函数的对称轴位置，分情况讨论区间内最小值，结合恒成立条件求解参数范围. 【详解】（1）因是幂函数，故系数满足，即，解得或.当时，指数为，，是偶函数，符合条件；当时，指数为，，定义域不关于原点对称，不是偶函数，舍去.故. （2），其开口向上，对称轴为，分三种情况讨论： 情况1：（即）在上单调递增，最小值为，由，结合，显然满足. 情况2：（即），在对称轴处取最小值，最小值为：，由，化简得，解得，结合，得. 情况3：（即），在上单调递减，最小值为，由得，与矛盾，舍去. 综合得的取值范围为. 18．已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析 【分析】（1）利用幂函数定义求出，结合性质取舍即可； （2）根据二次函数对称轴和区间的位置关系可求答案； （3）对参数分类讨论，比较根的大小可得不等式的解集. 【详解】（1）由幂函数定义可得，即，解得或， 当时，，此时为奇函数，不符；当时，，此时为偶函数，符合要求；综上可得，则的解析式为. （2）由题意得，对称轴为，由在区间上不单调，则，解得； （3）， 当时，，解得； 当时，令，解得或， 若，当，即时，该不等式无解； 当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，该不等式的解集为； 综上所述，当时，该不等式的解集为；当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为；当时，该不等式的解集为. 19．已知幂函数在上单调递减，. (1)当时，求的表达式并直接写出在的单调区间． (2)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为． (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和单调性可得出关于实数的等式与不等式，解出值，得函数的解析式和函数的解析式，当时，根据对勾函数的单调性可得出函数在的单调区间； （2）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在区间上的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】（1）因为幂函数在上单调递减，所以，解得，故，所以，当时，，所以函数在的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由（1）可知 ①当时，因为函数、在上均为减函数，则函数在上单调递减，则，解得（舍去）； ②当时，函数在上单调递减，此时，不符合题意； ③当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 若，即当时，函数在上单调递增，则，符合题意， 若，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时，解得（舍去）， 当时，即当时，函数在上单调递减，此时，解得（舍去）． 综上所述，． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $